学习技术交易策略的动态

（11） 因此，单周期的条件方差返回，rt+1=pt+1- ptare：σt=Zt+1tσsds。（12） 这也称为t至t+1期间的综合波动率。假设按规则间隔的时间间隔对勾号数据进行采样的频率用f表示，以便在周期t之间- 1和t有f个连续复合收益，然后rt+1/f=pt+1/f- pt。因此，我们可以基于t+1期间的f日内收益率来估计实际波动率（RV），通常指的是短于一天的时间间隔内的收益率。这可能是几分钟、几秒钟甚至几毫秒。2019年12月25日NMTG˙Arxiv˙V3和t asRVt+1=fXi=1rt+i/f（13）这里的论点是，如果我们在足够频繁的时间步（f）取样，理论上可以从返回过程的样本路径观察挥发性，因此（Karatzas and Shreve（1991），Poon（2008））limf→∞Zt+1tσsds-fXi=1rt+i/f= 0（14），表示收益序列的RV渐近接近综合波动率，因此RV是当前波动率水平的合理估计。3、统计套利测试为了测试统计套利的整体交易策略，我们实施了一项新的统计测试，该测试最初由Hogan et al.（2004）提出，后来由Jarrow et al.（2012）修改，通过将其应用于整体策略的利润和损失损益。其思想是公理化地定义统计套利存在的条件，并假设增量交易利润的参数模型，以形成从多个子假设的联合中衍生出来的无效假设，这些子假设是为方便统计套利的实证检验而制定的。Jarrow等人提出的修正测试。

（2012），称为Min-t检验，源自对统计套利无效假设定义的参数施加的一系列限制，并应用于给定的交易策略，以检验统计套利。与Hogan等人（2004）使用的Bonferroni不等式相比，Min-t统计量可以提供更有效、更强大的统计检验。当子假设的数量增加时，统计能力的缺乏就会减少，因此，Bonferroni方法无法拒绝导致较大II型错误的错误零假设。要设置场景并引入统计套利的概念，请假设在someeconomy中，股票（投资组合）有一个货币市场账户BTA交易。让随机过程（x（t），y（t）：t≥ 0）表示一种零初始成本交易策略，该策略在给定时间t交易货币市场账户的某些投资组合备用y（t）单位的x（t）单位。用Vt表示时间t的累积交易利润。让交易策略产生的贴现累积交易利润的时间序列用ν（t），ν（t），ν（tT），其中ν（ti）=vTibti对于每个i=1，T、 表示每次贴现累计利润的增量iνi=ν（ti）- ν（ti-1). 然后，统计套利定义为：定义1（统计套利（Hogan et al.（2004），Jarrow et al.（2012）））统计套利是一种零成本、自我融资的交易策略（x（t）：t≥ 0）累计折扣交易利润ν（t），使得：（i）ν（0）=0，（ii）极限→∞EP[ν（t）]>0，（iii）极限→∞P[ν（t）<0]=0，和（iv）limt→∞V配置总成[ν（t）|ν（t）<0]=0。在我们的研究中，我们将考虑投资组合货币市场账户以货币的一个单位初始化，即。

B=1。2019年12月25日NMTG˙Arxiv˙V3换句话说，统计套利是一种交易策略，其1）初始成本为零，2）限额内的预期贴现累积利润为正，3）限额内的损失概率收敛为零，4）负增量交易利润（损失）方差收敛为零。显然，源自传统金融数学的确定性套利实际上是统计套利的特例（De Wit（2013））。为了测试统计套利，假设增量贴现交易利润根据过程随时间变化νi=uiθ+σiλzi（15），其中i=1，T创新需要考虑两种情况：1）zii。i、 满足z=0或2）zi的d N（0,1）正态不相关随机变量遵循MA（1）过程，由：zi=i+φ我-1（16）在这种情况下，创新是非正常且相关的。在这里iis是一个i.i.d.N（0,1）正态不相关随机变量。还假设ν=0，对于我们的算法，νtmin=0。我们将第一个模型（正态不相关创新）称为无约束均值（UM）模型，第二个模型（非正态和相关创新）称为无约束相关均值（UMC）模型。

