系统性风险度量的计算：混合整数线性

我们称“P”为总义务向量。对于每个i，j∈ N使得i 6=j，πij>0表示N节点j的总负债的分数。我们称π为相对负债矩阵。每一个我∈ N、 假设πii=0意味着节点i不能对自身承担责任。ByPnj=1πji<n始终为y i∈ N、 我们假设没有节点拥有网络中的所有声明。注意，给定p和π，对于每个i，j∈ N、 节点i对节点j的名义责任lij可计算为lij=πij'pi。对于每个i∈ N、 xi≥ 0表示节点i的营运现金流。我们称x为营运现金流向量。设（N，π，’p，x）为Eisenberg-Noe网络。对于每个i∈ N、 让pi≥ 0是节点i向网络中其他节点支付的所有款项的总和。那么，p=（p，…，pn）T∈ Rn+被称为支付向量。定义2.2。A向量p∈ [0，\'p]被称为（N，π，\'p，x）的清算向量，如果它满足以下属性：o有限责任：对于每个∈ N、 pi≤Pnj=1πjipj+xi，这意味着节点i不能支付比它更多的费用绝对优先级：对于每个i∈ N、 pi=(R)pi或pi=Pnj=1πjipj+xi，这意味着节点i要么全额履行其义务，要么通过支付尽可能多的款项来实现。设ΦEN+：[0，\'p]→ [0，\'p]由ΦEN+（p）定义：=πTp+x∧ \'p.（2.1）Eisenberg和Noe（2001）表明，（N，π，\'p，x）的清除向量p是ΦEN+，即ΦEN+（p）=p的固定点。接下来，我们回顾清除向量的数学规划特征，这是我们后续推广的基础。我们用函数f:Rn表示th→ R严格递增如果a≤ b和a 6=b意味着对于每个a，b，f（a）<f（b∈ 注册护士。提案2.3。（Eisenberg和Noe，2001，引理4）Let f:Rn+→ R是严格递增函数。

考虑以下带有线性约束的优化问题：最大化f（p）服从p≤ πTp+x，p∈ [0，\'p]。（2.2）如果p∈ Rn+是这个优化问题的最优解，那么它就是（N，π，(R)p，x）的清除向量。网络中的每个成员都会对经济产生影响。正如最近有关系统风险度量的文献（见第1.1节）所述，我们使用聚合函数来总结这些单独的影响，并量化网络的总体影响。我们定义了聚合函数∧EN+：Rn+→ R对于Eisenberg-Noe网络（N，π，’p，x），通过∧EN+（x）：=supf（p）| p≤ πTp+x，p∈ [0，\'p]（2.3）对于每个x∈ Rn+，其中f：Rn+→ R是严格递增函数，即∧EN+（x）是（2.2）中问题的最优值。作为一种特殊情况，f可以被视为一个线性函数，在这种情况下，（2.2）中的问题是一个线性规划问题。2.2签署的Eisenberg Noe网络模型在最初的Eisenberg Noe网络模型中，假设经营现金流矢量具有正分量。然而，在现实中，可能会发生这样的情况，即一家机构对外部实体负有责任，而这些实体并没有被建模为网络的一部分，这会导致负运营现金流或正运营成本。定义2.4。如果定义2.1中的N、π和pare，且x=（x，…，xn）T∈ 注册护士。请注意，定义2.4删除了运营现金流的积极性假设。我们的目标是通过扩展定义2.2以及负运营现金流的额外资历假设，提供清算向量的新定义。基于这一定义，我们证明了清除向量的一个固定点和一个数学规划特征。最后，我们通过一个MILP问题引入了一个相关的聚合函数。设（N，π，’p，x）为有符号Eisenber g-Noe网络。

