系统性风险度量的计算：混合整数线性

对于这些情况，在0.1和0.3之间可能有一个断点，将艾森伯格-诺伊系统性风险度量从非凸形状转换为凸形状，这意味着，每当概率qcon1,2小于该断点时，大银行就不太可能对小银行负责，并且比其他情况下有更多的资本配置选项。接下来，对于qcon2,1的灵敏度分析，我们在表3中给出了qcon2,1算法的计算性能∈ {0.1, 0.3, 0.5, 0.7, 0.9}. 图2包括相应的内部近似。与前面的敏感性分析一样，从表3中观察到，每个问题的平均时间随着qcon2,1的增加而增加。因此，这是对发生这种情况的假设的另一种证明。verticesOuterapprox。verticesPproblemsAvg。每生产一次。（秒）总算法时间（秒）总算法时间（小时）0.1 257 258 257 233.243 59943 16.6510.3 294 295 294 319.511 93936 26.0930.5 328 329 328 377.398 123787 34.3850.7 394 394 492.597 194083 53.9120.9 435 436 512 487.547 249624 69.340表3:qcon2算法的计算性能∈ {0.1, 0.3, 0.5, 0.7, 0.9}.由于连通概率越高，网络的连通性就越强，相应的PPR问题的MILP公式需要更多的时间来解决。请注意，随着qcon2,1的增加，图2中相应的Eisenb er g-Noe系统风险度量的内部近似值从右下角向左上角移动。与之前的敏感性分析相反，它可以解释为：随着qcon2,1的增加，第一组获得了更广泛的资本配置选项，而第二组失去了资本配置选项。

从图2中还可以观察到，生成qcon2,1=0.9的网络会导致非凸艾森伯格Noe系统风险度量。但是，对于值SQCON2,1∈ {0.1，0.3，0.5，0.7}，相应的Eisenberg-Noe系统风险度量似乎是凸集。与之前的敏感性分析一样，可以推测，在这些情况下，在0.7和0.9之间存在一个断点，用于切换这些Eisenberg-Noe系统风险度量。图2：Eisenberg-Noe系统风险度量的内部近似值2,1∈{0.1, 0.3, 0.5, 0.7, 0.9}.KInnerapprox。verticesOuterapprox。verticesPproblemsAvg。每生产一次。（秒）总算法时间（秒）总算法时间（小时）10 376 377 376 3.088 1 161 0.32320 380 381 380 11.977 4 551 1 1.26430 389 390 389 28.134 10 944 3.04040 381 382 381 56.685 21 597 5.9950 373 373 96.488 35 990 9.99760 381 382 381 151.635 57 773 16.04870 386 385 385 206.924 79 666 22.12980 390 293.155 330 31.75890 381 382 381 378.346 144 150 40.042100 394 395 394492.597 194 083 53.912表4:K的算法计算性能∈ {10, 20, . . . , 100}.从凸形状到非凸形状，这意味着，当概率qcon2,1高于该断点时，小银行更有可能对大银行负责，而大银行比其他情况下有更多的资本配置选择。4.2.2场景数量下一步，我们分析计算时间和相应的系统风险度量是如何随场景数量K而变化的。由于网络结构始终保持不变，因此预计艾森伯格无系统风险度量中不会有重大变化。

