会计噪音与CoCos定价

补充Du ffe和Lando（2001），我们现在将给出该密度的显式表达式。引理4.2f（t，·，z），在第一份会计报告到达之前t<τcB的时间，Zt的Ht条件密度，假设z从z开始，由f（t，x，z）=σ给出√特克斯普-m（z-x） σ-mt2σφz-xσ√t型- φ-z-x+2zcσ√t型Φz-zc+mtσ√t型- e-2m（z-zc）/σΦzc公司-z+mtσ√t型. （4.6）证明。这个引理的证明可以在附录中找到。最后，我们现在可以计算一般时间t>0，tn<t<tn+1的条件密度f（t，·），例如τc>t。利用Z的平稳性，可以将zt的Ht条件密度写成f（t，x）=Z∞zcf（t- tn，x，zn）gtn（zn | Y（n），τc>tn）dzn。（4.7）方程式（4.7）应如下所示：；在时间tn之前，流程Z保持在zc以上并在zn结束，然后在没有新会计报告到达的时间间隔（tn，t）上，流程必须从zn移动到x并保持在zc以上。虽然我们没有密度f（t，·）的解析表达式，但在这一点上需要注意的是，f（t，·）被写成gtn的积分，gtn被称为归一化常数，如等式（4.4）所示。这使得可以使用蒙特卡罗马尔可夫链模拟计算关于f（t，·）的积分，这意味着可以实际计算以密度f（t，·）加权的积分表示的结果。第5节介绍了必要的算法。作为密度f（t，·）的首次使用，我们可以在一段时间内s>t，其中t<τc，定义Ht-（CoCo）生存概率pc（t，s）=P（τc>s | Ht）。该概率由pc（t，s）=Z给出∞zc（1- π（s- t、 x个- zc）f（t，x）dx，（4.8），其中，如Du ffe和Lando（2001）所述，π（t，x）表示Z在时间t之前到达0的概率，从x>0开始。

该概率由下列引理给出，引理源自众所周知的布朗运动最小值分布表达式（见Harrison（1985），第1.8节，方程（11））。引理4.3 Z在时间t之前到达0的概率π（t，x），从x>0开始，由π（t，x）=1给出- Φx+mtσ√t型+ e-2mx/σΦ-x+mtσ√t型.4.3可可豆的估价本小节我们将提供不同类型可可豆的市场价值公式。首先，在第4.3.1小节中，对具有监管触发因素的COCO进行估值，该触发因素在转换时支持本金减记。然后，还展示了如何根据MDAregulations将提前取消优惠券纳入其中。在第4.3.2小节中，我们将PWD假设扩展到COCO，并将其转换为股份。前两种情况均为监管触发因素，结果均为通过上述导出的条件密度f（t，·）加权的积分形式。推迟到第5节，以提供计算该积分的必要算法。然后，在第4.3.3节中，对仅具有会计触发的PWD COCO进行估值。4.3.1有监管触发的PWD CoCo估值在本节中，我们将有监管触发和转换时本金减记的CoCo估值。在本节的最后，我们还将合并MDA触发器。回想一下，如果是regulatorytrigger，转换日期定义为τc=inf{t≥ 0:Zt≤ zc}。此外，请记住，该公司在到期或转换之前一直以cuntil利率支付息票。我们考虑一个本金减记CoCo，这意味着一个分数1- 主值的R在转换时被减记，而R的一部分被恢复给债券持有人∈ [0, 1).

此外，假设无风险利率是常数，用r表示。现在，在不完全会计信息Ht的情况下，CoCos在t<τcof时的值由c（t）=E给出体育课-r（T-t） {τc>t}| Ht+ EZTtcPe-r（u-t） {τc>u}du | Ht！+ERPe-r（τc-t） {τc≤T}| Ht= 体育课-r（T-t） pc（t，t）+cPZTte-r（u-t） pc（t，u）du- RPZTte公司-r（u-t） pc（t，du）。（4.9）在这里，第一个期限代表本金的支付，如果转换在到期之前没有发生，而第二个期限代表息票的支付，直到转换或到期。最后一项计算转换时本金的回收率。注意，每个术语都是用CoCo生存概率pc（t，s）来表示的，它是一个积分，由密度f（t，·）加权。不足为奇的是，这三个项可以写成一个由条件密度f（t，·）加权的积分，这是上一节推导出来的。这导致了本小节的主要结果，附录中对此进行了证明。定理4.4（具有监管触发的PWD CoCo的价格）CoCo在时间t<τcis时的二级市场价格，由c（t）=Z给出∞zch（x）f（t，x）dx，（4.10），其中h（x）是定义的灰分（x）：=r- crPe公司-r（T-t） （1）- π（T- t、 x个- zc））+crP+心肺复苏术- 卢比I（x），（4.11），其中I（x）由I（x）给出：=exp-m（x- zc）+（x- zc）√m+2rσ！Φx- zc公司-√m+2rσ（T- t） σ√T- t！- 1!+ 经验值-m（x- zc）- （十）- zc）√m+2rσ！Φx- zc公司+√m+2rσ（T- t） σ√T- t！- 1.（4.12）其中Φ表示正态累积分布函数。在方程式（4.9）中对公司可转换债务进行估值时，假设息票是成对转换的。然而，如前所述，COCO受到最大可分配金额（MDA）的影响，这要求监管机构在公司总资本低于某个触发点，高于转换触发点时停止收益分配。

