系统性风险度量的计算：混合整数线性

要得到一个矛盾，假设zl> kXk公司∞+ k？pk∞. 设z′∈ RGbe向量，使得z′l= kXk公司∞+ k？pk∞和z′^l= z^lforeach^l ∈ G \\{l}. 我们声称（z′，（pk，sk）k∈K） 是问题的可行解决方案。的确，对于每一个我∈ N、 k级∈ K s uch那BTz′型i=kXk∞+ k？pk∞, 约束（3.15）h olds aspki≤nXj=1πjipkj+Xi（ωk）+（BTz′）i+ M（1- ski）=nXj=1πjipkj+Xi（ωk）+kXk∞+ k？pk∞+ M（1- ski）sincePnj=1πjipkj≥ 0，Xi（ωk）+kXk∞≥ 0，pki≤ “”pi≤ k？pk∞, M（1- 滑雪板）≥ 0.还有，对于每个人∈ N、 k级∈ K，使得（BTz′）i=kXk∞+ k？pk∞, 约束（3.17）h olds asnXj=1πjipkj+Xi（ωk）+（BTz′）i=nXj=1πjipkj+Xi（ωk）+kXk∞+ k？pk∞<nXj=1πjipkj+Xi（ωk）+zl≤ Mski，假设kXk成立∞+ k？pk∞< zl以及（z，（pk，sk）k的可行性∈K） 。（3.13）中的所有其他约束由（z，（pk，sk）k的可行性决定∈K） ，因为它们是KXK的fr ee∞+ k？pk∞. 因此，下面的权利要求得到了zl= 禅宗el≤ z′l= kXk公司∞+ k？pk∞. 哮喘是一种矛盾，结果如下。为了得到一个矛盾，假设p问题有一个可行解，但ZEN（el) = -∞.自ZEN（el) = -∞, 存在>0和（z，（pk，sk）k∈K） ，其中z∈ RGand（pk、sk）∈Rn×Zn每k∈ K、 使elTz=zl= -2M和（z- el, （pk，sk）k∈K） 是这个问题的可行解决方案。修复i∈ N、 k级∈ K使得（BTz）i=zl= -2米。然后，约束（3.15）与约束（3.18）aspki相矛盾≤nXj=1πjipkj+（Xi（ωk）+（BT（z- el))i） +米（1- 滑雪板）≤nXj=1πjipkj+Xi（ωk）- 2米- +M=nXj=1πjipkj+Xi（ωk）-  - 2 kXk∞- （n+1）k'pk∞=nXj=1πjipkj- n k？pk∞+Xi（ωk）- 2 kXk∞- k？pk∞- <0sincePnj=1πjipkj<n k？pk∞, Xi（ωk）≤ 2 kXk∞, -k？pk∞< 0, - < 0. 因此，（z-el, （pk，sk）k∈K） 是不可行的，这与假设相矛盾。因此，ZEN（el) > -∞. 此外，可行解的存在意味着ZEN（el) < +∞. 因此，ZEN（el) ∈ R、 3。假设γ≤T'p.设z=（kXk∞+ k？pk∞), pk=(R)p，sk=每k∈ K

