基于径向基函数的金融衍生品定价

因此，系数矩阵在所有时间步中都是相同的，只需要一个矩阵分解。将BDF2格式应用于（8），我们得到了一个完全离散的方程组（e- βL{z}C）ul=βlul-1.- βlul-2（11），其中E是适当大小的单位矩阵。为了解决这个系统，我们采用了不完全LU分解作为预条件的迭代GMRES方法。3数值实验。我们证明了改进的RBF-FD方法和PHSS在平滑变化的节点布局上的优势，与之前用于期权定价的经典RBF-FD设置相比，如在[31，39]中。我们考虑三个定价问题。我们从Black-Scholes-Merton模型下的二维欧式看涨期权开始，作为一个简单的例子。然后，我们证明了该方法在同一模型下用于更具挑战性的美国Puttbasket期权时同样有效。最后，作为一个高级案例，我们展示了在局部随机波动率Hestonmodel下欧洲看涨期权的结果。对于所考虑的所有pr问题，我们对运算符L进行缩放，以便在单位域上执行RBF-FD近似，然后重新缩放结果，以获得实际的期权价格。我们考虑三种不同的节点布局第一种是等距笛卡尔网格，我们称之为笛卡尔网格第二种布局是【31】中使用的基于【21，15】的自适应非均匀节点布局，我们称之为自适应。从概念上讲，在一维单位域上，我们从N eq u远处的节点zi=arcinh构造此节点布局-^KH！+（一）- 1)z、 i=1。

，N，其中^K是标度走向位置，H是密度参数，andz=Narcsinh1-^KH！- arc sinh公司-^KH！.然后，最终布局将由节点xi=^K+H·sinh（zi）组成。在我们的实验中，我们使用这个一维概念来构建适当的节点布局，H=0.1。我们根据几次计算实验，根据经验选择参数H第三种是新引入的平滑变化的节点布局，它是由我们在第2.1节中介绍的并在这里表示为平滑的[11]中的节点放置算法构建的。We用户（x）=√N（x（1）- 十） cos（G）+（X（2）- 十） sin（G）P+（x（1）- 十） sin（G）- （x（2）- 十） cos（G）Q！+1.作为半径函数，其中x（1）和x（2）是向量x的分量，而x、x、P、Q和G是用于控制节点散射的实参数。对于局部节点调整，我们考虑B=32个边界邻居，a=4个重复迭代。我们根据经验选择这些参数。通过仔细选择密度控制参数，我们对前两种节点布局进行了调整，以在终端条件的不连续性周围具有更高的节点密度，同时保持所需的调节和精度。作为RBF，我们使用度为q=5的PHS，并用单项式将其扩充到度为p=4。这应符合fourthorder的RBF-FD方法。然而，由于我们正在求解的方程的终端条件不是光滑的（即Payoff函数的一阶导数在执行价格下是不连续的），我们只能期望二阶收敛。我们不使用p=2阶单项式的原因是，p=4时的近似精度和效率仍然较高，即使两种近似都以二阶收敛。

由于问题的维数为D=2，因此给出了一个大小为m的多项式空间=p+Dp= 15，根据[1，8]中的经验准则，我们使用它将RBF-FD模具的尺寸设置为n=5m=75。为了有效地识别模板构造的最近邻居，我们采用k-D树算法[2]。为了演示计算性能，我们在配备2.3GHz Intel Core i7 CPU和16 GB RAM的笔记本电脑上使用所述方法的Matlab实现。此外，RBF-FD权重计算是使用parforwith 4 workers并行工具箱命令并行执行的。对于不完全LU分解，我们使用nofill设置实现时间积分，以生成GMRESsolver的预条件。我们将GMRES中的tol参数设置为10-8对于所有实验。为了加快收敛速度，我们使用前一时间步的值作为下一时间步的初始值。对于所有实验，时间离散为M=100步。在所有考虑的情况下，这足以使时间离散化误差小于空间离散化误差。3.1多资产期权取决于D基础风险资产Sd（t），D=1，…，的多资产期权，D在假设无风险债券B（t）的Black-Scholes-Merton模型下，遵循动态Cdb（t）=rB（t）dt，dS（t）=uS（t）dt+σS（t）dW（t），dS（t）=uS（t）dt+σS（t）dW（t），。。。dSD（t）=udSD（t）dt+σdSD（t）dWD（t），（12）其中t是时间，r是无风险利率，udare是漂移，σdare是Sd的波动率，wd是维纳过程。维纳过程相互关联，使得dWi（t）dWj（t）=ρi，jdt。在该多维设置中，带有Payoff函数g（S（T），…）的选项，SD（T）），其中T是期权的成熟时间，可根据风险中性度量Q asu（S（T）进行定价。