我们将通过引入触发器zcc>zc将其纳入模型中。如果Z低于ZCC，公司将不支付优惠券，而如果Z高于ZCC，公司仍支付优惠券。在这种情况下，为了计算CoCo，只需调整方程式（4.9）中的第二项。在这种情况下，仅当Zu>zcc时才在时间u支付优惠券，因此termEZTtcPe-r（u-t） {τc>u}du | Ht！，需要用EZTTCPE替换-r（u-t） {τc>u，Zu>zcc}du | Ht！。（4.13）对于τc>t和tn≤ t<tn+1此项等于Cpztte-r（u-t） Pτc>u，Zu>zcc | Y（n），τc>t杜。因此，为了评估CoCos，同时考虑MDA触发因素的影响，我们需要计算的数量为τc>u，Zu>zcc | Y（n），τc>t, 它可以用与CoCo生存概率C（t，s）类似的方式书写。为了计算这种条件概率，我们首先需要以下众所周知的结果：漂移布朗运动及其运行最小值的联合分布（参见Harrison（1985），第1.8节，推论7）。引理4.5 Z从x>0开始，在时间和Zt>y之前未达到0的联合概率∧π（t，x，y）：=P（inf0≤s≤tZs>0，Zt>y）=Φx个- y+mtσ√t型- e-2mx/σΦ-x个- y+mtσ√t型. （4.14）现在，类似于方程式（4.8），我们可以写下τc>u，Zu>zcc | Y（n），τc>t=Z∞zc|π（u-t、 x个- zc，zcc- zc）f（t，x）dx，（4.15），这样我们再次发现解是密度f（t，·）加权的积分。

方程（4.9）中的其他两个条件不变，因此t<τcis时的可可价格由新条件（4.13）和不变部分的总和给出-r（T-t） pc（t，t）- RPZTte公司-r（u-t） pc（t，du）。通过对方程（4.10）的改编，可以看出，这一不变部分可以写成z∞zc▄h（x）f（t，x）dx，其中▄h（x）=P e-r（T-t） （1）- π（T- t、 x个- zc））- RP I（x），其中I（x）由等式（4.12）给出。4.3.2转换为股份和监管触发的COCO估值在本节中，我们考虑在转换日转换为股权的或有可转换债券的估值。回想一下，我们假设该公司发行两种类型的债务；直接债务和或有可转换债务。未偿直债的总面值用P表示，在P上，按c利率连续支付利息。此外，直债具有永久到期日，违约发生在τb=inf{t≥ 0:Zt≤ zb}。违约时，分数（1-α） ，对于α∈ （0，1），企业资产价值的一部分损失给破产成本，因此资产价值的一小部分α被收回并分配给优先债务持有人。未偿付COCO的总票面价值用P表示，在该票面价值上，息票按c利率连续支付。此外，或有可转换债券的到期日用T表示。我们考虑监管触发因素，这意味着转换日期定义为τc=inf{t≥ 0:Zt≤ zc}，其中zc>zb，以确保转换在默认值之前发生。继Chen等人（2013年）之后，我们假设CoCo持有人 转换时每一美元本金的股份。这意味着，如果我们将转换前的股票数量标准化为1，CoCo持有人拥有一个分数ρ=P转换后公司权益的P+1。回想一下，t时市场中的信息由过滤ht=σ（{Yt，…）描述。

