年金融市场稳健建模的统一框架

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英文标题：
《A unified Framework for Robust Modelling of Financial Markets in
  discrete time》
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作者：
Jan Obloj, Johannes Wiesel
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最新提交年份：
2019
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英文摘要：
  We unify and establish equivalence between the pathwise and the quasi-sure approaches to robust modelling of financial markets in discrete time. In particular, we prove a Fundamental Theorem of Asset Pricing and a Superhedging Theorem, which encompass the formulations of [Bouchard, B., & Nutz, M. (2015). Arbitrage and duality in nondominated discrete-time models. The Annals of Applied Probability, 25(2), 823-859] and [Burzoni, M., Frittelli, M., Hou, Z., Maggis, M., & Obloj, J. (2019). Pointwise arbitrage pricing theory in discrete time. Mathematics of Operations Research]. In bringing the two streams of literature together, we also examine and relate their many different notions of arbitrage. We also clarify the relation between robust and classical $\\mathbb{P}$-specific results. Furthermore, we prove when a superhedging property w.r.t. the set of martingale measures supported on a set of paths $\\Omega$ may be extended to a pathwise superhedging on $\\Omega$ without changing the superhedging price.
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中文摘要：
我们统一并建立了离散时间金融市场稳健建模的路径方法和准确定方法之间的等价性。特别地，我们证明了资产定价的一个基本定理和一个超边缘定理，其中包括[Bouchard，B.，&Nutz，M.（2015）。非支配离散时间模型中的套利和对偶。应用概率年鉴，25（2），823-859]和[Burzoni，M.，Frittelli，M.，Hou，Z.，Maggis，M.，&Obloj，J.（2019）。离散时间点式套利定价理论。运筹学数学]。在将这两组文献汇集在一起的过程中，我们还研究并联系了他们对套利的许多不同概念。我们还阐明了鲁棒性和经典$\\ mathbb{P}$-特定结果之间的关系。此外，我们证明了在不改变超边缘价格的情况下，当一个超边缘性质w.r.t.在一组路径$\\ Omega$上支持的鞅测度集可以扩展为$\\ Omega$上的路径超边缘时。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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PDF下载：
--> A_unified_Framework_for_Robust_Modelling_of_Financial_Markets_in_discrete_time.pdf (701.28 KB)

2022-6-14 02:08:38 上传

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关键词：金融市场 Mathematical formulations Applications Differential

离散时间金融市场稳健建模的统一框架Jan OB L’OJ和JOHANNES WIESELAbstract。我们统一并建立了离散时间金融市场稳健建模的路径方法和准确定方法之间的等效性。特别是，我们证明了资产定价的一个基本定理和一个超边缘定理，其中包括（Bouchard和Nutz，2015）和（Burzoni et al.，2019a）的公式。在将这两种文献汇集在一起的过程中，我们还研究并联系了他们对套利的许多不同概念。我们还阐明了稳健和经典P-特异性结果之间的关系。此外，我们还证明了当一个超边性质w.r.t.在一组路径上支持鞅测度集时Ohm 可以扩展到路径超边缘Ohm 在不改变超边际价格的情况下。1、简介金融市场的数学模型在经济和金融领域具有重要意义，在衍生产品定价和对冲理论以及风险管理中发挥了关键作用。经典模型可以追溯到（Samuelson，1965）和（Black和Scholes，1973）的连续时间，它们指定了一个固定的概率测度P来描述资产价格动态。他们形成了一个强大的完整金融市场理论，后来又形成了一个不完整的金融市场理论。最初的模型经历了无数变化，其中包括局部和随机波动率模型，并得到了广泛应用。然而，他们也面临着忽视模型不确定性问题的重要批评，尤其是在2007/08年金融危机之后。因此，在回溯到（Knight，1921）的理论发展的启发下，出现了新的建模方法，旨在解决这一基本问题。

