年金融市场稳健建模的统一框架

我们设置=2，S（ω）=2+ω。然后Ohm*=  和平凡的πOhm*（1） =inf{x∈ R |H∈ Rd使x+Ho 装货单≥ 1开Ohm*} = -∞,πOhm（1） =inf{x∈ R |H∈ Rd使x+Ho 装货单≥ 1开Ohm} = 因此，我们必须假设Ohm*∩∑ωt6= 在本节的其余部分。我们也注意到(Ohm) 在美国期间持有(Ohm) 没有，见第3.2节。示例3.2。设d=2，T=1和Ohm = ((2, ∞) × [0, ∞)) ∪ （{2}×[0，7]）和f=B(Ohm). 我们设置S=（2，2）和S（ω）=ω。特别地，S(Ohm) 不是闭合集。请注意Ohm*= {2} × [0, 7]. 现在，介绍索赔（S，S）=S{S≤5}+ 5(S- 4)1{S> 5}。很容易看出πOhm*（g） =0，任何交易策略H=（H，1）和H∈ Ris是一种超级边缘策略。我们现在声称，我们不能将超边缘延伸到Ohm \\ Ohm*初始资本为零。为此，我们表明，即使对于初始资本1，也不存在超级复制策略Ohm. 实际上，我们需要1+小时S+HS≥ 5(S- 4） 在上S> 0，S> 5，相当于h≥(5 - H）S- 21S、 作为H∈ [4/5，3/2]，这意味着H→ ∞ 如果Sis任意接近0和Sis足够大。即使我们看到Ohm = [2 + ε, ∞) × [0, ∞) ∪ {2} ×[0，7]对于某些正ε，然后取规模过大仍然导致不存在超级对冲策略。总之，我们将只考虑紧集Ohm ∩∑ωt本节的其余部分，即“套利策略对超边缘有效”，定义如下。此外，在上修改函数gOhm \\ Ohm*在上面的例子中，我们可以很容易地构造出πOhm（g） 6=πOhm*（g） 对于不连续的支付g。总之，我们还将假设g在该部分中是连续的。我们还可以修改此示例，以便S(Ohm) 是封闭的，没有实现π的超级复制策略Ohm（g） 。

我们强调，这是与本案的根本不同Ohm = Ohm*, 其中始终给出了实现（见定理2.9）。即采取Ohm = {（x，y）∈ R | x∈ [2, ∞), 0≤ y≤ 5 +√x} 其他元素保持不变。请注意Ohm*未更改。重复上述论点并查看S=1/n和S=5+1/√n我们发现≥ n20 +√n- 20-√n= n√n→ ∞对于n→ ∞.正如我们在上述示例中所看到的，通常有必要假设Ohm*∩∑ωt6=, ω 7→ g（ω）是连续的Ohm 紧凑且“非常适合通过套利策略进行超边缘化”。我们首先讨论第二点，并展示一步超边际价格ω7的连续性→ πt，Ohm*（g） （ω），通过动态规划方法定义：定义3.3。对于可测量的Borel g:X→ R我们确定了一步超边际价格πT，Ohm*（g） （ω）：=g（ω），πt，Ohm*（g） （ω）：=inf{x∈ R |H∈ Rds。t、 x+HSt+1（v）≥ πt+1，Ohm*（g） （五）v∈ ∑ωt∩ Ohm*},其中0≤ t型≤ T- 1.金融市场的稳健建模13Aω7连续的充分条件→ πt，Ohm*（g） （ω）在（Carassuset al.，2019）中确定，并依赖于以下假设：假设3.4。集合∑ωt∩Ohm*6=  和集合∑ωt∩Ohm 对所有ω都是紧的∈Ohm 和所有0≤ t型≤ T-1、此外，对于所有0≤ t型≤ T-1，对应关系ωSt+1（∑ωt∩ Ohm*) 从(Ohm, dSt）到与Hausdor ff距离相关的Rdendowed的子集，其中dSt（ω，￠ω）：=maxs=0，。。。，t | Ss（ω）- Ss（￠ω）|。我们参考（Carassus et al.，2019，第3节）了解集合的讨论和示例Ohm 满足假设3.4。下面的引理来自（Carassus et al.，2019，命题3.5）的直接应用：引理3.5。设ω7→ g（ω）是连续的。

