共形系统的建模、离散化和超混沌检测

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英文标题：
《Modeling, discretization, and hyperchaos detection of conformable
  derivative approach to a financial system with market confidence and ethics
  risk》
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作者：
Baogui Xin, Wei Peng, Yekyung Kwon, Yanqin Liu
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最新提交年份：
2019
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英文摘要：
  A new chaotic financial system is proposed by considering ethics involvement in a four-dimensional financial system with market confidence. A five-dimensional conformable derivative financial system is presented by introducing conformable fractional calculus to the integer-order system. A discretization scheme is proposed to calculate numerical solutions of conformable derivative systems. The scheme is illustrated by testing hyperchaos for the system.
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中文摘要：
通过在一个具有市场信心的四维金融系统中考虑伦理参与，提出了一个新的混沌金融系统。通过将保形分式微积分引入整数阶系统，给出了一个五维保形衍生金融系统。提出了一种计算共形导数系统数值解的离散格式。通过对系统的超混沌测试，说明了该方案。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：General Finance        一般财务
分类描述：Development of general quantitative methodologies with applications in finance
通用定量方法的发展及其在金融中的应用
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PDF下载：
--> Modeling,_discretization,_and_hyperchaos_detection_of_conformable_derivative_app.pdf (1.72 MB)

2022-6-14 09:25:28 上传

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关键词：离散化 Quantitative Applications QUANTITATIV Dimensional

《差异方程进展》，2018DOI:10.1186/s13662-019-2074-8对具有市场信心和道德风险的金融系统进行建模、离散化和超混沌检测保贵新*Wei Peng+Yekyung KwonYanqin Liu§Abstracts通过考虑eth ic参与具有市场信心的四维金融系统，提出了一种新的混乱金融系统。通过将保形分数阶微积分引入整数阶系统，提出了一个五维保形导数金融系统。提出了一种计算共形导数系统数值解的离散格式。通过对系统的超混沌测试，说明了该方案。关键词：适形微积分；分数阶金融系统；离散化过程；超混沌吸引子；市场信心；道德风险。1引言超混沌系统通常被定义为至少具有两个正Lyapunov指数的混沌系统【1–3】。考虑到沿流的一个零指数和一个负指数以确保解的有界性，超混沌分数阶系统的维数至少为四。已经研究了许多类型的分数阶超混沌系统，如分数阶R¨ossler系统中的超混沌系统[4]，具有流体控制忆阻器的分数阶超混沌系统[5]，在电路中实现的分数阶超混沌系统[6–8]，分数阶Lorder-Lorenz超混沌系统[9]，以及分数阶超混沌细胞神经网络[10]。Huang和Li[11]提出了一个有趣的非线性金融系统，描述了这种关系*B、 Xin，山东科技大学经济与管理学院非线性科学中心，中国青岛266590，电子邮箱：xin@tju.edu.cn，通讯作者+W。

彭，山东科技大学经济与管理学院非线性科学中心，青岛266590，中国，电子邮件：pengweisd@foxmail.comY.Kwon，Dongseo大学全球商业管理部，韩国釜山47011，电子邮件：yiqing@hanmail.net§Y.Liu，德州大学数学科学学院，中国德州253023，电子邮件：yqliumath@163.comamong利率、投资、价格和储蓄。陈[12]提出了一种分数形式的非线性金融系统。王、黄和沈[13]建立了金融系统的不确定分数阶。Mircea等人【14】建立了一种延迟形式的金融系统。Xin、Chen和Ma【15】提出了一种离散形式的金融系统。Yu、Cai和Li【16】以平均利润率扩展了金融体系。Xin、Li和Zhang【17、18】将投资激励和市场信心引入非线性金融系统，以建立新型四维金融系统。其中大多数是分数阶超混沌系统【19，20】。在本文中，我们将构造一个5D分数阶超混沌金融系统。尽管如上所示，Riemann-Liouville、Caputo和Grunwald-Letnikov分数阶导数[21-28]广泛应用于物理学、数学、医学、经济学和工程领域，但这些导数定义缺乏经典微分算子（如链式法则）的一些一致性。保形导数可以被视为经典微分算子的自然延伸，它满足最重要的性质，如链式法则【29–31】。

