限价订单的随机偏微分方程模型

前者导致订单簿数量的净减少，而后者则是保守的，只是在相邻的订单簿层次之间转移订单。进一步将这种保守流分解为对称和反对称部分，会导致ut动力学中出现两个术语：一个是表示订单取消及其（对称）被相邻价格水平的订单替代的扩散项，另一个是表示订单取消及其被更接近中间价格的订单替代的对流（或运输）项。表示方式 在变量x中，订单流对订单簿的净影响可以描述为 术语fb（x）（分别为fa（x）），表示在距离最佳价格x的位置提交购买（分别为出售）订单的速率； 一个术语αbut（x）（分别为αaut（x）），表示在距离中间价x处（αa，αb）按比例取消限价买入（分别为卖出）订单≤ 0). 对流项-βbut（x）（分别为+βaut（x）），βa，βb>0时，用更接近中间价的订单（即更接近x=0，因此这些术语中的符号）替代买入（或卖出）订单：在参考框架中，原产地是中间价，这转化为流向原产地的数量波动； a扩散项ηbut（x）（分别为ηaut（x）），表示在距离中间价x处取消和对称替换订单。订单流的另一个组成部分是高频交易员（HFT）产生的订单流。

这些市场参与者以非常高的频率进行买卖，库存紧张，在中间价之外提交和取消大量限价订单，导致订单流量在较长的时间间隔内平均对总订单量的净贡献为零，但其符号在较短的时间间隔内以较高的频率变化。在平均（非HF）市场参与者的粗粒度时间尺度上，这些特征可以建模为形式的多复制噪声项 σbut（x）dwb用于购买订单（x<0）和σaut（x）dwa用于销售订单（x>0），其中（Wa，Wb）是一个二维维纳过程（可能具有相关组件）。噪声的乘法性质解释了与HFT阶数相关的高频抵消。这些不同订单流量成分的影响可通过以下中心订单簿密度的随机偏微分方程来总结：dut（x）=[ηaut（x）+βaut（x）+αaut（x）+fa（x）]dt+σaut（x）dWat，x∈ （0，L），dut（x）=ηbut（x）- βbut（x）+α，但（x）- fb（x）dt+σ，但（x）dWbt，x∈ (-五十、 0）ut（x）≤ 0，x<0，ut（x）≥ 0，x>0，ut（0+）=ut（0-) = 0，ut(-五十） =ut（L）=0（1.2），这里是ηa，ηb，βb，βa，σa，σb∈ (0, ∞), αa，αb≤ 0和fa，fb:I→ [0, ∞) 尽管在没有这些符号限制的情况下，可以同等考虑该等式。请注意，与Lasry Lions模型不同，通常在x=0时没有“平滑粘贴”条件：ut（0+）6=ut（0-): 差异ut（0+）- ut（0-) 实际上是随机的，代表着买卖订单流动的不平衡，从而推动了价格动态。下文第1.3节讨论了这一重要特征。备注1.1。在最优交易执行文献中使用的简单价格影响模型中，假设价格影响与订单规模之间的关系是确定的。

这对应于αu+f=β=σ=η=0的情况，这导致以常数为中心的订单文件ut（.）=u（.）。因此，这些术语对应于新订单簿事件导致的中心订单簿文件的变形，并导致依赖于订单簿当前状态的交易的随机市场影响。满足边界和符号约束的解的存在性并不明显，但我们将在第2节中看到（1.2）是适定的：根据（Da Pratoand Zabczyk，2014，定理6.7）和（Milian，2002，定理3），当fa，fb∈ L（I），那么对于所有u∈ L（I）存在唯一的弱解（1.2）（见下面的定义2.2），当u |（0，L）≥ 0和u|(-五十、 0）≤ 0该溶液满足（1.3）ut |（0，L）≤ 0，ut|(-五十、 0）≥ 我们将在下面更详细地研究该解的数学性质。1.3. 价格动态。限价订单簿的动态决定了买入和卖出价格的动态，这与最佳（买入和卖出）订单的位置相对应。因此，价格动态应与订单簿中订单的到达和执行相关。为了理解价格动态和订单流量之间的关系，让我们回顾一下astep，并考虑一个具有离散价格水平、ticksizeδ倍数、投标方每级Dborders和询价方每级Daorders的订单。一段时间内的价格变化【t，t+t] 通过订单簿顶部的净订单流量或订单流量不平衡（OFI）和未结限额订单的相互作用触发（Cont等人，2014）。如图2所示，订单流量不平衡短时间间隔内ask侧的Dat>0[t，t+t] 表示超额的购买订单，然后将针对位于ask侧的限额sellorders执行，并将ask价格移动Dat/Daticks，导致价格波动δ日期/日期。

同样，订单流量不平衡投标方将把投标价格提高Dbt/Dbticks。使用我们的买卖量符号约定，这将产生以下动态：sbt=δDbtDbtsat=-δDatDat，因此中间价格st=（sbt+sat）/2的动态由（1.4）给出St=δDbtDbt-DatDat日期.如图2所示，对于每层深度恒定的离散订单簿（因此，没有空层），这种关系是精确的（直到四舍五入）。然而，在订单簿可能具有任意属性的动态设置中，每个时刻都会随机移动，人们只能期望（1.4）的“同质化”版本保持不变：（1.5）St=θDbtDbt-DatDat日期其中θ是一个影响系数，它将订单不平衡与价格变动联系起来。订单流量不平衡与价格变动之间的这种关系已经在股票市场中得到了实证验证（Cont等人，2014），我们将以此为基础，在我们的模型中定义价格动态与订单流量之间的关系。现在让我们看看关系（1.5）是如何根据我们模型中的变量进行转换的。通过Dbt（分别日期）表示账簿顶部的买入（或卖出）限额订单量（即前几个级别的第一个或平均值）。给出中等价格∈ R+，我们定义了缩放变换x：[S，S+L]→ [0, ∞) 如第1.1节所述，具有连续可微分逆，且x（S）=0。然后，最佳ask队列的容量由（1.6）Da=Zs+δsu（x（p））dp=Zx（s+δ）u（y）（x）给出-1） （y）dy.Db可对投标方进行类似定义。这些数量代表了书籍顶部的深度；我们将其称为“市场深度”。对于线性图2。

