带记忆的有向连续时间随机游动

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英文标题：
《Directed Continuous-Time Random Walk with memory》
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作者：
Jaros{\\l}aw Klamut, Tomasz Gubiec
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
  We propose a new Directed Continuous-Time Random Walk (CTRW) model with memory. As CTRW trajectory consists of spatial jumps preceded by waiting times, in Directed CTRW, we consider the case with only positive spatial jumps. Moreover, we consider the memory in the model as each spatial jump depends on the previous one. Our model is motivated by the financial application of the CTRW presented in [Phys. Rev. E 82:046119][Eur. Phys. J. B 90:50]. As CTRW can successfully describe the short term negative autocorrelation of returns in high-frequency financial data (caused by the bid-ask bounce phenomena), we asked ourselves to what extent the observed long-term autocorrelation of absolute values of returns can be explained by the same phenomena. It turned out that the bid-ask bounce can be responsible only for the small fraction of the memory observed in the high-frequency financial data.
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中文摘要：
提出了一种新的带记忆的有向连续时间随机游动（CTRW）模型。由于CTRW轨迹由等待时间之前的空间跳跃组成，在定向CTRW中，我们考虑只有正空间跳跃的情况。此外，我们考虑模型中的记忆，因为每个空间跳跃都依赖于前一个空间跳跃。我们的模型是基于[Phys.Rev.E 82:046119][Eur.Phys.J.B 90:50]中提出的CTRW的财务应用。由于CTRW能够成功地描述高频金融数据中收益的短期负自相关（由买卖反弹现象引起），我们问自己，观察到的收益绝对值的长期自相关在多大程度上可以用相同的现象来解释。事实证明，买卖反弹只能对高频金融数据中观察到的一小部分内存负责。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Statistical Finance        统计金融
分类描述：Statistical, econometric and econophysics analyses with applications to financial markets and economic data
统计、计量经济学和经济物理学分析及其在金融市场和经济数据中的应用
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一级分类：Physics        物理学
二级分类：Data Analysis, Statistics and Probability        数据分析、统计与概率
分类描述：Methods, software and hardware for physics data analysis: data processing and storage; measurement methodology; statistical and mathematical aspects such as parametrization and uncertainties.
物理数据分析的方法、软硬件：数据处理与存储；测量方法；统计和数学方面，如参数化和不确定性。
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PDF下载：
--> Directed_Continuous-Time_Random_Walk_with_memory.pdf (331.79 KB)

2022-6-14 01:32:37 上传

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关键词：连续时间 随机游动 Applications Successfully Mathematical

Noname手稿编号（将由编辑插入）带记忆的定向连续时间随机游走Jaros law Klamut·Tomasz Gubieceived：日期/修订版：日期摘要我们提出了一种新的带记忆的定向连续时间随机游走（CTRW）模型。由于CTRW轨迹由等待时间之前的空间跳跃组成，在有向CTRW中，我们考虑只有正空间跳跃的情况。此外，我们考虑模型中的内存，因为每个空间跳跃都依赖于前一个空间跳跃。我们的模型是基于[Phys.Rev.E 82:046119][Eur.Phys.J.B 90:50]中提出的CTRW的财务应用。AsCTRW能够成功地描述高频金融数据中收益的短期负自相关（由买卖反弹现象引起），我们不禁要问，观察到的收益绝对值的长期自相关在多大程度上可以用相同的现象来解释。结果表明，买卖反弹只能对高频金融数据中观察到的记忆的一小部分负责。PACS 89.20-a·89.75-k·05.40-a·89.65。Gh1简介1956年，两位物理学家蒙特罗尔（Montroll）和韦斯（Weiss）在色散输运扩散的背景下，引入了一种新的随机过程，他们称之为连续时间随机游走（CTRW）[1]。由于许多复杂系统的动力学可以用离散时空事件来描述，即随机过程在等待时间之前的空间跳跃，因此CTRW的形式主义似乎是一种自然的描述。另一方面，CTRW可以被视为一种将有限的、连续的、可引导的事件间隔时间引入随机游走的方法。自引入以来，CTRW优雅灵活的概念得到了许多应用，至少激励了三代科学家。