，SD（t），t）=e-r（T-t） EQt[g（S（t），…，SD（t））]。（13） 传统上，蒙特卡罗方法用于估计（13）中多资产期权的预期价值。为了应用RBF-FD，我们研究了校正多维B-lack–Scholes–Merto n方程ut+Lu=0，（14）u（s，s，…，sD，t）=g（s，s，…，sD），（15）其中Lu≡ rDXisi公司usi+DXi，jρi，jσiσjsisju硅sj公司- ru，（16）和对于算术调用，optiong（s，s，…，sD）=maxDDXd=1sd- K、 0个,而对于算术put optiong（s，s，…，sD）=maxK-DDXd=1sd，0,以K为执行价。3.1.1 Black–Scholes–Mertonmodel下的欧洲看涨期权我们使用双资产欧洲看涨期权进行了一项实验，其中r=0.03，σ=σ=0.15，ρ=0.5，T=1，K=100。在三个点SKB处测量误差=90 90100 100110 110,这些点在标度域上的相对位置可以在图2最右边的用黄色五边形表示的图中看到。对于笛卡尔坐标系和自适应节点布局，我们使用三次插值来近似所需点的值。然后使用这三个点的最大误差umaxto度量收敛性。我们设置计算域，使每个轴上的远场边界smaxd=8K，并利用无网格框架的优势，通过将远场边界y沿对角线设置在通常为标准张量积域的区域上，来消除域右上半部分中不必要的计算。所有基础资产等于smind=0的节点，我们将其视为闭合场边界。在这里，我们设置Adichlet边界条件u（xCF，t）=0，在远场边界y处，我们设置u（xFF，t）=DPDi=1si- K经验值(-rt）。

此问题的节点布局示例，其中N≈ 1000如图2.0 0.2 0.4 0.6 0.8 10.20.40.60.8^scartesian0 0.2 0.4 0.6 0.8 1^sadapted0 0.2 0.4 0.6 0.8 1^ssmooth图2：数值实验中使用的缩放计算域上的节点布局。蓝色三角形表示应用近场边界条件的节点，红色正方形表示应用远场边界条件的节点，黄色五边形表示测量误差的节点。在绘图中，点X用蓝色三角形标记，而XFF点用红色正方形标记。用于获得平滑节点的参数为P=0.25，Q=0.75，G=π，而X=X=^K=。通过进行数值实验，我们观察到RBF-FD方法在节点布局确定后的二阶收敛性，如图3所示。从图中可以看出，在计算时间相同的情况下，光滑节点布局上的RBF-FD方法比其他两种方法准确得多。调整后的布局也优于标准笛卡尔布局，这与[31]中的先前发现一致。在图3的左侧图中，我们看到所有RBF-FD方法比标准FD方法更精确（相对于节点计数）。这是因为平滑布局在测量误差的区域具有更高的节点度。图3右侧的plo t显示，笛卡尔节点布局c上的RBF-FD方法与标准FD方法完全一致，这是合理的，因为计算差异权重会减慢其速度。

然而，RBF-FD方法在剩余的两节点布局上明显优于FD方法。-2.2-2.-1.8-1.6-4.-3.-2.-11/√NConvergence0 10 20 30TimePerformanceCartesianadaptedSmooth图3：不同节点上Black–Scholes–Merton模型下双资产欧洲看涨期权的RBF-FD方法与PHSs的性能。左侧图显示了相对于平均节点布局密度的误差，右侧图显示了相对于以秒为单位测量的计算时间的误差。实心黑线表示二阶标准FD方法的性能。根据以往使用RBF-FD方法的经验，我们还观察微分矩阵的条件数，以便能够预测潜在的数值不稳定性。三种设置的条件编号如图4所示。该图还显示了使用平滑布局相对于其他布局的好处，尽管与Cartesia相比，随着节点密度的增加，调整后的布局的条件数增长也显著降低。-2.2-2.-1.8-1.61/√ConditioningCartesianadaptedSmoothFigure 4:Differentiation matrix C的条件数，作为对双资产ropean看涨期权进行定价时不同节点布局的平均节点密度的函数。3.1.2 Black–Scholes–Mertonmodel下的美式看跌期权当涉及美式期权时，这些金融衍生品可以在任何≤ T，而欧洲期权只能在T=T时行使。我没有使用偏微分方程作为模型，对于美式期权，我们需要将定价任务模拟为线性互补问题（LCP）ut+Lu≥ 0，u（s，s，…，sD，t）≥ g（s，s，…，sD），（17）ut+Luu（s，s，…，sD，t）-g（s，s，…，sD）= 0，初始数据为g（s，s，…，sD）。

为了求解（1-7），我们使用了算子分裂法【19、20、34】，结合了RBF-FD和BDF2方法，其方法与【31】中使用的方法相同。我们使用与Europea ncall篮子选项相同的参数进行此实验。唯一的区别是边界条件，因为现在我们处理的是看跌期权。远场边界节点的边界条件设置为u（xFF，t）=0。由于该节点落后于美式期权的自由边界特征，因此封闭边界处的期权价格保持在该点的支付函数值。-2.2-2.-1.8-1.6-4.-3.-2.-11/√NConvergence0 10 20 30 TimePerformanceCartesianadaptedSmooth图5：不同节点上Black–Scholes–Merton模型下，RBF-FD方法与P HSs对双资产美国看跌期权的性能。左侧图显示了相对于平均节点布局密度的误差，右侧图显示了相对于以秒为单位测量的计算时间的误差。实心黑线表示二阶标准FD方法的性能。图5中的性能结果与欧洲的情况非常相似。数值实验表明，对于条件作用，情况也是如此。3.2引入具有多个随机因素的多因素模型，以更好地捕捉市场特征，优于标准的Black–Scholes–Merton模型。众所周知，Black-Scholes-Merton框架未能对收益率分布和波动率偏斜的厚尾进行建模。例如，人们对本地挥发性模型的兴趣始于杜皮尔的工作[5]，自那时起，它们越来越受欢迎。

