大型随机投资组合的快速均值回复渐近性

这意味着给定C，存在一个二维随机变量（σi，j，1，*, σi，j，2，*) 其分布在（σi，1·，σj，1·）和（σi，j，1，*, σi，j，2，*)||C] 某些可测函数F:R存在且不确定→ R我们还有：limT→+∞TZTF公司σi，1s，σj，1sds=EhFσi，j，1，*, σi，j，2，*Ci，或等效变量变化后的lim→0+tZtFσi，1s，σj，1sds=EhFσi，j，1，*, σi，j，2，*Cifor任何t≥ 0，P-几乎可以肯定。正递归性质是我们的收敛结果得以保持的前提，现在我们将陈述两个建议，这两个建议为我们提供了几类满足此性质的模型。第一个建议表明，对于Ornstein-Uhlenbeck模型（g（x）=1对于所有x∈ R） 我们总是具有正递归性质。第二个结果表明，对于CIR模型（g（x）=p | x |对于所有x∈ R） 如果挥发率的随机系数满足一定的条件，则我们具有正递归性质。这两个命题的标题可以在附录中找到。提案2.2。假设g是一个可微函数，从b ysome cg>0的下方开始有界。假设g′（x）κi（θi-x） <κig（x）+所有x的vig′（x）g（x）∈ 兰迪∈ N、 对于所有可能的Ci值。则g具有正递归性质。提案2.3。假设g（x）=p | x | | g（x），其中函数| g i是一个连续可微分、严格正且递增的函数，对于某些cg>0的情况，取[cg，1]中的值。然后，存在一个η>0的suc h，使得g具有正递推性质- CjkL公司∞（R） <η和κivj>+√就我而言，j∈ N、 P-几乎可以肯定。现在我们可以继续我们的主要结果，它将由条件动量σ1,1=e[h（σ1,1,1，*) |C] σ2,1=pE[h（σ1,1,1，*) |C] ，以及数量∧σ=pE[h（σ1,2,1，*)h（σ1,2,2，*) |C] ，式中σ1,1,1，*, σ1,2,1,*和σ1,2,2，*定义2.1中给出。

下一个定理意味着损失Lt=1的弱收敛性- 在快速均值回复波动率设置下，P[X1，t>0 | W，B，G]，在适当的恒定波动率设置下，为损失。定理2.4。假设（κi，θi，vi，ρ2，i）=（κ，θ，v，ρ）对于所有i∈ N、 这是R中的非终结向量，函数h有界，g具有正递归性质，在这种情况下，我们有σ1,1=E[h（σ1,1,1，*)], σ2,1=pE[h（σ1,1,1，*)], 和▄σ=pE[h（σ1,2,1，*)h（σ1,2,2，*)]. 现在考虑一维大型投资组合模型，其中第i项资产的违约距离为Xi，*根据系统XI及时卷取，*t=xi+国际扶轮社-σ2,1t+△ρ1，iσ2,1Wt+q1- ρ1，iσ2,1Wit，0≤ t型≤ T*iXi，*t=0，t≥ T*它*i=inf{t≥ 0：Xi，*t=0}，其中▄ρ1，i=ρ1，i▄σ2,1。然后，我们得到了收敛phx1，t∈ 我W、 B、Gi-→ PhX1，*t型∈ 我W、 Giin分布为→ 0+，对于任何间隔I=（0，U）和U∈ (0, +∞].备注2.5。由于所有波动过程都具有相同的平稳d分布，一个简单的Schwartz不等式表明∑≤ σ2,1，这意味着|ρ1，i≤ ρ1，i<1和q1- §ρ1，iis对于每个i都有很好的定义。上述定理给出了很弱的收敛性，并且仅在每个波动率具有相同系数的限制性假设下。因此，我们还将从不同的角度研究系统的渐近行为。特别是，我们将确定波动路径σ1,1和系数向量C′i，并研究加速设置下解u（t，x）与SPDE（2.1）的收敛性，即eu（t，x）=u（x）-Zt公司r-h类σ1,1sux（s，x）ds+Zthσ1,1suxx（s，x）ds- ρ1,1Zthσ1,1sux（s，x）dWs，（2.2），用于计算损失Lt。我们现在写Eσ，Cto表示给定波动路径σ1,1的预期，theCis，我们已经确定，Lσ，Cto表示相应的Lnorms。由2。

