大型随机投资组合的快速均值回复渐近性

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英文标题：
《Fast mean-reversion asymptotics for large portfolios of stochastic
  volatility models》
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作者：
Ben Hambly and Nikolaos Kolliopoulos
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最新提交年份：
2020
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英文摘要：
  We consider an SPDE description of a large portfolio limit model where the underlying asset prices evolve according to certain stochastic volatility models with default upon hitting a lower barrier. The asset prices and their volatilities are correlated via systemic Brownian motions, and the resulting SPDE is defined on the positive half-space with Dirichlet boundary conditions. We study the convergence of the loss from the system, a function of the total mass of a solution to this stochastic initial-boundary value problem under fast mean reversion of the volatility. We consider two cases. In the first case the volatility converges to a limiting distribution and the convergence of the system is in the sense of weak convergence. On the other hand, when only the mean reversion of the volatility goes to infinity we see a stronger form of convergence of the system to its limit. Our results show that in a fast mean-reverting volatility environment we can accurately estimate the distribution of the loss from a large portfolio by using an approximate constant volatility model which is easier to handle.
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中文摘要：
我们考虑了一个大型投资组合限额模型的SPDE描述，其中标的资产价格根据一定的随机波动率模型演化，当达到较低的障碍时会发生违约。资产价格及其波动率通过系统布朗运动进行关联，并在Dirichlet边界条件下的正半空间上定义了由此产生的SPDE。我们研究了在波动率快速均值回复下，系统损失的收敛性，这是一个随机初边值问题解的总质量的函数。我们考虑两种情况。在第一种情况下，波动率收敛到极限分布，系统的收敛是弱收敛的。另一方面，当波动率只有均值回归到无穷大时，我们看到系统收敛到极限的形式更强。我们的结果表明，在快速均值回复波动率环境中，我们可以通过使用更容易处理的近似常数波动率模型准确估计大型投资组合的损失分布。
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分类信息：

一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
--
一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Risk Management        风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
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PDF下载：
--> Fast_mean-reversion_asymptotics_for_large_portfolios_of_stochastic_volatility_models.pdf (352.45 KB)

2022-6-14 03:12:52 上传

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关键词：均值回复 投资组合 Applications Quantitative Mathematical

随机波动率模型大型投资组合的快速均值回复渐近性Ben-Hambly*和Nikolaos Kolliopoulos+牛津大学数学研究所，2020年2月14日摘要我们考虑一个大型投资组合限额模型的SPDE描述，其中标的资产价格根据某些随机波动率模型演变，一旦达到较低的基准利率，就会违约。资产价格及其波动率通过系统布朗运动进行关联，并在Dirichlet边界条件下的正半空间上定义了由此产生的SPDE。我们研究了在波动率快速均值回复的情况下，系统损失的收敛性，它是这个随机初始边值问题解的总质量的函数。我们考虑两种情况。在第一种情况下，波动率收敛到极限分布，系统的收敛是弱收敛。另一方面，当波动率的均值回归趋于一致时，我们会看到系统收敛到极限的更强形式。我们的结果表明，在快速均值回复波动率环境中，我们可以通过使用更容易处理的近似常数波动率模型，准确估计大型投资组合的损失分布。1引言本文旨在研究基于SPDE的组合信贷结构模型的快速均值回复波动率渐近性。Bush、Hambly等人【5】首先研究了可违约常数波动率模型集合中的大型投资组合所产生的SPDE，并在Ledger【24】中进一步研究了其规律性。

在Hamblyand Kolliopoulos【15、16、17】中，我们将这项工作扩展到了二维随机波动率设置，这里我们考虑了有效的一维恒定波动率评估问题，这是通过考虑波动率的快速均值回归而产生的。这种方法在某种程度上是受Fouke、Papanicolaou和Sircar（11）的思想推动的，但我们不是研究期权价格，而是研究快速均值回复波动率环境下大型信贷组合的结构性风险。cr edit中关于大型投资组合限额模型的文献可分为两种方法，分别基于单个资产的结构模型或简化模型。我们的重点将是结构方法，我们假设我们正在对*hambly@maths.ox.ac.uk+kolliopoulos@maths.ox.ac.uk（通讯作者）当这些健康过程达到较低的障碍时，企业的财务健康就会直接发生违约。简化形式设置假设每个公司的违约都是泊松过程，我们直接对违约强度进行建模。这些可以通过系统因素和投资组合的损失进行关联。损失经验度量的大投资组合限额的演变可以分析为一个大数定律，然后是围绕该限额导出的高斯函数，参见Giesecke、Sirignano等人【13、27、29、12】和Cvitanic等人【6】。此外，可以分析较大的偏差，见Sowers和Spiliopoulos【30，31】。也可以通过相互作用的粒子系统进行研究，其中每个企业处于代表财务健康和财务困境的两种状态中的一种，并且状态之间根据某种强度的变化而变化，这种变化通常依赖于企业，并取决于损失的比例，参见Dai Pra和Tolotti【8】或Dai Pra等人。