然而，由于每个场景将n个连续变量和n个二进制变量添加到相应的PPR问题及其MILP公式ZEN（推论3.11），因此预计计算时间将发生重大变化。表4显示了K的算法的计算性能∈ {10, 20, . . . , 100}. 图3中的图表明，每个PPR问题的平均时间和总算法时间的增长速度超过了与K的线性关系。因此，得到的结果与预期不符。4.3具有70个节点的两组签名Eisenberg Noe网络在本节中，我们考虑具有N=70、N=10、N=60、K=50、σ=100的Eisenberg Noe网络（N，π，’p，X）， = 0.05和qcon=0.7 0.10.5 0.5, lgr公司=10 58 5, ν =-50-100.10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100图3：50家银行的艾森伯格Noe签名网络的每个问题的场景平均时间和场景总算法时间图。在相应的Eisenberg-Noe系统风险度量中，我们取γp=0.9。算法中的ap proximationerror取=1。在该网络上，我们对阈值γp、组间节点分布和场景数量进行敏感性分析。γpInnerapprox。verticesOuterapprox。verticesPproblemsAvg。每生产一次。（秒）总算法时间（秒）总算法时间（小时）0.01 376 377 376 3.088 1 161 0.3230.1 210 437 305.389 133 455 37.0710.2 145 146 727 492.418 357 988 99.4410.3 90 91 893 560.268 500 138.9780.4 87 1037 494.65 512 952 142.4870.5 91 1099 448.063 492 421 136.7840.6 94 10695 5 240.982 256 646 71.2910.7 96 97 927 97.501 90 383 25.1060.8 141 142 719 45.546 32 748 9.0970.9234 235 461 15.285 7 047 1.9570.95 217 218 217 11.622 2 522 0.7010.99 136 137 136 2.504 341 0.0951.00 1 1 0.203 0.204 0表5：γp算法的计算性能∈ {0.01, 0.1, . . .

, 0.9, 0.95, 0.99, 1}.4.3.1阈值水平我们研究了当平均应满足网络负债总额的某一部分的要求变得更加严格时，艾森伯格Noe系统性风险度量及其计算时间是如何变化的。表5说明了γp算法的计算性能∈ {0.01，0.1，0.2，…，0.9，0.95，0.99，1}图4表示相应的图4：γp的艾森伯格-诺伊系统风险度量的内部近似值∈{0.01, 0.1, . . . , 0.9, 0.95, 0.99, 1}.艾森伯格Noe系统风险度量的内部评估。从表5可以看出，对于γ环0.3的值，每个问题的平均次数较高，对于γ环0.5的值，每个问题的数量较高。这两个因素导致γ值在0.4附近的总算法次数较高。此外，可以观察到，当γ值为0.5时，内近似顶点和外近似顶点的数量以及PPR问题的数量之间的差异急剧增加。发生这种情况是因为图4中相应的艾森伯格Noe系统风险度量的边界包含“fl at”区域，这使得算法在不实际改进近似值的情况下解决了更多的问题。从图4中可以看出，作为γpincreases，每个后续的Eisenberg-Noe系统性风险度量都包含在前一个度量中。该结果与相应的Eisenberg-Noe系统风险度量完全一致，因为在特定γ水平上可行的资本分配在任何低于γp的水平上都是可行的。4.3.2组间节点分布在这一部分中，我们对固定总节点数n=70的组间节点分布进行了敏感性分析。我们取集合中的大银行数量{5，10，20，…，60，65}。

那么，小银行的数量是n=n- n、 生成的随机经营现金流始终保持不变，而网络结构在每次运行时都会发生变化。因此，相应的Eisenberg Noe系统性风险指标预计会有显著变化。表6显示了n的算法的计算性能∈ {5，10，20，…，60，65}图5表示艾森伯格-诺埃系统风险度量的相应内部近似值。请注意，表6中每个问题的平均时间往往会随着大型银行数量的增加而增加。之所以会出现这种情况，是因为最大的连通概率qcon1,1=0.7，就是一家大银行对另一家大银行负责的可能性。因此，随着大银行数量的增加，网络中的节点与负债的联系变得更加紧密，解决PPR问题需要更多的时间，因为PPR问题的MILP公式在内部近似方面变得更加复杂。verticesOuterapprox。verticesPproblemsAvg。每生产一次。（秒）总算法时间（秒）总算法时间（小时）5 93 94 1096 16.88 18 501 5.13910 234 235 461 15.285 7 047 1.95720 209 210 209 38.512 8 049 2.23630 201 202 45.225 9 090 2.52540 213 214 213 55.444 11 809 3.28050 250 61.329 15 332 4.25960 403 404 639 79.577 50 850 14.12565 205 206 1092 131.431 143 523 39.867表6：计算性能n的算法性能∈ {5, 10, 20, . . . , 60, 65}.图5:n的Eisenberg-Noe系统风险度量的内部近似值∈{5, 10, 20, . . . , 60, 65}.约束条件。此外，可以观察到，随着节点分布向两种极端情况（5个大银行和65个大银行）的变化，内部和外部近似顶点的数量以及问题数量之间的差异增大。