我们假设网络外有义务的节点，即运营现金流为负的节点必须首先履行这些义务，如果他们在“第一轮”中没有违约，那么他们应该履行对网络内其他节点的义务。在这个“第二个”节点上，就像在原始的Aleisenberg-Noe网络模型中一样，它们要么全额履行对其他节点的义务，要么支付手头和默认的尽可能多的费用。这激发了以下定义。定义2.5。A向量p∈ [0，\'p]被称为（N，π，\'p，x）的清除向量，如果它满足以下属性：o立即默认值：f或每个i∈ N、 ifPnj=1πjipj+xi≤ 0，则pi=0。o有限责任：对于每个i∈ N、 如果Pnj=1πjipj+xi>0，则pi≤Pnj=1πjipj+xi，这意味着如果节点i的运营现金流严格为正，那么它支付的金额就不能超过它所支付的金额绝对优先级：对于每个i∈ N、 如果Pnj=1πjipj+xi>0，则pi=(R)pi或pi=Pnj=1πjipj+xi，这意味着如果节点i的运营现金流严格为正，则它要么全额履行其义务，要么通过支付尽可能多的现金来违约。LetΦEN:[0，\'p]→ [0，\'p]由ΦEN（p）定义：=\'\'p∧ （πTp+x）+, （2.4）或更明确地说∈ N、 ΦENi（p）=0 ifPnj=1πjipj+xi≤ 0，Pnj=1πjipj+xi如果0<Pnj=1πjipj+xi≤ π，\'piifPnj=1πjipj+xi>\'pi。（2.5）如果x∈ Rn+，然后Φ包含（2.1）中为原始艾森伯格Noe网络模型定义的函数ΦEN+。接下来，我们建立清除向量的定点特征。提案2.6。A向量p∈ [0，\'p]是（N，π，\'p，x）的清除向量，当且仅当它是ΦEN的fix edpoint。下一个定理是第2.2节的主要结果。

它扩展了signedEisenberg-Noe网络模型的命题2.3，表明清除向量可以计算为某个MILP的最优解。因此，放松对操作现金流向量的积极性假设是以在清理向量的数学规划特征中使用二进制变量为代价的，因此，在最初的连续优化问题中添加了离散特征。定理2.7。让x∈ Rnand用∧EN（x）表示MILP问题的最佳值最大化f（p）（2.6），以pi为准≤nXj=1πjipj+xi+M（1- si），i∈ N、 （2.7）pi≤ “”pisi，i“∈ N、 （2.8）nXj=1πjipj+xi≤ Msi，i∈ N、 （2.9）0≤ 圆周率≤ ？pi，si∈ {0，1}，i∈ N、 （2.10）式中f:Rn+→ R是严格递增的线性函数，M=n k'pk∞+ kyk公司∞. 如果（p，s）是上述问题的非最优解，那么p是（N，π，(R)p，x）的清除向量。定理2.7的证明见附录A.2。备注2.8。函数∧En通常不凹。设u=（u，…，un）T∈ {0，1}nbe是一个二元向量，其中，如果xi<0，ui=0，如果xi<0，ui=1≥ 0，对于每个i∈ N、 然后（p，s）=（0，u）∈ Rn×Zn是（2.6）中MILP的可行解决方案。此外，由于f是矩形[0，\'p]上的有界函数 Meyer（1974，Theorem2.1）提出的Rn+，MILP有一个最优解。注意，根据定理2.7，（2.6）中MILP最优解的存在证明了网络（N，π，(R)p，x）的清除向量的存在。备注2.9。f的线性不是保持eorem 2.7的必要条件。备注2.10。与上述基于资历的方法不同，一种天真的方法是引入一个额外的节点，并将节点的负运营现金流视为对该额外节点的负债，正如Eisenberg和Noe（2001）所建议的，该节点本身既没有义务，也没有运营现金流。

该方法适用于Eisenberg和Noe（2001）中描述的实际默认算法，这样可以找到原始网络的清除向量。然而，由于新网络的相对负债矩阵取决于运营现金流向量，因此修改后的网络缺乏对原始网络的可靠解释。因此，我们在这里不遵循这条路线。2.3 Rogers-Veraart网络模型在Rogers和Veraart（2013）中，原始的Eisenberg-Noe网络模型通过包含违约成本进行了扩展。假设违约节点无法使用其所有流动资产来履行其义务。与Eisenberg-Noe模型不同，数学编程公式清除向量的可能性对于罗杰斯·维拉特来说似乎是一个开放的问题。我们通过提出一个MIL P来弥补这一差距，该MIL P的最佳解决方案包括罗杰斯-维拉特网络模型的清除向量。基于这一特征，我们定义了一个聚合函数，并提供了与网络模型的关系。最后，受定义2.2的启发，我们为罗杰斯-维拉特网络模型提出了清除向量的弱定义。定义2.11。如果某些N的N={1，…，N}，则称六元组（N，π，\'-p，x，α，β）为Rogers-Veraart网络∈ N、 π=（πij）i，j∈N∈ Rn×n+是一个随机矩阵，πii=0，Pnj=1πji<n foreach i∈ N、 \'p=（\'p，…，\'pn）T∈ Rn++，x=（x，…，xn）T∈ Rn+和α，β∈ （0，1）。如定义2.1所示，N是具有N个机构的网络中的节点集，\'p是总债务向量，π是相对负债矩阵，x是经营现金流向量。

