系统性风险度量的计算：混合整数线性

让齐德尔∈ RGbe是（3.6）中向量优化问题的理想点，即zideal的条目使向量优化问题的每个目标函数最小化。换言之，我们可以定义：=P（e），P（eG）T∈ RG（3.11）假设P（el) 为每个l ∈ G、 定理3.2允许用紧可行集来解决G优化问题，即问题（Z（el))l∈G、 获得（3.6）中向量优化问题的理想点。在以下两个部分中，我们分别将定理3.2应用于∧OPT=∧enan和∧OPT=∧RV+。对于该目的，我们确定函数f:Rn→ MILP聚合函数的objectivefunctions中的R asf（p）：=Tp。很明显，f是一个严格递增的连续线性函数，有界于区间[0，p]注册护士。此外，由于第C节中的向量优化算法只需要解决标准单位向量的加权求和标量化问题，因此我们给出了此类方向向量的结果。3.1.1 Eisenberg-Noe系统风险度量的加权和标度化t（N，π，(R)p，X）是一个有符号的Eisenberg-Noe网络。推论3.5。允许l ∈ G、 考虑单目标优化问题pen（el):= infz公司∈RG公司zl| E[λEN（X+BTz）]≥ γ, （3.12）并让ZEN（el) 是MILP问题的最优值最小化zl（3.13）受试者toXk∈KqkTpk≥ γ、 （3.14）pki≤nXj=1πjipkj+（Xi（ωk）+（BTz）i）+M（1- 滑雪板），我∈ N、 k级∈ K、 （3.15）pki≤ ？皮斯基，我∈ N、 k级∈ K、 （3.16）nXj=1πjipkj+（Xi（ωK）+（BTz）i）≤ Mski，我∈ N、 k级∈ K、 （3.17）0≤ pki≤ ？pi，ski∈ {0, 1}, 我∈ N、 k级∈ K、 （3.18）z∈ RG，（3.19），其中M=2 kXk∞+ （n+1）k'pk∞. 然后，PEN（el) = 禅宗（el).

特别是，如果（3.12）和（3.13）中的一个问题有一个确定的最优值，那么另一个问题和最优值也会一致。下一个建议给出了（3.13）中问题的一些有界性和可行性结果。提案3.6。允许l ∈ G并考虑（3.13）中的MILP问题。1、如果问题有最优解，则打开（el) = 禅宗（el) ≤ kXk公司∞+ k？pk∞.2、如果问题有可行的解决方案，那么它有一个确定的最优值，即ZENel∈ R、 3。当且仅当γ时，问题有一个可行解≤附录B.2给出了本小节结果的证明。备注3.7。允许l ∈ G、 假设存在最优解（z，（pk，sk）k∈K） （3.13）中的MILPR问题。根据矩阵B的结构，对于每个i∈ N、 它保持不变BTz公司i=ZT代表somet∈ G、 因此，根据命题3.6（i），（BTz）i≤ kXk公司∞+ k？pk∞每个i保持∈ N、 此外，对于每个i∈ N、 k级∈ K、 和pk∈ [0，\'p]，它保持spnj=1πjipkj<n k'pk∞Xiωk≤ kXk公司∞.因此，选择M=2 kXk∞+ （n+1）k'pk∞在推论3.5中进行了调整，因为为了确保（3.17）中约束的可行性，选择M就足以使nxj=1πjipkj+（Xi（ωk）+（BTz）i）≤ M对于每个i∈ N、 k级∈ K和d pk∈ [0，\'p]。3.1.2 Rogers-Veraart系统风险度量的加权和标度化t（N，π，(R)p，X，α，β）是Rogers-Veraart网络。推论3.8。允许l ∈ G、 考虑单目标优化问题PRV+（el):= infz公司∈RG公司zl| E[λRV+（X+BTz）]≥ γ, （3.20）并让ZRV+（el) 是MILP问题的最优值最小化zl（3.21）受试者toXk∈KqkTpk≥ γ、 （3.22）pki≤ αXi（ωk）+（BTz）i+ βnXj=1πjipkj+(R)piski，我∈ N、 k级∈ K、 （3.23）’皮斯基≤Xi（ωk）+（BTz）i+nXj=1πjipkj，我∈ N、 k级∈ K、 （3.24）Xi（ωK）+（BTz）i≥ 0, 我∈ N、 k级∈ K、 （3.25）0≤ pki≤ ？pi，ski∈ {0, 1}, 我∈ N、 k级∈ K、 （3.26）z∈ RG。