研究人员最近将保形导数应用于许多科学领域【32–42】。在本文中，我们将把整合衍生工具引入具有市场信心和道德风险的金融系统。自2008年金融危机爆发以来，研究人员[43–48]一直非常关注信心对金融体系的影响。金融危机有时与贪婪的循环有关，在这个循环中，密度和经济指标相互作用。例如，消费者信心下降可能导致消费预期下降，这将导致市场需求急剧下降、订单停滞和销售额显著下降。这会抑制投资者信心，导致就业和工资下降，从而降低消费者信心。或者，我们可以通过提高个人收入、密度和期望来刺激消费者和投资者的需求。当然，投资者的信心可以通过降低利率来拯救。消费者的资产负债表可以产生价格指数，这将影响投资者和消费者的利益【18】。因此，有必要研究具有市场信心的金融系统。至于主流金融理论，金融参与者的利益驱动和道德谴责可能相互交织，因此利益动机导致他们屈服于道德，忽视其行为的更广泛社会影响。对福利的无限制需求将金融参与者变成了精神病患者。虽然从短期来看，盈利驱动型细分市场可以通过违反道德获得异常回报，但从长期来看，这些盈利机会不会持续存在于对社会负责的投资运动中【49】，因为它违反了金融效率的固有要求，导致金融市场陷入不稳定的高风险。

与拉斯穆森（Rasmussen）的逻辑类似【50】，追求利润的驱动力确实是一把双刃剑。正如人们早就认识到的那样，这是金融市场流动作为鼓励投资的积极有效手段的必然结果。相反，它还有一些极端利益驱动行为的其他影响，这导致人们更充分、更容易地同情自我利益最大化，而不是利他的社会责任，而这种同情的扭曲反过来又破坏了投资伦理和公共福利。道德对于许多主体来说可能很容易理解，但在金融市场中实施道德需要信念、奉献、决心和监管。在市场经济中，利益驱动的行为自然是不合理的，但必须加以限制。因此，我们在分析金融体系时考虑伦理问题是很有意义的。在我们提出一个一致的衍生金融系统之后，我们需要一个合适的方案来获得它的解。虽然有几种方法可以求解保形导数系统【41，51–72】，但对于许多人来说，这些方法太复杂了。受卡普托导数离散化过程的启发[73，74]，我们提出了一种适用于保形导数的简单离散化过程。如第3节所示，我们的结果与Mohammadnezhad的conformable Euler方法一致【75】。利用我们提出的离散化方案，我们将检测一个分数维金融系统的超混沌吸引子。本文的其余部分组织如下。第2节介绍了一个具有市场信心和道德风险的合规衍生性高风险金融系统。第3节提供了整合演算的概念概述，并提出了整合离散化过程，这与Mohammadnezhad的整合Euler方法一致[75]。

在第4节中，我们从拟议的金融系统中检测出超混沌吸引子。第5节中的一些结束语结束了本文。2具有市场信心和道德风险的整合衍生超混沌金融系统基于金融系统的动力学机制，如图1所示，Huang&Li【11】提出了一个有趣的非线性金融系统，如下所示：˙x=z+（y- a） x，˙y=1- 通过- x、 ˙z=-x个- cz，（1）利率价格指数投资需求节约金额每项投资成本需求弹性图1：简单金融系统示意图（1）。式中，x、y、z、a、b、c分别为利率、投资需求、价格指数、储蓄金额、投资成本和商业市场的需求弹性，a、b、c≥ 0、Xin和Zhang【18】在系统（1）中考虑了市场信心，用市场信心更新了金融系统的动力机制，如图2所示，并得出以下金融系统：˙x=z+（y- a） x+mw，˙y=1- 通过- x+mw，˙z=-x个- cz+mw，˙w=-xyz，（2）其中x、y、z、a、b、c定义为系统（1），w表示市场信心，m、m、mare表示影响因素。道德风险通常被描述为不对称信息下的威胁。不确定或不完整的合同导致责任相关方不承担最大化自身效用的所有后果，同时通过撒谎、欺诈和违反合同条款等不当行为伤害其他相关方。然而，对于ZF如何处理道德困境，无论是在法律上还是在宗教上，都没有明确的指导方针。

