年金融市场稳健建模的统一框架

由于g是FUt+1-可测的，因此（Bertsekas和Shreve，1978，引理7.27，p.173）存在一个Borel可测函数g：（Rd）t+1→ R使得对于P-a.eω，g（ω）=~g（S0:t+1（ω））∈ Xt+1。首先假设St+17→ ~g（S0:t（ω），St+1）是连续的。定义χP：=支持（Po St+1（ω，·）-1). 那么当NA（P）保持χP=（χP）*因此，根据（Burzoni et al.，2019a，定理2）和金融市场稳健建模的连续性，第27St+17页→ ~g（S0:t（ω），St+1）以及St+17→ H（St+1- St（ω））supQ~P、 Q∈MXEQ[g（ω，·）]≤ inf{x∈ R |H∈ Rds。t、 x+HSt+1（ω，·）≥ g（ω，·）P-a.s.}=inf{x∈ R |H∈ Rds。t、 x+HSt+1（ω，·）≥ g（S0:t（ω），·）onχP}=supQ∈MfχPEQ[~g（S0:t（ω），·）]≤ supQ公司~PoSt+1（ω，·）-1，Q∈MRdEQ[g（S0：t（ω），·）]=supQ~P、 Q∈MXEQ[g（ω，·）]。如果St+17→ ~g（S0:t（ω），St+1）是Borel可测的，然后根据Lusin定理（见（Cohn，2013，定理7.4.3，p.227））存在一个增加的紧集序列（Kn）n∈确认Kn χP，Po St+1（ω，·）-1（Kcn）≤ 1/n和▄g（S0:t（ω），·）▄是连续的。特别是存在n∈ N使得对于所有N≥ nwe haveKn=（Kn）*. 通过上述参数inf{x∈ R |H∈ Rds。t、 x+HSt+1（ω，·）≥ g（S0:t（ω），·）on Kn}（4.3）=supQ~PoSt+1（ω，·）-1季度∈MKnEQ[g（ω，·）]对n保持不变≥ n、 现在，在n中取得suprema∈ （4.3）两侧的N：inf{x∈ R |H∈ Rds。t、 x+HSt+1（ω，·）≥ g（ω，·）P-a.s.}=supn∈Ninf{x∈ R |H∈ Rds。t、 x+HSt+1（ω，·）≥ ~g（S0:t（ω），·）on Kn}=supn∈NsupQ公司~PoSt+1（ω，·）-1季度∈MKnEQ[g（S0:t（ω），·）]≤ supQ公司~PoSt+1（ω，·）-1季度∈MRdEQ[g（S0:t（ω），·）]≤ inf{x∈ R |H∈ Rds。t、 x+HSt+1（ω，·）≥ g（ω，·）P-a.s.}。利用固定P和P的（APS）下的一步对偶结果，我们现在证明定理2.9的第一部分，该部分在以下命题中重述：命题4.11。

