系统性风险度量的计算：混合整数线性

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英文标题：
《Computation of systemic risk measures: a mixed-integer linear
  programming approach》
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作者：
\\c{C}a\\u{g}{\\i}n Ararat, Nurtai Meimanjanov
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最新提交年份：
2021
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英文摘要：
  Systemic risk is concerned with the instability of a financial system whose members are interdependent in the sense that the failure of a few institutions may trigger a chain of defaults throughout the system. Recently, several systemic risk measures are proposed in the literature that are used to determine capital requirements for the members subject to joint risk considerations. We address the problem of computing systemic risk measures for systems with sophisticated clearing mechanisms. In particular, we consider the Eisenberg-Noe network model and the Rogers-Veraart network model, where the former one is extended to the case where operating cash flows in the system are unrestricted in sign. We propose novel mixed-integer linear programming problems that can be used to compute clearing vectors for these models. Due to the binary variables in these problems, the corresponding (set-valued) systemic risk measures fail to have convex values in general. We associate nonconvex vector optimization problems to these systemic risk measures and provide theoretical results related to the weighted-sum and minimum step-length scalarizations of these problems under the extended Eisenberg-Noe and Rogers-Veraart models. We test the proposed formulations on computational examples and perform sensitivity analyses with respect to some model-specific and structural parameters.
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中文摘要：
系统性风险关注的是金融系统的不稳定性，其成员相互依存，因为少数机构的倒闭可能引发整个系统的一连串违约。最近，文献中提出了几种系统性风险度量，用于确定受共同风险考虑影响的成员的资本要求。我们解决了为具有复杂清算机制的系统计算系统风险度量的问题。特别是，我们考虑了Eisenberg-Noe网络模型和Rogers-Veraart网络模型，其中前者扩展到系统中的运营现金流在符号上不受限制的情况。我们提出了新的混合整数线性规划问题，可用于计算这些模型的清除向量。由于这些问题中的二元变量，相应的（集值）系统风险度量通常不具有凸值。我们将非凸向量优化问题与这些系统风险度量相关联，并在扩展的Eisenberg-Noe和Rogers-Veraart模型下提供了与这些问题的加权和和和最小步长标度化相关的理论结果。我们在计算实例上测试了所提出的公式，并对一些特定于模型的参数和结构参数进行了敏感性分析。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Optimization and Control        优化与控制
分类描述：Operations research, linear programming, control theory, systems theory, optimal control, game theory
运筹学，线性规划，控制论，系统论，最优控制，博弈论
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Risk Management        风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
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PDF下载：
--> Computation_of_systemic_risk_measures:_a_mixed-integer_linear_programming_approach.pdf (1.74 MB)

2022-6-14 08:07:47 上传

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关键词：系统性风险 风险度量 风险度 系统性 Optimization

系统风险度量的计算：一种混合整数线性规划方法C,agin Ararat*Nurtai Meimanjanov+2021年1月17日抽象系统性风险与金融系统的不稳定性有关，其成员依赖于少数机构的倒闭可能引发整个系统的一连串违约。最近，文献中提出了几种系统性风险度量，用于确定受联合风险考虑影响的成员的资本要求。我们解决了为具有复杂清算机制的系统计算系统风险度量的问题。特别是，我们考虑了Eisenberg-Noe网络模型和Rogers-Veraart网络模型，其中前者扩展到cas e，在cas e中，系统中的运营现金流在符号上不受限制。我们提出了新的混合整数线性规划问题，可用于计算这些模型的清除向量。由于这些问题中的二元变量，相应的（集值）系统风险度量通常不具有凸值。我们将非凸向量优化问题与这些系统性风险度量相关联，并在扩展的Eisenberg-Noe-andRogers-Ver-aart模型下提供了与这些表的加权和和和最小步长标度化相关的理论结果。

我们在计算示例上测试所提出的公式，并对一些模型特定参数和结构参数进行敏感性分析。关键词和短语：系统风险度量、集值风险度量、Eisenber g-Noe模型、Rogers-Veraart模型、混合整数线性规划、向量优化。数学学科分类（2010）：26E25、90C11、90C29、91B30。*土耳其安卡拉比尔肯特大学工业工程系，cararat@bilkent.edu.tr.+德勤独联体，吉尔吉斯斯坦比什凯克，nurtaimeimanjanov@gmail.com.1导言1.1动机和文献综述金融传染通常与外部相关冲击引发的金融系统故障链以及系统成员之间的直接或间接相互依赖性有关，从经济角度来看，这些因素会导致不良后果，如金融危机、紧急贷款的必要性、，经济衰退、国债上涨等等。银行挤兑就是一个很好的例子，当大量持有人因恐慌或对银行的信心下降而从银行撤回其货币，导致银行破产。反过来，该银行可能会向其他银行索取索赔，降低对它们的信心，并导致新的挤兑。由于无法偿还债务，一些银行可能会破产，从而进一步加剧危机的蔓延。与传统的机构风险不同，系统性风险与整个金融系统抵御金融传染的强度有关。在本文中，我们考虑了成员之间通过合同责任直接联系的金融系统。当成员实现其经营现金流时，通过清算程序确定当前的银行间支付。

