布朗桥指数的最优停止

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英文标题：
《Optimal stopping for the exponential of a Brownian bridge》
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作者：
Tiziano De Angelis and Alessandro Milazzo
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最新提交年份：
2019
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英文摘要：
  In this paper we study the problem of stopping a Brownian bridge $X$ in order to maximise the expected value of an exponential gain function. In particular, we solve the stopping problem $$\\sup_{0\\le \\tau\\le 1}\\mathsf{E}[\\mathrm{e}^{X_\\tau}]$$ which was posed by Ernst and Shepp in their paper [Commun. Stoch. Anal., 9 (3), 2015, pp. 419--423] and was motivated by bond selling with non-negative prices.   Due to the non-linear structure of the exponential gain, we cannot rely on methods used in the literature to find closed-form solutions to other problems involving the Brownian bridge. Instead, we develop techniques that use pathwise properties of the Brownian bridge and martingale methods of optimal stopping theory in order to find the optimal stopping rule and to show regularity of the value function.
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中文摘要：
本文研究了为了使指数增益函数的期望值最大化而阻止一个布朗桥$X$的问题。特别是，我们解决了停止问题$$\\sup\\uu0\\le\\tau\\le 1}\\mathsf{E}[\\mathrm{E}^{X\\uutau}]$$，这是由Ernst和Shepp在他们的论文中提出的【Commun.Stoch.Anal.，9（3），2015，第419-423页】，其动机是以非负价格出售债券。由于指数增益的非线性结构，我们不能依赖文献中使用的方法来寻找涉及布朗桥的其他问题的闭式解。相反，我们开发了使用布朗桥的路径性质和最优停止理论的鞅方法的技术，以找到最优停止规则并显示值函数的规律性。
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分类信息：

一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Optimization and Control        优化与控制
分类描述：Operations research, linear programming, control theory, systems theory, optimal control, game theory
运筹学，线性规划，控制论，系统论，最优控制，博弈论
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
--> Optimal_stopping_for_the_exponential_of_a_Brownian_bridge.pdf (550.54 KB)

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关键词：Mathematical Applications Quantitative Differential Optimization

布朗桥的指数最优停止。本文研究了为了使指数增益函数的期望值最大化而阻止布朗桥X的问题。特别地，我们解决了停止问题sup0≤τ≤1E【eXτ】，由Ernst和Shepp在其论文【Common.Stoch.Anal.，9（3），2015，第419–423页】中提出，其动机是以非负价格出售债券。由于指数增益的非线性结构，我们不能依靠文献中使用的方法来寻找涉及布朗桥的其他问题的闭式解。相反，我们必须直接处理时间不均匀差异的停止问题。我们开发了基于布朗桥的路径性质和最优停止理论的鞅方法的技术，这使我们能够找到最优停止规则并显示值函数的规律性。涉及布朗桥的最优停车问题由来已久，可以追溯到现代最优停车理论的早期。Dvoretzky【9】和Shepp【24】获得了第一个结果。两位作者都考虑了布朗桥的s顶点，以使其期望值最大化。Dvoretzky证明了最优停车时间的存在，Shepp提供了关于Brow nian桥（在时间T=1时固定为零）第一次超过形式T 7边界的显式解决方案→ 一√1.- t、 对于t∈ [0，1]和合适的a>0。几年后，F¨ollmer[13]将研究扩展到布朗桥的情况，其固定点为正态随机分布。

他指出，最佳停止时间是过程第一次跨越时间相关的界限，停止集可能位于边界之上或之下，这取决于固定点分布的方差。最近，Ekstrom和Wanntorp【11】通过相关自由边界问题的解研究了布朗桥的最优停止。他们恢复了Shepp的结果，并通过将显式解扩展到一些具有比线性情况更一般增益函数的示例，从而扩展了分析。文[10]和文[15]分别研究了具有随机钉扎点和随机p钉扎时间的布朗桥的最优停止。在【10】中，作者考虑了【13】中所述问题的更一般版本，除其他外，他们以单侧停车区域的命中时间的形式给出了最佳停车规则的一般有效条件。在文献[15]中，作者给出了单侧停止集的充分条件，并且能够以闭合形式解决一些选择钉扎时间分布的问题。日期：2019.2010年12月2日数学学科分类。60G40、60J65、35R35。关键词和短语。最优停止、布朗桥、自由边界问题、值函数的正则性、连续有界元、bon d/股票抛售。2德·安吉利斯（DeAngelis）和米拉佐（MilazzoProblem）关于布朗新娘（Brownian brid ge）的最佳停车问题，由于其在交易中的应用，已经吸引了数学金融界的极大关注。早在1970年，Boyce（3）就提出将Shepp的结果应用于债券交易。在这种情况下，布朗桥的钉扎效应捕捉到了众所周知的债券的拉-托帕机制。最近出现了许多其他金融应用，其动机是股票钉扎现象（参见，例如，许多其他现象中的[1]和[17]）。