在假设3.4下，一步超边际价格ω7→ πt，Ohm*（g） （ω）对于所有0都是连续的≤ t型≤ T- 1、其次，示例3.2还表明，识别∑ωt的子集很重要∩ Ohm, 在以下意义上，“套利策略对超边缘无效”：定义3.6。我们用项目表示St+1（∑ωt∩Ohm*)(St+1（v））的正交投影St+1（v）上的线性子空间St+1（∑ωt∩ Ohm*) 并定义所有v的集合∈ ∑ωt∩Ohm, 哪个项目St+1（∑ωt∩Ohm*)(St+1（v））不是St+1（∑ωt∩ Ohm*).对于集合Aωtsee的图示，请参见图4。我们现在陈述一个假设，确保ωtand∑ωt的兼容性∩ Ohm*:假设3.7。对于每个级别集，以下为真：如果点序列（vn） Aωt收敛到点v∈ 跨度(St+1（∑ωt∩ Ohm*)), 那么必然是v∈St+1（∑ωt∩ Ohm*).唉，事实证明，虽然假设3.4和3.7足以建立质量πOhm（g） =πOhm*（g） 对于d=2，对于d>2则不是这样。这与（Burzoni et al.，2019a）中引入的标准分隔符的概念有关，标准分隔符是逐点套利策略的可测量选择器。我们请读者参考（Burzoni et al.，2019a，引理1的证明）和其中的讨论，以获得详细的定义。这里我们给出了一个例子，其中两个标准分隔符的存在与Himpliesπ上的可测性约束相结合Ohm（g） >πOhm*（g） ：示例3.8。设d=3，T=1和(Ohm, F） =（R+，B（R+）。我们设置（S，S，S）=（2，2，2）和（ω）=2如果ω∈ R+\\ Q，2.5- ω如果ω∈ Q∩ [1/2, ∞),4如果ω∈ Q∩ [0，1/2），S（ω）=ω如果ω∈ R+\\Q，如果ω为0∈ Q∩ [1/2, ∞),2如果ω∈ Q∩ [0，1/2），S（ω）=2如果ω∈ R+\\Q，2如果ω∈ Q∩ [1/2, ∞),2+ω如果ω∈ Q∩ [0，1/2）。然后Ohm*= R+\\Q并使用（Burzoni et al.，2019a，Lemma1的证明）的符号，标准分隔符由ξ0，A=（0，0，1）和ξ0，A=(-1, 0, 0).

下一个定义（S、S、S）=(S+|S |+|S |）-如果S≤ 0,(S- |S |- |S |）+如果S> 0，我们注意到S=S=0我们有g（S）=S、 因此，特别是对冲Ohm*我们需要初始资本πOhm*（g） =0，任何套期保值策略满足度=（H，1，H）对于H，H∈ R、 对于任何这样的策略，也要超越onQ∩ [1/2, ∞) 初始资本为1/2时，hh应特别满足1/2+HS- 2小时≥ 0用于S≤ -1月2日、14日OB L\'OJ和JOHANNES WIESEL2 4 6-2.S21S11S1（v）项目S1级(Ohm*)(S1（v））ξ1，Ohm图例：Aω1S1级(Ohm*)林(S1级(Ohm*))图4：。示例3.2带有定义3.6中的符号。所以H≤ -3/4为H∈ [1, 3/2]. 最后在Q上扩展超边缘g∩ [0，1/2）给出了约束1/2+2H+HS≥ 0、取S=0表示H≥ -1/4，矛盾。因此，我们假设所有单点套利可以简化为单个标准分隔符。注意，示例3.8可以很容易地修改为St+1(Ohm ∩ ∑ωt）通过添加附加点进行压缩。为了说明清楚，我们没有这样做，但我们得出结论，假设3.4和3.7不适用于d>2。我们必须添加最后一个假设，以保证相应的通用套利聚合器的可测量性。直觉上，它指出，局部，即，对于每个0≤ t型≤ T- 1和每ω∈ Ohm, 资产演变至多存在一个可仲裁的方向，因此第一个标准分隔符已经是通用的轨道聚合器：假设3.9。对于所有ω∈ Ohm 和0≤ t型≤ T- 我们有ξt+1，Ohm∩∑ωt=H*t、 其中H*是（Burzoni et al.，2019a）针对集合∑ωt的通用套利聚合器∩ Ohm.定理3.10。假设Φ=0，X 3ω7→ St（ω）对于所有1是连续的≤ t型≤ T对于分析Ohm  X满足假设3.4、3.7和3.9金融市场稳健建模15SS性别：R+\\QQ∩ [1/2, ∞)Q∩ [0，1/2）图5。