在【15】中的第4.1条中，上述SPDE的解u满足识别u（t，·）kL（R+）+1.- ρ1,1Zth公司σ1,1tkux（s，·）kL（R+）ds=kukL（R+）（2.3），这表明u的L（R+）范数，以及其L（[0，T]×R+）范数（对于任何T>0），都由一个具有有限Lσ，C的随机变量一致有界(Ohm) norm（也需要[15]中的假设）。因此，在任意给定的值序列趋向于零的子序列中，我们对某个元素u具有弱收敛性*（见[3]），我们可以在Lσ，C（[0，T]×R+×中得到Ohm) 在L（[0，T]×R+）中几乎肯定存在P。弱极限u的特征*在下面的定理中给出。定理2.6。假设g具有正递归性质，对于someC>0，我们有| h（x）|≤ C代表所有x≥ 0、任何弱极限u*uin Lσ，C（[0，T]×R+×Ohm)解决以下SPDEu*（t，x）=u（x）-r-σ2,1!Ztu公司*x（s，x）ds+σ2,1Ztu*xx（s，x）ds- ρ1,1σ1,1Ztu*x（s，x）dWs。（2.4）如果h从下方以一个大于0的正常数c为界，则在h（R+）×Lσ，c中同样存在弱收敛(Ohm ×[0，T]），和u*是该空间中（2.4）的唯一解决方案。在这种情况下，有一个唯一的后续弱极限，因此我们将弱收敛作为→ 0+.不难看出，在（κi，θi，vi，ρ2，i）=（κ，θ，v，ρ）的假设下，定理2.6中获得的极限SPDE（2.4）与定理2.4中给出的恒定波动率大型投资组合模型相对应，但相关系数为ρρ1，i=ρ1，iσσσ2,1替换为ρ′1，i=ρ1，1σ2,1。这表明，lossLtcan的收敛性只能在弱意义上建立，因为通常我们会有▄σ>σ1,1，因此▄ρ1，i>ρ′1，ifor all i。这在下一个命题及其推论中明确说明。提案2.7。

在定理2.4的假设下，我们总是∑∈ [σ1,1, σ2,1].通常，只有当v值不相关（ρ=0）且完全相关（ρ→ 1） 分别为。推论2.8。在一般情况下，定理2.4中建立的趋同没有任何更强的意义，除非没有影响我们环境中所有波动的市场噪音。3主要结果：小量成交量设置我们现在继续小量成交量设置，其中现在只有波动率d裂谷按进行缩放，即所有i的ki=κi/。这导致了模型，其中第i项资产的违约满意度xi，t=xi+Rt国际扶轮社-h（σi，t）dt+Rth（σi，t）第一季度- ρ1，idWit+ρ1，idWt, 0≤ t型≤ Tiσi，T=σi，init+Rtκi（θi- σi，t）dt+ξigσi，t第一季度- ρ2，idBit+ρ2，idBtXi，t=0，t>ti：=inf{s≥ 0：Xi，s≤ 0}.上述模型的主要特点是，当随机系数和函数g满足一定条件时，第i个波动过程σi，在强烈意义上收敛于C-可测平均值θias→ 0+代表所有i∈ N、 我们还可以确定收敛速度。所需的条件如下所示，在本节的其余部分，这些条件将被假定为适用：1。i.i.d随机变量σi、ξi、θi、κi在r的某个紧致子区间中取值，每个κi由某个确定性常数cκ>0.2从下方限定。g是一个最多线性增长的C函数（即| g（x）|≤ C1，g+C2，g | x |对于某些C1，g，C2，g>0和所有x∈ R） 。3、函数h及其导数都有多项式增长。在上述条件下，以下命题命题3.1给出了每个波动过程对其均值的收敛性。对于任何t≥ 0和p≥ 1，我们有σi，→ θias→ Lp中0+以上(Ohm×[0，t]），以p的速率。

