布朗桥指数的最优停止

在EP下，我们有DXT，xs=1-Xt，xs1- sds+dfWs，用于s∈ [t，1]，（3.9），带Xt，Xt=x，带FWT：=Wt- Girsanov\'stheorem定义aeP布朗运动。由于预期收益的这种转换，很明显，解决问题（2.7）等同于解决（3.10）~v（t，x）：=sup0≤τ≤1.-三通“expZτ-Xt，Xt+s1- （t+s）！ds！#。请注意，实际上，v（t，x）=exv（t，x）意味着c={（t，x）∈ [0，1]×R：~v（t，x）>1}。此外，由于V是P-超鞅，V*是一个P-鞅，那么，根据Girsanov定理，过程ev：=（eVt）t∈[0,1]定义的aseVt：=经验值Zt公司-Xs1- sds公司~v（t，Xt）（3.11）是aeP超鞅andeV*:= （eVt∧τ*)t型∈[0,1]是aeP鞅，带τ*如（2.10）所示。使用这个公式，我们可以很容易地得到下一个结果。提案3.3。存在函数b：[0，1]→ R+使得c={（t，x）∈ [0，1）×R:x<b（t）}。（3.12）证明。由于布朗桥的路径唯一性，对于任何x≤ x′我们有，P-a.s.（因此也有P-a.s.）Xt，xs≤ Xt，x’s，用于所有s∈ [t，1]。使用这种比较原理和（3.10），很容易显示x 7→ v（t，x）为非递增。这特别意味着，如果（t，x）∈ D、 然后（t，x′）∈ 所有x′的D≥ x、 然后，设置b（1）：=0，我们定义b（t）：=sup{x∈ R：~v（t，x）>1}（3.13）=sup{x∈ R:v（t，x）>ex}，t∈ [0，1）和（3.12）通过值函数的连续性保持不变。为便于将来参考，请注意（3.13）和（3.3）–（3.4）也给出了b（1）=0。它仍然显示b（t）≥ 0表示所有t∈ [0, 1]. 通过选择stoppin g规则τ=1- t、 一个有v（t，x）≥ 对于x<0和任何t，1>Ex∈ [0，1）。因此，[0，1）×(-∞, 0)  C、 下面是该声明。作为上述命题和（2.10）的直接结果，我们有（3.14）τ*t、 x=inf{s∈ [0, 1 - t] ：Xt，Xt+s≥ b（t+s）}。8德安吉利斯和米拉佐4。

最优边界的正则性在这一节中，我们证明了最优边界是单调的、连续的和有界的。然后，在下一节中，我们将使用这些属性来推导最优边界上的值函数的平滑度。通过应用Dynkin公式，我们知道，给定任何初始条件（t，x）∈ [0，1）×R，任何停止时间τ∈ [0, 1 - t] 一个小的δ>0，我们有v（t，x）≥ Et，xheXt+τ∧δi=ex+Et，xZτ∧δeXt+s-Xt+s1- （t+s）ds公司.（4.1）这表明，在setQ内，立即停车永远不会是最佳的：=（t，x）∈ [0，1）×R:x<（1- t）,（4.2）和so Q C、 下一个关于最优边界耳蜗性的结果，对于停止集和值函数的子序列分析至关重要。在最优停止问题中，当基本微分为时间齐次且增益函数与时间无关时，最优边界的单调性相对容易建立。在你的情况下，后一个条件成立，但我们的分歧是随时间变化的，因此需要新的想法来证明下面的定理。我们还注意到，虽然在布朗方程的一些停止问题中（参见，例如，[11]），有可能依赖于时间变化来制定时间齐次微分的辅助等价停止问题（参见[21]），但由于增益函数的指数性质，这里的情况并非如此。定理4.1。最优边界t 7→ b（t）在[0，1]上不增加。证据有足够的证据表明，对于任何∈ R、 地图t 7→ v（t，x）在[0，1]上是非递增的。

