年金融市场稳健建模的统一框架

andP（h·Φ+ho对于某些P，ST>0）>0∈ P、 如果P={P}，则P-拟确定套利称为P-套利，并表示为a（P）。1月6日OB L\'OJ和JOHANNES WIESELCA（P）P中的经典套利（见Davis和Hobson，2007））是策略家族（hP，hP）P∈Psuch，对于所有P∈ P、 （hP，hP）是一个参数。WA（P）弱套利（见（Blanchard和Carassus，2019））是一种策略（h，h）∈ AΦ（F）是某些P的P-套利∈ P、 内部套利（见（Bayraktar et al.，2014））是一系列策略（hn，hn）∈ Φ（F）使得（hn，hn）是相对于Φ+符号（hn）/n给出的期权支付的P-准确定套利，对于足够大的所有n。WFLVR(Ohm) 风险消失的弱免费午餐（见（Cox and Ob l\'oj，2011），（Cox et al.，2016））是一系列策略（hn，hn）∈ AΦ（F）存在常数c≥ 0和（h，h）∈ AΦ（F）带Hn·Φ+Hno 装货单≥ h·Φ+ho 装货单- c打开Ohm 适用于所有n∈ N和Limn→∞（hn·Φ+hno ST）>0开Ohm.locA（Pt（ω））A（t，ω）-局部P-准肯定套利（见（Bartl，2019））是一种策略∈ Rd使HSt+1（ω）≥ 0 Pt（ω）-q.s.（其中t∈ {0，…，T-1} 和ω∈ 十） 存在P∈ Pt（ω），使得P（HSt+1>0）>0。A（S）A套利（见（Burzoni et al.，2016））是一种策略（h，h）∈ AΦ（F）使得h·Φ+ho 装货单≥ 0开Ohm 和{ω∈Ohm | h·Φ+ho ST>0} Γ对于某些Γ∈ S、 当我们想要强调过滤的作用时，我们将其作为一个论据，例如，我们写下，例如，SA(Ohm, F） 。如果过滤不明确，则默认为FU。我们使用前缀N表示对上述任何概念的否定，例如，当不存在P-准确定的任意策略时，我们说“NA（P）成立”，同样，NUSA(Ohm) 表示不存在一致强仲裁Ohm, 等引理2.4。

以下关系成立：（1）美国(Ohm) => 南非(Ohm) => 办公自动化(Ohm) => 1pA(Ohm).（2） 南非(Ohm) => WFLVR(Ohm).（3） A（P）=> A（P）表示某些P∈ P<=> WA（P）。（4） WA（P）<= 钙（P）<=> A（P）表示所有P∈ P.（5）A（P）=> IntA（P）。（6） 当Φ=0时，则a（P）<=> P装货单-1t=0{ω∈ Xt | locA（Pt（ω））保持}> 0表示某些P∈ P、 证明。第（1）-（4）项是即时的。断言（6）源自（Bouchard and Nutz，2015，引理4.6，第842页）。对于策略（h，h）∈ AΦ（F）满足H·Φ+Ho 装货单≥ 0 P-q.s。我们有，对于任何ε>0，h·（Φ+符号（h）ε）+ho ST=h·Φ+ho ST+| h |ε≥ |h |ε≥ 0，其中| h |=Pλ∈∧| hλ|。没有IntA（P）意味着存在ε>0，对于上述任何策略，我们都有H·Φ+Ho ST=-|h |εP-q.s.，因此h=0，且不存在A（P）后，so（5）成立。《7USA（X）金融市场稳健建模》首次在（Davis和Hobson，2007）中进行了讨论，有关美国的定义，请参见（Cox和Ob l\'oj，2011）和（Cox等人，2016）(Ohm) 和WFLVR(Ohm), 哪里Ohm  十、 请注意，如果我们在定义WFLVR时取（h，h）=（0，0(Ohm)并用P-a.s.对应物替换路径不等式∈ P（X），我们恢复了NFLVR条件的离散版本（Delbaen和Schachermayer，1994）。SA（（Rd+）T）用于规范设置中的（Acciaio et al.，2016）。我们参考（Burzoni et al.，2019a，定理3）的一般FTAP，该FTAP连接了强和一致强套利的概念，条件是市场中存在一个具有严格凸超线性支付的期权。另请参见（Bartl et al.，2017），了解边际约束下的等效结果。在第3.2节中，我们讨论了SA(Ohm) 和美国(Ohm) 没有上述假设。自1pA以来，A（S）是一个统一的概念(Ohm), 办公自动化(Ohm), 南非(Ohm), 美国(Ohm) 和A（P）运河被视为A（S）的特例，详细讨论见（Burzoni et al.，2016，第4.6节）。