也就是说，我们有kσi，-θikpLp(Ohm×[0，t]）=O（）as→ 0+.在大体积的体积中，我们的系统只具有弱收敛性的原因是，极限量σ1,1、σ2,1和σ不重合。另一方面，命题3.1意味着小体积体积中的相应极限是相等的，这使我们希望我们的系统在更强烈的意义上收敛。设u为体积设置的小体积中SP DE（2.1）的解，u（t，x）=u（x）-Zt公司r-h类σ1，sux（s，x）ds+Zthσ1，suxx（s，x）ds- ρ1,1Zthσ1，sux（s，x）dWs（3.1），其中我们确定了波动路径和随机系数。与（2.2）的情况和定理2.3的证明一样，可以建立类似于的SPDE渐近性质→ 0+. 然而，使用反导数v0，：=R更方便+∞·u（·，y）dy，满足相同的SPDE，但具有不同的约束条件，损失Lt=1- P【X1，t>0 | W，B，G】等于其在所有可能波动路径和系数值上的平均值为0，而其收敛性可以在更强的意义上建立，无需假设Wand Bare不相关。我们的主要结果如下表3.2所示。定义v（t，x）=R+∞xu（t，y）dy代表所有t，x≥ 0，其中Ui是SPDEu（t，x）=u（x）的唯一解-Zt公司r-h（θ）ux（s，x）ds+Zth（θ）uxx（s，x）ds- ρ1,1Zth（θ）ux（s，x）dWs（3.2）in L(Ohm ×[0，T]；H（R+），由常数v可用性模型dxi产生，*t型=国际扶轮社-h（θi）dt+h（θi）第一季度- ρ1，idWit+ρ1，idWt, 0≤ t型≤ 提西，*t=0，t>Ti：=inf{s≥ 0：Xi，*s≤ 0}Xi，*= xi（3.3）代表i∈ N、 然后，v0，收敛到vas→ 0+，在Sobolev空间L中强(Ohm ×[0，T]；H（R+），对于任何T>0，收敛速度为√.

也就是说，我们有kv0，-vkL(Ohm×[0，T]；H（R+）=O(√）as→ 0+SPDE（3.2）对应于模型（3.3），即给定损失Lt，非违约资产质量1- LtequalsPhX1，*t> 0个W、 Gi=超高压t、 0个W、 Gi=Z+∞Ehut、 x个W、 Gidx。为了估计形式（1.3）概率的收敛速度，我们考虑了近似误差x、 T型=ZT公司PPhX1，t>0W、 B，Gi>x- PPhX1，*t> 0个W、 Gi>xx的DTF∈ [0，1]，并确定其收敛顺序。推论3.3。对于任何x∈ [0，1]使得P[X1，*t> 0 | W，C′，G]在x附近有界密度，在t中均匀∈ [0，T]，我们有E（x，T）=O（1/3）作为→ 0+4证明：大体积体积集合我们证明定理2.4、定理2.6、命题2.7和推论2.8，这是第2节的主要结果。定理2.4。为了建立分布的收敛性，我们证明，对于每个有界连续函数G:R→ R、 我们有：例如PhX1，t∈ 我W、 B、Gi#-→ E“GPhX1，*t型∈ 我W、 Gi公司#（4.1）as→ 0+，其中I=（0，U）。现在注意，由于条件p概率在紧致区间[0，1]中取值，因此对于所有continuousG:[0，1]，它等价于（4.1）→ R、 根据Weierstrass近似定理和线性，我们实际上只需要当G是G（x）=xm形式的多项式时才需要这样。我们现在写Yi，表示加速波动率设置中第i项资产的违约距离，当忽略零的s顶部条件时，即Yi，t=xi+Zt国际扶轮社-h类σi，1sds+Zth（σi，1s）ρ1，idWs+Zth（σi，1s）q1- ρ1，带σi的Idwis，1t=σi，init+κZtθ - σi，1sds+vZtgσi，1sρdBs+vZtgσi，1s第一季度- ρdbis适用于所有t≥ 0，然后我们有Xi，t=Yi，t∧Ti。