Ytn，1{τc≤s} ，1{τb≤s} ：s≤ t} ），对于tn≤ t<tn+1。与方程（4.9）类似，可可豆的市场价格由C（t）=E给出体育课-r（T-t） {τc>t}| Ht+ EZTtcPe-r（u-t） {τc>u}du | Ht！+EPP+1EP C（τC）e-r（τc-t） {τc≤T}| Ht. （4.16）当然，与方程式（4.9）相比，只有第三项发生了变化，因为该项描述了转换时发生的情况（请注意，如果我们想包括提前取消优惠券，第二项需要用方程式（4.13）中相应的项来代替）。第三个术语现在描述了CoCo持有人获得的分数P公司转换后权益的P+1，用EP C（τC）表示。该转换后权益满足率C（τC）=VτC- D（τc）- Ee-r（τb-τc）（1- α） Vτb | Hτc.也就是说，企业的资产价值减去直接债务的价值，用D（τc）表示，以及破产成本，用最后一个术语表示。请注意，转换时的直接债务值为byD（τc）=EZ∞τccPe-r（u-τc{τb>u}du | Hτc+ EαVτbe-r（τb-τc）| Hτc,其中，第一项说明了息票的持续支付，第二项说明了违约支付。因此，转换后权益价值由EP C（τC）=VτC给出- EZ∞τccPe-r（u-τc{τb>u}du | Hτc- Ee-r（τb-τc）Vτb | Hτc= ezc公司- EZ∞tcPe公司-r（u-τc）{τc≤u、 τb>u}du | Hτc- 埃兹贝e-r（τb-τc）| Hτc.因此，对于τc>t，方程（4.16）中的第三项可以写成PP+1EP C（τC）e-r（τc-t） {τc≤T}| Ht=PP+1ezztte-r（u-t） P（τc∈ du |τc>t，Y（n））-PcP公司P+1Z∞te公司-r（u-t） P（τc≤ T∧ u、 τb>u |τc>t，Y（n））du-PP+1ezbZ∞te公司-r（u-t） P（τc≤ T、 τb∈ du |τc>t，Y（n））。（4.17）因此，在这种情况下，估值的关键是根据上述积分的需要，找到τcandτb的联合条件分布表达式。这些表达式也可以写成（二重）积分，用密度f（t，·）加权。

这导致了下面的定理，关于这个定理的证明见附录。定理4.6（具有监管触发和股份转换的CoCo的价格）时间t<τcof具有监管触发和股份转换的CoCo的二级市场价格由c（t）=Z给出∞zc（h（x）+h（x））f（t，x）dx+Z∞zcZ公司∞zcf（t，x）^f（x，zc，~z，t- t） h（z）d（zdx），（4.18），其中^f（x，y，z，t）由^f（x，y，z，t）=σ给出√特克斯普-m（x- z）σ-mt2σφx个- zσ√t型- φ-x个- z+2yσ√t型（4.19），其中h（x）=r- crPe公司-r（T-t） （1）- π（T- t、 x个- zc））+心肺复苏+心肺复苏（x），h（x）=PP+1ezbJb（x）+cPI（x）- cPJb（x）- ezcI（x）,h（￠z）=PP+1e-r（T-t） （cP▄Jb（▄z）- ezbJb（￠z）），其中I（x）由等式（4.12）给出，￠I（x）等于￠I（x）=-重新-r（T-t） （1）- π（T- t、 x个- zc））+r+rI（x），Jb（x）由Jb（x）=-经验值-m（x- zb）+（x- zb）√m+2rσ！和▄Jb（x）=r+rJb（x）。4.3.3使用会计触发器对PWD COCO进行估值在本节中，我们将考虑转换触发器完全取决于会计报告的PWD COCO，例如巴克莱银行发布的COCO。这意味着，当资本比率的报告值低于某个阈值时，就会发生转换，因此转换只能在会计报告日期t、t……发生。这对应于转换时间定义为τAc=inf{ti的设置≥ 0:Yti≤ yc}，对于某些阈值yc≥ 在这种情况下，对于最大的n，时间t的可用信息将减少到ht=σ（Yt，…，Ytn），以便tn≤ t、 这意味着，我们对给定naccounting报告且τAc>tn，（n+i）th会计报告将导致触发事件的概率感兴趣，因为i=1，2。

.这种可能性在下一个命题中给出，其证明见附录。命题4.7以n份以前的会计报告为条件的i步条件生存概率（关于τAc）由P给出τAc>tn+i | Y（n）=Y（n）=ZRnP（ξ（zn）∈ （yc，∞)i） pZ（z（n）| y（n））dz（n），（4.20），其中pZ（z（n）| y（n））=Qni=1pZ（zi | zi-1） pU（易- 子怡（zi | yi）-1.- zi公司-1） pY（yn | y（n-1） ），（4.21），其中ξ（zn）表示一个多变量正态分布随机变量，其平均向量^uiAndCorrance矩阵∑i，附录中提供了依赖于zn的公式。注意pZ（zi | zi-1） 是具有平均zi的高斯密度-1+米t和方差σt和thatpU（ui | ui-1） 是平均值为κui的高斯密度-1+ u和方差σ.