作为此类系统的一个例子，Eisenberg和Noe（2001）将金融系统建模为一个静态定向的银行网络，其中银行间负债附属于ARC。假设每家银行的运营现金流为正，本文提出了两种计算清算向量的方法，即支付向量以满足银行间负债。第一种是一种简单的算法，称为“有效默认算法”（ctivious defaultalgorithm），它通过无数次更新逐步计算出一个清除向量。第二个问题是一个二次曲线数学规划问题，其线性约束由负债、经营现金流和任意增长的目标函数决定。特别是，可以选择一个线性目标函数，以便计算出一个清除向量作为线性规划问题的最优解。作为Eisenberg-Noe模型的重要扩展，Rogers和Veraart（2013）在Eisenberg和Noe（2001）中引入了违约成本模型。此外，罗杰斯和维拉特（2013）的主要关注点之一是调查教育机构纾困程序的必要性。研究表明，在严格的正违约成本下，一些有偿付能力的机构接管破产机构可能会有好处。有关清除系统的详细回顾，读者可参考Kabanov等人（2017）的调查，该调查侧重于清除向量的存在性和唯一性，以及通过Eisenberg和Noe（2001）中的实际默认算法的某些变化进行计算。然而，据我们所知，这些作品都没有建立在Eisenberg和Noe（2001）的数学规划方法之上。另一方面，由于相关风险因素，网络成员的经营现金流通常会受到不确定性的影响。

因此，这些现金流可以建模为具有可能相关成分的随机向量的一种可能实现。然后，结果清算向量是运营现金流随机向量的确定性函数，其中确定性函数通过非确定性清算机制定义。基于随机清算向量，可以确定各种系统性风险度量，以计算网络成员的必要资本分配，以控制某些（非线性）平均值的过度变化。这是最近从Chen等人（2013）开始的一系列研究的主要焦点。使用清算机制，可以定义与清算向量相关的随机总量，例如系统中支付的总债务或所有成员因清算而产生的总股本。该聚合量可视为经营现金流向量的一个确定性和标量函数，称为聚合函数。Chen等人（2013）将系统风险度量定义为经营现金流向量的标量函数，通过凸风险度量（F¨ollmer and Schied，2011，第4章），如负预期值、平均风险值或熵风险度量，度量随机聚集量的风险。Chen等人（2013年）的系统风险度量值可被视为系统的总资本要求，以将总量风险保持在可接受的水平。然而，由于总资本仅在冲击累计后使用，因此将总资本分配给系统成员仍然是一个需要通过附加程序解决的问题。为此，Feinstein et al.（2017）和Biagini et al.（2019）分别提出了对资本水平“敏感”的集值和标量系统性风险度量。

这些系统性风险指标寻找确定性的资本配置向量，这些资本配置向量直接用于增强rand om运营现金流向量。因此，新增加的现金流向量被聚合，由此产生的随机聚集量的风险由凸风险度量控制，如Chen等人（2013）所述。特别是，Feinstein et al.（2017）提出的集值系统风险度量值是所有“可行”资本配置向量的集合，它将系统风险的度量和分配作为一个联合问题来解决。当基础聚集函数足够简单时，Feinstein et al.（2017）和Biagini et al.（2019）研究的敏感系统性风险度量具有方便的理论特性。在Ararat和Rudloff（2020）中，假设一个单调和凹的聚集函数，在Hamel et al.（2011）的观点中，集值敏感系统风险度量是一个凸集值风险度量，并根据聚集函数的共轭函数获得了对偶表示。特别是，假设与Eisenberg和Noe（2001）中的原始公式一样，运营现金流为正，Eiseberg-Noe模型的聚合函数是单调和凹的，并且该模型相应的系统风险度量得到了明确的对偶表示。1.2论文的贡献在本文中，我们关注敏感系统风险度量的计算。我们将该系统风险度量的值与向量（多目标）优化问题相关联，该向量（多目标）优化问题的“有效边界”对应于系统风险度量的边界。向量优化问题有一个用聚合函数表示的风险约束。

解决这一问题的主要挑战是，需要针对基础概率空间的每一个场景以及作为优化问题决策变量的资本配置向量的每一个选择来评估聚合函数。对于标准的Eisenberg-Noemodel模型，由于清算向量的线性规划特性，可以根据场景和资本配置向量参数化的线性规划问题来公式化聚合函数。因此，最终的向量优化问题可以看作是嵌套优化问题。我们特别关注标准艾森伯格Noe框架之外的模型，以及积极的运营现金流。首先，我们通过放宽积极性假设来扩展艾森伯格-诺伊模型。其次，我们研究了具有违约成本的罗杰斯-维拉特模型。事实证明，这两种模型都有一种常见的奇点，可以用二进制变量来表示，这是本文研究的一种新特性。我们的主要贡献之一是发展混合整数线性规划问题（MILP），其最优解在这些模型中产生清除向量。我们选择这些优化问题的目标函数的方式是，最优值给出相应模型中清算时支付的总债务。因此，我们计算聚合函数作为这些优化问题的最优值。在相关的优化问题中，二元变量的存在导致相应的聚合函数缺乏一致性。因此，与现有关于集值和标量系统风险测度的文献相比，这两个模型的敏感系统风险测度并不具有凸性的良好理论特征。