它是在（Burzoni等人，2016）中首次以路径的方式定义的，具体参见中的资产定价路径基本定理（Burzoniet等人，2016，定理2&第4节）。这扩展了在（Riedel，2015）中获得的结果，他引入了1pA(Ohm) 和OA(Ohm). 办公自动化(Ohm) 此外，在thesetup of（Dolinsky and Soner，2014）中也有定义。A（P）在的准肯定设置中引入（Bouchard和Nutz，2015），他们证明了资产定价的准肯定基本定理和超边缘定理。从上面的引理2.4中，我们可以看出，NCA（P）和A（P）之间的关键区别在于套利策略的聚合，这构成了Bouchard和Nutz（2015）中P的特殊（APS）结构所克服的一个根本性技术难题。我们还注意到，CA（P）实际上在（Davis和Hobson，2007）中被称为weakarbitrage。Bayraktar et al.（2014）在交易成本的背景下引入了内部套利IntA（P）的概念，并将其称为稳健套利。不存在TA（P）就等于不存在A（P），不仅在静态交易期权Φ的当前价格下，而且在其价格的所有非常小的扰动下。这一概念也被用于（Hou和Ob l\'oj，2018，假设3.1）。相当于说，期权Φ的价格严格在其P-q.s.无套利价格的区域内，从而避免了边界分类的微妙问题。一般而言，IntA（P）并不意味着A（P）。要看到这个，取Φ={（ST- K） +}对于某些K>砂 6=P {P∈ P（X）| P（ST≤ K） =1}。那么就没有P-q.s.套利，而对于每一个ε>0，我们就有（ST- K） ++ε≥ ε>0，因此RA（P）保持不变。在本文的其余部分，除非另有说明，否则我们取∧={1，…，k}，即我们有一个带k个静态交易期权的有限Φ。2.3. 资产定价的稳健基本定理。

资产定价的第一个基本原理是，在鞅（定价）度量的存在性方面，没有套利。在经典的离散时间环境中，这是指P-套利的概念。然而，在一个稳健的环境中，有许多可能的套利方式可以考虑。如果我们采用一种强烈的套利概念，那么它的缺失应该相当于一种弱陈述，例如，MOhm,Φ6= . 这在pathwise文献中经常出现，见（Burzoni et al.，2019a），并导致了熟悉的Dalang Morton-Willinger定理的稳健（多先验）版本。定理2.5（鲁棒DMW定理）。设P是一组概率测度（APS）。那么就存在一组普遍可测量的场景Ohm withP公司(Ohm) = 所有P为1∈ P和a过滤F和FF FM，使以下各项等效：（1）QP，Φ6=.1月8日OB L\'OJ和JOHANNES WIESEL（2）P(Ohm*Φ）>0（对于某些P∈ P、 （3）米Ohm,Φ6= .(4) Ohm*Φ6= .（5） 国家安全局(Ohm,F）保持。相反，对于解析集Ohm 存在一个满足（APS）的集合P，使得forallω∈ Ohm 存在P∈ P（{ω}）>0且（1）-（5）等价。通过设置S={Ohm}. 为了看到它的对立面，我们应该采用一种较弱的套利概念，因此套利的缺失相当于一种强有力的说法，例如，对所有人来说，都是一种利差∈ P存在Q∈ QP，Φ等 Q、 这条路线最常出现在准肯定文献中，见（Bouchardand Nutz，2015），并导致以下版本的稳健FTAP。定理2.6。设P是一组满足的概率测度（APS）。

然后存在一组分析方案Ohm 带P(Ohm) = 所有P为1∈ P、 使以下各项等效：（1）N1pA(Ohm*Φ）保持和Ohm = Ohm*ΦP-q.s.（2）适用于所有P∈ P存在Q∈ QP，Φ，使P Q、 （3）NA（P，FU）持有。相反，如果Ohm 是一个解析集，则存在一个概率度量化（APS）集P，使得对于所有ω∈ Ohm 存在P∈ P（{ω}）>0且以下等式相等：（1）N1pA(Ohm) 持有和Ohm = Ohm*Φ.（2） 对于所有P∈ P存在Q∈ QP，Φ，使P Q、 （3）NA（P，FU）持有。第4.1节给出的这个定理的证明不依赖于（3）的证明=>（2） 参见（Bouchard和Nutz，2015）。相反，我们给出了路径论证。特别是，给定P∈ P使得P(Ohm \\ Ohm*Φ）>0我们使用的通用套利聚合器（Burzoni et al.，2019a）明确构建了准套利策略。这加强了下面定理2.7的结果。事实上，利用P满意度（APS）这一事实，可以选择Q∈ QP，每个P的Φ∈ P这样P Q、 每个P的支持必然集中在Ohm*Φ.最后，我们给出了我们的主要抽象结果，它建立了不存在套利的路径和概率特征。其证明见第4.1节。如上所述，套利可以同时考虑多种套利概念。因此，下面的主要结果暗示了定理2.5，并且可以强化为暗示定理2.6，如第4节所示。定理2.7。假设P满意度（AP）和S B（X）是这样的{Cn}n∈N S S.t。