我们没有提供pY（yn | yn）的公式-1） ，但在第5节中，我们不需要它来计算方程的积分（4.20）。利用这一命题，现在可以像以前一样，用本金P、连续票面利率c、到期日T和回收率R的本金减记对或有可转换债券进行估值。如等式（4.9）所示，该CoCo的二级市场价格c（T）=E体育-r（T-t） {τAc>t}| Ht+ EZTtcP e-r（u-t） {τAc>u}du | Ht！+ERP e-r（τAc-t） {τAc≤T}| Ht, （4.22）可根据上述导出的i步生存概率编写，如附录中证明的下一个结果所述。定理4.8（具有唯一会计触发器的PWD CoCo的价格）tn≤ t<tn+1，对于某些m∈ N和Y（N）=Y（N），其中yi>yc，1≤ 我≤ n、 可可豆的市场价格C（t）由C（t）=（1）给出- R） 体育-r（T-t） P（τAc>tn+m | Y（n）=Y（n））+m-1Xi=1心肺复苏术- 卢比（e）-r（tn+i-t）- e-r（tn+i+1-t） ）P（τAc>tn+i | Y（n）=Y（n））+cPr（1- e-r（tn+1-t） ）+卢比e-r（tn+1-t） ，（4.23）应该注意的是，剩下的唯一需要计算的是i步生存概率P（τAc>tn+i | Y（n）=Y（n）），对于该概率，命题4.7中提供了积分公式，可以使用第5节中描述的方法对其进行评估。就监管触发而言，我们还可以纳入MDA法规，这意味着优惠券在转换日期之前的某个时刻已经取消。现在假设，对于某些触发水平ycc>yc，仅当Yi>ycc时，才支付时间间隔【ti，ti+1】内的优惠券。

在这种情况下，为了计算CoCo值，需要将等式（4.22）中的第二项改为m-1Xi=1Ztn+i+1tn+icP e-r（u-t） {τAc>u，Yn+i>ycc}du+1{Yn>ycc}Ztn+1tcP e-r（u-t） 杜邦Ht！，其中tn≤ t<tn+1，对于某些m∈ N、 这将我们引向下一个结果，说明PWD CoCo的价值，同时我们还考虑到由于MDA规定，提前取消优惠券。定理4.9（具有唯一会计触发因素的PWD CoCo价格，包括MDA法规）当我们包括MDA触发因素时，方程式（4.23）的CoCo价格修改为C（t）=P e-r（T-t） P（τAc>tn+m | Y（n）=Y（n））+1{Yn>ycc}cPr（1- e-r（tn+1-t） ）+米-1Xi=1cPr（e-r（tn+i-t）- e-r（tn+i+1-t） ）P（τAc>tn+i，Yn+i>ycc | Y（n）=Y（n））+RPmXi=1e-r（tn+j-t）P（τAc>tn+i-1 | Y（n）=Y（n））- P（τAc>tn+i | Y（n）=Y（n））,（4.24）式中，与方程（4.20）相似，P（τAc>tn+i，Yn+i>ycc | Y（n）=Y（n））=ZRnP（ξ（zn）∈ （yc，∞)我-1×（ycc，∞))pZ（z（n）| y（n））dz（n）。（4.25）5模拟模型的MCMC算法本节提供了计算所有导出CoCo值所需的算法。上一节中的结果包含三种表达式，本小节提出了三种不同的算法。我们将考虑的第一个表达式是formZ的表达式∞zch（x）f（t，x）dx。也就是函数h的积分，由密度f（t，·）加权。当我们将MDAtrigger（参见等式（4.15））和转换为股票的CoCo价值公式的第一部分（参见定理4.6）包括在内时，在对具有监管触发因素的PWD CoCo进行估值时，需要这种类型的表达式（参见定理4.4）。首先注意，我们可以写∞zch（x）f（t，x）dx=Z∞zch（x）Z∞zcf（t- tn，x，zn）gtn（zn | Y（n），τc>tn）dzndx=Z∞zcZ（zc，∞)nh（x）~f（t- tn，x，zn）gtn（z（n）| Y（n），τc>tn）dz（n）dx=z（zc，∞)n+1h（zn+1）~f（t- tn，zn+1，zn）gtn（z（n）| Y（n），τc>tn）dz（n+1）。（5.1）所以我们需要一个样本（（z（n+1））。