事实上，后者通过定义（3.13）和使用b（t）表示[0，1]上边界的单调性≥ 0表示所有t∈ [0，1）和b（1）=0。回顾（3.6）并使用x 7的凸性→ v（t，x），我们得到（4.3）电视（t，x）≤x1- t型xv（t，x），适用于所有（t，x）∈ C、 尤其是，电视（t，x）≤ 0，表示所有（t，x）∈ [0, 1) ×(-∞, 0），（4.4）由于Q C（见（4.2））和十五≥ C中为0（命题3.1）。注意，如果（t，x）∈ D \\C然后v（t，x）=exandtv（t，x）=0。Sin ce t 7→ v（t，x）在[0，1]上是连续的，只需证明电视（t，x）≤ 0表示（t，x）∈ C，X>0。为此，我们分两步进行。第1步。（t 7的属性→ Xt，x）。考虑（t，x）∈ x>0且0<ε的C≤ t<1，对于某些ε>0。对于s∈ [0, 1 - t] 我们表示y，x；εt+s：=Xt，Xt+s-Xt公司-ε、 xt公司-ε+s.（4.5）由于（t，x）是固定的，我们简化了表示法并设置Yεt+s：=Yt，x；εt+s，对于s∈ [0, 1 - t] 。接下来，对于一些小δ>0，我们让tδ：=（1- t型- δ） >0且ρδ：=tδ∧ τ、 式中，τ：=τt，x：=inf{u∈ [0, 1 - t] ：Xt，Xt+u≤ 0}. 然后，利用（2.1）的积分形式，求任意s上布朗桥的指数的最优停止∈ [0, 1 -t] 我们有，P-a.s.Yεt+s∧ρδ= -Zs公司∧ρδXt，Xt+u1- （t+u）du+Zs∧ρδXt-ε、 xt公司-ε+u1- （t- ε+u）du（4.6）=-Zs公司∧ρΔεXt，Xt+u（1- （t- ε+u））（1- （t+u））+Yεt+u1- （t-ε+u）！杜。设[x]+：=max{0，x}。由于Yε是有界变化的连续过程，andYε=0，因此我们有[Yεt+s∧ρδ]+=Zs∧ρδ{Yεt+u≥0}dYεt+u≤ 0（4.7），其中最终不平等遵循（4.6）中的s，观察到Xt，Xt+u≥ ALU为0≤ ρδ. 那么，Yεt+s∧ρδ≤ 所有s为0∈ [0, 1 - t] 。此外，让δ→ 0，我们通过路径（4.8）Xt的连续性得到-ε、 xt公司-ε+s∧τ≥ Xt，Xt+s∧τ≥ 0，对于所有s∈ [0, 1 - t] ，P-a.s.因此，进程Xt，xh在进程Xt之前为零-ε、 xdoes。第2步。(电视（t，x）≤ 0). 固定（t，x）∈ C，x>0。使用与上述步骤1中相同的符号，设σ：=τ*t、 x个∧ τt，x。

通过值函数的（超）鞅性质，注意τ*在v（t，x）中是最优的，在v（t）中是次优的- ε、 x）我们有v（t，x）- v（t- ε、 x）（4.9）≤ 超高压（t+σ，Xt，Xt+σ）- v（t- ε+σ，Xt-ε、 xt公司-ε+σ）i≤ Eh{τ*≤τ}∩{τ*<1.-t}exp（Xt，Xt+τ*) - exp（Xt-ε、 xt公司-ε+τ*)i+Eh{σ=1-t}exp（Xt，x）- exp（Xt-ε、 x1-ε)i+Eh{τ<τ*}∩{τ<1-t}v（t+τ，0）- v（t- ε+τ，Xt-ε、 xt公司-ε+τ)i、 回顾（4.8），关于事件{τ*≤ τ} ∩ {τ*< 1.- t} 我们有Xt-ε、 xt公司-ε+τ*≥ Xt，Xt+τ*在事件{σ=1时- t} 我们有那个Xt-ε、 x1-ε≥ Xt，x.此外，x 7→ v（t，x）是非递减的（命题3.1）。因此，结合这些事实和（4.9），我们得到v（t，x）- v（t- ε、 x）（4.10）≤ E{τ<τ*}∩{τ<1-t}v（t+τ，0）- v（t- ε + τ, 0)≤ 0，其中最终不等式使用（4.4）和τ<1的事实- t、 最后，将（4.10）的两侧除以ε，并让ε→ 0，我们获得电视（t，x）≤ 0根据需要。