Ohm  Rin示例3.8（Burzoni et al.，2019a）的超边缘二元性从Ohm*到Ohm 对于所有连续g:X→ R、 也就是说，我们有SUPQ∈Mf公司Ohm等式（g）=inf{x∈ R |H∈ H（FU）使得x+Ho 装货单≥ g开启Ohm*}= inf{x∈ R |H∈ H（FU）使得x+Ho 装货单≥ g开启Ohm}证据如前所述，我们通过t=0，…，上的反向归纳来证明这一主张，T- 1、让我们现在fixω∈ Ohm. 我们假设∑ωt∩Ohm*6=  和（ωt∑）∩Ohm)\\（ωt∑）∩Ohm*) 6= , 否则，这种说法就微不足道了。我们首先看一看案例，其中projSt+1（∑ωt∩Ohm*)(St+1（v））是St+1（∑ωt+1∩ Ohm*), i、 e.存在v∈ ∑ωt∩ Ohm*这样的项目St+1（∑ωt∩Ohm*)(St+1（v））=St+1（v）。注意，根据假设3.9，标准分隔符ξt+1，Ohm∩∑ω与跨度正交(St+1（∑ωt∩ Ohm*)). 通过定义超边际价格Ohm 存在一个未来可测量的策略Ht+1，例如πt，Ohm*（g） （v）+Ht+1（ω）St+1（v）≥ ^πt+1（g）（v）对于所有v∈ ∑ωt∩ Ohm*,其中，我们可以在不损失一般性的情况下假设Ht+1（ω）∈ 跨度(St+1（∑ωt∩Ohm*)). 现在，我们∈ ∑ωt∩ Ohm 以及相应的正交投影。设ε>0。作为πt+1，Ohm*（g） 在上均匀连续Ohm ∩ ∑ωt，我们可以使用（Vanderbei，1997，定理1）（结合Tietze的扩展定理将域扩展到凸集）来确定δ>0，从而ε+πt+1，Ohm*（g） （v）+St+1（v）- St+1（v）δ/εξt+1，∑ωt∩Ohm（五）≥ πt+1，Ohm*（g） （v），其中δ的选择应确保对于所有w，~w∈ ∑ωt∩ Ohm 我们有|πt+1，Ohm*（g） （w）-πt+1，Ohm*（g） （w）|≤ ε每当| St+1（w）- St+1（℃w））|<δ。请注意St+1（v）-St+1（v）与Ht+1（ω）和ε+πt正交，Ohm*（g） （g）（v）+Ht+1（ω）+ξt+1，∑ωt∩Ohm（v） δ/ε(St+1（v）+St+1（v）- St+1（v））≥ ε+πt+1，Ohm*（g） （v）+St+1（v）- St+1（v）δ/εξt+1，∑ωt∩Ohm（五）≥ πt+1，Ohm*（g） （v），接下来我们假设Aω是有界的，在span内没有收敛点(St+1（∑ωt∩Ohm*)) 在集合之外St+1（∑ωt∩Ohm*). 特别是连续16 JAN OB L’OJ和JOHANNES WIESELfunctionsπt+1，Ohm*（g） 和Ht+1St+1在ωt上有界。

