大型随机投资组合的快速均值回复渐近性

现在我们只需要得到相应的过程协方差矩阵的收敛结果。对于一些1≤ p、 q≤ l, 给定（σi，1·，σi，1·，…，σil,1·）和C中包含的信息，Yip，tp和Yiq，tq的协方差等于ρ1，ipρ1，iq+δip，iqp1- ρ1，ipp1- ρ1，iqZtp公司∧tqh公司σip，1sh类σiq，1sds，而叶的协方差，*t和Yiq，*TQ等于ρ1，ip▄ρ1，iq+δip，iqq1- ρ1，ipq1- ρ1，iqσ2,1tp∧ tq。这意味着对于ip=iq=i∈ {1，2，…，m}我们需要显示ZTP∧tqh公司σi，1sds公司-→ σ2,1tp∧ TQA→ 0+，而对于ip6=IQ，我们需要显示：ρ1，ipρ1，iqZtp∧tqh公司σip，1sh类σiq，1sds公司-→ ρ1，ip▄ρ1，iqσ2,1tp∧ TQA→ 0+，其中，对于所有i，ρρ1，iσ2,1=ρ1，iσ≤ m、 这两个收敛结果都来自于∑=pE[h（σip，iq，1，*) h（σip，iq，2，*)], 这不依赖于Ip和IQ，因为波动过程都具有相同的系数，因此具有相同的点平稳分布。证据到此结束。定理2.6。设V是[0，T]上W·-适应的平方可积半鞅集。因此，对于任何{Vt:0≤ t型≤ T}∈ 五、 存在两个W适应的平方可积过程{v1，t:0≤ t型≤ T}和{v2，T:0≤ t型≤ T}，使得所有T的vt=V+Ztv1，sds+Ztv2，sdWs，（4.7）≥ 上述形式的过程{v1，t:0≤ t型≤ T}和{v2，T:0≤ t型≤ T}是简单的过程，即对于所有0≤ t型≤ T和i∈ {1，2}，每根纤维的FWt都是可测量的，跨越一个线性子空间▄V，该空间在Lnorm下密集于V中。利用h的有界性和估计（2.3），对于任何p>0和任何T>0，我们得到zthp（马力）σ1,1tu（t，·）Lσ，C（R+×）Ohm)dt公司≤ T C2pkukL（R+）。（4.9）如下所示，给定一个序列n→ 0+，则始终存在一个子序列{kn:n∈ N} ，使得hp（σ1,1···）u·（·，·）弱收敛到空间Lσ，C（[0，T]×R+×）中的某个up（·，·）Ohm) 对于p∈ {1, 2}.

对x的任意光滑紧支撑函数f的检验（2.2）∈ R+，使用Ito公式计算R+u（·，x）f（x）dx与过程V的乘积·∈§V采用（4.7）-（4.8）形式，并最终采用期望值，我们发现：Eσ，CVtZR+u（t，x）f（x）dx= Eσ，CVZR+u（x）f（x）dx+ rZtEσ，CVsZR+u（s，x）f′（x）dxds公司-中兴通讯σ，CVsZR+hσ1,1su（s，x）f′（x）dxds+中兴σ，CVsZR+hσ1,1su（s，x）f′（x）dxds+中兴σ，Cv1，sZR+u（s，x）f（x）dxds+ρ1,1ZtEσ，Cv2，sZR+hσ1,1su（s，x）f′（x）dx所有t的ds（4.10）≤ T因此，设置=k并取n→ +∞, 通过上述弱收敛结果，我们得到σ，CVtZR+u*（t，x）f（x）dx= Eσ，CVZR+u（x）f（x）dx+ rZtEσ，CVsZR+u*（s，x）f′（x）dxds公司-中兴通讯σ，CVsZR+u（s，x）f′（x）dxds+中兴σ，CVsZR+u（s，x）f′（x）dxds+中兴σ，Cv1，sZR+u*（s，x）f（x）dxds+ρ1,1ZtEσ，Cv2，sZR+u（s，x）f′（x）dx所有0的ds（4.11）≤ t型≤ T（4.10）的RHS中的项的收敛性在t中是逐点的，而LHS中的一项收敛性较弱。由于我们可以很容易地找到（4.10）中所有项的统一形式（通过使用（4.9）），支配收敛理论表明，所有弱极限都与相应的点态极限重合，这使得（4.11）在t中的弱极限和点态极限均为（4.10）。很明显，Eσ，C[VtRR+u*（t，x）f（x）dx]在t中是不同的（在W1,1sense中）。接下来，我们可以检查期望Eσ，C[vi，tRR+ukn（t，x）f（x）dx]是否收敛于Eσ，C[vi，tRR+u*（t，x）f（x）dx]对于i=1和i=2，在t中都是弱的和逐点的∈ [0，T]，虽然除了两个跳跃点和T之外，T中的极限在任何地方都是不同的。这如下所示，因为在[T，T]之外，所有东西都是零，而在T中，vand vare和（4.7）-（4.8）形式都是常数，若我们限制在该区间内。