C∈ S{nk}k∈N N带1Cnk↑ 1C（k→ ∞).（2.1）然后存在一组共同分析的场景Ohm 这样P(Ohm) = 所有P为1∈ 用F扩展过滤F FM，使以下各项等效：（1）对于所有C∈ S带C Ohm 存在Q∈ QP，Φ使得Q（C）>0。（2） 对于所有C∈ S带C Ohm 存在P∈ 带P的P(Ohm*Φ∩ C） >0。（3） 对于所有C∈ S带C Ohm 存在Q∈ MOhm,Φ使得Q（C）>0。（4） {C∈ B（X）| C Ohm \\Ohm*Φ} ∩ S=.（5） AΦ（~F）中不存在S类套利Ohm.相反，对于解析集Ohm 存在一个满足（APS）的集合P，使得forallω∈ Ohm 存在P∈ P（{ω}）>0且（1）-（5）等价。备注2.8。条件（2.1）首先在（Burzoni等人，2016年，Cor.4.30及其后的讨论）中说明。事实证明，为了证明定理2.7，金融市场的弱破产模型9条件是有效的：我们只需要属性{C∈ S | C∩ (OhmP）*Φ∈ NP}∈ B（X）（2.2）和[{C∈ S | C∩ (OhmP）*Φ∈ NP}∩ (OhmP）*Φ∈ NP（2.3）持有，我们参考第4.1节对OhmP、 条件（2.2）和（2.3）是Ohm, S、 Φ和P。事实上，他们断言“效率”子集的（可能不可数）并OhmP\\(OhmP）*Φ（模极集），保持“效率”子集（模P极集）。如果这个条件对于一些任意的P和S不满足，那么就没有理由Ohm应存在（2）个保留。例如，一个集合P具有密度，S是X中的一组单态。那么，对于任何P，P（C）=0∈ P和任意C∈ Sso唯一Ohm 可以满足（2）的是空集。我们注意到当S={C X | C open}则（2.2）始终满足，且（2.3）在Xis可分离时满足。然而，通常情况下，条件（2.2）和（2.3）可能很难验证，这就是为什么我们提供（2.1）作为一个更容易验证的条件。

最后，我们注意到，对于某些P，S={C | P（C）>0并不容易证明∈ P} 对应于NA（P）满意度（2.3），这就是为什么我们在第4节中给出了第2.6项的直接证明。我们注意到Ohm 通常不能假设是分析性的。影响（1）=> (2) => (3) => (4) => （5） 直接遵循定义。Apartfrom可测量性考虑因素Ohm, （3）、（4）和（5）的等效性基本上源自（Burzoni et al.，2016）。此外，给出了一个解析集Ohm,我们将简单地将P定义为Ohm. 分析Ohm 然后意味着P的（APS）。我们还有QP，Φ=MfOhm,Φ和（1）和（3）-（5）的等效性来自（Burzoni等人，2019a）。在这种情况下，我们所做的基本连接是（2）中所述的路径和准确定标准的组合：对于每个C∈ S、 路径有效子集Ohm*Φ∩ C要求被集合P中的至少一个度量值P“看见”。对于给定的P，集合Ohm 在定理2.7中，可以显式地构造为Pt的拟sure支撑的串联o （St+1）-1、证明的主要困难在于证明其含义（5）=> （1） ，其中需要证明鞅测度Q的存在性∈ QP，Φ，与Ohm 和（1）的意义上的罪。这是一个模可测选择参数，通过找到元素P来实现∈ Pt（ω），使得零位于P的支撑的相对内部o （St+1）-事实上，让我们解释一下（5）证明的主要思想=> （1） 基于以下示例：假设T=1，d=3，Φ=0，S={Ohm} 和thesetOhm*由图2中的灰色polyhydron给出。