[2]中得到了一些关于布朗桥最优双停问题的显式结果，这些结果也是受到金融的启发。在本文中，我们研究了Ernst和Shepp在[12]第3节中提出的一个问题。特别是，我们感兴趣的是找到使布朗桥的指数期望值最大化的最优停止规则，该布朗桥在时间T=1时被约束为等于零。除了纯粹的数学兴趣之外，这个问题比以前的线性增益函数更适合于债券/股票交易情况的建模。事实上，指数结构避免了负资产价格令人不快的特征，同时保留了上文讨论的钉扎效应。在一个受金融应用启发的模型中，在[20]中也考虑了有关停止布朗桥指数的问题。事实上，在[20]中，作者考虑了一个比我们更一般的模型，并允许一个随机固定点。然而，该模型的复杂性表明，分析主要是从数值角度进行的。在这项工作中，我们证明了问题的最佳停止时间是布朗桥第一次超过与时间相关的最佳边界t7→ b（t），在[0，1]上是非负的，连续的，非递增的。边界可以作为Volterra型适当积分方程的唯一解进行数值计算（见第5.1节）。我们所进行的全面分析依赖于问题的四个等效公式（见（2.7）、（2.11）、（2.13）和（3.10）），这四个公式对他们自己的权利都很重要，并且对问题有不同的观点。我们的研究揭示了价值函数v的有趣特征。

事实上，我们可以证明v在[0，1）×R上是连续可微的，无论是在时间还是空间上，s二阶空间导数都是连续的，直到最佳边界（注意，这种规律性超出了最佳停止中的标准平滑条件）。然而，请注意，值函数在{1}×(-∞, 0），因为布朗桥的钉扎行为为t→ 1、我们从几个方面扩展了现有文献。增益函数的指数结构使得不可能使用在所有获得显式解的论文中都很重要的标度特性（参见，例如，[24]、[11]、[2]、[15]）。为此，我们必须直接处理一个时间不均匀扩散的停止问题。这类问题的最优边界在文献中很难找到，为了证明边界的耳鸣性（这是后续分析的关键），我们开发了一种基于布朗桥和鞅理论的路径性质的方法（见第4.1节）。这项任务很有挑战性，因为对于从点x开始的布朗桥Xt，x和Xt′，x的样本路径，没有明显的比较原则∈ R在时间t 6的不同时刻=t′。因此，我们的方法可以用于其他涉及时间不均匀差异的最优停止问题。值得注意的是，在【10】的第5节中，作者还通过积分方程获得了最佳界元的特征。然而，在这种情况下，布朗桥的时间变化和增益函数的线性被用来推断边界的单调性。布朗桥指数的最优停止3本文组织如下。在第二节中，我们提供了一些关于布朗桥的背景概念，并提出了s-顶点问题。

在第三节中，我们证明了值函数的连续性和最优边界的存在性。在第节中，我们证明了边界是单调的，连续的，有界于[0，1]，并在时间t=1时找到其极限。在第5节中，我们发现了值函数的正则性，并导出了唯一表征最优边界的积分方程。在第6节中，我们使用Picard\'siteration sch-eme数值求解积分方程，并提供最佳边界和值函数的图。我们还用数值方法说明了边界算法的收敛性以及边界对布朗b脊钉扎时间的依赖性。2、问题公式我们考虑一个完整的过滤概率空间(Ohm, F、 （Ft）t≥0，P），配备标准布朗运动W：=（Wt）t≥在不损失一般性的情况下，我们假设（Ft）t≥0是由W生成的过滤，并用P-null集扩充。此外，wedenote X：=（Xt）t∈[0,1]在时间T=1，即X=0时，位于零处的布朗桥。如果布朗桥在时间t开始∈ [0，1）从点x开始∈ R、 我们有时用（Xt，xs）s表示∈[t，1]用于跟踪初始条件。众所周知，给定时间t的初始条件Xt=x∈ [0，1），X的动力学可以用以下s-tochastic微分方程（SDE）来描述：dXs=-Xs1- sds+dWs，s∈ （2.1）SDE（2.1）的唯一强解由xt给出，xs=（1- s）x1- t+ZstdWu1- u, s∈ [t，1]。（2.2）（2.2）中的表达式允许用processZt，x：=（Zt，xs）s标识（在法律上）进程Xt，x∈[t，1]由（2.3）Zt给出，xs：=1- s1级- tx+r1- s1级- tWs公司-t、 s∈ [t，1]。也就是说，我们有法律Xt、xs、s∈ [t，1]= 法律Zt、xs、s∈ [t，1]（2.4）对于任何初始条件（t，x）∈ [0，1]×R。