从（4.10）相同项的每项中减去f，但用u替换u*然后再加回来，我们可以重写这个恒等式σ，CVtZR+u（t，x）f（x）dx= Eσ，CVZR+u（x）f（x）dx+ rZtEσ，CVsZR+u（s，x）f′（x）dxds公司-Zth公司σ1,1sEσ，CVsZR+u（s，x）f′（x）dx-Eσ，CVsZR+u*（s，x）f′（x）dx!ds公司-Zth公司σ1,1sEσ，CVsZR+u*（s，x）f′（x）dxds+Zthσ1,1sEσ，CVsZR+u（s，x）f′（x）dx-Eσ，CVsZR+u*（s，x）f′（x）dx!ds+Zthσ1,1sEσ，CVsZR+u*（s，x）f′（x）dxds+中兴σ，Cv1，sZR+u（s，x）f（x）dxds+ρ1,1Zthσ1,1sEσ，Cv2，sZR+u（s，x）f′（x）dx-Eσ，Cv2，sZR+u*（s，x）f′（x）dx!ds+ρ1,1Zthσ1,1sEσ，Cv2，sZR+u*（s，x）f′（x）dxds。（4.12）那么我们有Zth公司σ1,1sEσ，Cv2，sZR+u（s，x）f′（x）dx-Eσ，Cv2，sZR+u*（s，x）f′（x）dx!ds公司≤ CZt公司Eσ，Cv2，sZR+u（s，x）f′（x）dx-Eσ，Cv2，sZR+u*（s，x）f′（x）dxds，趋向于零（w hen=knand n→ ∞) 根据支配收敛定理，由于最后一个积分中的量逐点收敛到零，因此可以使用（4.9）进行支配。相同的参数用于表明（4.12）中的第4项和第6项在同一子序列上也趋向于零。

最后，对于任何形式的ZTHPσ1,1sEσ，CVsZR+u*（s，x）f（m）（x）dxDSP，m∈ {0，1，2}，我们可以回忆起积分图（前面提到过）中第二个因子的差别，然后使用分部积分将其写成：Zthpσ1,1wdwEσ，CVsZR+u*（t，x）f（m）（x）dx!-ZtZshpσ1,1wdwEσ，CVsZR+u*（s，x）f（m）（x）dx!′Ds通过正递归性质收敛到量子位hp（马力）σ1,1,1,*|CEσ，CVsZR+u*（t，x）f（m）（x）dx!-中兴通讯hp（马力）σ1,1,1,*|CEσ，CVsZR+u*（s，x）f（m）（x）dx!′ds。再次使用部件积分，最后一个表达式等于toEhp（马力）σ1,1,1,*|C中兴通讯σ，CVsZR+u*（s，x）f（m）（x）dxds。如果我们用vor V代替V，最后的收敛结果也成立，正如我们可以通过在子区间[t，t]中完全遵循相同的步骤来显示的那样（其中vii支持i∈ {1，2}并且我们具有可区分性，允许通过部分进行集成）。如果我们现在设置=knin（4.12），则取n→ +∞, 代入上述所有收敛结果，我们得到σ，CVtZR+u*（t，x）f（x）dx= Eσ，CVZR+u（x）f（x）dx+r-σ2,1!中兴通讯σ，CVsZR+u*（s，x）f′（x）dxds+σ2,1ZtEσ，CVsZR+u*（s，x）f′（x）dxds+中兴σ，Cv1，sZR+u*（s，x）f（x）dxds+ρ1,1σ1,1ZtEσ，Cv2，sZR+u*（s，x）f′（x）dxds。（4.13）由于V在V中密集，对于固定的t≤ 对于任何平方可积鞅{Vs:0，我们可以得到（4.13）≤ s≤ t} ，f，对于所有0，我们有v1，s=0≤ s≤ t、 接下来，我们用Ru（t，x）表示（2.4）的RHS。使用Ito公式计算Vsat s=t时R+Ru（s，x）f（x）dx的乘积，减去VtRR+u*（t，x）f（x）dx，从（4.13）中取期望值并最终替换，我们发现σ，C“VtZR+Ru（t，x）f（x）dx-锆+铀*（t，x）f（x）dx#= 0对于我们的固定t≤ T