（3.27）（此处，约束（3.25）确保X+BTz≥ 0使得∧RV+（X（ωk）+BTz）6=-∞ 每k∈ K、 ）然后，PRV+（el) = ZRV+（el). 特别是，如果（3.20）和（3.21）中的一个问题有一个最终的最优值，那么另一个问题和最优值也会一致。接下来的三个命题给出了问题（3.21）的一些有界性和可行性结果。提案3.9。允许l ∈ G、 考虑（3.21）中的MILP问题。1、如果问题有最优解，则PRV+（el) = ZRV+（el) ≤ kXk公司∞+αk？pk∞.2、如果问题有可行的解，那么它有一个确定的最优值，即ZRV+el∈ R、 3。当且仅当γ时，问题有一个可行解≤附录B.3.3.2中给出了本小节结果的证明。Pascoletti Sera fini标度化加权和标度化用于计算系统风险度量值的支持半空间，当集为凸集时，它们可以有效地刻画整个风险集。在我们的非凸情况下，我们使用额外的标量化来计算从可能的OUT侧点进入风险集的最小步长。这种尺度化在向量优化中是众所周知的；例如，参见Pascoletti和Sera fin i（1984），Gerstewitz和Iwanow（1985），G¨opfert et al.（2003）。对于每个v∈ RG，我们考虑P（v）：=infu ∈ R | BTv+u∈ ROPT（X）= inf公司u ∈ R | E[λOPT（X+BTv+u）]≥ γ, （3.28）可解释为从点v到集合ROPT（X）边界方向上的最小步长。下面的定理为P（v）提供了一个替代公式。定理3.10。让v∈ 注册护士。考虑（3.28）和letZ（v）中的问题：=infnu∈R | Xk∈Kqkf（pk）≥ γ、 （pk、sk）∈ Y（X（ωk）+BTv+u），pk∈ Rn，sk∈ 锌k∈ 击倒取胜（3.29）那么，P（v）=Z（v）。

特别是，如果（3.28）和（3.29）中的一个问题有一个确定的最优值，那么另一个问题和最优值也会一致。附录B.4给出了定理3.10的证明。以下两小节分别将定理3.10应用于∧OPT=∧enan和∧OPT=∧RV+。3.2.1 Pascoletti血清对Eisenberg-N oe系统风险度量的标准化（N，π，’p，X）是一个Eisenberg Noe网络。推论3.11。让v∈ RG。Cons ider the problemPEN（v）：=infu ∈ R | E[λEN（X+BTv+u）]≥ γ, （3.30）并让ZEN（v）为MILP问题的最佳值，最小化受试者toXk的u（3.31）∈KqkTpk≥ γ、 （3.32）pki≤nXj=1πjipkj+（Xi（ωk）+（BTv）i+u）+M（1- 滑雪板），我∈ N、 k级∈ K、 （3.33）pki≤ ？皮斯基，我∈ N、 k级∈ K、 （3.34）nXj=1πjipkj+（Xi（ωK）+（BTv）i+u）≤ Mski，我∈ N、 k级∈ K、 （3.35）0≤ pki≤ ？pi，ski∈ {0, 1}, 我∈ N、 k级∈ K、 （3.36）u∈ R、 （3.37），其中M=2 kXk∞+ 2千伏∞+ （n+1）k'pk∞. 然后，PEN（v）=ZEN（v）。特别是，如果（3.30）和（3.31）中的一个问题有一个确定的最优值，那么另一个问题和最优值也会一致。下一个建议给出了（3.31）中问题的一些有界性和可行性结果。提案3.12。让v∈ RG。考虑（3.31）中的MILP问题。1、如果问题有最优解，则pen（v）=ZEN（v）≤ kXk公司∞+ kvk公司∞+ k？pk∞.2、如果问题有可行解，那么它有一个确定的最优值，即ZEN（v）∈ R、 3。当且仅当γ时，问题有一个可行解≤附录B.5中给出了本小节结果的证明。备注3.13。让v∈ RGand（u，（pk，sk）k∈K） （3.31）中MILP问题的最优解。根据命题（3.12），u≤ kXk公司∞+ kvk公司∞+ k？pk∞. 根据矩阵B的结构，对于每个∈ N、 对于某些t，它保持（BTv）i=VT∈ G、 因此，对于每个v∈ RG，（BTv）i≤ kvk公司∞.

