布朗桥指数的最优停止

这遵循众所周知的步骤（参见，例如，[23]），我们在下面重复这些步骤。定理5.4。对于所有（t，x）∈ [0，1）×R，值函数具有以下表示（5.10）v（t，x）=1+Et，xZ1级-文本+sXt+s1- t型- s-{Xt+s>b（t+s）}ds.布朗桥指数的最优停止15Moreover，最优边界t7→ b（t）是下列非线性积分方程的唯一连续解，对于所有t∈ [0，1]（5.11）eb（t）=1+Et，b（t）Z1级-文本+sXt+s1- t型- s-{Xt+s>b（t+s）}ds,b（1）=0和b（t）≥ (1 - t） /2。证据多亏了定理5.2和推论5.3，我们可以找到一个缓和序列ce（vn）≥0 C∞（[0，1）×R）对于v，使得（见[14]中的第7.2节）（5.12）（vn，xvn，tvn）→ （五），十五、，tv）作为n→ ∞, 一致紧集上，和（5.13）limn→∞xxvn（t，x）=xxv（t，x），适用于所有（t，x）/∈ C、 我们让（Km）m≥0be是一个紧集序列，增加到[0，1- ε] ×R和fort<1我们定义τm：=inf{s≥ 0：（t+s，Xt，Xt+s）/∈ Km}∧ (1 - t型- ε).通过将It^o公式应用于Vn，并注意到P（Xt，Xt+s=b（t+s））=0∈ [0, 1 - t） ，我们得到vn（t，x）=Et，xvn（t+τm，Xt+τm）（5.14）-Zτmtvn（t+s，Xt+s）+Lvn（t+s，Xt+s）{Xt+s6=b（t+s）}ds.现在，由于（t+s，Xt+s）s≤τm存在于紧致中，让n→ ∞ 应用d-支配收敛定理，由（5.12）和（5.13）我们得到v（t，x）=Et，xv（t+τm，Xt+τm）-Zτmtv（t+s，Xt+s）+Lv（t+s，Xt+s）{Xt+s6=b（t+s）}ds= Et，xv（t+τm，Xt+τm）+ZτmeXt+sXt+s1- t型- s-{Xt+s>b（t+s）}ds,其中，在第二个等式中，我们使用了（3.6）和v（t，x）=exin D这一事实。注意τm→ 1.- t型- ε为m→ ∞ 上述表达式右侧的被积函数为负n。

收回（3.1）并让m→ ∞, 我们可以应用支配收敛定理和单调收敛定理（对于积分项）来获得v（t，x）=Et，x五（1- ε、 X1-ε） +Z1-t型-εeXt+sXt+s1- t型- s-{Xt+s>b（t+s）}ds.通过相同的参数，让ε→ 0我们得到（5.10），即v（t，x）=Et，x五（1-, X1-) +Z1级-文本+sXt+s1- t型-s-{Xt+s>b（t+s）}ds= 1+Et，xZ1级-文本+sXt+s1- t型- s-{Xt+s>b（t+s）}ds,16 DE ANGELIS和MILAZZOwhere在第二行中，我们使用了它，对于tn<1,1≤ lim inf（tn、xn）→（1,0）v（tn，xn）≤ lim sup（tn、xn）→（1,0）v（tn，xn）≤ lim sup（tn、xn）→（1,0）e | xn | e[e | Wτ*n |]=1，根据问题公式（2.11）得出，τ*n： =τ*tn，xn。现在，通过在（5.10）中设置（t，x）=（t，b（t）），得到积分方程（5.11）。该方程解的唯一性遵循了最初在【22】中提出的四个步骤的标准证明。同样的证明已经在numerousexamples中重复，其中一些可以在[23]中找到。因此，这里我们只简要介绍一下证明的主要论点。假设存在另一个连续函数c：[0，1]→ c（1）=0的R+和所有t的th∈ [0，1]它保持c（t）≥ (1 - t） /2安第斯（t）=1+Et，c（t）Z1级-文本+sXt+s1- t型-s-{Xt+s>c（t+s）}ds.（5.15）然后，定义函数vc（t，x）：=1+Et，xZ1级-文本+sXt+s1- t型- s-{Xt+s>c（t+s）}ds,i、 e.，与（5.10）类似，但将b（·）替换为c（·）。由于c（·）是连续的，并且布朗桥允许连续的跃迁密度，因此不难证明vc在[0，1）×R上是连续的。此外，很明显，对于x，vc（1，x）=1∈ R和，by（5.15），vc（t，c（t））=ec（t）表示t∈ [0, 1].pro of中的主要观察结果是→ vc（t+s，Xt+s）+ZseXt+uXt+u1- t型- u-{Xt+u>c（t+u）}du（5.16）是任意（t，x）的Pt，x-鞅∈ [0，1）×R，而且它是s的连续鞅∈ [0, 1 - t） 。