根据所谓的准确定方法和路径方法，可以大致分为两个流。准肯定方法引入了一组表示可能的市场情景的先验P。这些先验值可能非常不同，P通常包含相互奇异的度量值。这带来了重大的数学挑战，并导致了准确定随机分析理论（参见，例如，（Peng，2004；Denisand Martini，2006））。在离散时间内，该框架在（Bouchardand Nutz，2015）中进行了抽象，我们在本文的其余部分称之为准sure公式。通过在一个固定概率测度（P={P}）的“极端”情况和考虑所有概率测度（P=P（X））的“极端”情况之间改变概率测度集P，该公式允许市场动态的广泛不同规范。准确定方法已被用于考虑市场摩擦和其他相关问题的模型不确定性，例如（Bayraktarand Zhou，2017；Bayraktar和Zhang，2016）。pathwise方法通过在没有概率度量或类似的相对权重的情况下描述市场情景集来解决市场建模中的Knightian不确定性：2019年12月4日。我们非常感谢欧洲研究理事会根据欧盟第七框架计划（FP7/2007-2013）/欧洲研究理事会第335421号赠款协议以及牛津圣约翰学院提供的资金。我们也感谢马特奥·布佐尼的有益言论和评论。JW进一步感谢德国学术奖学金基金会的支持。1月2日OB L\'OJ和JOHANNES WIESELscenarios。

它也被称为点式方法，或ω乘以ω的方法，与央行使用情景生成器进行压力测试的方式相似。在离散时间内，根据（Burzoni et al.，2017，2016）的早期发展，在（Burzoni et al.，2019a）中获得了合适的理论。该方法基于（Mykland et al.，2003）中引入的预测集概念，并在（Hou和Ob l\'oj，2018）中使用了不连续时间。包含所有场景的特殊情况通常被称为独立于模型的框架，并在（Davis和Hobson，2007）和（Acciaio等人，2016）中率先提出。在此基础上，通过包含代表不同代理人信念的其他假设，进一步进行模型规范。以这种方式，消除了所有代理认为不可能的路径。剩下的路径集称为预测集或模型。因此，准确定和路径两种方法都允许在建模谱的两端之间进行插值，如（Merton，1973）：模型独立和模型特定设置（见图1）所示。在这样做的过程中，他们让WTO捕捉到他们的产出在添加或删除建模假设的功能中是如何变化的，从而可以量化给定假设集对当前问题的影响和风险，见（Cont，2006）。这两种方法都是同样可行的方法：添加概率m ea su re以达到PModel特定方法：修复普遍可接受的设置此paperPathwise Robust方法：从通用波兰spaceX开始，排除不可能的路径以获得图1：。金融市场建模的不同方法成功地发展了合适的套利概念，并将核心结果从经典的P-a.s.环境扩展到更一般的环境。

特别是在bothapproaches中，可以建立无套利资产定价的基本定理<=> 鞅测度Qa的存在性和formsupQEQ[g]=inf{x | x的超边缘定理是g}超边缘策略的初始资本。我们的主要贡献是统一这两种建模不确定性的方法。我们证明，在温和的技术假设下，资产定价和超边缘二元论的路径和准确定基本定理可以相互推断，因此是等价的。我们的陈述遵循下面概述的元结构：元定理。假设我们在一个给定的priorsP集合的准确定环境中。然后，存在合适的场景选择OhmPsuch的pathwiseresultOhmPIMPPLIES P的准肯定结果。相反，假设我们有一个选择的场景Ohm. 然后，有一组优先级POhm这样P的准肯定结果Ohm表示的路径结果Ohm.金融市场的稳健建模3建立这种等效性使我们能够对这两种方法的核心对象获得重要的额外见解，并澄清与经典模型规范设置的联系。特别是，当将逐点分析的结果转换为准确定设置时，Bouchard和Nutz（2015）中的关键技术分析产品结构假设（见下文定义2.1）是根据（Burzoni et al.，2019a）中的情景分析自然得出的。在建立超边缘定理时，我们不仅证明了g的路径超边缘价格等于准确定价格，而且还证明了两者都等于模型特定的P-超边缘价格，其中P取决于设置，即P或等效于Ohm, 但也在支付上。