让NA（P）保持不变，让g:X→ R是上半解析的。然后存在一个测量值Pg=Pg ···  PgT公司-1和FU可测集OhmPG带P(OhmPg）=1表示所有P∈ P、 使得πP（g）=π^P（g）=π(OhmPg）*Φ（g）=supQ∈MOhmPg，ΦEQ【g】=supQ∈QP，ΦEQ【g】。证据我们注意到，根据NA（P）和定理2.6OhmP \\(OhmP）*Φ为p极。我们首先取Φ=0。回想一下给出的一步泛函的定义（Bouchard和Nutz，2015，引理4.10，第846页）ET（g）（ω）=g（ω）ET（g）（ω）=supQ∈Qt（ω）EQ[Et+1（g）（ω，·）]，t=0，T-通过（APS）和g的上半解析性，每个Et（g）都是上半解析的。Weshow递归地表示，对于每t=0，T- 1和P-q.e.ω∈ XTHERE existsa措施P∈ P（X）使得NA（P）保持和supq∈Qt（ω）EQ[Et+1（g）（ω，·）]=supQ~P、 Q∈MXEQ[Et+1（g）（ω，·）]。1月28日OB L\'OJ和JOHANNES WIESELNote指出，通过可测量的选择参数和OhmPwe得出P-q.e.ω的结论∈ xtna（Pt（ω））和P（projt+1）的性质(OhmP∩ ∑ωt））=1保持所有P∈ Pt（ω）。我们现在∈ {0，…，T- 1} 和ω∈ xtna（Pt（ω））和P（projt+1(OhmP∩∑ωt））=1表示所有P∈ Pt（ω）保持不变。请注意，存在序列（Pn）n∈确认该Pn∈ 所有n的Pt（ω）∈ N和SUPQPn，Q∈MXEQ[Et+1（g）（ω，·）]↑ supQ公司∈Qt（ω）EQ[Et+1（g）（ω，·）]（n→ ∞).我们从第4.1节中Φ=0的定理2.6的证明中可以看出，在NA（Pt（ω））和固定P下∈ Pt（ω），我们总是可以找到P∈ Pt（ω），使得PPand NA（▄P）保持不变。因此，我们可以在不损失一般性的情况下假设NA（Pn）适用于所有n∈ N、 定义^Pn：=Pnk=1-k/（1）- 2.-n） 主键∈ Pt（ω）以及asPgt（ω）：=P∞k=1-kPkand注意到NA（^Pn）和NA（Pgt（ω））都适用于alln∈ N、 进一步moreet（g）（ω）=supn∈NsupQ公司Pn，Q∈MXEQ[Et+1（g）（ω，·）]≤ supn公司∈NsupQ公司~^Pn，Q∈MXEQ[Et+1（g）（ω，·）]≤ supQ公司~Pgt（ω），Q∈MXEQ[Et+1（g）（ω，·）]=inf{x∈ R |H∈ Rds。t、 x+HSt+1（ω，·）≥ Et+1（g）（ω，·））Pgt（ω）-a.s.}，其中最后一个等式来自引理4.10。

定义πPgt（ω）t（g）=inf{x∈ R |H∈ Rds。t、 x+HSt+1（ω，·）≥ Et+1（g）（ω，·）Pgt（ω）-a.s.}πPt（ω）（g）=inf{x∈ R |H∈ Rds。t、 x+HSt+1（ω，·）≥ Et+1（g）（ω，·）Pt（ω）-q.s.}。明确πPgt（ω）（g）≤ πPt（ω）（g）。现在假设一个矛盾，不等式是严格的，并设ε：=πPt（ω）（g）-πPgt（ω）（g）>0。进一步注意，对于紧集序列（Kn）n∈确认Kn↑ Rdwe有πPgt（ω）| Kn（g）：=inf{x∈ R |H∈ Rds。t、 x+HSt+1≥ Et+1（g）Pgt（ω）（·|St+1（ω，·）∈ Kn）-a.s.}↑ πPgt（ω）（g）（n→ ∞),πPt（ω）| Kn（g）：=inf{x∈ R |H∈ Rds。t、 x+HSt+1≥ Et+1（g）Pt（ω）| Kn-q.s.}↑ πPt（ω）（g）（n→ ∞),式中，pt（ω）| Kn：={P（·|St+1（ω，·）∈ Kn）| P∈ Pt（ω），P(St+1（ω，·）∈ Kn）>0}。选择n∈ N足够大，使得πPt（ω）| Kn（g）- πPgt（ω）| Kn（g）>3ε/4。用H的HKN闭集表示∈ Rd使得πPgt（ω）| Kn（g）+ε/2+HSt+1（ω，·）≥ Et+1（g）（ω，·））Pgt（ω）（·）|St+1（ω，·）∈ Kn）-a.s.然后每H∈ HKN存在PHn∈ Pt（ω）使得phn（{πPgt（ω）| Kn（g）+ε/2+HSt+1（ω，·）<Et+1（g）（ω，·））}∩ {St+1（ω，·）∈ Kn}）>0。注意，存在一个可数序列（Hkn）k∈N、 在香港非常密集。特别是每小时∈ Rd使得πPgt（ω）| Kn（g）+ε/4+HSt+1（ω，·）≥ Et+1（g）（ω，·））Pgt（ω）（·）|St+1（ω，·）∈ Kn）-a.s.存在k∈ N使得πPgt（ω）| Kn（g）+ε/2+HknSt+1（ω，·）≥ Et+1（g）（ω，·））Pgt（ω）（·）|St+1（ω，·）∈ Kn）-a.s.现在设置Pn=P∞k=1-kPHknn公司∈ P（X），注意对于所有n∈ N足够大π（Pgt（ω）+Pn）| Kn（g）- πPgt（ω）| Kn（g）≥ ε/4.金融市场稳健建模29kN↑ Rdwe特别有Ret（g）（ω）≤ supQ公司~Pgt（ω），Q∈MXEQ[克]<极限→∞supQ公司~（Pgt（ω）+Pn）| Kn，Q∈MXEQ[克]≤ Et（g）（ω），一个矛盾。