存在δ>0，所有v∈ St+1（∑ωt∩ Ohm*), v∈ Aωtwith | v- ~v |<δ我们还有ε+πt，Ohm*（g） （ω）+Ht+1（ω）St+1（￠v）≥ πt+1，Ohm*（g） （￠v）。假设存在△δ>0，距离（△v，跨度(St+1（∑ωt∩Ohm*))) >所有￠v的￠δ∈ Aωtwith dist（￠v，St+1（∑ωt∩ Ohm*)) > δ. 定义πmax=supv∈Aωtπt+1，Ohm*（g） （五）<∞ C=infv∈AωtHt+1（ω）St+1（v）+πt，Ohm*（g） （ω）>-∞. 现在我们注意到ε+πt+1，Ohm*（g） （▄v）+Ht+1（▄v）St+1（+v）+πmax |+| C |Δξt+1，∑ωt∩Ohm（五）St+1（￠v）≥ πt+1，Ohm*（g） （v）对于所有的（v）∈ Aωt。证明到此结束。3.2. 强套利和一致强套利的比较。现在我们来仔细看看SA的概念(Ohm) 和美国(Ohm) 并在特定的市场设置中建立其等效性。显然，每个一致强套利都是强套利。一般来说，相反的断言是不正确的：例如d=1，S=1，S（ω）=ω，Ohm = （1，2），则每个H>0都是强套利，但不存在任何一致强套利。这个简单的例子可以推广：一个S=1的正则设置中的单周期市场和一个开放凸集Ohm 这样{1}∩ Ohm =  和1∈Ohm 承认存在强套利，但没有表现出一致的强套利。论价格的超边际水平Ohm 对应于πOhm(0) = -∞. 对于表现出强套利但没有一致强套利的金融市场，定价对冲二元性不能成立（因为没有支持的鞅测度Ohm) 但是πOhm(0) = 0. 总之，一致强套利和强套利之间的差异可以看作是描述预测集边界的属性Ohm 从而体现在超级对冲函数的边界行为中7→ inf{x∈ R |H∈ Rds。t、 x+H（S- S）≥ 0开Ohm}.由于它是一个上半连续函数，因此在Ohm, 而其较低的半连续版本-∞.

尽管如此，这两个概念在具体案例中是一致的，我们现在对此进行探讨。我们假设所有0的规范设置X=Rd+，S（ω）=砂集Ft=Ft≤t型≤ T在本节中，我们考虑了可数个静态交易期权∧=N，但仅限于欧式期权，Φ={φN=φN（ST）| N∈ N} ，具有实际价值的持续支付和共同到期日。为了简单起见，我们写c=c（N）。我们确定了封闭子集Ohm  （Rd+）并回顾鞅在Ohm 校准至Φ用M表示Ohm,Φ（F）。我们定义了| S（ω）|：=PTt=1Pdk=1 | Skt（ω）|，并用CB表示|(Ohm) 实值连续函数空间f：Ohm 7.→ R使得SUPω∈Ohm|f（ω）| | S（ω）|∨ 1< ∞.最后，我们定义了校准的超马尔可夫测度asSMOhm,Φ（F）：={Q∈ P(Ohm) | 公式[φn]≤ 0n∈ N、 当量【St | Ft-1] ≤ St公司-1a。st型≤ T}。以下定理可以看作是（Acciaio等人，2016，Theorem1.3），（Cox and Ob l\'oj，2011，Prop.2.2，p.6）和（Bartl等人，2017，Cor.4.6）的统一。我们还参考了（Burzoni et al.，2019a，Thm.3），他们根据假设进行了扩展（Acciaio et al.，2016，Thm.1.3）Ohm = Ohm*和to（Burzoni et al.，2019b，Thm.C.5），对Φ=0的情况进行一般讨论。与Acciaio et al.（2016）的工作相反，我们不需要假设存在凸超线性payoff，这在某些情况下可能是特殊的，但通过WFLVR明确强制鞅度量的紧密性(Ohm) 条件金融市场稳健建模17定理3.11。持有以下股份：（1）SA(Ohm) <=> 美国(Ohm).（2） 假设φn∈ Cb | S|(Ohm), 任何资产和LIM | ST均无卖空|→∞（φn（ST））-|ST |=0表示所有n∈ N、 特恩萨(Ohm) <=> 美国(Ohm) <=> WFLVR(Ohm) <=> SMOhm,Φ（F）=.（3） 如（2）所示，假设φn∈ Cb | S|(Ohm).