在最优停止理论中，众所周知，边界的单调性导致其右连续性（或左连续性）。在你的情况下，我们有一个简单的推论。推论4.2。无论何时，边界都是连续的。证据让t∈ [0，1）使得b（t）<+∞. 考虑序列（tn）n∈Nsuch茅草↓ t作为n→ ∞. 通过b和（3.12）的单调性，我们得到了b（tn）<∞ 和（tn，b（tn））∈ D代表所有n∈ N、 因为D是一个闭集且（tn，b（tn））→ （t，b（t+），然后也是（t，b（t+）∈ D（右极限b（t+）单调存在）。因此，b（t+）≥ b（t）（见（3.12））。然而，通过单调性b（t）≥ b（t+），这导致b（t）=b（t+。我们现在可以证明最优边界是连续的，并且在[0，1]上有界。10德安吉利斯和米拉佐建议4.3。最优边界t 7→ b（t）在[0，1]上是连续的，我们有（4.11）supt∈[0,1]b（t）<+∞.命题4.3的证明依赖于四个引理。首先，我们陈述并证明这些问题，然后我们证明这个命题。引理4.4。

对于任何t∈ [0，1）我们有D∩ （[t，1）×R）6=.证据通过矛盾假设这不是真的，并且存在∈ [0，1）如此∩ （[t，1）×R）=. 然后τ*t′，x=1- t′，P-a.s.适用于所有（t′，x）∈ [t，1）×R，其中v（t′，x）=1。然而，这导致了一个矛盾，因为立即停止会产生v（t′，x）≥ 对于x>0和任何t′，ex>1∈ [t，1）。注意，上面的引理意味着对于任何t∈ [0，1）存在t∈ （t，1）b（t）<+∞. 这个事实将在下一个引理中使用。引理4.5。边界满足b（t）<+∞ 对于所有t∈ （0，1）.证明。通过矛盾，让我们假设∈ （0，1）使得b（t）=+∞.然后，通过k s到引理4.4和推论4.2，我们可以找到t′∈ （t，1）使得0≤b（t′）=：b<+∞ 和（t，t′）×R C、 设σ：=inf{s∈ [0, 1 -t） ：Xt，Xt+s≤ b}∧（t′）-t） ，然后调用τ*t、 xas在（3.14）中，我们立即看到P（τ*t、 x个≥ σ) = 1. 利用值函数的马尔丁格尔性质（见（3.11）），我们得到了v（t，x）=eEt，x经验值Zσ-Xt+s1- （t+s）ds公司v（t+σ，Xt+σ）=eEt，x{σ<t′-t} 经验值Zσ-Xt+s1- （t+s）ds公司v（t+σ，b）+eEt，x“{σ=t′”-t} expZt′型-t型-Xt+s1- （t+s）ds！·1#，其中我们使用了路径的连续性和{σ=t′上的事实- t} 它必须是XT′≥ b（t′）=b，ePt，x-a.s。此外，由于Xt，Xt+s≥ B对于s≤ σ、 我们有v（t，x）≤eEt，x{σ<t′-t} 经验值Zσ-b1级- （t+s）ds公司v（t+σ，b）（4.12）+eEt，x{σ=t′-t} expZt′型-t型-Xt+s∨ b1级- （t+s）ds#≤eEt，x“{σ<t′”-t}1.- （t+σ）1- t型beσ/2#·c+eEt，x{σ=t′-t} expZt′型-t型-Xt+s∨ b1级- （t+s）ds#≤ ce1/2ePt，x（σ<t′）- t） +eE“expZt”-t型-Xt，Xt+s∨ b1级- （t+s）！ds！#，其中，在第二个不等式中，我们使用了（3.1）和▄v（t，x）=e-xv（t，x）。现在，我们让→ ∞ 注意ept，x（σ<t′）-t）≤eP公司infs公司∈[t，t′]Xt，xs<b布朗桥指数的最佳停止11，以便（4.12）右侧的第一项变为零。