在本文的其余部分，我们将经常使用旋转Et，x[·]=E[·| Xt=x]和等效的旋转Et，x[·]=E[·| Zt=x]。利用上述X和Z定律中的恒等式，以及众所周知的布朗运动的分布性质，可以很容易地检查出t，X支持≤s≤1EX≤ e | x | e锿< +∞,（2.5）其中S：=sup0≤s≤1 | Ws |。rand om变量将在以下情况中多次使用，我们表示c:=EHESI和c:=EhSeSi。（2.6）4 DE ANGELIS和MILAZZO2.1。停车问题。我们的目标是研究最优停车问题（2.7）v（t，x）=sup0≤τ≤1.-tEt，xheXt+τi，对于（t，x）∈ [0，1]×R，其中τ是一个随机时间，使得t+τ是a（Fs）s≥t-停止时间（以下简称τ为a（Fs）s≥t-停止时间，因为不会出现混淆）。由于（2.5），我们可以依靠标准的最优停车理论给出一些初步结果。特别地，我们将状态空间[0，1]×R分别拆分为连续区域C和停止区域D，分别由C：={（t，x）给出∈ [0，1]×R:v（t，x）>ex}，（2.8）D：={（t，x）∈ [0，1]×R:v（t，x）=ex}。（2.9）那么，对于任何（t，x）∈ [0，1]×R，问题（2.7）的最小最佳停止时间由（参见，例如，[18，Thm.D.12，附录D]）（2.10）τ给出*:= inf{s∈ [0, 1 - t] ：（t+s，Xt+s）∈ D} ，Pt，x-a.s。我们有时会使用符号τ*t、 XT跟踪时空过程的初始条件（t，X）。此外，斯内尔包络的标准理论还保证（例如，参见[18，Thm.D.9，附录D]）过程V：=（Vt）t∈[0,1]由Vt定义：=v（t，Xt）是右连续的非负P-超鞅，且v*:= （Vt∧τ*)t型∈[0,1]是右连续的非负P-鞅。在本节结束时，我们将展示问题（2.7）的两个进一步公式，它们将在我们的分析中变得有用。

前面的us es（2.4）以及由于上述讨论，我们只需要在可测量集合的入口时间类中寻找最佳停止时间这一事实。因此，我们有（2.11）v（t，x）=sup0≤τ≤1.-tEt，xheZt+τi，对于（t，x）∈ [0，1]×R。第二个公式使用了[16]中最初包含的思想。特别是对于任何固定的∈ [0，1]和任何（Fs）s≥t-停止时间τ∈ [0, 1 - t] ，我们可以定义（^Fs）0≤s≤1停止时间θ∈ [0，1]使得τ=θ（1-t） 和^Fs=Fs（1-t） 。除此之外，请注意法律Ws（1-t） ，s≥ 0= 法律√1.- t Ws，s≥ 0.（2.12）因此，p问题（2.11）（因此问题（2.7））可以重写为（2.13）v（t，x）=sup0≤θ≤ 1Ehexp(1 - θ） x+p（1- θ)(1 - t） Wθi、 问题的最后一个公式的优点是，可容许停止时间θ的范围与初始时间t无关。备注2.1。在选择钉扎时间T=1和钉扎点α=0时，没有失去一般性。我们可以等效地选择一个通用的固定时间T>T≥ 0和一般固定点α∈ R并考虑动态Cdxs=-Xs型- αT- sds+dWs，s∈ （2.14）然后，接下来几节中的分析将重新验证到明显的调整。布朗桥指数的最优停止53。值函数的连续性和边界的存在性在这一节中，我们证明了值函数的一些性质，包括其连续性，并推导出唯一的最优停止边界的存在性。它立即从（2.5）值函数在紧集上是非负且一致有界的。特别是，我们有0≤ v（t，x）≤ ce | x |，适用于所有（t，x）∈ [0，1]×R，（3.1），其中c>0由（2.6）给出。提案3.1。地图x 7→ v（t，x）是凸的且不递减。此外，对于任何紧集K R存在LK>0，因此支持∈[0,1]| v（t，y）- v（t，x）|≤ LK | y- x |，对于所有x，y∈ K、 证明。