假设支持o （S）-1对于给定的度量值P∈ 蓝色圆点给出的PI（见图2）。然后为0∈ 国际扶轮社(Ohm*), 我们可以在Ohm*, 这样零位于四个点的凸包的相对内部。定义为Ohm, 另外三个点支持P中的一些度量，我们称之为P，P，Pin P。由于P是凸的，因此▄P：=P+P+P+P+P是Pas的一个元素，如图3所示。由于零处于P支持度的相对内部，现在可以使用（Rokhlin，2008）的结果来确定阿马丁格尔测度Q~P，尤其是P Q、 注意，这个论点基本上依赖于Pt的凸性。然后，解析积结构假设为多周期情况下的串联过程提供了适当的可测性。1月10日OB L\'OJ和JOHANNES WIESELSSS图2。鞅测度Q的构造 P表示d=3：集合Ohm （灰色）和supp（Po (S）-1） （蓝色）SSS图3。鞅测度Q的构造 d=3时的P：找到一个测量值▄P，使得NA（▄P）和▄P P保持不变。2.4. 鲁棒超边缘定理。在本节中，我们将重点讨论超边际价格的主要特征：定价套期保值二重性或超边际定理。与之前一样，我们比较了路径和准确定超边缘方法，作为经典模型特定结果的扩展，参见（F¨ollmer and Schied，2011，第5章，定理5.30）。对于集合Ohm  X我们表示路径超边际价格Ohm 按πOhm（g） ：=inf{x∈ R |（h，h）∈ AΦ（FU）s.t.x+h·Φ+（ho ST）≥ g开启Ohm}用πP（g）表示P-q.s.超边际价格：=inf{x∈ R |（h，h）∈ AΦ（FU）s.t.x+h·Φ+（ho ST）≥ g P-q.s.}。取一个分析集Ohm 这样对于所有P∈ 我们有(Ohm*Φ) = 1.

使用（Bouchard和Nutz，2015）和（Burzoni et al.，2019a）的超套期保值定理，以下关系立即适用于所有上半解析g:supQ∈MOhm,ΦEQ【g】=πOhm*Φ（g）≥ πP（g）=supQ∈QP，ΦEQ【g】。上述不等式一般是严格的。看到这一点的一个简单方法是取d=T=S=1，Φ=0，g（S）=1{S=0}和P={λ|[0,2]}，其中λ|[0,2]表示金融市场的鲁棒建模11Lebesgue测度在[0,2]上。然后Ohm = Ohm*= [0，2]，路径超边缘价格等于1/2，而准确定超边缘价格等于零。事实上，要将超级套期保值和路径公式联系起来，我们必须选择aspeci fic集合OhmPG不仅取决于P，还取决于g。我们确定了这个集合OhmPG通过在固定测量下减少到超边缘PG，如以下定理所述：定理2.9。设P是一组满足的概率测度（APS）。假设（P）成立，让g:X→ R是上半解析的。然后存在一个measurePg=Pg···PgT公司-1和FU可测集OhmPG带P(OhmPg）=1表示所有P∈ P、 这样的话∈MOhmPg，ΦEQ【g】=π(OhmPg）*Φ（g）=πPg（g）=πP（g）=supQ∈QP，ΦEQ【g】。相反，让Ohm 是X的解析子集Ohm*Φ6=  让g:X→ R为上半解析。对于任意集合P P（X），满足（APS）和NP=NMfOhm,Φ，wehavesupQ∈Mf公司Ohm,ΦEQ【g】=πOhm*Φ（g）=πP（g）=supQ∈QP，ΦEQ【g】。在这两种情况下，如果确定值，则通过超边缘策略（h，h）获得∈AΦ（FU）。该结果的证明推迟到第4.2节。特别是，定理2.9让我们将稳健超边际价格πP（g）解释为“极值”测度Pg下的经典超复制价格πPg（g）。确定此类测度Pg通常并不简单。

在一个周期的情况下，对于连续的g，我们可以使用引理4.10中的证明中的参数来查看任何达到一步拟序支持的测度P{Po (ST（ω，·））-1 | P∈ PT公司-可以选择1（ω）}。为了将这一结果推广到多周期情形，对映射ω7的某些连续性性质进行了讨论→ 必须保证Pt（ω）：我们参考（Carassus et al.，2019，Prop.3.7）了解有效条件。3、关于超边际和套利的补充结果3.1。路径超边缘的扩展Ohm*到Ohm. 上述结果表明，准确定超边和路径超边本质上是等价的。AsP-q.s.超边缘策略在实践中可能难以计算和实现，最好使用预测集Ohm 使用路径参数。考虑到Ohm*计算上也很昂贵，那么兴趣的数量就是Ohm 而不是打开Ohm*见第2.4节的双重结果。因此，我们希望找到与π相关的超边缘策略的有效条件Ohm*Φ（g）可延伸至Ohm 无需任何额外费用。直觉是Ohm \\ Ohm*描述了非效率信念，我们应该能够在这个集合上超越g，实现套利策略。事实证明，这种直觉通常是不正确的。事实上，我们在这些套利策略的可测量性方面遇到了问题，这意味着该程序仅在特殊情况下有效。为了简化分析，仅在本节中，我们假设Φ=0和ω7→ St（ω）是连续的。后者是满足的，例如，当ω7→ St（ω）是坐标映射，即St（ω）=ωt。为了给出一些直觉并确定集合的必要条件Ohm, Ohm*函数g我们首先给出了两个反例：1月12日OB L\'OJ和JOHANNES WieselexSample 3.1。设d=1，T=1和(Ohm, F） =（R+\\{0}，B（R+\\{0}））。