基于径向基函数的金融衍生品定价

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英文标题：
《Pricing Financial Derivatives using Radial Basis Function generated
  Finite Differences with Polyharmonic Splines on Smoothly Varying Node Layouts》
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作者：
Slobodan Milovanovi\\\'c
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
  In this paper, we study the benefits of using polyharmonic splines and node layouts with smoothly varying density for developing robust and efficient radial basis function generated finite difference (RBF-FD) methods for pricing of financial derivatives. We present a significantly improved RBF-FD scheme and successfully apply it to two types of multidimensional partial differential equations in finance: a two-asset European call basket option under the Black--Scholes--Merton model, and a European call option under the Heston model. We also show that the performance of the improved method is equally high when it comes to pricing American options. By studying convergence, computational performance, and conditioning of the discrete systems, we show the superiority of the introduced approaches over previously used versions of the RBF-FD method in financial applications.
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中文摘要：
在本文中，我们研究了使用多谐样条曲线和平滑变化密度的节点布局来开发稳健高效的径向基函数生成有限差分（RBF-FD）方法用于金融衍生品定价的好处。我们提出了一个显著改进的RBF-FD方案，并成功地将其应用于金融领域的两类多维偏微分方程：Black-Scholes-Merton模型下的双资产欧洲看涨期权和Heston模型下的欧洲看涨期权。我们还表明，改进后的方法在美式期权定价方面的性能同样高。通过研究离散系统的收敛性、计算性能和条件，我们展示了引入的方法在金融应用中优于先前使用的RBF-FD方法。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Computational Finance        计算金融学
分类描述：Computational methods, including Monte Carlo, PDE, lattice and other numerical methods with applications to financial modeling
计算方法，包括蒙特卡罗，偏微分方程，格子和其他数值方法，并应用于金融建模
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一级分类：Computer Science        计算机科学
二级分类：Computational Engineering, Finance, and Science        计算工程、金融和科学
分类描述：Covers applications of computer science to the mathematical modeling of complex systems in the fields of science, engineering, and finance. Papers here are interdisciplinary and applications-oriented, focusing on techniques and tools that enable challenging computational simulations to be performed, for which the use of supercomputers or distributed computing platforms is often required. Includes material in ACM Subject Classes J.2, J.3, and J.4 (economics).
涵盖了计算机科学在科学、工程和金融领域复杂系统的数学建模中的应用。这里的论文是跨学科和面向应用的，集中在技术和工具，使挑战性的计算模拟能够执行，其中往往需要使用超级计算机或分布式计算平台。包括ACM学科课程J.2、J.3和J.4（经济学）中的材料。
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Numerical Analysis        数值分析
分类描述：Numerical algorithms for problems in analysis and algebra, scientific computation
分析和代数问题的数值算法，科学计算
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PDF下载：
--> Pricing_Financial_Derivatives_using_Radial_Basis_Function_generated_Finite_Diffe.pdf (639.02 KB)

2022-6-14 02:00:27 上传

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关键词：金融衍生品 衍生品定价 金融衍生 衍生品 Applications

使用径向基函数对金融衍生工具进行定价，使用Pol-yharmonic Splineson Smoot hl y可变节点布局生成有限差分。卢波丹·米洛瓦诺维奇（Lobodan Milovanovi）华盛顿大学信息技术系在本文中，我们研究了使用具有平滑变化密度的多谐样条曲线和节点布局来开发稳健有效的径向基函数生成有限差分（RBF-FD）方法来定价金融衍生品的好处。我们提出了一个显著改进的EDRBF FD方案，并成功地将其应用于两类多维偏微分方程：Black-Scholes-Merton模型下的双资产欧洲看涨期权和Heston模型下的欧洲看涨期权。我们还表明，当涉及美式期权定价时，改进方法的性能同样高。通过研究离散系统的收敛性、计算性能和条件，我们展示了引入的方法在金融应用中优于先前使用的RBF-FD方法。关键词：金融衍生品定价；径向基函数产生有限差分；多谐样条；节点放置。1简介金融衍生品的定价是金融市场的核心流程之一。就受欢迎程度而言，期权在持续资产的这一阶段发挥着主要作用之一，因为与其他类似工具相比，期权对其持有人的需求更大。与期货不同，期权是授予权利的合同，但没有义务在特定日期或之前以设定价格买卖标的资产。期权定价通常是做出投资决策、管理风险和校准财务模型的必要过程。