同样，考虑到thatlimx→∞Xt，Xt+s=+∞ 对于任何s∈ [0，t′”- t] ，第二项也由反法图引理变为零。然后，回想一下≥ 1，我们到达了矛盾的极限→+∞v（t，x）≤ 0.由此得出b（t）<+∞ 对于所有t∈ （0，1）因为定义b（1）=0。引理4.6。我们有b（0）<+∞.证据考虑一个辅助问题，其中布朗桥在时间1+h固定，对于某些h>0，优化的时间范围为1+h。此时，让我们设置（4.13）vh（t，x）：=sup0≤τ≤1+小时-tEt，xheeXt+τi，其中ex是在时间1+h处固定的布朗桥（2.2）。通过与第2节中相同的参数，可以得出定律（eXt，x）=定律（eZt，x），w herezt，xs=1+h- s1+h- tx+r1+h- s1+h- tWs公司-t、 对于s∈ [t，1+h]。因此，（4.14）vh（t，x）=sup0≤τ≤1+小时-tEt，xheeZt+τi and，自定律（Zt，xs，s∈ [t，1]=定律（eZt+h，xs+h，s∈ （比较（2.11）和（4.14）），对于所有（t，x），我们还有v（t，x）=vh（t+h，x）∈ [0，1]×R.（4.15）通过与原问题相同的参数，我们得到了存在一个非递减的右连续最优边界t 7→ bh（t）这样的茅草：={（t，x）∈ [0，1+h]×R:vh（t，x）>ex}={（t，x）∈ [0，1+h）×R:x<bh（t）}。此外，由于增益函数Ex不依赖于时间，使用（4.15）我们得到b（t）=bh（t+h），对于所有t∈ [0, 1].特别地，b（0）=bh（h）和bh（h）<+∞ 将引理4.5中的结果应用于辅助问题。利用文献[4]中的思想，我们还可以证明最优边界的左连续性。引理4.7。最优边界t 7→ b（t）保持连续。证据我们首先证明，对于所有t∈ （0，1），然后t=1时的左极限为零，即b（1-) = 0=b（1）。通过矛盾假设存在∈ （0，1）使得b（t-) > b（t）并考虑一个区间[x，x] （b（t），b（t-)). 通过b的单调性，我们得到了[0，t）×[x，x] C

现在，选择一个任意的非负ν∈ C∞c（[x，x]）。since（3.6）在[0，t）×[x，x]中保持，对于任何t<twe have0=Zxx[tv（t，y）+Lv（t，y）]Д（y）dy（4.16）≤ZxxLv（t，y）Д（y）dy=Zxxv（t，y）（L）*^1）（t，y）dy，12 DE ANGELIS和MILAZZOwhere对于我们使用的不平等电视≤ 0（见命题4.1的证明），在最终等式中，我们应用了分部积分，并使用了伴随算子（L*Д）（t，y）：=Д′（y）+1- t·ddy（y·Д（y））。以极限为t→ 并利用支配收敛定理，得到了0≤ 限制↑tZxxv（t，y）（L）*Д）（t，y）dy=Zxxv（t，y）（L）*Д）（t，y）dy（4.17）=Zxxey（L*^1）（t，y）dy=Zxxey-y1级- t型ν（y）dy，其中我们使用了v（t，y）=Ey和p部分在最终等式中的积分。最后，回顾x≥ b（t）>1-t、 然后（4.17）导致了一个矛盾，因为表达式的右侧是严格否定的（也是任意的）。为了证明b（1-) = b（1）=0，我们需要对上述论点稍加修改。特别地，通过矛盾假设b（1-) > 0并考虑一个区间[x，x] （0，b（1-)). 然后，将（4.16）中的Д替换为（t，x）：=（1- t） ν（x），使用t=1的相同参数，我们得出一个矛盾，即0≤ 限制↑1Zxxv（t，y）（L）（t，y）dy=Zxxeyddy（y·Д（y））dy=-ZxxeyyИ（y）d y<0。我们现在能够证明命题4.3。命题证明4.3。（4.11）的证明紧接着引理4.5和引理4.6。bou ndary的右连续性遵循推论4.2和（4.11）的f，而左连续性遵循引理4.7。因此，最优边界是有界的，并在[0，1]上继续。5.