在本节中，我们使用一种最流行的随机局部波动率模型，称为赫斯顿模型【17】。Heston模型的动力学isdS（t）=rS（t）dt+pV（t）S（t）dWs（t），（18）dV（t）=κ（η- V（t））dt+σpV（t）dWv（t），（19）其中S（t）是标的资产价格，V（t）是其S到随机波动率，σ是波动率的常数波动率，κ是波动率过程的平均重变速度，η是平均回归水平，r是无风险利率，Ws（t）和Wv（t）是具有常数相关ρ的维纳过程，即dWs（t）dWv（t）=ρdt。通过应用It^o引理和Feynman–K ac定理，theHeston模型的偏微分方程如下所示：ut+Lu=0，（20）u（s，v，t）=最大（s- K、 0），（21），其中lu≡vs公司us+ρσvsusv+σvuv+rsus+κ（η- 五）uv- ru，（22）K是执行价格，s和v分别是随机资产价格和波动过程的确定性表示。3.2.1欧洲看涨期权在赫斯顿模型下，我们对欧洲看涨期权进行了一次实验，其中r=0.03，κ=2，η=0.022 5，σ=0.25，ρ=-0.5，而K=100。我们选择三个接近执行价格K的评估点，在该点计算期权价值结果xhst=90 0.0225100 0.0225110 0.0225,这些点在缩放域上的相对位置可以在图6最右侧的图中看到，图中用黄色五边形表示。对于笛卡尔和自适应节点布局，我们使用三次插值来近似所需点的值。然后，我们使用这三个点的最大误差umaxto度量收敛性。我们设置计算域，使远场边界为atsmax=4K，vmax=0.5。

在s=0的点，我们设置一个简单的Dirichletboundary条件u（xCF，t）=0，在远场u（xFF，t）=s-K经验值(-rt）。在图6的plo ts中，p点X用蓝色三角形标记，而XFF点用byred正方形标记。我们在不考虑任何条件的情况下保留波动率边界，并通过RBF-FD近似计算这些点的期权值，方法与在内域中相同。与前面的示例类似，我们考虑了此问题的三种不同的节点布局，并对它们进行了相应的命名。在这种情况下，adaptednode布局不是对角构造的，因为该问题的终端条件中的不连续性与s轴正交。该节点布局已适用于聚集靠近走向的点。在平滑节点的情况下，节点被推到更靠近走向并朝向较低的volatilityboundary。通过将节点布局参数选择为P=0.75、Q=0.25和G=0，而X=^K=和X=0.0225来实现。节点布局示例，其中N≈ 1000如图6.0 0.2 0.4 0.6 0.8 10.20.40.60.8^scartesian0 0.2 0.4 0.6 0.8 1^sadapted0 0.2 0.4 0.6 0.8 1^ssmooth所示。图6：数值实验中使用的缩放计算域上的节点布局。蓝色三角形表示应用近场边界条件的节点，红色正方形表示应用远场边界条件的节点，黄色五边形表示测量误差的节点。当谈到Hesto nmodel下RBF-FD方法的性能时，图7显示了平稳变化密度的重要性。该图清楚地表明了RBF-FD方法在精度和计算时间方面对光滑布局的优势。

在这张图中，我们还可以看到，最初为篮子选项问题设计的自适应布局，一开始比笛卡尔布局好一点，但最终遇到了数值不稳定，因为布局密度不够大，无法支持赫斯顿算子下的模板。图8显示了与其他两种方案相比，平滑节点布局是一种条件非常好的方案。-2.-1.5-4.-3.-2.-11/√NConvergence0 20 40 60timePerformancecartesianadaptedsmoothFigure 7：在不同节点布局的Hes-ton模型下，RBF-FD方法与欧洲调用选项的PHSs的性能。左侧图显示了与平均节点布局密度的误差，右侧图显示了与以秒为单位的计算时间的误差。-2.-1.51/√ConditioningCartesianadaptedSmooth图8：作为不同节点布局的平均节点密度函数的差异矩阵的条件数。4结论在本文中，我们研究了使用平滑变化密度的PHS和节点布局来开发鲁棒有效的RBF-FD期权定价方法的好处。我们提出了改进的RBF-FD方案，并成功地将其应用于两种多维融资：Black-Scholes-Merton模型下的二维欧式c all和美式看跌期权，以及Heston模型下的欧式pean看涨期权。我们的数值结果表明，与欧洲期权相比，该方法在美国期权定价方面的性能同样高。通过研究离散系统的收敛性、计算性能和条件，我们证明了所引入方法的理想性质。实现的RBF-FD方法在数值实验中显著优于标准FD方法，尽管不同权重的计算开销较大。