与之前的敏感性分析一样，之所以会出现这种情况，是因为图5中这些极端情况下的艾森伯格Noe系统风险度量的边界包含“fl at”区域，这使得算法在不实际改进近似的情况下解决了更多问题。我们从图5中观察到，随着大银行数量的增加和小银行数量的减少，与大银行相比，小银行获得了更广泛的资本配置选项。之所以会出现这种情况，是因为银行总数是固定的，银行数量较少的集团拥有更广泛的资本配置选项，因为它对其他集团的银行拥有更多的债权。当各集团的银行数量平均分布时，大型银行集团拥有更广泛的资本配置选项。原因在于连接概率。重新调用，对于该设置，假设从大银行到小银行的连接概率为qcon=0.1，而从小银行到大银行的连接概率为qcon=0.5。这意味着小银行更有可能对大银行负责，而且由于大银行比小银行拥有更多的债权，它们有更广泛的资本配置选择。4.4具有45个节点的两组Rogers-Veraart网络在本节中，我们考虑由以下参数生成的Rogers-Veraart网络（N，π，(R)p，X，α，β）：N=45，N=15，N=30，K=50， = 0.05和qcon=0.5 0.10.3 0.5, lgr公司=200 10050 50.此外，可用于违约节点的随机经营现金流的流动部分被固定为α=0.7，可用于违约节点的已实现债权的流动部分被固定为β=0.9。随机操作现金流γ分布的形状和尺度参数Xi，i∈ Nl, l ∈ G、 选择κ=[100 64]，θ=[1 1.25]。

然后，相应组中随机经营现金流的平均值为ν=【100 80】，共同标准偏差为σ=10。在相应的Rogers-Veraart系统风险度量中，我们采用αInnerapprox。verticesOuterapprox。verticesPproblemsAvg。每生产一次。（秒）总算法时间（秒）总算法时间（小时）0.1 273 274 333 12.165 4 051 1.1250.3 461 462 484 10.572 5 117 1.4210.5 592 593 602 5.231 3 149 0.8750.7 583 584 584 3.876 2 264 0.6290.9 589 590 589 3.395 2000 0.555表7：α的算法计算性能∈ {0.1, 0.3, 0.5, 0.7, 0.9}.γp=0.9。算法中的近似误差取为=1.4.4.1 Rogers-Veraartα参数。在这一部分中，我们对α进行了敏感性分析，α是操作现金流的流动部分，可供违约节点用于履行其义务。生成的网络（N，π，(R)p，X，α，β）在所有情况下都保持不变。表7说明了α算法的计算性能∈ {0.1、0.3、0.5、0.7、0.9}和图6包含相应Rogers-Veraart系统风险度量的内部近似值。从表7中可以看出，每个问题的平均时间随α而减少。可以推测，这是因为以下观察结果：随着α参数的增加，（2.11）中Rogers-Veraart模型中清除向量的x点特征的不连续性降低了图6：α的Rogers-Veraart系统风险度量的内部近似值∈{0.1, 0.3, 0.5, 0.7, 0.9}.β内近似值。verticesOuterapprox。verticesPproblemsAvg。