据推测，违约节点可能无法使用其所有流动资产来履行其义务。为此，我们使用α作为运营现金流的分数，使用β作为其他节点现金流的分数，违约节点可以使用这些节点来履行其义务。设（N，π，’p，x，α，β）为Rogers-Veraart网络。对于每个i∈ N、 让pi≥ 0是节点i向网络中其他no DE支付的所有款项的总和。那么，p=（p，…，pn）T∈ Rn+被称为支付向量。受艾森伯格Noe网络清除向量定义2.2的启发，我们建议罗杰斯-维拉特网络清除向量的类似定义如下（N，π，’p，x，α，β）。定义2.12。A向量p∈ [0，\'p]被称为（N，π，\'p，x，α，β）的清算向量，如果它满足以下属性：o有限责任：对于每个∈ N、 pi≤ xi+Pnj=1πjipj，这意味着节点i不能支付比它更多的费用绝对优先级：对于每个i∈ N、 pi=(R)pi或pi=αxi+βPnj=1πjipj，这意味着N模式i要么必须全额履行其义务，要么通过尽可能多的支付违约。设ΦRV+：[0，\'p]→ 【0，’p】由ΦRV+i（p）定义：=“”piif“”pi≤ xi+Pnj=1πjipj，αxi+βPnj=1πjipjif'pi>xi+Pnj=1πjipj，（2.11）∈ N、 观察到，如果α=1和β=1，那么函数ΦRV+将从最初的Eisenberg No e网络模型变成（2.1）中通常的ΦEN+。下一个命题对这项工作来说是新颖的，它在计算罗杰斯-维拉特模型中的清除向量时很有用。其证明见附录A.3。提案2.13。A固定点p∈ ΦRV+的[0，\'p]是（N，π，\'p，x，α，β）的清除向量。备注2.14。命题2.13的逆命题一般不成立。

这里有一个反例。考虑罗杰斯-维拉特网络（N，π，\'p，x，α，β）和支付向量p，其中N={1，2}，π=0 11 0, \'\'p=, x个=, p=,α = 0.5, β = 0.5. 根据定义2.12，p是（N，π，’p，x，α，β）的清算向量，因为它满足绝对优先权和有限责任。然而，通过（2.11），ΦRV+（p）=25>p=15。因此，p不是ΦRV+的固定点。下一个定理是第2.3节的主要结果。在定理2.7的spir it中，对于signedEisenberg-Noe网络，它为Rogersverart网络（N，π，’p，x，α，β）提供了清除向量的MILP特征。定理2.15。对于每个x∈ Rn+，表示为∧RV+（x）根据pi，MILPmaximize f（p）（2.12）的最佳值≤ αxi+βnXj=1πjipj+πpisi，i∈ N、 （2.13）pisi≤ xi+nXj=1πjipj，i∈ N、 （2.14）0≤ 圆周率≤ ？pi，si∈ {0，1}，i∈ N、 （2.15）式中f:Rn+→ R是严格递增的线性函数；对于每个x∈ Rn\\Rn+，设置∧RV+（x）=-∞对于不确定性。如果（p，s）是上述MILP的最优解，那么p是（N，π，(R)p，x，α，β）的清除向量。附录A.4给出了定理2.15的证明。备注2.16。函数∧RV+通常不凹。备注2.17。让我们评论一下定理2.7和定理2.15中的MILP问题。虽然这两个问题都有一个通过二进制变量的离散特征，但这个特征的性质彼此非常不同。在定理2.7中，二进制变量用于量化ΦEN定义中从“第一轮”到“第二轮”的开关，定义见上述定义2.5。在这种情况下，除了二进制变量外，在问题公式中还使用了一个大的常量。另一方面，在定理2.15中使用了二元变量来模拟ΦRV+中的不连续性，当α<1或β<1时，会出现这种不连续性。在这种情况下，不使用大常数M的公式是可能的。备注2.18。

很容易检查（p，s）=（0，0）∈ Rn×Zn是（2.12）中MILP的可行解决方案。此外，由于f是区间[0，\'p]上的边界函数 Rn+，Meyer（1974，定理2.1），（2.12）中的MILP有一个最优解。注意，根据定理2.15，（2.12）中MILP最优解的存在证明了（N，π，(R)p，x，α，β）的clearingvector的存在。因此，定理2.15为Rogers和Veraart（2013，定理3.1）关于清除向量存在性的证明提供了另一种论证。第3节使用本节中开发的MILP聚合函数∧ENand∧RV+来定义和计算s y系统风险度量。3系统风险度量的标度化问题在本节中，我们考虑（敏感）系统风险度量的计算，这些系统风险度量是随机运营现金流向量的集值函数，并根据不完善网络模型的聚合函数定义。尽管上述文章主要关注的是聚合函数是凹的，这导致相应系统风险度量的凸值，但我们使用的聚合函数不是凹的，并且相应的系统风险度量通常没有凸值。在不指定特定网络模型的情况下，我们考虑一个具有n∈ N机构。正如在第2节中，我们写N={1，…，N}。类似地，对于someK，设K={1，…，K}∈ N、 我们考虑一个有限概率点(Ohm, F、 P），其中Ohm =ω, . . . , ωK, F是功率设置Ohm, P是由基本概率qk=P确定的概率测度ωk> 0，k∈ K、 我们用所有随机向量X的线性空间L（Rn）表示：Ohm → 注册护士。对于everyX∈ L（Rn），letkXk∞:= maxi公司∈N，k∈K | Xi（ωK）|。我们使用分组的概念，Feinstein et al。