利用这样的鞅性质，并遵循[22]的顺序，我们可以得到：（i）vc（t，x）=Ex，对于所有x≥ c（t）带t∈ [0，1]和（ii）v（t，x）≥ vc（t，x）用于所有（t，x）∈ [0，1]×R。使用（i）和d（ii），b（·）和c（·）的连续性，以及（5.16）的鞅性质，也可以得到：（iii）c（t）≤ b（t）表示所有t∈ [0，1]和（iv）c（t）≥ b（t）表示所有t∈ [0, 1]. 因此，对于所有t，c（t）=b（t）∈ [0, 1]. 6、数值结果为了数值求解非线性Volterra积分方程（5.11），我们采用了从[8]学到的Picard格式。首先，注意等式（5.11）中的th可以重写为aseb（t）=1+Z1-t型Z∞b（t+s）eyy1级- t型-s-p（t，b（t），t+s，y）dyds，其中p（t，x，t+s，y）：=yP（Xt，Xt+s≤ y） 是布朗b脊的转移密度。设∏：={0：=t<t<…<tn：=1}是[0，1]的等距分区，网格h=1/n。通过设置b（0）（tj）：=0，对于所有j=0，1，n、 现在，让b（k）（tj）表示，对于j=0，1，n、 第k次迭代后获得的边界值。然后，计算第（k+1）次迭代的值，对于所有j=0，n、 aseb（k+1）（tj）=1+Z1-tjZ∞b（k）（tj+s）eyy1级-tj-s-p（tj，b（k）（tj），tj+s，y）dyds。（6.1）如【6】所示，边界的连续性可以放宽到右/左连续性。布朗桥17指数的最优停止特别是，关于dy的内积分可以显式计算。实际上，注意p（t，x，t+s，y）=p2πα（t，s）exp-（y）- β（x，t，s））2α（t，s）,β（x，t，s）：=x（1- t型- s） /（1- t） 和α（t，s）：=s（1- t型- s） /（1- t） ，我们现在可以在积分中替换此表达式。然后，繁琐而直接的代数允许将eyp（tj，b（k）（tj），tj+s，y）的指数减少到一个精确的平方加上一个依赖于y的端点。

