永久美式期权价格的变分不等式及其应用

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英文标题：
《Variational inequality for perpetual American option price and
  convergence to the solution of the difference equation》
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作者：
Hyong-chol O, Song-San Jo
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最新提交年份：
2019
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英文摘要：
  A variational inequality for pricing the perpetual American option and the corresponding difference equation are considered. First, the maximum principle and uniqueness of the solution to variational inequality for pricing the perpetual American option are proved. Then the maximum principle, the existence and uniqueness of the solution to the difference equation corresponding to the variational inequality for pricing the perpetual American option and the solution representation are provided and the fact that the solution to the difference equation converges to the viscosity solution to the variational inequality is proved. It is shown that the limits of the prices of variational inequality and BTM models for American Option when the maturity goes to infinity do not depend on time and they become the prices of the perpetual American option.
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中文摘要：
研究了永久美式期权定价的一个变分不等式及其相应的差分方程。首先，证明了永久美式期权定价的变分不等式解的最大值原理和唯一性。然后给出了永续美式期权定价的最大值原理、变分不等式对应的差分方程解的存在唯一性以及解的表示，并证明了差分方程解收敛于变分不等式的粘性解。结果表明，美式期权的变分不等式和BTM模型在到期日为无穷大时的价格极限不依赖于时间，它们成为永久美式期权的价格。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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PDF下载：
--> Variational_inequality_for_perpetual_American_option_price_and_convergence_to_th.pdf (264 KB)

2022-6-14 07:13:49 上传

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关键词：美式期权 不等式 Presentation Quantitative Variational

永续美式期权价格的变分不等式和差分方程解的收敛性Hyong chol O，Song San Jo1,2数学系，金日成大学，平壤，D P R Korea电子邮件：hc。o@ryongnamsan.edu.kpAbstract研究了永久美式期权定价的一个变分不等式及其相应的微分方程。首先，证明了永久美国期权定价的变分不等式解的最大值原理和唯一性。然后给出了极大值原理、与永续美式期权定价的变分不等式对应的微分方程解的存在唯一性和解的表示，并证明了微分方程解收敛于变分不等式的粘性解。结果表明，当美式期权到期时，变分不等式和BTM模型的价格极限不依赖于时间，它们成为永久美式期权的价格。永久美式期权；变分不等式；显式差分方程；maximum principle2010数学学科分类35A35、39A12、62P05、91B281简介金融衍生品定价是数学金融中的一个主要主题，在物理学中有着明确的含义[12]，而美国n期权是被广泛研究的金融衍生品之一。[9] 研究了期权定价的离散方程和微分方程模型，给出了各种定价公式。特别是，他们给出了美式期权价格的自由边界问题和变分不等式模型，并研究了期权价格的一些性质。

美式期权是一种金融工具，持有人可以在到期日和到期日之前的任何时间行使。永久美式期权是指没有到期日的美式期权，也就是说，永久美式期权可以在未来的任何时候行使，并且价格函数是在有限的时间间隔内定义的。文献[6]采用预期方法研究了永久美式期权的定价模型。在Diffusion模型下，[9]提供了永久美式期权的自由边界问题和变分不等式模型，以及自由边界问题模型的解表示。在一般跳跃扩散风险模型下，[3]研究了永久美式期权。在[10]、[12]、[13]中，我们在一个市场模型中研究了图阿拉美利加期权，该市场模型可以被视为只有两个状态的区域切换模型，其中一个转移概率设置为零。在【15】中，研究了跳跃差异模型中的永久美国巨灾股票看跌期权，【16】研究了实际美国高管股票期权（ESO），【1】，【2】研究了当局部波动函数被修改时的看涨期权二重性。另一方面，金融合同被离散行使，例如，每天、每月、每三个月、每六个月，每年等。