这些金融工具的价格由世界各地的个人和机构使用多种方法每天多次计算。其中一些衍生工具可以进行分析定价，例如，在著名的美国布莱克-斯科尔斯-默顿模型假设下的欧元期权【3，30】。然而，如果我们考虑其他类型的期权，例如美式期权或篮子期权，或者我们可能想要使用不同的定价模型（例如，本地随机波动率模型），一般来说，我们无法得出分析解。在这些情况下，我们需要使用不同的数值方法来近似这些期权的价格。B ENCHOP项目[39，40]对期权定价的数值方案有不同的概述。这项工作的结果说明了不同方法的定价问题是多么具有挑战性，以及仔细选择和适当开发数值方法以构建高效的定价工具是多么重要。在本文中，我们重点研究了径向基函数生成有限差分（RBF-FD）方法在多因素模型下对多资产和期权定价的改进和适应性。这两个定价问题都可以表述为与时间相关的多维偏微分方程（PDE）。RBF-FD作为RBF家族中的一种高阶、无网格、稀疏的数值方法，与径向基函数单位分割（RBF-PU）方法【35、36、33】一起，在求解多维偏微分方程时显示出强大的潜力。我们在先前将RBF-FD用于金融工程的结果基础上进行开发【31、14、24、27、23、22】，并利用其他学科中RBF-FD近似的重要最新进展【1、8】，为多维PDEsin金融构建稳定、准确和快速的解算器。

所开发的解算器的主要特点解决了以前使用多谐样条函数（PHS）选择RBF形状参数的问题，以及使用平滑变化密度的节点布局来解决由微分矩阵的高条件数引起的不稳定性。本文的其余部分组织如下。在第二节中，我们建立了RBF-FD方法来解决期权定价问题，并使用PHSS和无de布局，以平滑变化的密度进行激励。然后，在第3节中，我们展示了在Black–Scholes–Merton模型下的两套欧洲看涨期权和美国看跌期权以及在Heston模型下的欧洲看涨期权的引入方法的益处。最后，在第四部分中，我们得出了结论并提出了一些未来的研究方向。2径向基函数生成的有限差分方法RBF-FD方法属于RBF方法家族。使用RBF方法逼近偏微分方程的解可以追溯到上个世纪的细线初【26，25】。自那以后，这些方法已在不同领域使用，包括计算金融[6、18、32]。尽管clas-sic RBF方法（也称为全局RBF方法）具有高阶收敛性和无网格域离散化等理想特性，但它们的特点是具有稠密系统矩阵，在许多情况下，这些矩阵具有非常大的条件数。

为了克服这些缺点，引入了几种具有高级特性的局部化RBF方法，其中最流行的是CBF FD[37，42]和RBF-PU[41]，目前仍在积极开发中。为了应用该方法，我们在计算域上观察期权定价问题Ohm  R在以下PDE表格中tu（t，x）+Lu（t，x）=0，x∈ Ohm, (1)tu（t，x）+Bu（t，x）=f（t，x），x∈ Ohm, (2)tu（t，x）+u（t，x）=g（x），x∈ Ohm, （3） 其中u（t，x）是期权价格；L是模型的不同操作器；B是边界微分算子，用f（t，x）定义定价表m的边界条件；g（x）是支付函数；x是代表基础资产或随机因素的空间变量，t是时间变量。为了构造RBF-FD近似，我们将N个节点分散在计算域上Ohm. 对于每个节点xj，我们定义了一个节点数组xjconsisting of nj-1邻居ing节点和xjitself，并将其视为以xj为中心的NJ大小的s tencil。（1）中定义的微分算子L在每个节点xjasLu（xj）中近似≈njXi=1wijuij≡ wju（xj），j=1，N、 （4）其中uij≡ u（xij）和xijis是xj中的局部索引节点，而wjis是以xj为中心的模具的差异权重数组。在标准的RBF FD方法中，通过强制（4）对XJF中每个节点处的RBF进行xact计算权重φ（kxj- xjk）。φ（kxj- xnjjk）。。。。。。。。。φ（kxnjj- xjk）。φ（kxnjj- xnjjk）wj。。。wnjj公司=Lφ（kxj- xjk）。。。Lφ（kxj- xnjjk）.（5） 在RBF插值理论中，已知（5）形成了一个非正则方程组。因此，可以为每个节点计算一组唯一的权重。我们将这些权重安排在微分矩阵L中，以构建近似于L的离散空间算子。