此外，我们将θ=0的相应模型分别称为约束平均值（CM）和约束相关平均值（CMC），这两种模型假设随着时间的推移，其增量是恒定的，因此其增量过程如下所示：νi=u+σiλzi（17）由交易策略生成的UM模型在终端时间T的贴现累积交易利润，贴现回初始时间，由ν（T）=TXi=1给出νi~ NuTXi=1iθ，σTXi=1i2λ（18） 从方程式（18）可以直接看出，折扣增量交易利润的对数似然函数由以下公式得出：`（u，σ，λ，θ|ν） =ln L（u，σ，λ，θ|ν) = -TXi=1ln（σi2λ）-2σTXi=1 2λ(νi- uiθ）（19）交易策略在n个周期后产生损失的概率如下（Jarrow et al.（2012））Pr{n个周期后的损失}=Φ-uPni=1iθσ（1+φ）pPni=1i2λ！（20） 其中Φ（·）表示累积标准正态分布函数。对于CM模型，通过将φ和θ设置为零，可以轻松调整方程（20）。这种概率以比指数更快的速度收敛到零。如前所述，为了便于对定义1下的统计套利进行实证检验，制定了一组子假设，以对驱动贴现累积增量交易的基本过程的参数施加一组限制，如下所示：命题3.1（UM模型假设（Jarrow et al。

（2012）））根据定义1中定义的四个公理，如果2019年12月25日NMTG˙Arxiv˙V3统计的增量交易利润共同满足以下四个子假设的交集，则交易策略会在UM模型下生成统计套利：i.）H：u>0，ii。）H:-λ>0或θ- λ>0，iii.）H：θ- λ+>0，H：θ+1>0。上述子假设的交叉定义了统计套利，正如de Morgan\'sLaws所述，无统计套利的无效假设由子假设的联合定义。因此，无统计套利无效假设是一组子假设，这些子假设是命题3.1：命题3.2（UM模型替代假设（Hogan et al.（2004），Jarrow et al.（2012））中每个子假设的补充，根据定义1中定义的四个公理，如果贴现增量交易利润满足以下四个子主题中的任何一个：i.）H:u，则交易策略不会产生统计利润率≤ 0，ii.）H:-λ ≤ 0或θ- λ ≤ 0，iii.）H：θ- λ +≤ 0和iv.）H：θ+1≤ 0如果单个子假设成立，则不会拒绝无效假设。然后，Min-t测试通过使用t-统计t（^u），t(-^λ），t（^θ-^λ），t（^θ-λ+0.5）和t（θ+1），其中hats表示参数的最大似然估计（MLE）。Min-t统计学家定义为（Jarrow et al.（2012））Min-t=Min{t（u），t（θ-^λ），t（^θ-^λ+0.5），最大值[t(-直觉是Min-t统计量返回最小的检验统计量，这是最接近被接受的子假设。如果Min-t>tc，则无统计套利无效，其中tc取决于测试的显著性水平，我们将其称为α。

由于拒绝的可能性不能超过显著水平α，因此我们有以下条件，即在α显著水平pr{Min-t>tc |u，λ，θ，σ}拒绝零的可能性≤ α（22）剩下的是计算临界值tc。我们将实施蒙特卡罗模拟程序来计算tc，我们将在下面的第3.1节步骤（v）中详细描述。3.1. 统计套利测试程序概述统计套利测试涉及的步骤概述如下：（i）交易增量νi：根据累积交易损益向量，计算增量(ν, . . . , νT）其中νi=ν（ti）- ν（ti-1).（ii）执行最大似然估计：计算公式（19）中给出的似然函数，并将其最大化，以确定四个参数的估计值，即^u、^σ、^θ和^λ。根据是否执行CM（θ=0）或UM测试，显然会调整对数似然函数。在本研究中，我们只考虑CM测试。由于MATLAB构建的无训练优化算法只执行最小化，因此我们最小化对数似然函数的负性，即最大化对数似然。（iii）标准误差：根据上述MLE步骤中的估计参数，计算在MLE估计中估计的负Hessian，这实际上是由I（Θ）表示的Fisher信息（FI）矩阵。为了计算Hessian，从方程（19）推导出分析偏导数。

由于Fisher信息矩阵的逆是协方差矩阵的渐近估计，因此标准误差被视为I（Θ）逆的对角元素的平方根。这说明集合交集的补数与其补数的并相同。在这里，我们参考了MATLAB的fmincon函数2019年12月25日NMTG˙Arxiv˙V3（iv）Min-t统计量：计算t（u），t(-^λ），t（^θ-^λ），t（^θ-^λ+0.5）和t（^θ+1），由此得到的Min-t统计由方程（21）给出。显然，t（^θ-^λ），t（^θ-CM测试不需要考虑λ+0.5）和t（θ+1）。（v） 临界值：使用MonteCarlo程序（不相关正态误差）和Bootstrapping（相关非正态误差）（a）CM模型计算α显著性水平的临界值。首先，使用方程式（17）（u，λ，σ）=（0，0，0.01）模拟5000个不同的过程。对于5000个pro-fit过程中的每一个，执行最大似然估计以获得估计参数、相关t统计数据以及最终的最小t统计数据。t取Min-t值的结果分布的1-α分位数。（vi）P值：利用前面步骤中的临界值和模拟的Min-t统计数据，使用方程（22）计算在α显著性水平上拒绝零假设的经验概率。（vii）n期损失概率：计算n期后的损失概率，每个n=1，T并观察无概率收敛到零（或文献中的5%以下）所需的交易周期数。这是通过计算向量的最大估计来实现的(ν, ν, . . . νn），并将这些估计值代入方程（20）。3.2. 反向测试过度拟合概率估计（PBO）Bailey等人。