值得一提的是，托托马斯兹·古比埃斯中心（toTomasz GubiecCenter）和波士顿大学物理系（Boston University，Boston，MA 02215），美国托马斯兹·古比埃克·雅罗斯劳·克拉姆特（USATomasz Gubiec·Jaroslaw Klamut），华沙大学物理学院（University of Warsaw，Pasteur Str.5，02093 Warsaw，Poland2 J.Klamut and T.Gubiecmotion），最近《欧洲物理杂志B》出版了一期特刊，题为“连续时间随机行走十五年”。Kutner和Masoliver对这一主题问题的扩展介绍列出了截至2017年创建的所有CTRW应用程序和扩展[2]。CTRW最初用于描述非晶薄膜中的光电流弛豫[3-7]。广泛的其他应用和安排包括：概率分形结构中的扩散（渗流簇[8]和分形扩散[9]）、玻璃的老化[10,11]、无序离子导体中几乎恒定的介电损耗[12]、心脏节律[13]、电子转移[14]、搜索模型[15]、多孔介质中的传输[16]，地震余震震中的扩散【17】、地下示踪剂扩散【18】、纳米结构化合物中的氢扩散【19】甚至人类旅行【20】。在这项工作中，我们对金融市场描述中使用的CTRW模型特别感兴趣，主要是金融时间序列，其中考虑了交易和价格变化之间的时间依赖性和分布【21–36】。在大多数情况下，所分析的CTRW模型侧重于零均值甚至对称分布的空间分布。换句话说，漂移项通常被忽略。文献[37]研究了漂移情况（及其参考文献）。规范CTRW的情况下，空间和时间分布都是i.i.d.，并且它们彼此不依赖，结果是一个强制模型，能够描述许多正常或异常扩散的情况。

如果平均等待时间有限或发散（但假设空间分布的有限方差），则可获得不同类型的CTRW。在第一种情况下，我们观察到异常扩散，在后一种情况下出现亚扩散[38]。如果空间分布的方差发散，且等待时间分布具有有限的平均值，则我们可以得到L’evy flights的描述。CTRW模型的另一个有希望的分支是考虑记忆的分支，即连续跳跃之间的依赖性。已经研究了不同类型的依赖关系：在研究示踪系数的情况下，在浓缩晶格气的情况下，空间跳跃方向之间的向后或向前关联【39】，甚至考虑了几个后续跳跃的依赖关系【41】。此外，考虑到一步记忆[35,42]和随后的两步记忆，甚至是完整的步骤记忆[34]，建立了连续跳跃中负反馈驱动的模型。它们的潜在应用包括勒查泰利尔布劳恩对立原则。等待时间记忆也出现在一些CTRW模型中【43–48】。使用的相关性的例子有：仅依赖于连续跳跃符号的相关性【43】、等待时间的随机游走【45、46】、指数和缓慢衰减的持久幂律相关性【47】。我们的工作直接受到CTRW在高频金融数据描述中的应用的推动。所有金融价格时间序列的普遍属性有时被称为程式化事实[49,50]。关于价格时间序列的自相关，有两个众所周知的线性事实。第一种观点认为，价格增量（或对数回报）的时间相关自相关为负，并迅速衰减为零[43]。有记忆的CTRW模型成功地再现了这一事实。

第二个程式化事实表明，具有价格增量绝对值（或对数收益绝对值）记忆相关性的自相关连续时间随机游动是一个正的缓慢衰减函数。此外，第二种情况下的振幅通常比第一种情况下的振幅高一个数量级。这让人想起了所谓的波动性聚集现象[51]。人们似乎很自然地会问，在[35]中引入的用于描述价格变化绝对值的记忆的CTRW模型是否能够成功复制第二个提到的StylezedFact。我们在下面回答这个问题。本文的组织结构如下：在第2节中，我们介绍了我们工作的动机，并定义和解决了适当的随机过程。在第3节中，我们获得了速度自相关函数（VAF），在第4节中，我们将其与经验数据进行了比较。第5节考虑了日内季节性。最后，在第6节中，我们对本文给出的结果进行了一些补充说明。2模型我们构造了一个有向连续时间随机游走（CTRW）过程，其假设类似于[35]中使用的假设，但重点关注空间跳跃的绝对值。该过程对股票价格进行建模，时间t的过程值表示相应时间的股票价格。其价值的变化称为价格变化（即交易发生时立即发生的价格变化）。等待时间可以解释为事务之间的时间。我们考虑连续跳跃的一步记忆，并且等待时间或等待时间与跳跃之间没有依赖性。为了考虑跳转模块，我们在原有流程的基础上创建了一个新流程。我们在跳跃的地方插入跳跃长度模块。