利用鞅表示定理，V可以取Eσ，CIEs |σ{Ws′：s′≤ s}对于所有s≤ t、 我们需要的地方=ω ∈ Ohm :锆+钌（t，x）f（x）dx>锆+铀*（t，x）f（x）dx,这意味着Vt=ies允许我们写σ，CIEt公司ZR+Ru（t，x）f（x）dx-锆+铀*（t，x）f（x）dx= 0对于任何0≤ t型≤ T如果我们将上述内容整合为t∈ [0，T]我们得到中兴通讯σ，C“IEtZR+Ru（t，x）f（x）dx-锆+铀*（t，x）f（x）dx#dt=0，其中期望值内的数量始终为非负，只有当IEt=0时才变为零。这意味着RR+Ru（t，x）f（x）dx≤RR+u*（t，x）f（x）dx几乎无处不在，并且以与补码IEctwe相同的方式工作，也可以推导出相反的不等式。因此，我们必须有RR+Ru（t，x）f（x）dx=RR+u*（t，x）f（x）dx几乎无处不在，由于函数f是具有紧支撑的任意光滑函数，我们可以推断Rucoincides与u*几乎这里的每一个都给出了（2.4）。如果h是从下面有界的，我们可以使用（2.3）来获得一个统一的（独立于）界f或h（R+） Lσ，C(Ohm ukn的×[0，T]）范数，这意味着在进一步的子序列中，弱收敛到u*也适用于Sobolev空间，其中（2.4）有唯一的解[5]。这意味着u收敛于H（R+）中（2.4）的唯一解 Lσ，C(Ohm ×[0，T]），as→ 0+. 证据现已完成。提案2.7。

上界可以通过一个简单的Cau-chy-Schwarz不等式获得，σ=rEhh（σ1,2,1，*) h（σ1,2,2，*)我≤srEhh（σ1,2,1，*)irEhh（σ1,2,2，*)i=pσ2,1×σ2,1。=σ2,1该计算表明，只有当σi，j，1，*= σi，j，2，*对于所有i 6=j的i和j，只有当所有资产共享一个共同的随机波动率（即ρ=1）时，才会发生这种情况。对于下界，考虑到i=1和i=2的波动过程独立地从其一维平稳分布开始，对于任何t，≥ 0EtZth公司σ1,1sh类σ2,1sds公司=tZtEhh公司σ1,1sh类σ2,1sids=tZtEhhσ1,1siEhh公司σ2,1sids+tZtE“h类σ1,1s- Ehh公司σ1,1s我h类σ2,1s- Ehh公司σ2,1s我#ds=σ1,1+tZtE“Eh类σ1,1s- Ehh公司σ1,1s我×h类σ2,1s- Ehh公司σ1,1s我B#ds=σ1,1+tZtE“Eh类σ1,1s- σ1,1B#ds公司≥ σ1,1，（4.14），因为σ1,1和σ2,1是相同的分布，并且在给定Bis时也是独立的。取→ 0+在（4.14）和d上，回顾正递归性质、σ的定义和LHS上的支配收敛定理（由于预期内的量以h上界的平方为界），我们得到了下边界，即σ≥ σ1,1，这也可以被证明是一般无法达到的。事实上，如果我们选择h，使其与平方函数的组成h严格递增且凸，如果选择g作为平方根函数（因此我们处于CIR volatilitycase），对于任何α>0，我们都有h类σ1,1s- σ1,1B#ds=E“tZtE小时qσ1,1sB- σ1,1!ds公司#≥ αE“tZtIσB，hs≥α+σ1,1ds#式中σB，hs：=E[~h（pσ1,1s）| B]≥h（σBs）对于σBs：=E[pσ1,1s | B]，这意味着h类σ1,1s-σ1,1B#ds公司≥ αEtZtIσBs≥小时-1（α+σ1,1）ds.