[7].我们的基本设置是一个默认的结构模型，其中每项资产都有违约的可能性，我们将其称为对数标度的资产价格过程。资产价格根据一般随机波动率模型演变，其中第i项资产的违约距离等于系统距离=国际扶轮社-h（σit）dt+h（σit）第一季度- ρ1，idWit+ρ1，idWt, 0≤ t型≤ Tidσit=ki（θi- σit）dt+ξigσit第一季度- ρ2，idBit+ρ2，idBt, t型≥ 0Xit=0，t>Ti（Xi，σi）=（Xi，σi，init），Ti=inf{t≥ 0:Xit=0}（1.1），对于所有i∈ N、 其中，系数向量Ci=（ri，ρ1，i，ρ2，i，ki，θi，ξi）随机选取，与ρ1，i，ρ2，i的概率分布无关∈ [0，1），有限序列{（x，σ1，init），（x，σ2，init），…}假设Ris中的随机向量是可交换的，g，h是我们将给出适当条件的函数。交换性条件意味着（见[1，20]）σ-代数的存在 σ（{（xi，σi）：i∈ N} ，给定二维随机向量（xi，σi）成对独立且分布相同。特殊布朗运动∈ N被认为是成对的风独立的，也不依赖于系统布朗运动W，b，其具有常数相关ρ。我们将其视为Zi=（Xi，σi）的系统，其中Dzi=bi（Zi）dt+∑i（Zi）dWi，Zi=（Xi，σi，init）表示t<Ti，其中bi（X，σ）=（ri-h（σ），ki（θi- σ)),∑i（X，σ）=h（σ）q1- ρ1，ih（σ）ρ1，i0 00 0ξig（σ）q1- ρ2，iξig（σ）ρ2，i和Wi=（Wi，W，Bi，B）. 然后，上述二维过程的最小生成器由aif=Xj=1bij给出fxj+xj，k=1aijkfxj公司XK用于f∈ C（R+×R，R）。

矩阵Ai=Aijk由Ai给出=h（σ）h（σ）ξig（σ）ρ1，iρ2，iρh（σ）ξig（σ）ρ1，iρ2，iρξig（σ）,as Ai=∑iR（∑i）, 用R表示四维布朗运动的协方差矩阵f。我们可以证明一系列有限子系统的emp-irial测度νNt=NNXi=1δXit，σit弱收敛为N→ ∞ （见[17]）对于给定的Ztw带G的概率分布，该测度由两部分组成；它对线x=0的限制，这与ν对这条线的限制近似，它对r+×r的限制具有二维密度u（t，x，y）。密度u（t，x，y）可以看作是某些二维S-PDE解的平均值，其Dirichlet-boun-darycondition在直线x=0上。特别是，我们可以写出u=E[uC | W，B，G]，其中uC（t，x，y）是给定W，B，G和Con R+×R的zt的概率密度，它表示f或系数向量C的任何值，二维SPDEduC=A1，*uCdt+B1，*uCd（W，B）, （1.2）其中A1，*是Z的生成器Aof和运算符B1的伴随，*由B1给出，*f级=-ρ1,1h（y）fx，-ξρ2,1g（y）fy.边界条件是uC（t，0，y）=0，对于所有y∈ R、 在系数是独立于i的常数的特殊情况下，u本身就是随机偏微分方程（1.2）的解。研究大型投资组合限额的一个原因是，当资产数量较大时，需要有一个有用的近似值，以捕捉资产价格之间的动态。

此外，通过研究极限SPDE而不是（1.1）的有限子系统，我们可以提供一种更有效的方法来捕获大型投资组合的关键驱动因素，而无需模拟大量的特质布朗路径。最重要的是损失函数L，即x=0线上给定的Z的概率分布W的质量，G带，用于衡量大型投资组合限额中的总损失。该函数的分布是资产组合风险的一个简单度量，可用于确定重大损失的概率，或确定组合信用衍生工具（如CDO）的价格，这些衍生工具可写为L的适当函数的期望值。因此，我们的重点将是估计形式PHLT的概率∈ (1 - b、 1个- a） i=PhPXt>0W、 B、G∈ （a，b）i（1.3）对于某些0≤ a<b≤ 1，即投资组合的总损失在一定范围内的概率。上述形式的概率可通过1获得的Lt值模拟样本进行数值近似- Lt=PhXt>0W、 B，Gi=Z+∞Z+∞EhuC（t，x，y）W、 B，头晕≈nnXi=1Z+∞Z+∞uc1，i（t，x，y）dxdy（1.4）在以数值方式解出UC的SPDE（1.2）后，对于向量C值的样本{c1,1，…，c1，n}。在特殊情况下，当资产价格被建模为简单的恒常易失性模型时，数值（参见Giles和Reisinger【14】或Bujok和Reisinger【4】用于跳跃扩散模型）的计算成本显著降低，这激发了在一般情况下使用常数挥发设置来研究精确近似的存在性。