m随机过程{Xi，：1≤ 我≤m} 当W，带G中包含的信息给定时，显然是p airwise i.i.d。因此，我们可以写：E“GPhX1，t∈ 我W、 B、Gi#= EPmhX1，t∈ 我W、 B、Gi= EPhX1，t∈ 一、 X2，t∈ 我Xm，t∈ 我W、 B、Gi= PhX1，t∈ 一、 X2，t∈ 我Xm，t∈ Ii=P最小1≤我≤mmin0≤s≤类型，s，最大1≤我≤mYi，t∈ (0, +∞) × (-∞ , U].（4.2）接下来，我们为每个i写Yi，*对于流程Xi，*当零位的停止条件被忽略时，即yi，*t=Xi+ri-σ2,1!t+△ρ1，iσ2,1Wt+q1- §ρ1，iσ2,1wit表示所有t≥ 0，带▄ρ1，i=ρ1，i▄σ2,1。同样，很容易检查过程Yi，*当给出W带G中包含的信息时，为成对i.i.d。因此，我们可以写“GPhX1，*t型∈ 我W、 Gi公司#= EPmhX1，*t型∈ 我W、 Gi公司= EPhX1，*t型∈ 一、 X2，*t型∈ 我Xm，*t型∈ 我W、 Gi公司= PhX1，*t型∈ 一、 X2，*t型∈ 我Xm，*t型∈ Ii=P最小1≤我≤mmin0≤s≤类型，*s、 最大值1≤我≤mYi，*t型∈ (0, +∞) × (-∞ , U].（4.3）然后，（4.2）和（4.3）表明我们要证明的结果已经降到了一致最小1≤我≤mmin0≤s≤类型，s，最大1≤我≤mYi，t-→最小1≤我≤mmin0≤s≤类型，*s、 m ax1≤我≤mYi，*t型,按分配→ 0+（因为任何m个最小值等于0的概率为零，因为任何高斯过程的最小值总是连续分布的，而对于σi，1的任何给定路径，i，显然是高斯的）。设C（[0，t]；Rm）是定义在[0，t]上的连续函数的经典维纳空间，取Rm中的值（即这些函数的空间具有上范数和维纳概率测度），并观察min1≤我≤mpi（最小值0≤s≤定义在C（[0，t]；Rm）上的t·（s）），其中Pis表示在第i轴上的投影，是一个连续函数。

实际上，对于任意两个连续函数f，fin C（[0，t]；Rm），我们有：最小1≤我≤mpi最小0≤s≤tf（s）- 最小1≤我≤mpi最小0≤s≤tf（s）=圆周率f（s）-圆周率f（s）对于一些s，s∈ [0，t]和1≤ i、 我≤ m、 在不丧失一般性的情况下，我们可以假设最后一个绝对值内的差异是非负的。此外，我们还有：pif（s）= 最小1≤我≤mpi最小0≤s≤tf（s）≤ 圆周率f（s）因此最小1≤我≤mpi最小0≤s≤tf（s）- 最小1≤我≤mpi最小0≤s≤tf（s）= 圆周率f（s）- 圆周率f（s）≤ 圆周率f（s）- 圆周率f（s）≤圆周率f（s）-圆周率f（s）≤ kf公司- fkC（[0，t]；Rm）。显然，max1≤我≤定义在C上的mpi（·（t））（[0，t]；Rm）也是连续的（作为众多评估函数的最大值）。因此，我们的问题最终归结为（Y1，，Y2，，…，Ym，）在分布上收敛于（Y1，*, Y2，*, ..., Ym，*) 在空间C（[0，t]；Rm）中，如→ 0+.为了显示分布的收敛性，我们首先确定极限不分布的存在形式为as→ 0+，然后我们将描述有限维分布的极限。显示（Y1，，Y2，，…，Ym，）的定律对于的严密性∈ R+，这意味着期望的分布收敛性，我们回顾了Ethier和Kurtz[9]中定理3.7.2对于连续过程的一个特例，根据该特例，必须证明对于给定的η>0，存在一些δ>0和n>0，从而：P“Y1，，Y2，。。。，Ym，Rm>N#≤ η（4.4）和p“sup0≤s、 s≤t、 | s-s|≤δY1，s，Y2，s。。。，Ym，s-Y1，s，Y2，s。。。，Ym，sRm>η#≤ η（4.5）表示所有>0。（4.4）对于一些非常大的N>0可以很容易地实现，因为我们有（Y1，，Y2，，…，Ym，）=（x，x，…，xm），这与无关，几乎可以肯定是有限的（该向量的范数属于N，N+1）的概率之和∈ N是一个收敛级数，因此，根据Cau-chy标准，N的和是相同的≥ N趋于零，因为N趋于完整）。