特别是，Ararat和Rudloff（2020）研究的s y系统风险度量的双重表示法不适用于我们的环境。事实上，我们甚至发现，这些系统风险度量值通常都不是凸集。因此，我们的一个基本发现是，一元变量和随之而来的凹凸性缺失自然表现出来，其代价是使用标准Eisenberg-Noe f框架之外更复杂的聚合机制。虽然我们的主要兴趣是用于计算的符号Eisenberg-Noe和Rogers-Veraart模型，但我们遵循统一的方法，使用混合整数优化问题中定义的一般聚合函数进行理论发展。为了能够近似对应的系统风险度量的非凸值，我们将一个（generallynonconvex）向量优化问题与之关联。作为一种通用范例，解决向量优化问题的算法通过解决某些尺度化问题（例如，加权求和尺度化）以及其他计算过程（例如，顶点枚举子程序）进行迭代。例如，用于线性向量优化的Benson算法（Benson，1998），用于凸向量优化的L¨ohne et al.（2014）中的Benson型算法，以及用于非凸向量优化的Nobakhtian和Sha fiei（2017）中的Benson-typ算法都遵循这种模式。因此，此类算法的有效性取决于解决标量化问题的能力。我们开发了两种方法来解决s y系统风险度量向量优化问题的两个常用标度化问题：加权和标度化问题和PascolettiSera fini标度化问题，其中包括计算进入具有固定方向的集的最小步长。

我们证明了两个签名的Eisenberg-Noe-andRogers-Veraart模型的两个标度化问题都可以表示为MILP问题。我们还证明了与这些MILP问题的可行性和有界性有关的一些结果。利用这些方法，我们在Nobakhtian和Sha fiei（2017）中作为非凸算法的子程序解决了尺度化问题。应该注意的是，这种算法的选择根本不是任意的；事实上，由于公式中存在二元变量，两个模型对应的向量优化问题都是非凸的，因此使用一种不带凸性假设的算法至关重要。我们对这两个模型进行了详细的计算研究，并对一些模型参数进行了敏感性分析，例如罗杰斯-维拉特模型中的默认成本参数、风险约束中使用的阈值水平，以及一些确定网络互联性的参数。本文的其余部分组织如下。我们在第2节详细研究了Eisenberg-Noe和Rogers-Veraartnetwork模型以及clearingvectors的数学规划特征。在第3节中，我们将在这些模型和相关的非凸向量优化问题的背景下研究敏感的系统性风险度量。第2、3项结果的证明分别推迟到附录A、B中。我们在第4.2节中给出了清算系统的MILP问题的计算结果。在本节中，我们首先在第2.1节中回顾了原始的艾森伯格Noe模型。

在这个模型中，清除向量可以通过求解一个简单的线性规划p问题（命题2.3）来计算。在第2.2节中，我们提出了一种基于资历的艾森伯格-诺伊模型的扩展，允许签名操作现金流，并提供了一种新的混合整数线性规划（MILP）澄清向量公式（定理2.7）。最后，在第2.3节中，我们考虑了罗杰斯-维拉特模型，并提供了一种新的清除向量的MILP公式（定理2.15）。让我们介绍相关的符号。让n∈ N： ={1，2，…}。给定a、b∈ R、 我们写了∧ b=最小值{a，b}，a∨ b=最大{a，b}，a+=0∨ a、 和a-= 0∨ (-a） 。类似地，给定a=（a，…，an）T，b=（b，…，bn）T∈ Rn，我们写了∧ b=（a∧ b一∧ bn）T，a∨ b=（a∨ b一∨ bn）Tas以及a+=0∨ a、 和a-= 0∨ (-a） ，其中0=（0，…，0）T∈ 注册护士。我们有时使用=（1，…，1）T∈ Rnas良好。向量a⊙b=（ab，…，anbn）t表示a，b的哈达玛乘积≤ b如果，d仅当ai≤ B每个i∈ {1，…，n}。在这种情况下，我们还定义了直角[a，b]=[a，b]×。×[安，bn] 注册护士。使用≤ 在Rn上，我们定义Rn+：={x∈ Rn | 0≤ x} ，其元素据说是积极的。最后，kak∞:= max{| a |，…，| an |}是l∞-a.2.1 Eisenberg Noe网络模型的规范本节提供了Eisenberg er g和Noe（2001）中的原始Eisenberg Noe网络模型及其相应的聚合函数，以确保完整性。定义2.1。如果某些N的N={1，…，N}，则称四重（N，π，\'-p，x）为Eisenberg-N oe网络∈ N、 π=（πij）i，j∈N∈ Rn×n+是一个随机矩阵，每个矩阵的πii=0，Pnj=1πji<n∈ N、 \'p=（\'p，…，\'pn）T∈ Rn++，x=（x，…，xn）T∈ Rn+。在定义2.1中，N是网络中的一组节点，代表N个机构的金融系统。每一个我∈ N、 ？pi>0表示节点i的负债总额。