因此，高斯分布的性质giveI（tj，b（k）（tj），tj+s，b（k）（tj+s））：=Z∞b（k）（tj+s）eyy1级- tj- s-p（tj，b（k）（tj），tj+s，y）dy=eγ（k）（tj，s）ζ（tj，s）√2πe-ξ（k）（tj，s）+η（k）（tj，s）-1.- Φξ（k）（tj，s）,其中Φ是标准正态分布的累积密度函数，γ（k）（tj，s）：=（2b（k）（tj）+s）（1-s-tj）2（1-tj），η（k）（tj，s）：=b（k）（tj）+s1-tj，ζ（tj，s）：=s（1-s-tj）（1-tj），ξ（k）（tj，s）：=b（k）（tj+s）1-s-tj-η（k）（tj，s）！ζ（tj，s）。关于时间变量的积分（即ds中的积分）通过标准求积法计算。因此，（6.1）减少toeb（k+1）（tj）=1+hn-1.-jXm=0Itj，b（k）（tj），tj+mh+h，b（k）（tj+mh+h）,其中，通过插值计算每个b（k）（tj+mh+h），我们使用约定p-对于j=n，1m=0=0。最终，（6.2）b（k+1）（tj）=log1+hn-1.-jXm=0Itj，b（k）（tj），tj+mh+h，b（k）（tj+mh+h）!.当数值误差ek=maxj=0，…，算法停止，。。。，n | b（k）（tj）-b（k-1） （tj）|完全满足公差条件ek<ε，f或某些ε>0。最佳边界的数值近似如图1所示。虽然严格证明该格式的收敛性似乎很困难，并且超出了这项工作的范围，但在图2中，我们表明，随着迭代次数的增加，数值误差Ek收敛到零。此外，收敛性是单调的，这使得该格式具有良好的稳定性。最后，在图3中，我们使用（5.10）将值函数绘制为（t，x）平面中的曲面。有趣的是，正如该理论所预测的那样，值函数在{1}××处出现跳跃(-∞, 0).备注6.1。如Remark2.1所述，我们可以考虑一个布朗桥，其ageneric钉扎时间T>T，并且在我们的分析中没有任何变化。然而，当T→ ∞ 布朗桥（在定律中）转化为布朗运动W。

因此，我们还期望停止问题（2.7）收敛于在有限时间范围内停止布朗运动指数的问题。自t 7起→ exp（x+Wt）是一个次鞅，最优停止规则是18 DE ANGELIS和MILAZZOFigure 1。布朗桥X的样本路径，从X=0.3开始，固定在X=0。布朗桥在τ处到达最优边界*≈ 0.3. 边界将状态空间分为连续区域C（蓝色）和停止区域D（红色）。算法的公差设置为ε=10-6等间距时间步长ish=10-3.1迭代0.050.10.150.20.250.30.350.40.450.5图2。ε=10时，算法16次迭代的误差Ek轨迹-3.永远不要停止。图4证实了这种启发式，在图中，我们观察到连续集随着T的增加而扩展，在极限值下，随着T的增加而扩展→ +∞, 停止设置消失。备注6.2。传统上，（5.11）中的积分方程是通过对积分进行时间离散和反向过程来求解的，从布朗桥19的指数的终端最优停止开始，见图3。绘制在点网格（t，x）上的v（t，x）面上的值函数∈ [0, 1] × [-1，1]，离散化步骤h=10-2.0图4所示为10tT=10T=5T=1。边界函数，起点t=0，固定时间t=1（连续红线）、t=5（连续蓝线）和t=10（连续黑线）。请注意，每个边界都位于相应的线x=（T）上方- t） （由相同颜色的虚线表示），它概括了（4.2）中的集合Q。时间（参见，例如，【23，Ch.VII，Sec.27，pp.432-433】了解有关亚洲期权的详细信息，或【23，Ch.VIII，Sec.30，p。

475]另一个例子；这一方法在开创性的论文[19]中得到了发展，后来得到了扩展）。据我们所知，这种“传统”数值格式的严格收敛性证明是不可用的。在每个时间步，该方案必须找到高度非线性代数方程的根，这使得程序比我们实现的Picard方案慢，Picard方案不需要找到根（比较见图5）。20 DE ANGELIS和MILAZZO0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1t0.20.40.60.81.2 ICARD图式传统图式5。通过Picardscheme（连续线）和传统方法（虚线）找到最佳边界的解。T时间步长为h=5·10-3且公差为ε=10-5、Picardscheme在0.1秒和36次迭代后停止，传统方法在2.9秒后停止。另一种可能性是使用有限差分方法直接解决（3.6）–（3.7）中的自由边界问题。然而，有限差分法需要对时间和空间进行离散化（而我们只对时间进行离散化），这会导致时间和空间上的离散化错误，通常会导致收敛较慢。此外，在我们的案例中，与一阶偏导数相关的系数xv在t=1时不连续，这会导致额外的困难。备注6.3。在数值求解方程（5.11）并绘制出图1所示的边界函数后，我们开始研究是否可以找到合适的边界。众所周知，在具有线性payoffe[Xτ]和钉扎时间T=1的停止问题中，可以明确地找到最佳边界，其形式为b（T）=b√1.- t（见【24】）。