每生产一次。（秒）总算法时间（秒）总算法时间（小时）0.1 187 189 214 5.014 1 073 0.2980.3 223 225 270 5.561 1 1 502 0.4170.5 323 324 350 3.733 1 307 0.3630.7 394 395 401 3.710 1 488 0.4130.9 583 584 3.876 2 264 0.629表8：β算法的计算性能∈ {0.1, 0.3, 0.5, 0.7, 0.9}.由于包含定理2.15中问题的约束条件，即清除向量的MILP特征，因此解决PPR问题的相应MILP公式变得更容易。从图6可以看出，随着α的增加，罗杰斯的平均系统风险指标显著增加。这意味着，随着违约成本的降低，大银行和小银行对资本金的要求都降低了。人们还可以观察到，在每种情况下，为集团分配零资本要求都不是一个可行的选择。此外，考虑到小型银行的资本要求足够高，在每种情况下，大银行都可以获得负数额的资本要求。另一方面，小银行没有这种特权。4.4.2 Rogers-Veraartβ参数在这一部分中，我们对β进行了敏感性分析，β是来自其他节点的已实现权利要求的液体部分，默认节点可以使用该部分来满足其ob连接。生成的网络（N，π，(R)p，X，α，β）在所有情况下都保持不变。表8显示了β算法的计算性能∈ {0.1、0.3、0.5、0.7、0.9}图7提供了相应Rogers-Veraart系统风险度量的内部近似值。从表8可以看出，PPR问题的总数随着β的增加而增加。对于β值较高的问题，我们可以观察每个问题的平均时间。

与α参数的情况一样，可以认为这是因为以下观察结果：随着β参数的增加，罗杰斯-维拉特模型（2.11）中清除向量定点特征的不连续性减少，这使得解决问题的MILP公式变得更容易。从图7中可以看出，随着β的增加，罗杰斯-维拉特系统风险指标显著扩大。这意味着，如果违约银行能够使用更大比例的已实现债权，那么无论是大银行还是小银行都可以获得更严格的资本要求。还可以观察到，在每种情况下，图7:Rogers-Veraartβ系统风险度量的内部近似值∈{0.1, 0.3, 0.5, 0.7, 0.9}.向集团分配零资本要求不是一个可行的选择。此外，如果β=0.9，那么考虑到小银行的资本要求足够高，大银行可以分配负资本要求。另一方面，小银行没有这种特权。γpInnerapprox。verticesOuterapprox。verticesPproblemsAvg。每生产一次。（秒）总算法时间（秒）总算法时间（小时）0.1 1 1 0.384 0.384 00.2 13 13 13.809 180 0.0500.3 51 52 51 30.273 1 544 0.4290.4 94 94 36.645 3 445 0.9570.5 165 166 98.625 16 273 4.5200.6 223 138.532 30 893 8.5810.7 389 390 389 204.288 79 468 22.0750.8 395 395 91.600 36 182 10.0510.9 583 584 584 3.876 2 264 0.6290.95 418 419 431 2.946 1 270 0.3530.99 6667 74 1.639 121 0.0341.00 1 1 0.132 0.132 0表9：γp算法的计算性能∈ {0.1, 0.2, . . . , 0.9, 0.95, 0.99, 1}.4.4.3阈值水平本部分比较了不同的γ水平。表9显示了γp算法的计算性能∈ {0.1, 0.2, . . .

，0.9，0.95，0.99，1}和图8包含相应的丁-罗杰斯-维拉特系统风险度量的内部近似值。图8：Rogers-Veraartγp系统风险度量的内部近似值∈{0.1, 0.2, . . . , 0.9, 0.95, 0.99, 1}.从表9可以看出，对于γp值约为0.7的情况，每个问题的平均时间和总算法时间都很高。此外，PPR问题的数量增加到γp=0.9，然后减少。与图4中的结构类似，我们在图8中观察到，具有较小γpV值的平均系统风险度量包含具有较高γpV值的系统风险度量，这与这些风险度量的定义一致。4.4.4节点在组间的分布在这一部分中，我们通过改变节点在组间的分布，对固定的总节点数n=45进行敏感性分析，其中大银行的数量具有{5、10、15、20、25、30、35、40}的值。那么，小银行的数量是n=n- n、 表10显示了算法的计算性能，图9提供了相应的ding Rogers-Veraart系统风险度量的内部近似值。请注意，对于值n，表10中每个问题的平均时间相对较高∈图9:n的Rogers-Veraart系统风险度量的内部近似值∈{5, 10, 15, 25, 30, 35, 40}.{20, 25, 30, 35, 40}. 此外，P问题的数量大于f或n=20左右的值。从图9可以看出，随着大银行数量的增加和小银行数量的减少，与大银行相比，小银行获得了更广泛的资本配置选项。