ThusEt（g）（ω）=πPt（ω）（g）=πPgt（ω）（g）。作为0∈ ri（supp（（Pgt（ω）））是超边缘策略ω7的一个自然的、普遍可测量的候选者→ Ht+1（ω）是limε的右导数∈Q、 ε↓0（Eεeit（g）（ω）-Et（g）（ω））/ε，其中Eεeit（g）（ω）是Borel可测库存的超边际价格（St+εei），i=1，d≤ d而不是St。这是上半解析函数差异的逐点极限，因此是普遍可测量的。对于ω∈ XT为了使该量不存在，我们将Ht+1（ω）=0。此外，为了表示映射ω7→ Pgt（ω）可以选择为普遍可测的，我们首先注意到在（Bouchard和Nutz，2015，引理4.8，p.843）中，集合{（Q，p）∈ P（projt+1（∑ωt））×P（projt+1（∑ωt））|等式[St+1（ω，·）]=0，P∈ Pt（ω），Q P} 是分析型的。因此，我们可以应用扬科夫·冯·诺依曼选择定理（见（Bertsekas和Shreve，1978年，命题7.50，第184页））来找到Et（g）（ω）的1/n-优化子（Qnt（ω），Pnt（ω）），如下所述。Φ6=0的情况可以用归纳法来处理，就像证明Φ6=0的定理2.6一样。总之，我们找到了一个策略（h，h）∈ AΦ（FU）这样的SUPQ∈QP，ΦEQ【g】+h·Φ+（ho ST）≥ g P-q.s.我们现在确定OhmPg=OhmP∩(ω ∈ 十、supQ公司∈QP，ΦEQ[g]+h·Φ（ω）+（ho ST）（ω）≥ g（ω））∈ 傅。证据到此结束。备注4.12。由NA（P）命题4.11表示g=00=inf{x∈ R |（h，h）∈ AΦ（FU）使得x+h·Φ+（ho ST）≥ 0 P-q.s.}=infg∈Einf{x∈ R |（h，h）∈ AΦ（FU）使得x+h·Φ+（ho ST）≥ g开启(OhmPg）*Φ}=inf▄g∈EsupQ∈MOhmP▄g，ΦEQ[▄g]，其中我们定义={▄g:X→ (-∞, 0]FU可测量|g=0 P-q.s.}。尤其是对于每一个▄g∈ 以太存在Q∈ MX，Φ，使得等式[g]=0。（Burzoni等人，2019b）在更一般的设置中获得了类似的结果。

在不使用P的（APS）设置的情况下，聚合对应于所有g（以及所有P极集）的鞅测度，以获得与（Bouchard和Nutz，2015）相当的结果，仍然是一个悬而未决的问题。数据可用性声明：数据共享不适用于本文，因为本研究中未创建或分析新数据。1月30日OB L\'OJ和JOHANNES WIESELReferences[1]Acciaio，B.、Beiglb¨ock，M.、Penkner，F.和Schachermayer，W.（2016）。资产定价基本定理和超级复制定理的Amodel免费版本。数学《金融》，26（2）：233–251。[2] Bartl，D.（2019年）。无限禀赋模型不确定性下的指数效用最大化。安。应用程序。概率。，29(1):577–612.[3] Bartl，D.、Cheridito，P.、Kupper，M.、Tangpi，L.等人（2017年）。具有可数个边缘约束的增凸泛函的对偶性。巴纳赫数学分析杂志，11（1）：72–89。[4] Bayraktar，E.和Zhang，Y.（2016）。交易成本和模型不确定性下资产定价的基本定理。数学操作。第41（3）号决议：1039–1054。[5] Bayraktar，E.、Zhang，Y.和Zhou，Z.（2014年）。关于模型不确定性下资产定价基本理论的注记。风险，2（4）：425–433。[6] Bayraktar，E.和Zhou，Z.（2017）。模型不确定性和投资组合约束下的套利和对偶问题。数学《金融》，27（4）：988-2012。[7] Bertsekas，D.和Shreve，S.（1978年）。随机最优控制：离散时间案例，第23卷。纽约学术出版社。[8] Black，F.和Scholes，M.（1973年）。期权和公司负债的定价。J、 政治经济学。，第637-654页。[9] Blanchard，R.和Carassus，L.（2019年）。在离散时间内无多个优先级的套利。arXiv预印本arXiv:1904.08780。[10] Bonnice，W.和Reay，J.（1969年）。凸面外壳的相对内部。过程。是数学Soc。，20(1):246–250.[11] Bouchard，B.和Nutz，M.（2015年）。