基于这一结果，我们考虑bT（t）=AT（1）形式的候选边界- exp（BT√T- t） ，其中t是布朗桥的固定时间，At和Bt是待确定的参数。使用Matlab中的“曲线拟合工具箱”将ansatz拟合到从积分方程获得的边界，我们获得了t=1、5、10的极好的拟合。对于较大的t（例如，对于t=20），t的质量会严重恶化。结果如图6所示。虽然这些测试表明，我们的问题可能需要明确的解决方案，但这个问题比线性支付情况（及其在[11]中的扩展）更为复杂，并且仍然悬而未决。关键困难在于（i）我们必须确定两个参数，而不是一个参数，以及（ii）我们无法很好地猜测允许我们将自由边界问题（3.6）-（3.7）转换为可解的普通微分方程的值。事实上，在线性情况下，人们使用法律中的恒等式Xt、xs、s∈ [t，1]= 法律eZxs，s∈ [0, ∞),布朗桥指数的最佳停止210 0.2 0.4 0.6 0.8 1t0.20.40.60.81.2T=1边界拟合曲线0 1 2 3 4 5t0.51.52.5T=5边界拟合曲线0 2 4 6 10tT=10边界拟合曲线0 5 10 15 20tT=20边界拟合曲线图6。边界函数（红色）和形式为bT（t）=AT（1）的对应曲线（蓝色- exp（BT√T- t） ）的时间t=1、5、10、20。

参数值分别为A=-2.09，B=0.4；A=-1.85，B=0.43；A=-1.86，B=0.44，A=-2.27，B=0.39。带EZXS：=（x+√1.- tWs）/（1+s），并且获得su（t，x）：=sup0≤τ≤1.-tE[Xt，Xt+τ]=supτ≥0Ex个+√1.-t Wτ1+τ=√1.-t U0，x√1.-t型.对于指数支付，相同的身份不能提供任何有用的见解。基于猜测边界bT（t）求解积分方程（5.11）的查找参数的不同方法似乎更加困难。感谢：T.De Angelis感谢EPSRC grantEP/R021201/1“研究随机最优控制中自由边界规律的概率工具包”提供的支持。A、 Milazzo感谢帝国理工学院随机分析和数学金融博士培训中心的支持。这项工作的一部分是在A.Milazzo访问利兹大学数学学院时完成的。两位作者都感谢利兹大学的热情款待。最后，我们找到了一位匿名推荐人，他提出的有用建议提高了论文的质量，尤其是第6节。参考文献【1】M.Avellanda和M.D.Lipkin。股票钉扎的市场诱导机制。QuantitativeFinance，3（6）：417–4252003.22 DE ANGELIS和MILAZZO[2]E.J.Baurdoux，N.Chen，B.A.Surya和K.Yamazaki。布朗桥的最优双停。《应用概率的进展》，47（4）：1212–12342015。[3] W·M·博伊斯。停止出售债券的规定。《贝尔经济学和管理科学杂志》，第27-53页，1970年。[4] T.De Angelis。关于一维离散有限水平最优停止问题中自由边界连续性的注记。《暹罗控制与优化杂志》，53（1）：167–1842015。[5] T.De Angelis和E.Ekstrom。无限期的股息问题。《应用可能性年鉴》，27（6）：3525–35462017。[6] T.De Angelis和Y。

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