值函数和积分方程的正则性考虑到最优边界的单调性和重对数定律（结合（2.3）），很容易看出，对于任何（t，x）∈ [0，1）×R它保持τ*t、 x=τ′t，x，P-a.s.，其中τ′t，x：=inf{s∈ [0, 1 - t] ：Xt，Xt+s>b（t+s）}，P-a.s.（5.1）也就是说，当过程第一次达到最佳边界时，它也会严格超过它。（可以在[5]的引理5.1中找到这一主张的证明）。此外，结合（5.1）和最优边界的连续性，我们推导出τ*t、 x=inf{s∈ [0, 1 - t] ：（t+s，Xt，Xt+s）∈ int（D）}，其中int（D）=D \\C是止动装置的内部。特别是，由于τ*t、 x=0，P-a.s.对于任何（t，x）∈ C、 根据其定义（2.10），这意味着τ′t，x=0，P-a.s.（t，x）∈ C、 这意味着边界C对于止动装置的内部来说是有规律的，在差异的意义上（参见，例如，[7]）。因此，对于任何（t，x），都有可能证明（例如，见[7]中的推论6和[5]中的命题5.2）∈ C（即x=b（t））和任意序列（tn，xn）n≥1. C转换为n（t，x）→ ∞, 我们有Limn→∞τ*tn，xn=limn→∞τ′tn，xn=0，P-a.s.（5.2）现在我们可以利用最佳停止时间的这一性质和文献[7]中的一些相关思想来建立值函数的信度。布朗桥指数的最优停止13首先，我们给出一个关于v引理5.1的空间导数的引理。对于所有（t，x）∈ （[0，1]×R）\\C我们有（5.3）xv（t，x）=Et，xh1- t型- τ*1.- teZt+τ*i、 因此，它也成立xv（t，x）≤ v（t，x），用于（t，x）∈ （[0，1]×R）\\C、 （5.4）证明。重新调用v∈ C1,2（C）（见（3.6）之前的注释）。此外，v（t，x）=外显子Dandxv（t，x）=外显子D\\C根据（5.3）中的需要。还有待证明（5.3）对所有（t，x）都适用∈ C.固定（t，x）∈ 取ε>0。

回想公式（2.11）的问题和Z的显式表达式（见（2.3）），并回忆我们使用的符号τ*:= τ*t、 x（如（2.10）所示）。自τ起*对于值为v（t，x+ε）的问题是可容许的但次优的，我们有v（t，x）- v（t，x+ε）≤ Ehexp（Zt，xt+τ*) - exp（Zt，x+εt+τ*)i=E1.- 经验值1.- t型- τ*1.- tεexp（Zt，xt+τ*).因此，根据支配收敛定理，并回顾v在（t，x）处可微∈ C、 我们获得xv（t，x）=limε→0v（t，x+ε）- v（t，x）ε≥ E1.- t型- τ*1.- texp（Zt，xt+τ*).（5.5）通过相同的参数，我们也有v（t，x）- v（t，x- ε) ≤ E1.- 经验值-1.- t型- τ*1.- tεexp（Zt，xt+τ*)这意味着xv（t，x）=limε→0v（t，x）- v（t，x- ε)ε≤ E1.- t型- τ*1.- texp（Zt，xt+τ*).（5.6）结合（5.5）和（5.6），我们得到（5.3）。现在，通过（5.3）和（2.11）的比较，（5.4）中的不等式可以很容易地得出结论。