我们还注意到，已发现描述恒定波动性环境中的大型投资组合限额的一维SPD具有唯一的解决方案（见[5]，或损失相关模型的Hambly和Ledger[18]），数值分析的一个重要组成部分，与我们无法确定CIR波动率情况下二维偏微分方程解的唯一性的事实相对应【15】。我们将在具有快速均值回复波动率的两种不同设置下推导一维近似值。在我们称之为大体积的体积设置中，（1.1）中第二个方程中的均值回归和波动率通过适当的幂来衡量，其中ki=κi/，ξi=vi/√givingdσit=κi（θi- σit）dt+vi√gσit第一季度- ρ2，idBit+ρ2，idBt, t型≥ 0，然后我们取→ 这在分布上相当于在较小时，通过将时间t缩放来加速挥发过程。我们的目标是将限制视为→ 0，因此当波动过程系统为正循环时，涉及加速波动过程的平均有限时间间隔将近似于相应的平稳均值。在极限条件下，我们得到了一个恒定的波动率大投资组合模型，当波动率快速均值回复时，该模型可用作有效近似值。

然而，这种加速的u p不会导致挥发性过程的强收敛，只允许我们系统的弱收敛，这只能在ρ=0（有效分离时间尺度）和（κi，θi，vi，ρ2，i）是所有i∈ N、 vol的小vol的情况在（1.1）中的第二个方程中具有平均回复，由缩放，其中ki=κi/，dσit=κi（θi- σit）dt+ξigσit第一季度- ρ2，idBit+ρ2，idBt, t型≥ 我们将这种情况视为常数波动率模型的小噪声扰动，其中波动率具有随机行为，但由于较大的均值回复漂移，一旦偏离均值，波动率就会被拉向均值。何时→ 0时，波动率的漂移趋于一致，并支配相应的扩散部分，因为波动率保持较小，使得整个系统在强烈意义上收敛到恒定的波动率。这种强收敛性允许估计形式（1.3）概率的收敛速度，并为我们提供了当使用恒定波动率大型投资组合模型代替该模型更现实的随机波动率扰动时，估计这些概率的准确度损失的定量度量。在第2节和第3节中，我们介绍了这两种设置的主要结果。第4节和第5节证明了这些结果。最后，附录中给出了两个命题的证明，证明了两类模型的正相关性，从而证明了我们的结果的适用性。2主要结果：大体积体积设定我们从快速均值回归-大体积体积体积设定的研究开始，为此我们需要假设Wand Bis的相关ρ为零。

当g是平方根函数或函数的行为几乎像变元的大值的正常数时，已在[15]的定理4.3和[17]的定理4.1中分别证明Uc（t，x，y）=pty | B，GEut、 x、W、G、C、hσW、 σt=y，B，C，G,式中，Pti是给定信息条带路径时每条波动路径的密度，u（t，x，W，G，C，h（σ））是唯一的h（0+∞) SPDEu（t，x）=u（x）的解-Ztr公司-h类σs!ux（s，x）ds+Zthσsuxx（s，x）ds- ρ1,1Zthσsux（s，x）dWs，（2.1），其中Ui是每个给定G的密度。在上述二维密度uC（t，x，y）的表达式中，平均发生在id iosyncratic噪声方面，并且由于我们对通过替换（1.4）中的密度来计算的关于Lt的概率感兴趣，因此我们还对h ap pens关于市场噪声（W，B）的平均进行了计算。因此，我们可以将（Wi、Bi）替换为所有i≥ 在我们的系统中，0是由具有相同连接定律的对象构成的。

特别是，设置ki=κi/和ξi=vi/√第i项资产与默认值Xi的距离满足系统Xi，t=Xi+Rt国际扶轮社-h（σi，t）dt+Rth（σi，t）第一季度-ρ1，idWit+ρ1，idWt, 0≤ t型≤ Tiσi，t=σi，init+κiRt（θi- σi，s）ds+vi√Rtgσi，sd第一季度- ρ2，iBis+ρ2，iBsXi，t=0，t>tiTi=inf{t≥ 0：Xi，t=0}，其中上标用于强调对的依赖，如果我们用=t′和s=s′代替0≤ s′≤ t′和th将（Wi，Bi）替换为（Wi，√Bi·）为所有我≥ 0具有相同的联合定律，第i个波动过程满足的SDE变为σi，t′=σi，init+κiZt′（θi- σi，s′）ds′+viZt′gσi，s′d第一季度- ρ2，iBis′+ρ2，iBs′.这表明，对于所有i，σi，=σi，×·可以用σ1,1·代替≥ 1，即当平均回复系数和vol的vol分别等于κi和v时，以及当时间t按缩放时，我们模型的第i个波动过程，当较小时，加速了波动系统。如果现在选择g，使波动过程系统成为正周期性的，则随着速度趋于一致，特定时间间隔内的平均值收敛到相应的平稳平均值，即→ 0+，这是我们系统收敛的关键。我们对g.definition 2.1（正递归性质）的要求性质进行了定义。我们确定从中选择每个C′i=（ri，ρ1，i，ρ2，i，ki，θi，ξi）的分布，并用C表示所有这些系数向量生成的σ-代数。然后，我们说，当二维过程（σi，1·，σj，1·）是任意两个i，j的正递归微分时，g具有正递归性质∈ N、 对于C′i和C′j的几乎所有值。