x 7的凸性→ v（t，x）遵循x 7的线性→ Zt，xs（见（2.3）），地图的凸度x 7→ exand the著名不等式sup（a+b）≤ sup a+sup b。单调性可以很容易地通过（2.13）对x的显式依赖性来推导∈ R、 至于Lipschitz连续性，由于v（1，x）=ex，对于t=1的情况，这种说法是微不足道的。对于其余的情况，fix t∈ [0，1）然后让我们确定y≥ x、 表示τy：=τ*t、 y，然后通过v（t，·）的单调性、τy对v（t，x）次优的事实和简单估计，我们得到0≤ v（t，y）- v（t，x）≤ EheZt，yt+τy- eZt，xt+τyi=E“经验值1.- （t+τy）1- 泰- 经验值1.- （t+τy）1- 德克萨斯州expr1- （t+τy）1- tWτy#≤ E“1.- （t+τy）1- t型expr1- （t+τy）1- tWτy#e | x|∨|y |（y- x）≤ EheSie | x|∨|y |（y- x） 。因此，该权利要求以LK为准：=cmaxx∈Ke | x |。接下来，我们证明了值函数在[0，1）×R上的时间是局部Lipschitz的。然而，它在{1}×上不是连续的(-∞, 0).提案3.2。对于任何T<1和任何0≤ t<t≤ T，我们有| v（T，x）- v（t，x）|≤ce | x|√1.- T（T- t） ，对于x∈ R、 （3.2），c>0，如（2.6）所示。此外，limt→1v（t，x）=ex，对于x≥ 0，（3.3）lim inft→1v（t，x）≥ 1>ex，对于x<0。（3.4）证明。关于（3.2）的证明，我们将参考（2.13）中的问题公式。修复0≤ t<t≤ T<1，设θ：=θ*t、 xbe v（t，x）的最佳停止时间。然后，6 DE ANGELIS和MILAZZOgiven认为θ对于值为v（t，x）的问题是可容许的和次优的，我们得到了v（t，x）- v（t，x）（3.5）≤ Ehe（1-θ） x个e√(1-θ)(1-t） Wθ-e√(1-θ)(1-t） Wθ我≤ e | x | Ehe√(1-θ)(1-t） | Wθ| p（1- θ） | Wθ| i√1.- t型-√1.- t型≤ e | x | EhSeSit-t型√1.- T、 现在，设置θ：=θ*t、 我们注意到θ对于值为v（t，x）的问题是可容许的和次优的。然后，上述参数给出v（t，x）- v（t，x）≥ -e | x | EhSeSit- t型√1.- T、 这与（3.5）相结合，意味着（3.2）。最后，我们展示了（3.3）和（3.4）。首先请注意v（1，x）=Ex和v（t，x）≥ 埃克斯福特∈ [0, 1).

拾取x≥ 0，那么到（2.11）我们有≤ v（t，x）≤ exE文件eS1-t型这意味着（3.3）由支配收敛和使用S1-t型→ 0作为t→ 如果x<0，则次优策略τ=1- t给出v（t，x）≥ 因此，lim inft→1v（t，x）≥ 1>ex=v（1，x），如（3.4）所示。作为上述两个命题的推论，我们得出C是一个开集。结合这一事实和值函数的鞅性质（在C中），我们得到了v∈ C1,2（C），它解决了自由边界问题（例如，参见[18]第2章第7节定理7.7的证明中的论证）t型+xx号-x1-t型x个v（t，x）=0，（t，x）∈ C（3.6）v（t，x）=ex，（t，x）∈ C、 （3.7）其中t，X和XX分别表示时间导数、第一空间导数和第二空间导数。为了将来的参考，我们还用L表示与X相关的二阶微分算子。即（Lf）（t，X）：=xxf（t，x）-x1-t型xf（t，x），用于任何f∈ C0,2（R）。(3.8)3.1. 最优边界的存在性。为了证明最优边界的存在性，可以方便地在我们的问题公式（2.7）中更改度量。特别是，使用（2.1）的积分形式（在设置Bτ时：=Wt+τ-Wt），我们有ehexp（Xt，Xt+τ）i=E“expx+Bτ-ZτXt，Xt+s1- （t+s）ds！#=exE“expBτ-τexpZτ-Xt，Xt+s1- （t+s）！ds！#=exeE“expZτ-Xt，Xt+s1- （t+s）！ds！#，其中DEPDPF： =经验值地下一层-t型-(1 - t）,布朗桥指数的最优停止定义了一个新的等价概率测度(Ohm, F） 以及相关的expectedvalueeE。