定理5.2。我们有v∈ C（[0，1）×R）。证明。我们从（3.6）中知道十五和tv在C中存在并连续。此外，v（t，x）=外显子D意味着xv（t，x）=exandtv（t，x）=0表示（t，x）∈ D \\C、 那么，我必须证明十五和电视在边界上连续播放C、 我们在下面的两个步骤中完成此操作。第1步。（连续性十五）。固定（t，x）∈ C，t<1，回忆（5.3）。然后，对于任何序列ce（tn，xn）n≥1. C收敛到（t，x）为n→ ∞, 我们可以使用支配收敛定理、路径连续性和（5.2）来获得limn→∞xv（tn，xn）=E画→∞1.- 田纳西州- τ*tn，xn1- tnexp（Ztn，xntn+τ*tn、xn）= 例如，步骤2。（连续性电视）。Let（t，x）∈ C和0<ε<1- t。

然后，重复（3.5）中使用的论证，并回顾t 7→ v（t，x）在14 DE ANGELIS和MILAZZO[0，1]上是不存在的（见命题4.1的证明），我们得到了0≥ v（t+ε，x）- v（t，x）≥ Ehe（1-θ*)x个e√(1-θ*)(1-t型-ε） Wθ*- e√(1-θ*)(1-t） Wθ*我≥ -√1.- t型-√1.- t型- εe | x | Eh | Wθ*|e | Wθ*|i、 式中θ*:= θ*t、 xis v（t，x）的最佳停止时间（见（2.13））。将上述所有项除以ε，并让ε→ 0，我们发现0≥ 电视（t，x）≥ -√1.- te | x | Eh | Wθ*|e | Wθ*|i、 （5.7）如果我们用（tn，xn）和θ替换（t，x），则（5.7）中的不等式成立*按θ*n： =θ*tn，xn，其中序列（tn，xn）n≥1. C收敛到（t，x）∈ C作为n→ ∞.现在我们的目标是让n→ ∞. 注意，（5.2）和（2.13）中θ的定义→∞θ*tn，xn=limn→∞τ*tn，xn1- tn=0，P-a.s。因此，利用支配收敛定理，我们得到0≥ 画→∞tv（tn、xn）≥ -√1.- te | x | Ehlimn→∞|Wθ*n | e | Wθ*n | i=0。定理5.2有一个简单的推论，表明xxv跨越边界。特别地，xxv是连续的，但沿最佳边界（可能）跳跃。推论5.3。二阶导数xxv在（[0，1]×R）上连续\\C、 此外，对于任何（t，x）∈ t<1且任意序列（tn，xn）n的C≥1. C收敛到（t，x）为n→ ∞ , 我们有Limn→∞xxv（tn，xn）=2x1- 特克斯≥ ex.（5.8）证明。因为v（t，x）=exin D，那么xxv（t，x）=exin D \\C是连续的。此外二十五∈ CC所以xxv在（[0，1]×R）上连续\\C、 为了说明（5.8），有必要在（3.6）中设定限制，即→∞xxv（tn，xn）=limn→∞-tv（tn，xn）+xn1- 田纳西州xv（tn，xn）=2x1个- tex，（5.9），我们使用定理5.2得出最终表达式。（5.8）中的不等式源自以下事实： C（见（4.2））。5.1. 最优边界的积分方程。上一节中证明的值函数的正则性允许我们推导出最优边界的积分方程。