我们证明了（z，（pk，sk）k∈K） 是解决这个问题的可行办法。自pk=每k的p∈ K、 很明显PK∈KqkTpk=T'p≥ γ. 因此，约束条件（3.14）成立。让我∈ N、 k级∈ K、 约束（3.15）保持asnXj=1πjipkj+Xi（ωk）+（BTz）i+ M（1- ski）=nXj=1πjipkj+Xi（ωk）+（kXk∞+ k？pk∞)（BT）i+M（1- 1） =nXj=1πjipkj+Xi（ωk）+kXk∞+ k？pk∞≥ (R)pi=pkisincePnj=1πjipkj≥ 0，Xi（ωk）+kXk∞≥ 0，（BT）i=1，ski=1。约束（3.17）保持asnXj=1πjipkj+Xi（ωk）+（BTz）i=nXj=1πjipkj+Xi（ωk）+kXk∞+ k？pk∞≤ 2 kXk∞+ （n+1）k'pk∞= M=Mski，sincePnj=1πjipkj≤ n k？pk∞. 对于每个k，通过选择z、pk和sk，（3.13）中的所有其他约束都很简单∈ K、 因此，（z，（pk，sk）K∈K） 是这个问题的可行解决方案。相反，如果γ>T'p，则约束（3.14）不可行，sincePk∈KqkTpk≤T'p<γbyconstraint（3.18）。因此，这个问题是不可行的，这就是证明。B、 3第3.1.2节推论3.8的证明。让YRV+：Rn→ 2Rn×Znbe由yrv+（x）：=n（p，s）定义的集值函数∈ Rn×Zn | p≤ αx+β∏Tp+(R)p⊙ s、 \'\'p⊙ s≤ x+πTp，p∈ [0，\'p]，s∈ 每x{0，1}个（B.2）∈ Rn+和YRV+（x）= 对于每个x∈ Rn\\Rn+。然后，应用定理3.2，y=YRV+给出PRV+el= ZRV公司+el.命题3.9.1的证明。Let（z，（pk，sk）k∈K） 是问题的最佳解决方案。为了得到一个矛盾，假设zl> kXk公司∞+αk？pk∞. 设z′∈ Rnbe是z′处的向量l= kXk公司∞+αk？pk∞andz′^l= z^l对于每个^l ∈ G \\{l}. 与命题3.6（i）证明中的论点类似，可以检查（z′，（pk，sk）k∈K） 是问题的可行解决方案。因此，zl= ZRV公司+el≤z′l= kXk公司∞+αk？pk∞. 由于这是一个矛盾，结果如下。2、为了得到一个矛盾，假设问题有一个可行的解bu t ZRV+（el) = -∞.设M=kXk∞+α（n+1）k'pk∞.

自ZRV+（el) = -∞, 存在>0和（z，（pk，sk）k∈K） ，其中z∈ Rnand（pk，sk）∈ Rn×Zn每k∈ K、 使elTz=zl= -M和（z- el, （pk，sk）k∈K） 是解决这个问题的可行办法。修复i∈ N、 k级∈ K这样BTz公司i=zl= -M、 与命题3.6（ii）证明中的论点类似，可以检查约束（3.23）与约束（3.26）相矛盾。因此，（z- el, （pk，sk）k∈K） 不可行，这与假设相矛盾。因此，ZRV+（el) > -∞. 此外，可行解的存在意味着ZRV+（el) < +∞. 因此，ZRV+（el) ∈ R、 3。假设γ≤T'p.让z=kXk公司∞+αk？pk∞, pk=(R)p，sk=每k∈ K、 在命题3.6（iii）的证明中，可以检查（z，（pk，sk）K∈K） 是解决问题的可行方案。相反，如果γ>T'p，则约束（3.22）不可行，sincePk∈KqkTpk≤T'p<γ受约束（3.26）。因此，（3.21）中的问题不可行。B、 4定理3.10Let（u，（pk，sk）k的证明∈K） 是（3.29）中问题的可行解决方案。对于每个k∈ K、 （pk，sk）是∧OPT（X）的可行解ωk+ BTv+u），因为（3.29）中的问题包括（3.3）的约束。因此，对于每个k∈ K、 ∧OPT（X（ωK）+BTv+u）≥ f（pk），表示[λOPT（X+BTv+u）]≥KXk=1qkf（pk）≥ γ、 其中，第二个不等式通过（u，（pk，sk）k的可行性成立∈K） 。那么，u是（3.28）中问题的可行解决方案。因此，P（v）≤ Z（v）。相反，让ou∈ R是（3.28）中问题的可行解决方案。然后，对于每个k∈ K、 ∧OPT（X（ωK）+BTv+ou）∈ 根据Y（X（ωk）+BTv+ou）的紧性，对于（3.3）中的∧OPT（X（ωk）+BTv+ou）问题，存在一个非最优解（opk，osk）。然后，KXk=1qkf（opk）=E[λOPT（X+BTv+ou）]≥ γ由P（v）定义。