因此，与连续模型相比，离散的Hyong chol O、Song San Jo模型被认为是更现实的金融衍生品模型[9]。对于永久美式期权，[11]通过最流行的离散模型之一的二项式l tree模型提供了价格表示和最优行使边界，并研究了永久百慕大期权二叉树价格的周期性。[8] 发现了二叉树方法与美式期权价格变分不等式模型的一种特殊显式差分格式之间的一些明确关系，并利用它获得了美式期权二叉树价格与变分不等式模型粘性解的协收敛性。这一结果扩展到了[14]中具有时间相关系数的情况。在本文中，我们感兴趣的是[11]中获得的永续Lamerican期权的二叉树价格的收敛性。美式期权的价格函数定义为有限时间间隔，而永久美式期权的价格函数定义为有限时间间隔。因此，在[8]或[14]中发展的理论无法涵盖这个问题，而离散模型（如二叉树模型）的解决方案无法在[1]所示的不同方案中一步一步地找到。本文得到了伪美式期权定价的变分不等式解的最大值原理和唯一性。然后研究了永久美式期权定价的变分不等式所对应的微分方程的极大值原理、解的存在性和唯一性以及解的表示形式。

（根据【8】、【9】中的考虑，【11】中的二项式树方法可以被视为忽略微元变量不等式的特殊差异等式，因此该研究可以被视为【11】结果的延伸。）然后，我们研究了微分方程解到变分不等式粘性解的收敛性。从这个结果来看，我们得到了[11]的二项式三元法的收敛性，并且这种研究可以看作是[8]的结果对失效时间T=∞.在包括[9]和[11]在内的许多文献中，永久美式期权的价格是在先验假设下建模的，即它不依赖于时间。另一方面，当到期日接近尾声时，自然会将永久美式期权的价格视为美式期权价格的限制。这种方法排除了永久美式期权价格不依赖于时间的先验假设。在本文中，我们证明了美国期权到期时变分不等式和BTM模型的价格极限不依赖于时间。本文的其余部分组织如下。在第二节“最大值原理与永续美国期权定价变分不等式解的唯一性”中，重新描述了最优行权基数的存在性。然后，对与永续Lamerican期权定价变分不等式相对应的微分方程，讨论了极大值原理、最优执行边界的存在性、解的存在性、唯一性、表示性以及近似解的收敛性。

第3节显示了变量不平等模型、其显式差异方案和美式期权的BTM的价格限制，当其成熟度趋于一致时，不依赖于时间。永续美式期权价格的变分不等式。。。32永久美式期权价格的变分不等式及其差分方程2.1永久美式期权价格r、q和σ变分不等式解的一些性质分别是利率、股息率和期权基础资产的波动率，然后给出了美式期权的变分不等式定价模型：min-σSdVdS- （r）- q） SdVdS+rV，V- ψ= 0，（1）这里ψ=（E- S） +（用于put）或ψ=（S- E） +（用于通话）。Black-Scholes普通微分算子（BSOD算子）定义如下：LV=-σSdVdS- （r）- q） 如果V（S）是（1）的解，那么V（S）=ψ，- 停止区LV>0，V（S）>ψ，- 在连续区域中，LV=0。[3] 因此，（1）的解总是非负的。考虑间隔A=（A，b），（0）中的BSOD运算符（2）≤ a<b≤ ∞).定理2.1（BSOD算子的极大值原理）假设r>0且V（S）∈C（A）。如果-LV<（>）0，S∈ A、 那么，在A的内部点无法获得V的非负最大值m（非正最小值）。此外，如果-低压≤ (≥)0，S∈ A、 然后我们有SUPX∈AV（x）=supx∈AV+（x）infx公司∈AV（x）=infx∈成人影片-（十）. （3） 证明假设-LV<0，但存在这样一个内部p点x∈ A thatV（x）=maxx∈AV（x）=M≤ 0当a<x<b，因此VS（x）=0和VSS（x）≤ 0，我们有-LV=-σSdVdS- （r）- q） SdVdS+rVS=x=-σSdVdS（x）+rM≥ 0这与以下假设相矛盾：-LV<0。