自nj以来<< N、 结果差异矩阵是稀疏的。2.1平滑变化的节点布局尽管RBF-FD方法是无网格的，但我们在实践中发现，数值模式的条件对节点布局的选择非常敏感。也就是说，如果离散化的计算域包含节点布局密度的非平滑变化，则很可能在这些区域上构建的tencil将具有非常大的条件数，从而使整个近似不稳定。使用带RBF-FD的笛卡尔网格是一种安全的方法，但在逼近精度方面远远不是最优的，这严重限制了该方法的自适应潜力。在【31】中，已经做出了一些努力来为定价篮子选项构建自定义节点布局，但这种方法很难推广到其他问题。为了成功实现RBF-FD方法，我们需要能够快速生成密度平滑变化的节点布局。根据文献[11]，当前的节点散射方法可以看作是迭代方法或推进前沿方法。迭代类型最著名的例子是最小能量分布，其中节点之间的排斥力被公式化，从而将节点集中在需要增加精确度的区域【9】。虽然这些方法可以生成出色的节点布局，但在许多情况下，通过操作构建节点布局在计算上是非常有效的。另一方面，推进前沿方法，从边界开始构建节点布局，直到它们填满域，这通常更有效。在这项工作中，我们介绍了[11]中介绍的节点放置算法。该算法是一种前进的前沿类型，添加了节点排斥迭代，进一步提高了靠近边界的节点布局质量。

使用该算法所需的第一个要素是计算do main的边界Ohm 半径函数R（x），控制该域上节点布局的密度。接下来，我们定义一个比我们的计算域稍大的矩形，并使用一种先进的前端型基本节点放置方案进行填充，该方案可在【11】中找到。现在，根据半径函数r（x）对r e C角中的节点进行了划分。然后，我们将矩形中的节点集与计算域的边界节点进行匹配。在这一步中，我们可以利用这个机会将特别感兴趣的节点与边界节点一起放置，因为这些节点将保持在其在最终节点布局中的位置。当我们有兴趣知道计算域中某个特定点的解时，这是非常有用的。然后，我们丢弃domainboundary之外的所有节点，也丢弃domainboundary内部的节点，但这些节点与边界y节点的距离在r（x）fr之内。最后，我们运行∈ N节点排斥靠近边界的节点，即b∈ N个最近邻到每个边界节点，以平滑这些区域中的不规则。这是通过使用与r成比例的排斥力来实现的-3，其中r∈ r表示节点之间的距离。将力设置为作用于B相邻节点之间，并在迭代中使用该力将节点推向局部势阱的最优点。这种千变万化的节点布局的最大优点之一是，我们可以将节点精确地放置在我们想要知道可选价格的点上，而不会影响布局的平滑度。这对于给定标的资产定价的准确期权定价非常有用。