因此，（ou，（opk，osk）k∈K） 是（3.29）中问题的可行解决方案。因此，P（v）≥ Z（v）。B、 5第3.2.1节推论3.11的证明。在推论3.5的证明中，设Y=YENas。然后，应用定理3.10得出PEN（v）=ZEN（v）。命题3.12.1的证明。Let（u，（pk，sk）k∈K） 成为问题的最佳解决方案。要得到一个矛盾，假设u>kXk∞+ kvk公司∞+ k？pk∞. 我们声称（umax，（pk，sk）k∈K） 是问题的可行解决方案。让我∈ N、 k级∈ K、 注意，CONSTRAINT（3.33）持有aspki≤nXj=1πjipkj+（Xi（ωk）+（BTv）i+umax）+M（1- ski）=nXj=1πjipkj+Xi（ωk）+（BTv）i+kXk∞+ kvk公司∞+ k？pk∞+ M（1- ski）=nXj=1πjipkj+（Xi（ωk）+kXk∞) + （（BTv）i+kvk∞) + k？pk∞+ M（1- ski），sincePnj=1πjipkj≥ 0，Xi（ωk）+kXk∞≥ 0，（BTv）i+kvk∞≥ 0，pki≤ k？pk∞, M（1- 滑雪板）≥ 约束（3.35）保持asnXj=1πjipkj+Xi（ωk）+（BTv）i+kXk∞+ kvk公司∞+ k？pk∞<nXj=1πjipkj+Xi（ωk）+（BTv）i+u≤ Mski=Mby根据假设kXk∞+kvk公司∞+k？pk∞< u和（u，（pk，sk）k的可行性∈K） 。（3.31）中的所有其他约束均由（u，（pk，sk）k的可行性决定∈K） ，因为它们不含kXk∞+kvk公司∞+ k？pk∞. 因此，权利要求如下，其产生u=ZEN（v）≤ kXk公司∞+ kvk公司∞+ k？pk∞.由于这是一个矛盾，我们得到了期望的结果。为了得到一个矛盾，假设问题有一个可行的解决方案，但ZEN（v）=-∞.然后，存在>0和（pk，sk）k∈K、 其中（pk、sk）∈ Rn×Zn每k∈ K、 因此(-2米-，（pk，sk）k∈K） 是问题的可行解决方案。修复i∈ N、 k级∈ K、 那么约束（3.33）违反了约束（3.36）aspki≤nXj=1πjipkj+Xi（ωk）+（BTv）i- 2米- + M（1-滑雪板）≤nXj=1πjipkj+Xi（ωk）+（BTv）i- - M=nXj=1πjipkj+Xi（ωk）+（BTv）i- - 2 kXk∞- 2千伏∞- （n+1）k'pk∞=nXj=1πjipkj- （n+1）k'pk∞+Xi（ωk）- 2 kXk∞+（BTv）i- 2千伏∞-<0，sincePnj=1πjipkj<（n+1）k'pk∞, Xi（ωk）≤ 2 kXk∞, （BTv）i≤ 2千伏∞, - < 0.