我们得到了有向过程，其中连续跳跃的一步记忆由h（Rn | Rn）给出-1) = (1 - )H（Rn）+δ（Rn- 注册护士-1） ，（1）其中H（Rn）和H（Rn | Rn-1） 分别是跳模的分布和跳模的条件分布。参数 描述了内存的强度 = 0我们获得了没有内存的模型。考虑到价格变化绝对值的directedCTRW，Dirac delta描述了相同的连续跳跃，而不是相反的跳跃，如[35]中所述。综上所述，我们的模型可以用n次跳跃rnafter waiting time tn的概率密度函数来描述，条件是所有之前的变量和ti：ρ（Rn，tn | Rn-1，tn-1.R、 t）=H（Rn | Rn-1） ψ（t），（2），其中ψ（t）表示等待时间分布（WTD）。将给出任何WTD和两个特定案例的结果。我们不能对第一次跳跃使用与其他跳跃相同的等待时间分布【52，53】。这是因为上一次（初始）跳转可能在t=0之前的任何时间发生。因此，我们应该定义ψ（t）=R∞dtψ（t+t）R∞dtR∞dtψ（t+t），（3）4 J.Klamut和t.Gubiecas第一次跳跃前的等待时间分布。此外，为了简化旋转，引入逗留概率ψ（t）=R是有用的∞tψ（t）dt。上述概率可以很容易地用拉普拉斯域表示：|ψ（s）=L[ψ（t）]，|ψ（s）=1-Иψ（s）s，ψ（s）=1-ψ（s）hti s，￠ψ（s）=1-|ψ（s）s，（4），其中L[·]表示拉普拉斯变换，hti=R∞tψ（t）dt<∞ 预计（平均）等待时间。描述随机过程的中间动态量是随机的、尖锐的n步传播子Qn（X，Rn；t |ξ），n=1，2。

该传播因子定义为条件概率密度，即价格在初始跳跃ξ达到的原点值（X=0）中的初始值（t=0），在X中的rns处发生n次跳跃- 正是在时间t时的Rnto X。Qn（K，Rn；s |ξ）是Fourier-Laplace域中的sharppropagator。对于任意形式的H（Rn | Rn），两个连续的锐随机传播子之间的递归关系都可以写成-1） n>1，如下所示：▄Qn（K，Rn；s |ξ）=▄ψ（s）eiKRn∞Z-∞dRn公司-1H（Rn | Rn-1） Qn-1（K，Rn-1.s |ξ）。（5） 第一个锐传播子Q（X，R；t |ξ）可以直接从定义Q（X，R；t |ξ）=Q（X；t |ξ）δ（X- R） =ψ（t）H（X |ξ）δ（X- R） 。（6） 可以使用公式（5）计算以下尖锐传播子。在RN上积分后，我们得到递归关系Qn（K；s |ξ）~ψ（s）=（1- )H（K）Qn-1（K；s |ξ）+∞ZdRn公司-1爱尔兰-1Qn-1（K，Rn-1.s |ξ）。（7） 最后，我们可以写出软传播子P（x，t）与锐传播子Q（x，t）（在Fourier-Laplace域中）P（K；s）=ψ（s）+ψ（s）~Q（K；s），（8）~Q（K；s）之间的关系，软传播子P（x，t）定义为在时间t从x=0开始的过程在x的概率密度=∞Xn=1Qn（K；s）。（9） 为了获得公式（9）右侧的显式公式，在公式（1）定义的一步记忆的情况下，我们使用变量n中的Z变换和复发关系（7）。结果可以简单地替换为公式（8），因此我们得到了以下形式的软传播子P（K；s）=s-1.-Иψ（s）hti s+[1-Иψ（s）]hti sS（K；s）1- (1 - )Иψ（s）s（K；s）。（10） 有向连续时间记忆随机游动5whereS（K；s）=∞Xn=1（|ψ（s）)n-1小时（nK）。（11） 因此，Fourier-Laplace域中的软传播子采用了合理的简单形式，但它仍然包含函数S，该函数以单位形式给出。