最后，资产定价稳健基本定理证明的关键含义，即（5）=> （1） 在下面的定理2.7中，通过仔细构造适当的P∈ 它不允许经典意义上的套利，因此允许一个等价的鞅测度。此外，我们调查并联系了两种方法中使用的套利概念。我们提供了一个广泛的套利概念列表，这些概念是在稳健金融的文献中引入和使用的，并在它们之间建立了明确的关系。我们还详细研究了路径超边缘的概念。如（Burzoni et al.，2017）所述，当在一般集上进行超边缘化时，路径超边缘对偶性不适用于一般laims gOhm 是必需的。相反，我们必须考虑在较小的“效率”集合上进行套期保值Ohm*（定义为鞅测度支持的最大集合，包含在Ohm) 保持定价对冲的双重性。我们澄清了这是必要的，以及何时可以从Ohm*到Ohm. 直觉上，由于存在套利机会Ohm \\ Ohm*,有人可以试图夸大这一主张Ohm \\ Ohm*通过实施套利策略，无需任何额外成本。我们提供了许多反例来说明这种想法在总体上是不可行的，并将其与套利策略的可测量性约束联系在一起，这在（Burzoni et al.，2016）中也遇到过。Wethen证明了上述直觉仅对在一定正则条件下本质上一致连续的g成立Ohm.论文的其余部分组织如下。第2节包含主要结果。首先，在第2.1节中，我们介绍了我们工作的一般设置。我们在第2.2节中讨论了（稳健）套利的不同概念。

然后，在第2.3节中，我们建立了资产定价的稳健基本定理，该定理不符合准确定和路径观点。在第2.4节中，我们陈述了一个鲁棒超边缘定理。第3节给出了从Ohm*到Ohm 无需额外成本，且取决于两个强大的路径套利概念之间的关系。最后，第4节包含技术结果和大多数证明。特别是，我们给出了第4.1节定理2.6和2.7以及第4.2.2节定理2.9的证明。金融市场稳健建模的统一框架2.1。交易策略和定价措施。我们使用类似于（Bouchard和Nutz，2015）的符号，并在其设置中工作，因此我们仅回顾此处的主要关注对象，并参考（Bouchard和Nutz，2015）和（Bertsekas和Shreve，1978，第7章）了解技术细节。让T∈ N和Xbe为抛光空间。我们定义t∈ {1，…T}笛卡尔积Xt：=Xt和定义X：=Xt，约定Xis为单态。我们用B（X）表示Borel集合X，用P（X）表示概率测度集B（X），并定义函数projt:X→ X哪个项目ω∈ X到第t坐标，即projt（ω）=ωt。接下来，我们指定金融市场。让d∈ N、 F任意过滤和letSt=（St，…，Sdt）：Xt→ Rdbe Borel可测量，0≤ t型≤ T，并进行了调整。所有价格都是以数字S为单位给出的，因此其本身就是标准化的，St≡ 1月1日、4日OB L’OJ和JOHANNES WIESEL0≤ t型≤ T交易策略H（F）定义为一组F-可预测Rd值过程。所有交易都是无摩擦和自我融资的。给定H∈ H（F），我们表示Ho St=tXu=1HuSuwith H公司o stre使用H表示时间t交易产生的现金流。在上面和整个过程中，H是行向量，S是列向量，1表示标量或列向量（1。

，1）T。我们让Φ表示静态交易资产的支付向量Φ=（φλ：λ∈ ∧），其中∧是某个索引集。为了便于标注，我们通常用Φ的元素集来标识Φ。我们假设每个φ∈ Φ是Borel可测量的。当没有静态交易数据集时，我们写入Φ=0。这些资产，我们认为是期权，只能在零时间购买或出售（没有以零成本失去普遍性），并且在到期日之前有效。交易头寸h只能持有其中许多资产∈ c（λ）由∧索引的实数序列的空间，只有无数非零元素，并生成payoffh·Φ=Pλ∈时间T时的∧hλφλ。我们称之为一对（h，h）∈ c（∧）×H（F）半静态交易策略。此类策略的类别为AΦ（F）：=c（∧）×H（F）。出于技术原因，我们还引入了S的水平集，其表示为∑ωt={ω∈ X | S0:t（ω）=S0:t（￠ω）}对于t∈ {0，…，T}和ω∈ Xt，其中S0:t：=（S，…St）。最后，我们表示byF=（Ft）t=0，。。。，t由S生成的自然过滤，并设Fut为Ft的普遍完成，t=0，T此外，我们为（XT，FUT）写（X，FU），并经常将（XT，FUT）视为（X，FU）的子空间。在这种情况下，有关稳健定价和套期保值的文献采用两种方法对代理人的信念进行建模。一个流是基于场景的，通过指定预测集来继续Ohm  十、 描述了可能的价格轨迹。另一个流通过指定一组概率度量P继续进行 P（X），它决定了一组可忽略的结果。我们将后者称为准确定方法，而前者通常称为路径方法或点方法。在这两种情况下，模型规格可能取决于代理人的市场信息以及其特定的建模假设。