对于传统的节点布局，我们需要使用插值来估计所需点的选项价格，这会带来额外的误差和计算量，或者我们必须通过将节点放置在感兴趣的坐标来干扰节点布局平滑。2.2多谐样条在文献中，许多RBF（例如，高斯、多二次、反二次）都被用于逼近微分算子。虽然这种近似具有很好的性质，但为了获得权重，需要求解的线性方程组往往是病态的。过去的几项工作【4、12、10、29、13、7】通过将低阶多项式与RBF一起添加到所提出的插值中，解决了这个问题。此外，大多数RBF中存在的形状参数需要仔细选择，以获得稳定的近似值。对于期权定价问题，基于高斯的RBF-FD格式的形状参数选择问题在[31]中进行了彻底的研究，但在一般应用中仍然没有解决。然而，最近的发展【1，8】表明，在插值中使用高阶多项式和PHSS作为RBF，可以大大改善RBF-FD近似。通过这种方法，似乎多项式次数起到了控制收敛速度的作用。这使得我们可以使用分段平滑PHS作为RBF，而无需形状参数，因为近似精度不再由RBF的平滑控制。尽管如此，径向基函数确实有助于减少逼近误差，并且它们对于具有稳定和准确的逼近是必要的。我们在（6）中定义了PHS函数，并在图1φ（r）中显示了一些示例=rq，q∈ {2k-1} ，rqln（r），q∈ {2k}，（6）其中k∈ N

[8]中的结果表明，在RB FFD的实际应用中，使用奇数和偶数PHS之间没有显著差异。因此，我们使用奇数度，因为它们的形式稍微简单一些。0 0.2 0.4 0.6 0.8 10.20.40.60.8rPHSq=1q=3q=5q=7q=9图1：不同奇数阶s的多谐样条。考虑到所有因素，我们需要求解的线性系统，以获得问题中每个节点的差异权重是“A PTP 0#”wjγj#=Lφ（kxj- xjk）。。。Lφ（kxj- xnjjk）Lp（xj）。。。Lpmj（xj）, （7） 其中A是RBF矩阵，wjis是微分权重的数组，两者都显示在（5）的左侧；P是大小为mj×nj的矩阵，其中包含所有达到P度的单项式（与mj单项式项相关），这些单项式在模板xjan的每个节点xijo中进行评估，0是大小为mj×mj的零平方矩阵；γjis是应丢弃的虚拟权重数组，{p，p，…，pmj}是单项式函数的数组，该数组根据其相对于单项式项mj总数的位置进行索引，因此它包含所有达到p阶的单项式l项组合。与标准FD离散化相比，在FD离散化中，差异运算符仅在一维笛卡尔网格上近似，这意味着高维算子需要在每个方向上分别离散，在RBF-FD近似中，维数并不会使问题更加困难。当它与边界节点和靠近边界的节点同时出现时，基于最近邻的s-tencil会根据边界的形状自动形成，并且不需要计算差异权重的特殊处理。近似微分算子所需的唯一数据是节点之间的欧几里德距离。

这意味着（5）代表了一种在任意维上近似微分算子的方法。虽然FD权重可以直接推导，RBFFD权重需要通过求解每个节点的一个小型线性系统来获得，但该任务是完全可并行的，并且该方法的理想特性可以很好地调整额外成本。计算权重并将其存储在微分矩阵中后，（1）的近似值可以以下列半微分方程形式表示（t）=Lu（t），（8）u（t）=g（x），（9），其中u（t）≡ u（t，x）是定价方程的半离散数值解，而x是计算域中所有节点的数组。为了计算期权价格u（t），我们需要在时间上向后积分（8）。2.3时间积分对于时间离散化，我们使用二阶后向微分公式（BDF2）[16，第401页]。BDF2方案涉及三个时间级别。为了启动该方法，第一步通常使用BDF1（Euler backward）格式。因此，需要对两个不同的矩阵进行因式分解。为了避免这种情况，我们使用BDF2和BDF1，如【28】所述，这样我们就得到了一个微分矩阵。我们将时间间隔[0，T]拆分为M个长度为τl=tM的非均匀步长-l- tM公司-l+1，l=1，M并将BDF2权重定义为βl=τl1+ωl1+2ωl，βl=（1+ωl）1+2ωl，βl=ωl1+2ωl，（10），其中ωl=τl/τl-1，l=2，M、 在[28]中，我们展示了如何选择时间步长，以使βl≡ β.