因此，当股东必须在备选方案中进行选择时，可能会出现道德风险，例如，当重大价值冲突存在巨大的利益分歧时，具有正当平等互利的真正备选方案，对他们产生重大影响。因此，我们可以通过考虑道德风险来更新金融系统的动态机制（2），如图3所示。利率价格指数投资需求储蓄金额每项投资成本需求弹性市场信心信心系数信心系数信心系数图2：具有市场信心的金融系统示意图（2）。利率价格指数投资需求储蓄金额每项投资成本需求弹性市场信心信心和风险因素道德风险信心因素信心工厂风险因素图3：具有市场信心和道德风险的金融系统示意图（3）。道德风险会对市场信心产生负面影响。它们将在一定程度上影响市场信心对利率、投资需求和价格指数的影响。此外，市场信心越高，伤害其他利益相关者的动机越少，道德风险越低。此外，随着监管的不断完善，道德风险也越来越低。市场信心受到许多因素的影响，包括道德、法律和宗教，因此我们将考虑道德风险对市场信心的影响。

因此，我们可以获得以下同时考虑市场信心和道德风险的财务系统：˙x=z+（y- a） x+k（w- pu），˙y=1- 通过- x+k（w- pu），˙z=-x个- cz+k（w- pu），˙w=-dxyz，˙u=k（w- pu），（3）其中x、y、z、w、a、b、c表示与系统（2）中的相同，u表示道德风险，k、p表示影响因素。分数阶经济系统[18，76–80]可以推广其整数阶形式[17，81]。作为整数阶微分算子的自然扩展，保形分式算子是推广整数阶形式的合适工具，因此我们将把保形分式算子引入金融系统（3），如下所示：Tαx=z+（y- a） x+k（w- pu），Tαy=1- 通过- x+k（w- pu），Tαz=-x个- cz+k（w- pu），Tαw=-dxyz，Tαu=k（w- pu），（4）其中α=（α，α，α，α，α）服从于α，α，α，α∈ (0, 1).注1：当α=（1，1，1，1，1），系统（4）退化为系统（3）。3保形导数系统的离散化3.1函数f:[t]的初步定义1（见[30]），∞) → R、 从tof阶α开始的左共形导数∈ （0，1）由TTαf（t）=limε定义→0f（t+ε（t- t） 1个-α) - f（t）ε，（5），其中函数f称为α-可微函数。定义2（见[30]）函数f：[t，∞) → R、 从tof阶α开始的左共形积分∈ （0，1）定义为tαf（t）=Ztt（s- t） α-1f（s）ds，（6）其中积分是通常的黎曼广义积分。引理1（见[30]）假设导数阶α∈ （0，1），且函数f在t>0时为α-差分函数。然后左保形导数满足αf（t）=（t- t） 1个-αd f（t）dt。