更改集合Ohm或者P可以被视为在不同信仰之间插入的自然方式。本文的主要目的之一是证明两种模型方法在相应的FTAP和超边际价格方面是等价的。为了以可测量的方式在不同水平集∑ωtin上聚合交易策略，我们在本文中始终假设Ohm 是分析性的，P具有以下结构：定义2.1。A集P P（X）被称为满足解析积结构条件（APS），ifP={P ··· PT公司-1 | Ptis FUt Pt}的可测选择器，其中设置Pt（ω） P（X）是非空、凸和图（Pt）={（ω，P）|ω∈ Xt，P∈ Pt（ω）}是解析的。这种结构有助于动态规划原则，并允许基本上将一步结果粘贴在一起，以建立其多步对应项。为了制定资产定价的基本定理，我们需要确定金融市场的建模5交易策略的双重目标：定价（鞅）度量。根据一组度量值P，如下（Bouchard和Nutz，2015），我们定义了qp，Φ：={Q∈ P（X）| S是Q下的FU鞅，P∈ P s.t.Q P、 公式[φ]=0φ ∈ Φ}，在模型特定情况下，P={P}，是所有鞅测度的熟悉集合，等价于P。在路径方法中，对于Ohm  X和a过滤F，我们定义FOhm,Φ（F）：={Q∈ Pf（X）| S是Q，Q下的F-鞅(Ohm) = 1，等式[φ]=0φ ∈ Φ}，其中Pf（X）表示（X，B（X））上的完全支持的Borel概率度量。作为一般惯例，本文解释了上述子脚本和超脚本对度量集的限制。当我们放弃其中一些条件时，这表明这些条件没有被施加，例如，MOhm（F） 表示上支持的所有F-鞅测度Ohm. 下一个letOhm*Φ:= {ω ∈ Ohm | Q∈ Mf公司Ohm,Φ（F）s.t。

Q（ω）>0}=[Q∈Mf公司Ohm,Φ（F）supp（Q）具有与上述子脚本和超级脚本相同的约定。我们还定义：=（FMt）t∈{0，…，T}，其中FMt=\\Q∈MOhm（F） 英尺∨ NQ（FT），NQ（FT）：={N A.∈ FT | Q（A）=0}和FMtis的幂集Ohm 如果MOhm（F） =.备注2.2。请注意，F 傅 FMholds。所有这些过滤产生相同的鞅测度Ohm 校准至Φ，我们用M表示Ohm,Φ.对于P∈ P（X），因此NP：=NP（FU）表示其空集的集合。同样，给定一个族P P（X），如果由NP=TP给出，则其极集的集合∈PNP。我们说，如果一个属性在P极集合外成立，它就成立P-q.s。2.2. 套利的概念。金融数学中最重要的基本概念之一是没有套利。迄今为止，在有关稳健定价和套期保值的文献中，已经提出了许多套利的概念。我们在这里以无人值守的方式展示了这些，并讨论了它们的相对依赖性。为了补充图片，我们建立了一些新的技术成果。这些推迟到第3.2节。定义2.3。固定X和a的子集的过滤F、集合P、集合SOhm.回想一下，半静态容许交易策略由（h，h）给出∈ AΦ（F）。1pA(Ohm) 单点套利（见（Riedel，2015））是一种策略（h，h）∈AΦ（F）使得h·Φ+ho 装货单≥ 0开Ohm 关于某些ω的严格不等式∈ Ohm.办公自动化(Ohm) 公开套利（见（Riedel，2015））是一种策略（h，h）∈ AΦ（F）使得h·Φ+ho 装货单≥ 0开Ohm 关于Ohm.南非(Ohm) 强套利（见（Acciaio et al.，2016））是一种策略（h，h）∈AΦ（F）使得h·Φ+ho ST>0开Ohm.美国(Ohm) 一致强套利（见Davis和Hobson，2007））是一种错误策略（h，h）∈ AΦ（F）使得h·Φ+ho装货单≥ ε开Ohm 对于某些ε>0。A（P）P-准肯定套利（见（Bouchard and Nutz，2015））是一种策略（h，h）∈ AΦ（F）使得h·Φ+ho 装货单≥ 0保持P-q.s。