（2014）强烈批评最近声称设计了可盈利投资或交易策略的研究，因为其中许多研究仅基于样本内（IS）统计数据，而没有评估样本外（OOS）绩效。我们通过使用Bailey et al.（2016）中概述的组合对称交叉验证（CSCV）程序计算回测过拟合概率（PBO）的估计值，迅速解决了这一问题。通常，投资者/研究人员会进行多次（N）回测测试，以选择优化算法性能的参数组合（通常基于一些性能评估标准，如夏普比率）。其思想是在长度为tblf的性能序列超时矩阵上执行CSCV，以便对该算法进行N次单独的试验模拟。在这里，我们必须清楚，当我们提到IS时，我们并不是指“训练集”，例如，在此期间计算了移动平均回溯参数。相反，werefer to IS是从后验试验中选择最佳策略时使用的观察数据子集。就本研究中提出的算法而言，由于大量的试验参数以专家的形式构成了学习算法的基础，我们无法观察不同参数设置对整体策略的影响，因为这些参数已经内置在基础算法中。相反，我们将在独立的历史数据子集上运行N次回溯测试模拟，以了解算法如何在不同的未看到数据子集上执行。然后，我们可以在试验产生的收益和损失矩阵上实施CSCV程序，以恢复PBO估计。

基本上，我们的模型中没有进行参数培训，因为考虑了所有参数组合，并且“学习”了与不同参数组合相关的专家策略的性能加权平均值的权重。更具体地说，我们为每个子集选择一个回测长度tblf，并将OHLCV数据的整个历史分割为该长度的子集。然后在每个子集上实现学习算法，以生成N=bT/TBLc利润和损失时间序列。注意，当u和λ为零时，子集将完全最大化。σ设置为0.01，以近似经验MLE估计（Jarrow et al.（2012））。下标BL代表背面测试长度2019年12月25日NMTG˙Arxiv˙V3相互独立，因为每个单独的模拟运行的数据没有重叠。模拟结果见下表1。表1：。回测试验次数（N）、每次模拟的回测长度（TBL）以及每日和每日实施的结果PBO估计数。N TBLPBODaily 30 60天，每日1.4%，每日22 3天，每日11.4%。数据4.1。每日数据每日数据来源于汤森路透，包含与JSE前40名所列所有股票对应的数据。数据集包括2005年1月1日至2016年4月29日期间42只股票的数据，但我们将仅使用在此期间交易时间超过60%的股票。除去这些股票，我们总共有31支股票。数据包括开盘价（Po）、收盘价（Pc）、最低价（Pl）、最高价（Ph）和日交易量（V）（OHLCV）。除了这31支股票之外，我们还需要一种无风险资产来平衡投资组合。我们选择交易短期固定利率（STeFI）指数。

STeFIbenchmark是一个专有指数，用于衡量南非短期固定利率货币市场投资工具的表现。它由Alexander Forbes（前身为南非期货交易所（SAFEX））建造，现已成为短期现金等价物投资（最长12个月）的行业基准（“etfSA STeFI”（2011））。4.2. 日内每日数据Bloomberg是本文使用的所有滴答（日内）数据的来源。该数据集包括2018年1月2日至2018年6月29日JSE前40名股票中的30只。然后每隔5分钟对数据进行采样，以创建6个月期间所有5分钟间隔的OHLCV条目。我们取消了连续交易时段（9:00-16:50）的前10分钟和最后20分钟，因为在此期间市场相对缺乏流动性和波动性，这可能导致虚假的交易决策。因此，我们在任何一天为每只股票留下了88个OHLCV条目。除日内数据外，任何给定日期的最后一笔交易都需要特定期间的每日OHLCV数据。与日常数据一样，我们使用STeFI指数作为无风险资产，因此STeFI指数的日常条目包含在该数据集中。数据来自彭博终端，使用R Bloomberg API、Rblpapi，所有数据处理都在MATLAB中完成，以将数据转换为学习算法所需的形式。5、结果与分析5.1。每日数据在本节中，我们实现了上述各种算法，以便为每日JSE Top 40数据绘制一系列图形，如上文第4节所述。我们将绘制五个不同的图表：请参阅第6节中的补充材料，了解彭博资讯股票代码的全称。2019年12月25日NMTG˙Arxiv˙V3图1。