（7） 引理2（保形Euler方法）[75]考虑以下保形导数系统：Tαx（T）=f（x（T）），0≤ t型≤ T、 x（0）=x，（8），其中h=TN=TN+1- tn，tn=nh，n=0，1，···，n.如果h足够小，Tαx（T），T2αx（T）∈C[a，b]，那么我们可以得到以下等式（8）xn+1的离散化≈ xn+hααf（xn）。（9） 3.2离散化过程通过在等式（8）中引入部分分段常数参数，Kartal和Gurcan[59]得出了tαx（t）=f（x（t），x(th公司h） ），0≤ t型≤ T、 x（0）=x，（10），其中h=TN，即T∈ [nh，（n+1）h），n=0，1，2，···Th。然后Kartal和Gurcan[59]提出了系统（10）的离散化过程，但它不适用于通过在等式（8）中引入完全分段常数参数得到的以下形式。Tαx（T）=f（x(th公司h） ），0≤ t型≤ T、 x（0）=x.（11）定理1（分段常数近似的共形离散化）根据系统（11），我们得到以下公式（8）xn+1=xn+hαf（xn），（12）的离散化，其中xndentes xn（nh）。证据使用引理1，我们将等式（11）改写为（t- nh）1-αdx（t）dt=f（x（nh）），0≤ t型≤ T、 x（0）=x，这导致x（T）dt=（T- nh）α-1f（x（nh）），0≤ t型≤ T、 x（0）=x.（13）利用step方法[59，73]，我们详细描述了离散化过程的步骤：（i）设n=0，然后T∈ [0，h），我们重写等式（13）dx（t）dt=（t- 0)α-1f（x），t∈ [0，h），（14）和式（14）的解isx（t）=x+Zt（s）- 0)α-1f（x）ds=x+f（x）Ztsα-1ds=x+tααf（x））。（ii）L et n=1。然后t∈ [h，2h），我们重写等式（13）dx（t）dt=（t- h） α-1f（x（h）），t∈ [h，2h），（15）和式（15）的解isx（t）=x（h）+Zth（s）- h） α-1f（x（h））ds=x（h）+f（x（h））Zth（s- h） α-1ds=x（h）+（t- h） ααf（x（h））。（iii）通过重复上述过程，我们得到以下等式（13）的解：xn+1（t）=xn（nh）+（t- nh）αf（xn（nh）），t∈ [nh，（n+1）h）。让t→ （n+1）小时。

我们推导了如下离散化：xn+1（（n+1）h）=xn（nh）+hααf（xn（nh）），t∈ [nh，（n+1）h），即xn+1=xn+hαf（xn）。证明了这一点。注2分段常数近似的共形离散化与共形Euler方法很好地吻合[75]。4超混沌检测利用定理1，我们使用分段常数近似重写系统（4），如下所示：xn+1=xn+hαα（z+（y- a） x+k（w- pu）），yn+1=yn+hα（1- 通过- x+k（w- pu）），zn+1=zn+hα(-x个- cz+k（w- pu）），wn+1=wn+hα(-dxyz），un+1=un+hαk（w- pu）。（16） 在本节中，我们通过改变与伦理风险相关的参数来实现超混沌检测，如α、置信因子k和风险因子p。为了使用一致离散化过程检测系统（16）中的超混沌，我们确定以下参数和初始点值：h=0.002，a=0.8，b=0.6，c=1，d=2，α=0.3，α=0.5，α=0.6，α=0.24，x=0.4，y=0.6，z=0.8，w=0.3，u=0.4.4.1用固定的k=2和p=1改变α使用迭代算法，当我们改变α和x k=2和p=1时，我们获得了系统（16）的分岔图，如图4（a）所示。在图4（a）中，我们总能找到对应于任何α的两个正Lyapnov指数，这在图4（b-d）中得到了很好的验证。因此，我们可以说系统（16）是具有α的超混沌系统∈ [0.232, 0.328]. 我们可以fixα=0.24并提取一组李雅普诺夫指数（λ，λ，λ，λ，λ）=（0.2120，0.1308，-0.0491, -0.2048,-0.5201). 显然，当α=0.24时，存在两个正Lyapunov指数λ，λ和三个负Lyapunov指数λ，λ，λ，即存在一个超混沌吸引子，如图4（e）-（f）所示。4.2用固定的k=2和α=0.3改变p。在这里，当我们改变p和k=2和α=0.3时，我们使用迭代算法生成系统（16）的分岔图，如图5（a）所示。