（2017），将系统性风险度量的维度保持在合理水平，以便于计算。这个概念允许我们将网络成员分类为组，并为组中的所有成员分配相同的资本水平。为此，让G≥ 1是一个整数，表示组数，G={1，…，G}网络中的组集。对于第4节中的计算，我们将使用G=2或G=3组。Let（Nl)l∈Gbe N的一个分区，wher e Nl表示属于组的所有机构的集合l ∈ G、 对于每个l ∈ G、 让nl:= |Nl| 并用B表示l∈ RG×nl矩阵1在l在其他地方抛出0。让B∈ RG×nbe B定义的分组矩阵：=BB。BG公司. （3.1）我们考虑（分组）敏感系统性风险度量ROPT:L（Rn）→ 2选择定义（X）：=z∈ Rn∧OPT（X+BTz）∈ A., （3.2）式中∧OPT:Rn→ R∪{-∞} 是聚合函数和 L（Rn）是一个可接受集，即处于可接受风险水平的所有随机聚合输出的集合。我们假设∧OPTis∧OPT（x）：=sup{f（p）|（p，s）形式的一般优化聚合函数∈ Y（x），p∈ Rn，s∈ Zn}，（3.3），其中f:Rn→ R是严格递增的连续函数，Y:Rn→ 2Rn×zn是一个集值约束函数，使得Y（x）可以是空集，也可以是一个非空紧集∈ 注册护士。特别是，该一般结构涵盖了第2节中定义的聚合函数∧OPT=∧ENand∧OPT=∧RV+。另一方面，我们假设A是由A={Y定义的半空间类型接受集∈ L（Rn）| E[Y]≥ γ} ，（3.4）式中γ∈ R是一些合适的阈值。因此，相应的s y系统风险度量ROPTbecomesROPT（X）=z∈ RG | E[λOPT（X+BTz）]≥ γ.

（3.5）当∧OPT=∧enan时，我们写出ROPT=Ren；当∧OPT=∧RV+，我们写出ROPT=RRV+，并将其分别称为Eisenberg Noe和Rogers Veraart系统风险度量。备注3.1。对于RRV+（X），定理2.15中∧RV+的定义意味着隐含条件X+BTz≥ 接下来，我们引入一个与ROPT的每个值相关的向量优化问题。让我们fixx∈ L（Rn）并考虑向量优化问题最小化z∈ RG关于≤受限于E[λOPT（X+BTz）]≥ γ、 （3.6）其中≤ 表示Rn中通常的组件顺序。请注意，ROPT（X）与该向量优化问题的所谓上图像一致，即ROPT（X）=z+RG+| E[λOPT（X+BTz）]≥ γ. （3.7）在接下来的两小节中，我们提出了通过利用优化聚合函数∧OPT的结构来解决与ROPT（X）相关的某些标量化问题的方法。3.1每个w的加权和标量化∈ RG+\\{0}，我们考虑加权和标量化问题p（w）=infz∈ROPT（X）wTz=infz∈RG公司wTz | E[λOPT（X+BTz）]≥ γ. （3.8）以下定理为P（w）提供了一个替代公式。定理3.2。让w∈ RG+\\{0}。考虑（3.8）和letZ（w）中的问题：=infz∈RGnwTz | Xk∈Kqkf（pk）≥ γ、 （pk、sk）∈ Y（X（ωk）+BTz），pk∈ Rn，sk∈ 锌k∈ 击倒取胜（3.9）那么，P（w）=Z（w）。特别是，如果（3.8）和（3.9）中的一个问题有一个确定的最优值，那么另一个问题和最优值也会一致。附录B.1给出了定理3.2的证明。备注3.3。允许l ∈ G和elRG中对应的标准单位向量。观察加权和标度化问题P（el) = infz公司∈RG公司zl| E[λOPT（X+BTz）]≥ γ（3.10）是（3.6）中向量优化问题的单目标优化问题。根据定理3.2，Pel= Zel.备注3.4。