因此(-2米-，（pk，sk）k∈K） 是不可行的，这与假设相矛盾。因此，ZEN（v）>-∞. 另一方面，禅（v）<+∞ 通过可行解的存在。So ZEN（五）∈ R、 3。假设γ≤T？p.L etu=kXk∞+ kvk公司∞+ k？pk∞, pk=(R)p，sk=每k∈ K、 Weshow that（u，（pk，sk）K∈K） 是解决这个问题的可行办法。自pk=每k的p∈ K、 原来是这样的∈KqkTpk=T'p≥ γ. 因此，约束（3.32）成立。现在Fix i∈ N、 k级∈ K、 约束（3.33）保持asnXj=1πjipkj+Xi（ωk）+（BTv）i+u+ M（1- ski）=nXj=1πjipkj+Xi（ωk）+（BTv）i+u+M（1- 1） =nXj=1πjipkj+Xi（ωk）+（BTv）i+kXk∞+ kvk公司∞+ k？pk∞≥ (R)pi=pki，sincePnj=1πjipkj≥ 0，Xi（ωk）+kXk∞≥ 0，（BTv）i+kvk∞≥ 0，ski=1，通过选择K。约束（3.35）保持asnXj=1πjipkj+Xi（ωk）+（BTv）i+u=nXj=1πjipkj+Xi（ωk）+（BTv）i+kXk∞+ kvk公司∞+ k？pk∞≤ 2 kXk∞+ 2千伏∞+ （n+1）k'pk∞= M=Mski，sincePnj=1πjipkj≤ n k？pk∞. 通过为每个k选择u、pkandsk，所有其他约束都很简单∈ K、 因此，（u，（pk，sk）K∈K） 是解决这个问题的可行办法。相反，如果γ>T'p，则约束（3.32）不可行，sincePk∈KqkTpk≤T'p<γ，byconstraint（3.36）。因此，该问题不可行，从而完成了证明。B、 6推论3.15第3.2.2节中结果的证明。在推论3.8的证明中，设Y=YRV+as。根据定理3.10，结果如下。命题3.16.1的证明。Let（u，（pk，sk）k∈K） 成为问题的最佳解决方案。要得到一个矛盾，假设u>kXk∞+kvk公司∞+αk？pk∞. 根据命题3.12（i）证明中的类似论点，可以证明（kXk∞+kvk公司∞+αk？pk∞, （pk，sk）k∈K） 是解决这个问题的可行办法。因此，u=ZRV+（v）≤ kXk公司∞+ kvk公司∞+αk？pk∞, 这是一个矛盾。2、为了得到一个矛盾，假设p问题有一个可行解，但ZRV+（v）=-∞.设M=kXk∞+ kvk公司∞+α（n+1）k'pk∞.

然后，存在>0和（pk，sk）k∈K、 在哪里pk，sk∈ Rn×Zn每k∈ K、 因此(-M- ，（pk，sk）k∈K） 是解决这个问题的可行办法。修复i∈ N、 k级∈ K、 在命题3.12（ii）的证明中，可以检查约束（3.41）是否违反约束（3.44）。因此(-M- ，（pk，sk）k∈K） 是不可行的，这与假设相矛盾。因此，ZRV+（v）>-∞. 结合问题的可行性，可以得出ZRV+（v）∈ R、 3。假设γ≤T'p.Letu=kXk∞+ kvk公司∞+αk？pk∞, pk=(R)p，sk=每k∈ K、 在命题3.12（iii）的证明中，可以证明（u，（pk，sk）K∈K） 是解决这个问题的可行办法。相反，如果γ>T'p，则约束（3.40）不可行，sincePk∈KqkTpk≤T'p<γ，受约束（3.44）。因此，这个问题是不可行的，这就是证明。C非凸Benson型算法在本节中，我们提出了一种近似于Eisenberg-Noe和Rogers-VeraartSystem风险度量的算法。风险度量根据用户定义的近似误差>0和上限点zUB进行近似∈ RG。该算法基于inNobakhtian和Sha fiei（2017）描述的非凸多目标规划问题的Benson型算法，借用了以下定义。让我 RG。A点v∈ 如果v的邻域N不能表示为L上两个不同点的严格凸组合，则L称为L的顶点∩ N、 L的所有顶点的集合由vertL表示。符号intL表示L的内部。给定apoint z∈ RGand L RG，我们定义L | z：={v∈ L | v≤ z} 。设R、L、U RG，z∈ RGand>0。集合L称为R相对于和z的外近似，如果R L和L | z R+B（0，），其中B（0，）是RG中的闭合球，以0为中心，半径为。