进一步假设对于每个序列（ωn）n∈N带limn→∞|S（ωn）|=∞, 存在序列（hk，hk）k∈Nof交易策略，常数C>0和序列（pk）k∈确保olimk→∞画→∞（香港·Φ+香港）oST）（ωn）| S（ωn）|∨1> 0和o| hk·Φ+hk·ST |≤ C（| S|∨ 1） 在上Ohm 对于所有k∈ N、 o利姆→∞（hk·Φ+hk）o ST）（ω）=-利姆→∞PK全部ω∈ Ohm.特恩萨(Ohm) <=> 美国(Ohm) => WFLVR(Ohm) <=> MOhm,Φ（F）=,但总体而言，WFLVR(Ohm) 并不意味着SA(Ohm).备注3.12。（1） 外壳|Φ|<∞ （Bouchard and Nutz，2015；Burzoni et al.，2019a）中有介绍，而案例|Φ|=∞ 不是。这两项工作的基本思想是归纳地构造一个经过校准的鞅测度，以确定选项的数量。（2） 与情况相反|Φ|<∞ （见（Burzoni等人，2019a，定理证明1，第1050页）），集合MOhm,Φ（F）可能不一定包含任何完全支持的鞅测度。（3） 显示WFLVR的示例(Ohm) 并不意味着SA(Ohm) 见（Cox和Ob l\'oj，2011年，第2.2款）。（4） （3）的一个特殊但重要的情况是T=1，d=1和φn（S）=（S-n）+- pn，其中pn≥ 0。在这种情况下，我们可以为allk设置Hk=0，Hk=EK∈ N、 其中ek是第k个单位向量，注意limk→∞画→∞（香港·Φ+香港- S） ）（ωn）| S（ωn）|∨ 1=limk→∞画→∞（S（ωn）- k）+- pk | S（ωn）|=1>0andlimk→∞（S（ω）- k）+- pk=- 利姆→∞pk，尤其是（3）中的所有三个条件都是可满足的。为了便于说明，我们只给出T=1的证明。这传达了重要的思想，而多周期案例通过动态规划方法扩展了这些思想，可以在（Wiesel，2020）中找到。关于（1），显然是美国(Ohm) => 南非(Ohm), 所以我们向SA展示(Ohm) => 美国(Ohm). Let（h，h）∈ Rk×Rd是一种很强的套利行为。我们证明了它实际上是一种统一套利。

对于x∈ Rd+我们用| x |：=Pdi=1xit表示x的`-范数，并定义紧集K=[0，s+2 | s |]×[0，s+2 | s |]×·×·×[0，sd+2 | s |]。然后，作为S7→ h·Φ（S）+h（S-S） 紧集上的连续正Ohm ∩ K、 存在ε>0，使得H·Φ（S）+H·S- S）≥ K上的ε∩ Ohm.适当缩放（h，h），我们可以在不损失一般性的情况下假设取ε=2 | s |。设e=（1，…，1）为Rd中的行单位向量。然后H·Φ（S）+（H+e）·S- S）≥ 2 | s|- |s |=| s |在K上∩ Ohm.（3.1）1月18日OB L\'OJ和JOHANNES WIESELFurthermoreOhm \\ 我们有H·Φ（S）+（H+e）·S- S）≥ e·（S）- S）≥ 2 | s|- |s |=| s |。现在我们展示（2）。很明显，与美国的关系(Ohm) => WFLVR(Ohm) 持有并（1）同时持有SA(Ohm) <=> 美国(Ohm). 此外，WFLVR(Ohm) 容易暗示SMOhm,Φ（F）=否则，如果Q∈ SMOhm,Φ（F）那么，通过Fatou引理，0≥ lim信息→∞公式[hn·Φ+hn（S- S） ]≥ 等式[线性信息→∞hn·Φ+hn（S- S） ]>0，矛盾。接下来我们展示NUSA(Ohm) => （SMOhm,Φ（F）6=) 密切遵循中的论点（Acciaio et al.，2016，第2.3款和定理1.3的证明，第240-242页）。我们用c+表示c中所有非负序列的子集。