对于（4.5），请注意|·| Rm可以是Rm的任何标准等效Lpnorms，我们选择它为L∞. 那么我们有：P“sup0≤s、 s≤t、 | s-s|≤δY1，s，Y2，s。。。，Ym，s-Y1，s，Y2，s。。。，Ym，sRm>η#=P“∪mi=1sup0≤s、 s≤t、 | s-s|≤δ易，s- 易，s> η#≤mXi=1P“sup0≤s、 s≤t、 | s-s|≤δ易，s- 易，s> η#=mP“sup0≤s、 s≤t、 | s-s|≤δY1，s- Y1，s> η#（4.6）和自Ito积分rth（σ1,1s）d（p1- ρWs+ρWs）可以写为▄WRth（σ1,1s）ds，其中▄W是另一个标准布朗运动，表示M的最大h也有：P“sup0≤s、 s≤t、 | s-s|≤δY1，s- Y1，s> η#=P“sup0≤s、 s≤t、 | s-s|≤δZss公司r-h类σ1,1sds+~WRshσ1,1sds公司-WRshσ1,1s!> η#≤ Psup0≤s、 s≤t、 | s-s|≤δZss公司r-h类σ1,1sds公司>η+P“sup0≤s、 s≤t、 | s-s|≤δWRshσ1,1sds公司-WRshσ1,1sds公司>η#≤ Phδ（r+M）>ηi+P“sup0≤s、 s≤Mt，| s-s|≤MδWs-Ws>η#自| Rbah（σ1,1s）ds |≤ 硕士学位- b |对于所有a、b∈ R+。对于δ<η2（r+M），最后两个概率中的第一个显然为零，而对于足够小的δ，第二个概率也可以任意小，因为根据关于aBrownian运动连续性模量的良好结果（见Levy[25]），该概率内的上确界几乎肯定会收敛到0，速度与Mq2δlnMδ一样快。使用（4.6）中的这些，我们得出（4.5）也是令人满意的，并且我们得到了所需的紧密性结果，这意味着（Y1，·，…，Ym，·）在分布上收敛到某个极限（Y1,0·，…，Ym，0·）（沿某个序列）。为了总结我们的证明，我们需要证明（Y1,0·，…，Ym，0·）和（Y1，*·, ..., Ym，*·)重合

由于两个m维过程都是由它们的有限维分布唯一确定的，并且由于C（[0，t]；Rm）上的求值泛函保持分布的收敛性（作为连续线性泛函），我们只需要证明对于任何固定的（i，…，il) ∈ {1，…，m}l, 任何固定值（t，…，tl) ∈ (0, +∞)l, 以及任意连续有界函数q:Rl→ R、 对于任意l ∈ N、 我们有qYi，t，Yi，t。。。，易l,tl-→ Eq易，*t、 易，*t、 。。。，易l,*t型las→ 0+. 根据支配收敛定理，如果我们能够说明thatlim→0+EqYi，t，Yi，t。。。，易l,tlσi，1·，σi，1·。。。，σil,1·，C= Eq易，*t、 易，*t、 。。。，易l,*t型lσi，1·，σi，1·。。。，σil,1·，CP-几乎可以肯定。然而，当σi中包含的信息，1·。。。，σil,1·和C都给出了（Yi，t，…，Yil,tl) 和（Yi，*t、 。。。，易l,*t型l) 遵循R中的正态分布l. 这意味着给定（σi，1·，…，σil,1·）和C，我们只需要表示为→ 0+，平均向量和（Yi，t，…，Yi）的协方差矩阵l,tl) 收敛到（Yi，*t、 。。。，易l,*t型l) r分别为。给定（σi，1·，…，σil,1·）、C和k中包含的信息∈ {1, 2, ..., l}, （Yi，t，Yi，t，…，Yi）平均向量的第k坐标l,tl) 等于Xik+Rtk（rik-h（σik，1s））ds，根据正电流性质，它收敛为→ 0+至Xik+（rik-σ2,1）tk（因为挥发过程都具有相同的系数，因此具有相同的平稳分布），whichi是（Yi）平均向量的k坐标，*t、 易，*t、 。。。，易l,*t型l).