如果R是U相对于和z的外部近似值，则集合U称为R相对于和z的内部近似值。计算系统风险度量值的内部和外部近似值的算法如下所示。由于其适用于罗杰斯·维拉特系统风险度量，因此仅为艾森伯格无e系统风险度量提供了详细信息。设（N，π，’p，X）为有符号EisenbergNoe网络。设G是网络中的组数，G={1，…，G}。考虑相应的Eisenberg-Noe系统性风险度量（X）。让齐德尔∈ RGbe是（3.6）中向量优化问题的理想点，∧OPT=∧EN，其定义见备注3.4。可以计算zideal=（ZEN（e），ZEN（eG））Tby推论3.5。此外，对于v∈ RG，最小步长PEN（v）可通过求解推论3.11中的MILP问题ZEN（v）获得。该算法从初始内近似U：=zUB+RG+和初始外近似L：=zideal+RG+开始，满足U 任（X） 五十、 设ε=，初始设置← 0.在t接合处，对于顶点vt∈vertLt | zUB使vt+ε/∈ int Ut，该算法求解ZEN（vt）以获得从点vt到方向REN（X）边界的最小步长ut∈ RG。换句话说，yt=vt+u是集合REN（X）的边界点。然后该算法排除了圆锥体yt-RG+从Lt获得Lt+1：=Lt \\（yt-RG+，并将圆锥体yt+RG+添加到UTT，以获得Ut+1，如下所示：Ut+1：=Ut∪（yt+RG+）。在此之前，在算法的每一步，我们都有Ut Ut+1 任（X） Lt+1 Lt.在t操作结束时，计算vertLt+1。Gourion和Luc（2010）详细描述了vertLt+1的计算。上述过程对t重复← t+1。当vertLT | zUB+ε  int UT。

集合UTand和Lt是REN（X）关于>0和zUB的内外近似值∈ RG。请注意，zUBhas的选择应确保zUB∈ REN（X）表示非空近似。算法1中提供了Eisenber g-Noe系统风险度量算法的伪代码。算法1。REN（X）初始化的内外近似算法。（i1）让zUB∈ REN（X），L=zideal+RG+，U=zUB+RG+，且>0。（i2）放置ε=并设置t← 0，S← .迭代。（k1）If（vertLt | zUB） S、 然后设置T=T并转到（r1）。否则，选择vt∈ （vertLt | zUB）\\S.（k2）如果vt+ε∈ int Ut，然后设置S← S∪ {vt}并转到（k1）。（k3）假设ut=PEN（vt）。定义yt=vt+ut.（k4）定义Lt+1：=Lt\\年初至今- RG公司+和Ut+1：=Ut∪yt+RG+.（k5）确定vertLt+1并设置t← t+1。转到（k1）。后果（r1）LTI是REN（X）的外部近似值，UTI是REN（X）的内部近似值。参考文献C,。Ararat和B.Rudloff。系统性风险度量的双重表示。《数学与金融经济学》，14（1）：139–1742020。P、 Artzner、F.Delbaen、J.-M.Eber和D.Heath。一致的风险度量。《数学金融》，9（3）：203–2281999年。H、 P.本森。一种外近似算法，用于在多目标线性规划问题的结果集中生成所有有效的极值点。《全局优化杂志》，13:1–241998年。F、 Biag ini、J.-P.Fouque、M.Fritelli和T.Meyer Brandis。通过验收集进行系统ris k测量的统一方法。《数学金融》，29（1）：329–3672019年。C、 Chen、G.Iyengar和C.C.Moallemi。系统ris的公理化方法k.管理科学，59（6）：1373–13882013。五十、 艾森伯格和T·H·诺。金融系统中的系统风险。《管理科学》，47（2）：236–2492001。P、 埃尔多斯和阿伦伊。《随机图I.数学出版》，6:290–2971959。Z、 范斯坦、B.鲁德罗夫和S.韦伯。系统风险度量k。

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