假使-低压≤ 0，设u=V- ε，那么-Lu=-低压- rε<0，我们有supx∈Au（x）=supx∈pAu+（x）因此我们有supx∈AV（x）≤ s upx∈Au（x）+ε=supx∈pAu+（x）≤ supx公司∈pAV+（x）+ε。Letε→ 0，然后我们证明了（3）。（QED）4 Hyong chol O，Song San JoCorollary 1（永久美式期权定价函数的最大原则）V（S）（1）的解在a=（a，b）的基点处达到非负最大值，而a是（）的任意子域。证据如果V（S）是（1）的解，则其成立-在V>φ的域中，LV=0。因此，定理m 1导致了结果。引理2.1假设V（S）是永久美式看跌期权的价格，即（1）的解。如果S在停止区域，即V（S）=（E- S） +，然后是≤ 最小值{rE/（q）+，E}。也就是说，最佳练习边界不能大于min{rE/（q）+，E}。此处（q）+=（q，q≥ 00，q<0首先验证，注意如果V（S）=（E- S） +，然后是S≤ E[甲]。所以我们可以重写asV（S）=E- 另一方面，（1）可以写成{-LV，V- φ} =0自（V）起- φ） （S）=0，则-LV | S=rE- qS公司≥ 0，因此如果q≥ 0，然后是S≤ rE/q.（q ED）引理2.2设V（S）为永久l美式看跌期权的价格。（i） 如果S>0，则V（S）=（E- S） +，那么我们有V（S）=（E- S） +对于所有S（<S）。（ii）如果S>0，则V（S）=（E- S） +，然后V（S）>（E- S） +适用于所有S（>S）。引理1的证明（i），我们有≤ 回复/问题。如果结论不成立，也就是说，我们假设0<S<S：V（S）>E- S、 （4）设（a，b）为（4）保持的最大间隔。那么我们有V（S）=E- S=aor S=b时的S。从（4）到最小值{- LV，V- φ} =0，我们有-LV=0和V- （E）- S） 间隔时间（a、b）大于0。因此，我们有-L（V- （E）- S） ）=L（E- S） =qS- rE<0(∵ q≥ 0=> S<S≤ rE/q）。根据定理1，V的非负最大值-（E）-S） 在边界点处获得。

自V（a）起- φ（a）=0，V（b）- φ（b）=0，我们有V（S）- φ（S）≤ 间隔（a、b）为0。本合同附件（4）。（ii）如果S> S:V（S）=（E- S） +，那么从（i）的结论我们得到V（S，t）=（E- S） +这与假设相矛盾。（QED）从引理2及其旋涡出发，证明了最优运动边界的存在性。定理2.2（最优行使边界的存在性）设V（S）为永久美式看跌期权的价格函数。然后，存在一个最优行权边界S。永续美式期权价格的变分不等式。。。5缩短间隔（E+∞) 包含到延续区域。让Sbe为连续区域的极限，然后从引理2，（S+∞) 是连续区域，（0，S）是停止区域。（QED）定理2.3（永久Lamerican看跌期权价格变分不等式解的唯一性）（1）最多有一个解。证明证明。设Vand-Vbe（1）的两个解，S，Sbe分别为两个解的最佳练习边界。在不丧失一般性的情况下，假设S>S。那么，对于S>S，我们有V=V=φfo r S<和LV=LV=0。另一方面，对于S<S≤ S、 我们有V=φ，LV=0，V>φ。现在考虑间隔，∞).当S<S时≤ S、 我们有-L（V- 五） =-Lφ=-Lφ=-qS+rE≥ 0(∵ q≥ 0=> S≤ rE/q）。当S>S时，我们有-L（V- 五） =0。因此，根据最大值原理（定理1），V的非正最小值- Vin间隔，∞) 在边界处获得。但我们有（V- 五） （S）=0和（V- 五）(∞) = 0，表示（V- 五）≤ 0英寸（S，0）。这与（V- 五） （S）=φ（S）- V（S）<0。所以我们有S=S。在（0，S）中，两个解ar e等于φ，因此，两个解是重合的，∞), 我们有V- V=0且在边界V上- V=0。

根据定理1，我们有V=V.（QED）备注2.1，【jia】中考虑的永久美式期权价格的自由边界问题的解满足变分不等式（1），因此（1）的解的存在性是已知的。