此外，对于每个i∈ N、 k级∈ K、 和pk∈ [0，\'p]，它保持spnj=1πjipkj<n k'pk∞和Xi（ωk）≤ kXk公司∞.因此，选择M作为M=2 kXk∞+ 2千伏∞+ （n+1）k'pk∞在推论3.11中进行了调整，因为为了确保约束（3.35）的可行性，可以选择M s uch thatnXj=1πjipkj+Xi（ωk）+（BTv）i+u≤ M对于每个i∈ N、 k级∈ K、 五∈ RGand主键∈ [0，\'p]。备注3.14。命题3.6（ii）表明，如果MILP问题el在（3.13）中，对于l ∈ G、 然后理想点zideal∈ （3.6）中的向量优化问题存在∧OPT=∧EN。命题3.9（ii）为∧OPT=∧RV+的向量优化问题（3.6）提供了相同的结果。此外，命题3.6（i）、3.6（iii）、3.12（i）、3.12（iii）允许在相应的MILP问题中选择上界M的精确值，而不是假设一些启发式值。3.2.2 Rogers-Veraart系统风险度量的Pascoletti血清标准化t（N，π，(R)p，X，α，β）是Rogers-Veraart网络。推论3.15。让v∈ RG。考虑问题PRV+（v）：=infu ∈ R | E[λRV+（X+BTv+u）]≥ γ, （3.38），并让ZRV+（v）为MILP问题的最佳值，最小化受试者toXk的u（3.39）∈KqkTpk≥ γ、 （3.40）pki≤ αXi（ωk）+（BTv）i+u+ βnXj=1πjipkj+(R)piski，我∈ N、 k级∈ K、 （3.41）’皮斯基≤Xi（ωk）+（BTv）i+u+nXj=1πjipkj，我∈ N、 k级∈ K、 （3.42）Xi（ωK）+（BTv）i+u≥ 0, 我∈ N、 k级∈ K、 （3.43）0≤ pki≤ ？pi，ski∈ {0, 1}, 我∈ N、 k级∈ K、 （3.44）u∈ R、 （3.45）（此处，约束（3.43）确保X+BTv+u≥ 0，使∧RV+（X（ωk）+BTv+u）6=+∞ forevery k公司∈ K、 ）然后，PRV+（v）=ZRV+（v）。特别是，如果（3.38）和（3.39）中的一个问题有一个确定的最优值，那么另一个问题和最优值也会一致。下一个建议给出了（3.39）中问题的一些有界性和可行性结果。提案3.16。让v∈ RG。考虑（3.39）中的MILP问题。1.