我们定义setK：=h·Φ（S）+h（S- S）（h，h）∈ c+×Rd+ Cb | S|(Ohm).请注意，K是凸的且非空的。进一步表示Cb | S的正锥|(Ohm) byC公司++(Ohm) =f∈ Cb | S|(Ohm)infω∈Ohmf（ω）| S（ω）|∨ 1> 0.由NUSA提供(Ohm) 我们有K∩C类++(Ohm) = . Hahn-Banach定理的应用产生了一个正测度u=ur+ussuch thatZ的存在性Ohmf | S|∨ 所有f的1du>0∈ C类++(Ohm),ZOhmf | S|∨ 1du≤ 0表示所有f∈ K、 我们现在的目标是证明dq给出的归一化度量Q：=| S|∨ 1.Z | S|∨ 1dur-1duris是SM的一个元素Ohm,Φ. 为此，我们首先假设ur=0。ThenZ公司Ohme（S）- S） | S|∨ 1du=ZOhm|S|- |S | | S|∨ 1dus=ZOhm1 dus>0，因为u为正，这是一个矛盾。AsR公司Ohm（φn（S））-|S|∨1dus=0，我们得出结论Ohmφn（S）| S|∨ 1dur≤ZOhmφn（S）| S|∨ 1du≤ 0表示所有n∈ N、 进一步MorezOhmS- S | S|∨ 1dur=0，因此NUSA(Ohm) => SMOhm,Φ6=  跟随。最后我们展示了（3）。

为此，我们遵循与（2）中相同的构造。特别是定义K：=h·Φ（S）+h（S- S）（h，h）∈ c×Rd Cb | S|(Ohm).我们再次注意到NUSA(Ohm) 我们有K∩C类++(Ohm) = . 因此，只剩下us=0。让我们假设一个矛盾us6=0，取（hk，hk）k∈Nsuch茅草林→∞ZOhmhk·Φ（S）+hk（S）- S） | S|∨ 1dus>0。（3.2）金融市场的稳健建模19然后通过K的对称性和与（2）中相同的推理，我们得到Ohmhk·Φ（S）+hk（S）- S） | S|∨ 1du=0（对于所有k）∈ N、 （3.3）使用（3.2）和（3.3）limk→∞ZOhmhk·Φ（S）+hk（S）- S） | S|∨ 1dur=- 利姆→∞ZOhmhk·Φ（S）+hk（S）- S） | S|∨ 1dus<0。（3.4）注意，对于序列（pk）n∈Nwithlimk公司→∞hk·Φ（S）+hk（S）- S） =- 利姆→∞PK全部ω∈ Ohm 我们不需要WFLVR(Ohm) 那个笨蛋→∞pk=0，因此LHSof（3.4）等于零，这是一个矛盾。4、技术成果及证明4.1。定理2.6和2.7的证明。我们从以下技术观察开始：提案4.1。允许Ohm 要善于分析。那么（Bouchard和Nutz，2015）的FTAP意味着：N1pA(Ohm, FU）<=> Ohm = Ohm*Φ证明。设置^P：=Pf(Ohm). 为了应用（Bouchard和Nutz，2015）的FTAP，我们只需要证明^Pt（ω）：=Pf（projt+1(Ohm ∩ ∑ωt）有解析图：因此，we fix n∈ N并考虑Borel可测函数∑：Xn→ Xn×研发部+（t+1）n（ω，…ωn）7→ （ω，…，ωn，S0:t（ω），S0:t（ωn）），注意图像∑(Ohmn） 是分析性的，因为Ohm 是解析的，波雷尔可测映射下解析集的图像以及解析集的笛卡尔积是解析的（参见（Bertsekas和Shreve，1978，Prop.7.38&7.40，p.165））。接下来我们考虑连续函数f:Xn×研发部+（t+1）→ Xn×研发部+（t+1）n（ω，…ωn，x）7→ （ω，…，ωn，x，…，x）。请注意FXn×研发部+（t+1）∩ Σ(Ohmn） 是解析的，而解析集的投影是解析的：={（ω，ω，…，ωn）|ω∈ Ohm, ωi∈ 项目+1(Ohm ∩ ∑ωt），i=1，n} 也是分析型的。允许n RN表示单纯形。