非支配离散时间模型中的套利和对偶。安。应用程序。概率。，25:823–859.[12] Burzoni，M.、Fritelli，M.、Hou，Z.、Maggis，M.和Ob l\'oj，J.（2019a）。离散时间点式套利定价理论。数学操作。决议【13】Burzoni，M.，Frittelli，M.，和Maggis，M.（2016）。不确定性离散时间市场中的普遍套利聚合。财务Stoch。，20(1):1–50.[14] Burzoni，M.，Frittelli，M.，和Maggis，M.（2017）。无模型超边缘对偶。安。应用程序。概率。，27(3):1452–1477.[15] Burzoni，M.、Riedel，F.和Soner，H.（2019b）。奈特不确定性下的生存能力和套利。arXiv预印本arXiv:1707.03335。[16] Carassus，L.、Ob L\'oj，J.和Wiesel，J.（2019年）。健壮的超级复制问题：一种动态方法。暹罗J.金融数学。显示。[17] Cohn，D.（2013年）。测量理论。斯普林格。[18] Cont，R.（2006年）。模型不确定性及其对衍生工具定价的影响。数学《金融》，16（3）：519–547。[19] Cox，A.、Hou，Z.和Obl\'oj，J.（2016）。交易限制下的稳健定价和套期保值以及局部鞅模型的出现。财务Stoch。，20(3):669–704.[20] Cox，A.和Ob l\'oj，J.（2011年）。双重非接触期权的稳健定价和对冲。财务Stoch。，15(3):573–605.[21]Davis，M.和Hobson，D.（2007）。交易期权价格的范围。数学《金融》，17（1）：1-14。[22]Delbaen，F.和Schachermayer，W.（1994）。资产定价基本理论的一般版本。Mathematische Annalen，300（1）：463–520。[23]Denis，L.和Martini，C.（2006）。存在模型不确定性时未定权益定价的理论框架。安。应用程序。概率。，16(2):827–852.[24]Dolinsky，Y.和Soner，H.（2014）。具有比例交易成本的稳健对冲。《金融与随机》，18（2）：327–347。金融市场稳健建模31【25】F¨ollmer，H.和Schied，A.（2011）。

随机金融：离散时间导论。Walter de Gruyter。[26]Hou，Z.和Ob l\'oj，J.（2018）。关于稳健定价——连续时间内的套期保值二元性。财务Stoch。，22(3):511–567.[27]奈特，F.（1921）。风险、不确定性和利益。波士顿：Houghton Mi Free in。[28]默顿，R.C.（1973）。期权定价的理性理论。贝尔J.经济学。管理Sci。，4(1):141–183.[29]Mykland，P.等人（2003年）。财务选项和统计预测间隔。安。统计员。，31(5):1413–1438.【30】Nutz，M.（2016）。离散时间模型不确定性下的效用最大化。数学《金融》，26（2）：252–268。[31]Peng，S.（2004）。非线性预期、非线性评估和风险度量。《金融中的随机方法》，第165–253页。斯普林格。[32]Riedel，F.（2015）。无概率先验假设的金融经济学。《经济学和金融决策》，38（1）：75–91。【33】Rockafellar，R.和Wets，R.（2009）。变分分析，第317卷。斯普林格伯林。[34]Rokhlin，D.（2008）。Dalang-Morton-Willinger定理的证明。arXiv预印本arXiv:0804.3308。[35]Samuelson，P.（1965年）。认股权证定价的理性理论。工业管理。修订版。（1986年前），6（2）：13。[36]Vanderbei，R.（1997）。一致连续性几乎是Lipschitz连续性。技术报告，SOR-91-11，统计与运筹学系列。[37]Wiesel，J.（2020年）。稳健定价和对冲的时间一致性数据驱动方法。博士学位论文。电子邮件地址：jan。obloj@maths.ox.ac.ukE-邮寄地址：johannes。wiesel@maths.ox.ac.ukMathematical牛津大学圣约翰学院