（4.15）设σρt为SDE的溶液σρt=σB+Ztκθ -vσρsds+κZtσρsds+ρvBs。然后，σρ可以显示为CIR过程的平方根，该过程具有与σ1,1相同的均值回复和vol的vol，以及不同的平稳均值，这满足了在特定时间不等于零的感觉条件。如果对于某些t>0，我们有σρt>σBt，我们考虑t=sup{s≤ t： σρs=σBs}，这显然是非负的。那么，从那时起[√σ1,1s | B]≥E类[√σ1,1s | B]=σBswe有σBt=σBt+Zttκθ -vE“pσ1,1sB#ds-κZttσBsds+ρv英国电信- 英国电信≥ σBt+Zttκθ -vσBsds-κZttσBsds+ρv英国电信- 英国电信≥ σρt+Zttκθ -vσρsds-κZttσρsds+ρv英国电信-英国电信= σρt这是一个矛盾。因此σρs≤ 所有s的σBs≥ 0，在（4.15）中，这给了中兴通讯“Eh类σ1,1s- σ1,1B类·#ds公司≥ αEtZtIσρs≥小时-1（α+σ1,1）ds.通过σρ的正递归（这是CIR过程的根，其遍历性已在[11]中讨论），上述RHS收敛到αP（σρ，*≥小时-1（α+σ1,1））as→ 0+，其中σρ，*具有σρ的平稳分布。当σρ，*是一个常数，由于σρ的平方满足Feller的边界条件，因此只有当ρ=0时才会发生这种情况。在这种情况下，我们可以很容易地检查σ1,2,1，*和σ1,2,1，*是独立的，这意味着￠σ=σ1,1。这就完成了预防。推论2.8。假设P（X1，t∈ I | W·，B·，G）收敛到P（X1，*t型∈ I | W·，G），在定理2.4和定理2.6的假设下。对于某些序列n，相同的收敛性必须保持在强Lsense中↓ 0，因为对于某些序列，它几乎肯定会保持p，然后我们可以应用支配收敛定理。因此，同样的收敛必须在Las well中弱收敛。

然而，为了简单起见，假设（ri，ρ1，i）也是所有i的常数向量（r，ρ），并且是可积和σ（W·，B·）∩G-可测随机变量Ξ，根据定理2.6，我们有limn→+∞EΞPhX1，nt∈ 我W、 B、Gi= 画→+∞EΞPhX1，nt∈ 我W、 σ1,1，Gi= 画→+∞EZ+∞ΞII（x）un（t，x）dx= EZ+∞ΞII（x）u*（t，x）dx= EΞPhX1，重量∈ 我W、 Gi公司,式中，f表示每个i我们定义i，wt=xi+r-σ2,1t+ρ′σ2,1Wt+q1- （ρ′）σ2,1Wit，0≤ t型≤ TwiXi，wt=0，t≥ TwiTwi=inf{t≥ 0：Xi，wt=0}，其中ρ′=ρσ1,1σ2,1，其中给定的Xi密度和G是唯一解u*至（2.4）[18]。因此，根据弱极限的唯一性，我们必须有P[X1，*t型∈I | W，G]=P[X1，wt∈ I | W，G]P-几乎可以肯定，这对于任何间隔都不可能是真的，否则过程X1，W·和X1，*·很明显，情况并非如此。事实上，只有当|ρ1,1=ρ′时，这才是真的<=> σ=σ1,1，根据命题2.7，通常情况并非如此，除非ρ=0.5证明：体积设置的小体积我们现在继续证明命题3.1、定理3.2和推论3.3，即第3节的主要结果。提案3.1。首先，我们将证明每个波动过程对任何p都有一个确定的2p动量∈ N、 事实上，我们固定了一个p∈ 我们考虑停止时间序列{τN，：N∈ N} ，其中τN，=inf{t≥ 0：σi，t>n}。设置σi，n，t=σi，t∧τn，，根据伊藤公式σi，n，t- θi2p级=σi，n，- θi2p级-2pκiZtI[0，τn，]（s）σi，n，s- θi2pds+2pξiZtI[0，τn，]（s）σi，n，s- θi2p级-1克σi，n，sdBis+p（2p- 1） ξiZtI[0，τn，]（s）σi，n，s- θi2p级-2gσi，n，sds（5.1），用于Bis=q1- ρ2，iBit+ρ2，iBt，其中随机积分是鞅。