如果问题有最优解，则PRV+（v）=ZRV+（v）≤ kXk公司∞+ kvk公司∞+αk？pk∞.2、如果问题有可行解，那么它有一个确定的最优值，即ZRV+（v）∈ R、 3。当且仅当γ时，问题有一个可行解≤附录B.6中给出了本小节结果的证明。备注3.17。对于l ∈ G和v∈ RG，REN中出现的阈值γ，RRV+可以取网络中所有节点的债务之和的一定百分比。然后，这一保留确保了预期的总付款额超过了系统中总债务的这一部分。事实上，命题3.6（iii）、3.9（iii）、3.12（iii）、3.16（iii）表明，计算ZEN的MILP问题el, ZRV公司+el, ZEN（v），ZRV+（v）是可行的当且仅当γ≤因此，γ的选择是合理的。4计算结果和分析前一节中提出的求解加权和和Pascoletti标准化的方法可以嵌入到任何利用这些标准化的元向量优化算法中。对于本节中的计算分析，我们采用了Nobakhtian和Sha fiei（2017）中的Benson-typ算法，该算法在C节中提供，以方便读者阅读。我们在Java Photon（4.8.0版）上实现了调用Gurobi Interactive Shell（7.5.2版）的算法，并在3.60 GHz和4 GBRAM的Intel（R）Core（TM）i7-4790处理器上运行了该算法。我们在两组框架内应用艾森伯格-诺伊和罗杰斯-维拉特系统风险度量，并进行详细的敏感性分析。

在最后一部分中，我们给出了三组网络的几个计算结果。回想一下，n是金融系统中的机构数量，这里称为银行，nl是组中的节点数l ∈ G、 K是情景数，是用户定义的近似误差，zUBis是用户定义的上限向量，限制了系统风险度量的近似区域。在整个系统性风险度量的计算过程中，除了三组框架中的罗杰斯·维拉特案例（第4.6节），zUBis采取的是aszUB=zideal+2 k'pk∞,其中，对于γ=T'p的情况，Zideal是相应系统风险度量（备注3.4）的识别点，也就是说，当要求付款的预期总价值至少与网络中的负债总额相同时。为了方便起见，让我们写出γ=γp（T'p），其中γp∈ [0, 1].4.1数据生成我们考虑由n个银行组成的网络，形成G=2或G=3组。回想一下，G={1，…，G}，n=Sl∈GN公司l= {1，…，n}，和nl= |Nl|. 当G=2时，组sl = 1和l = 2分别对应于大型银行和小型银行。当G=3时，组l = 1.l = 2和l = 3分别对应于大型、中型和小型银行。为了构建有符号的Eisenberg-Noe网络（N，π，\'p，X）和Rogers-Veraart网络（N，π，\'p，X，α，β），相应的银行间负债矩阵l：=（lij）i，j∈N∈ Rn×n+和随机经营现金流向量X按以下方式生成。对于l，我们使用Erd¨os-R'enyi ran dom图模型（Erd¨os和R'enyi，1959；Gilbert，1959）。首先，我们确定连接概率矩阵qcon：=（qconl,^l)l,^l∈G∈ RG×Gand集团间负债矩阵lgr：=（lgrl,^l)l,^l∈G∈ RG×G.对于任意两个银行i，j∈ N与i∈ Nl, j∈ N^l和l,^l ∈ G、 qcon公司l,^l被解释为银行i欠lgr的概率l,^l银行j的金额。

然后，责任Lijis由Bernoulli triallij产生=lgr公司l,^l, 如果Uij<qconl,^l,0，否则，其中Uijis表示在单独的概率空间上实现具有标准统一分布的连续随机变量。然后，相应地计算相对负债矩阵π和总负债向量'p。回想一下，运营现金流向量X=（X，…，Xn）∈ L（Rn）是一个多元随机向量，并且Ohm 是K个场景的有限集合。假设所有情况都同样可能发生，经营现金流有一个共同的标准偏差σ，并且有一个共同的相关性 在任何两个运营现金流之间。然后，每个条目Xi，i∈ N、 生成为大小为K的arandom样本，如下所述。对于Eisenb er g-Noe网络，各集团的运营现金流平均值，ν：=（νl)l∈G、 是固定的，随机向量X是从高斯随机向量的K个实例生成的。对于罗杰斯-维拉特网络，首先，形状参数κ：=（κl)l∈Gand比例参数θ：=（θl)l∈根据σ的选择进行固定， 然后，从一个随机向量的亲缘关系生成X，该随机向量的拟合分布函数表示为具有所选参数的gamma边际分布的Gaussiancopula。特别是，νl= κlθl和σ=√κlθl对于每个l ∈ G、 4.2具有50个节点的两组签名Eisenberg Noe网络我们认为是一个具有n=50家银行的两组Eisenberg Noe网络，由n=15家大银行，n=35家小银行组成。我们取K=100，σ=100， = 0.05，qcon=0.9 0.30.7 0.5, lgr公司=10 58 5, ν =-50-100.在相应的Eisenberg-Noe系统风险度量中，我们取γp=0.7。内部近似值。verticesOuterapprox。verticesPproblemsAvg。