幸运的是，要计算过程矩和速度的自相关，我们需要知道软传播子在点k=0处的相应导数，这可以明确确定。Fourier-Laplace域中过程的第一和第二阶矩为m（s）=-我P（K；s）KK=0=Mhti s，（12）~m（s）=-P（K；s）KK=0=M+（1- )（2米- M） Иψ（s）- M|ψ（s）hti s（1-Дψ（s））（1- Иψ（s））==M（1+Иψ（s））hti s（1- Иψ（s））+2（1）- )Иψ（s）Mhti s（1）-Дψ（s））（1- |ψ（s）），（13），其中Mi是跳模分布H（R）的第i阶矩。有向过程在时间空间中的第一个时刻在时间m（t）=Mhtit上呈线性上升，这与无记忆过程完全一样。值得注意的是，它不依赖于.3速度自相关函数在一般情况下，时间域中的速度自相关函数（VAF）由c（t）=¨m（t）给出- ˙m（t）。（14） 在本手稿中考虑的定向CTRW过程中，采用C（t）格式=M- M2 htiL-1\"1 + Дψ（s）1- ψ（s）#+M2 htiL-1“1+△ψ（s）1-Иψ（s）-hti s#，（15）其中L-1[·]是拉普拉斯逆变换。研究VAFin的行为极限t→ 0和t→ ∞, 我们必须检查极限内的行为→ ∞ ands公司→ 逆拉普拉斯变换中的0个表达式。众所周知，fors→ ∞,Иψ（s）变为0，而对于s→ 0近似值|ψ（s）≈ 1.- 应使用hti。因此，在长时间VAF消失和短时间内，我们得到过程C（t）的方差≈M2htiδ（t）。归一化VAF Cn（t）在t=0时具有Dirac delta，因此Cn（t）=2htiMC（t）。为了将我们的模型与经验数据进行比较，我们使用了两种特定的WTD：指数和双指数，这两种数据都有明确的结果。第一种是简单分布，其特征符合金融时间序列的程式化事实。第二个6 J.Klamut和T。

Gubiecone可以高精度地拟合经验数据[35]，并且仍然可以从模型中获得分析VAF。平均等待时间等于hti的指数WTD表示为ψ（t）=htiexp-thti公司, （16） 部分平均等待时间等于τ和τ且加权参数w的双指数WTD为ψ（t）=wτexp-tτ+1.- wτexp-tτ. （17） 双指数WTD的平均等待时间为hti=wτ+（1- w） τ。对于指数WTD，VAF很容易表示为asCn（t）=δ（t）+2(1 - M）htiexp-(1 - )thti公司, （18） 其中m=MM∈ (0; 1). （19） 虽然指数WTD不能正确描述经验WTD，但可以很容易地解释参数的含义。首先，对于t>0，VAF为正（与[35]中的VAF不同），并呈指数下降。平均等待时间越长，弛豫时间越长，振幅越小。递增参数 导致更高的弛豫时间和振幅，尤其是 = 0 VAF仅在t=0时为非零。还值得注意的是，归一化VAF仅取决于跳跃模块的一阶矩平方和二阶矩之间的比率。VAF的幅值随M的增大而减小。对于符合经验数据的双指数WTD，归一化VAF isCn（t）=δ（t）+Ae-vt+Ae-vt+Ae-vt，（20）wi=τ-1i，v=ww+（1- w） w，v=（1- w） w+ww，vi=w+w- v- (-1） 智商（w+w- 五）- 4ww（1- ),A=2Mvw（1- w） （w）- w） ，Ai=(-1） i2(1 - M）v- v[ww- vvi]，i∈ {1, 2}.这个公式中有三个指数，除了狄拉克δ，都是正振幅。第一个值得一提，它不依赖于. 这意味着，对于有向过程，即使在没有内存的情况下，VAF也可以是非零的( = 0).

考虑原始工艺的VAF时，不会产生这种影响。当两个指数WTD变为指数WTD（w）时，记忆7处于极限的有向连续时间随机游动→ 0或1）此元素消失。其他两个指数取决于 并描述不同速率的衰变。与指数WTD类似，增加 导致高ERVAF。如果空间变化为零方差（M→ 1） ，这些项等于零。4实证结果为了将我们的模型与实证数据进行比较，我们使用了波兰股市（华沙证券交易所）2011-2012年的逐笔交易数据。给出的结果是针对流动性最强的股票之一KGHM进行计算的。我们从这个数据中提取等待时间（交易之间的周期）和跳跃（价格变化）。将模型与经验数据进行比较需要估计参数。通过拟合两个指数WTD到经验直方图最小二乘法，我们得到了τ，τ，w。我们计算了价格变化的两个第一时刻绝对值，并根据经验分布明确计算。参数 计算为价格变化绝对值的一步自相关。使用【35】中描述的方法计算经验LVAF。我们要提醒的是，从[35]中提出的模型（及其在[34，54]中的修改）中获得的VAF使用这些参数构建，与经验数据符合得很好。如图所示。1理论方法无法解释价格变化模块观察到的VAF。定向过程的VAF衰减比原过程的VAF衰减慢得多（见[35]）。有许多原因可以解释所获得的分歧：日常季节性、长期跳转模块依赖性和长期等待时间依赖性（见图2）。