取期望值，设置f（t，n，p，）=E[（σi，n，t- θi）2p]，并使用g的生长条件（| g（x）|≤ C1，g+C2，g | x |代表所有x∈ R） 和简单的不等式，我们可以很容易地得到f（t，n，p，）≤ M+M′Ztf（s，n，p，）dswith M，M′只依赖于p，cg和σi，ξi，θi的界。因此，使用Gronwall的sinequality，我们得到f（t，n，p，）的统一（in n）估计，然后通过Fatou的引理，我们得到期望的完整性off（t，p，）：=eσi，t- θi2p级.这意味着条件期望fc（t，p，）：=E几乎可以确定σi，t- θi2p级C也接受给定的期望C，让n→ +∞ 在（5.1）中，利用单调收敛定理（对于足够大的n，所有量都是单调的）和增长条件g，我们发现fc（t，p，）≤ M级+M′-2κiZtfC（s，p，）ds，其中，M，M′再次仅依赖于p，cg和σi，ξi，θi的界。再次利用g Grownwall的sinequality，我们得到了估计的ZtfC（s，p，）ds≤ 中兴通讯M′-2κi（t-s） ds公司≤ MeM′tZte公司-2κi（t-s） ds=2κieM′t1.- e-2κit型<2cκeM′t。然后，我们得到RTF（s，p，）ds=EhRtfC（s，p，）dsi<2cκeM′t，这给出了所需的结果。定理3.2。我们可以很容易地检查v0、和Var分别是L中PDES（3.1）和（3.2）的唯一解(Ohm ×[0，T]；H（R+），分别在边界条件v0，x（t，0）=0和vx（t，0）=0下。

减去V0、和vand设置vd满足的SPDE，=v- v0，，我们可以很容易地验证Vd，（t，x）=-Zt公司h类σ1，s- h（θ）v0，x（s，x）ds+Ztr-h（θ）vd，x（s，x）ds+Zth类σ1，s- h（θ）v0，xx（s，x）ds+Zth（θ）vd，xx（s，x）ds+ρ1,1Zth类σ1，s- h（θ）v0，x（s，x）dWs+ρ1,1Zth（θ）vd，x（s，x）dWs。现在使用伊藤公式计算Lnorm（见Krylov和Rozovskii[22]），给定波动路径和C，我们得到σ，C锆+vd，（t，x）dx公司= -Zt公司h类σ1，s-h（θ）Eσ，CZR+v0，x（s，x）vd，（t，x）dxds+2r-h（θ）中兴通讯σ，CZR+vd，x（s，x）vd，（t，x）dxds公司-Zt公司h类σ1，s- h（θ）×Eσ，CZR+v0，x（s，x）vd，x（t，x）dxds公司-Zth（θ）Eσ，C锆+vd，x（s，x）dx公司ds+ρ1,1Zth类σ1，s- h（θ）Eσ，C锆+v0，x（s，x）dx公司ds+2ρ1,1h（θ）Zth类σ1，s- h（θ）×Eσ，CZR+v0，x（s，x）vd，x（t，x）dxds+ρ1,1Zth（θ）Eσ，C锆+vd，x（s，x）dx公司ds+N（t，）（5.2），其中N（t，）是由于频带W之间的相关性而产生的一些噪声，其中E[N（t，）]=0。特别是，因为对于某些布朗运动，Bwe的Vindependent可以写出W=p1- ρV+ρB，我们将得到（t，）=2ρ1,1ZtEσ，Ch类σ1，sZR+vd，（s，x）v0，x（s，x）dx星展银行。接下来，我们可以应用2。【15】中的第4.1节至SPDE（3.1）中v0，x（s，·）Lσ，C(Ohm×R+=ku（s，·）kLσ，C(Ohm×R+）≤ ku（·）kL(Ohm×R+，适用于所有s≥ 0