每生产一次。（秒）Total algorithmtime（秒）Total algorithmtime（小时）20 18 19 18 663.546 11944 3.31810 35 36 35 541.419 18950 5.2645 73 74 73 512.998 37449 10.4031 394 395 394 492.597 194083 53.912表1：由15家大银行和35家小银行组成的网络的算法计算性能，100个场景和近似误差∈ {1, 5, 10, 20}.qcon1,2连接Prox。verticesOuterapprox。verticesPproblemsAvg。每生产一次。（秒）总算法时间（秒）总算法时间（小时）0.1 279 280 358 294.07 105 277 29.2440.3 394 395 394 492.597 194 083 53.9120.5 360 361 360 556.795 200 447 55.6800.7 364 365 364 633.644 230 647 64.0690.9 377 378 377 772.76 291 331 80.925表2:qcon1的算法计算性能∈ {0.1, 0.3, 0.5, 0.7, 0.9}.Benson型算法在四种不同的近似误差下运行，以演示不同的内部近似水平。表1给出了算法的计算性能∈ {1, 5, 10, 20}. 随着PPR问题数量的增加，每个PPR问题的平均计算时间减少。这可能归因于古罗比解算器的热启动功能。当一系列的MIL P问题得到解决时，解算器将先前获得的最优解构造出一个初始解。Ingrobi Optimizer Reference Manual（2018年，第10.2章，第594-595页）详细解释了该功能。在本节的其余部分，我们将对该网络进行敏感性分析，分析大小银行之间的连接概率以及场景数量。4.2.1连通性概率连通性概率在确定网络拓扑结构方面起着重要作用，因为它们确定了银行之间是否存在负债。

我们想确定系统风险度量对连接概率qcon1,2变化的敏感性，连接概率qcon1,2对应于大银行对小银行的负债，概率qcon2,1对应于小银行对大银行的负债。对于qcon1,2的灵敏度分析，最初认为qcon1,2=0.3，我们给出了表2 qcon1,2算法的计算性能∈ {0.1, 0.3, 0.5, 0.7, 0.9}. 图1显示了相应的内部近似值。从表2中可以看出，每个问题的平均时间随着qcon1,2的增加而增加。这是因为随着qcon1,2的增加，网络中的大小银行在负债方面变得更加紧密。因此，PPR问题的相应MILP公式需要更多的时间来解决。这似乎是增长背后的唯一因素，因为大多数算法运行时都用于解决PPR问题，并且每种情况下PPR问题的数量不会改变多少。图1:qcon1,2的Eisenberg-Noe s y系统风险度量的内部近似值∈{0.1, 0.3, 0.5, 0.7, 0.9}.可以观察到，随着qcon1,2的增加，图1中系统风险度量的相应内部近似值从左上角向右下角移动。它可以解释为：随着qcon1,2的增加，第一组大银行失去了资本配置选项，而第二组小银行获得了更广泛的资本配置选项。从图1中还可以观察到，生成一个qcon1,2=0.1的n网络会导致一个非凸的艾森伯格Noe系统风险度量。但是，对于值qcon1,2∈ {0.3，0.5，0.7，0.9}，相应的Eisenberg-Noe系统风险度量似乎是凸集。