订单流量不平衡对订单簿和价格的影响。缩放x（p）=p- S、 使用u（0）=0，δ>0的二阶展开式得到（1.7）Da=Zδu（x）dx≈ δu（0+）+δu（0+）=δu（0+）。同样，对于投标方（1.8）Db≈δu（0-) .将这些表达式代入（1.5）中，我们得到了以下中间价格动态：（1.9）dSt=θdDbtDbt-dDatDat公司= θdut（0-)ut（0-)-dut（0+）ut（0+）.我们观察到，价格动态完全由账簿顶部的订单流量和中间价格附近的限制订单簿深度决定。推导中使用的ticksizeδ不再出现在（1.9）中。微观结构的唯一痕迹是冲击系数θ，它将订单流量不平衡与价格变化的幅度联系起来，其幅度可能因资产而异。备注1.2。方程（1.9）要求原点处u的左右差别。只要uttakes Sobolev空间H2γ（I）中的值，对于某些γ>/4，这是可以保证的，在我们的模型中就是这样。然而，请注意，与（Lasry和Lions，2007）相比，一般而言u（0+）6=u（0-): 这两个数量之间的差异与推动价格波动的订单流量不平衡成正比。备注1.3。如备注1.1所述，在αu+f=β=σ=η=0的情况下，对应于以常数为中心的订单量ut=u。在这种情况下，方程式（1.9）意味着dSt=0，即价格是恒定的，这与零净订单流量一致。这是价格动态（1.9）和订单动态（1.2）之间一致性的结果。1.4. 绝对价格坐标中的动态。上述模型在相对价格坐标中描述了订单的动态，即作为与中间价格（按比例）距离的函数。

由（绝对）价格水平p参数化的限额订单簿的密度∈ R由（1.10）vt（p）=ut（p）给出- St），x∈ R、 其中，我们通过设置ut（y）=0表示y来扩展utto R∈ R\\[-五十、 L）]。假设Stfollowsan（任意）It^o processdSt=θutdt+θξbtdWbt- θξatdwat其中θ>0和u是可预测和可积的，ξata和ξbt是可预测和平方可积的过程。这包括价格动态（1.9）的情况，它可以用来表示ut、ξat、ξbtin和模型参数。我们将在这里不深入讨论这些细节，但将在第3节和第4节的示例中返回到这一点。定义^ξt：=q（ξbt）+（ξat）- 2.a、 bξbtξat，t≥ 使用（广义）It^o-Wentzell公式（见附录a），我们可以证明V是随机移动边界问题的解（Mueller，2018）：（1.11）dvt（p）=h（ηa+θξt）vt（p）+βa- θut- θσa(a、 bξbt- ξat）vt（p）+αavt（p）dt+（σavt（p）+θξatvt（p））dWat- θξbtvt（p）dWbt，用于p∈ （St，St+L）和（1.12）dvt（p）=h（ηb+θξt）vt（p）+(-θut- βb- θσb（ξbt- a、 bξat））vt（x）+αbvt（p）dt+θξatvt（p）dWat+σbvt（p）- θξbtvt（p）dWbtfor x∈ （St- 五十、 St）移动边界条件（1.13）vt（St）=0，vt（y）=0，y∈ R \\（St- 五十、 St+L），我们将（1.13）称为St处的随机边界条件。为了简单起见，我们假设fa，fb=0。附录A.1.5对该结果进行了更详细的讨论。订单动态的线性演化模型。现在，我们将描述一类更一般的订单簿动态线性模型，其内容足够丰富，足以涵盖我们迄今为止讨论的示例，但也涵盖了所有一级模型，其中bestbid和ask队列由正半鞅建模。通常，bid和ask端的订单密度将分别取一些函数空间HB和Ha中的值。我们假设相对价格水平为x的订单为| x |≥ L∈ (0, ∞] 将被取消。

相对价格水平在投标方Ib：=(-五十、 0），并且在掩码侧Ia：=（0，L）。然后，为了保留密度的解释，有理由询问Hb Lloc（Ib）和Ha Lloc（Ia）。从数学的角度，我们将假设Ha和Hb是实可分Hilbert空间。为了方便起见，我们现在还设置I：=Ib∪ Ia。相对价格水平x和时间t下的限价订单密度由u:I×[0，∞) ×Ohm → R、 这样u？：=u | I？是H吗-有价值的适应过程。初始状态由h:I描述→ R、 这样h？：=h | I？是H？中的元素？。书内（平均）动态由线性运算符A？建模：dom（A？）H→ H对于 ∈ {a，b}，我们假设这是密集定义的 ∈ {a，b}H中存在弱解？方程式（1.14）tg？t（h？）=A.g？t（h？），t>0，g？（h？）=h？，对于每个初始状态h？∈ H随机订单到达和取消假设成比例，并由cadlag半鞅Xband Xa建模，我们假设跳跃大于-1几乎可以肯定。我们假设初始订单簿状态为h∈ 我们写下ha：=H | Ia，hb：=H | Ib。模型1.4（线性齐次演化）。线性齐次模型的一般形式为（1.15）（dubt=Abubt-dt+ubt-dXbt，在Ib上，duat=Aauat-dt+uat-dXat，在Ia上，用于t≥ 0，且u=h。u也可以表示为（1.16）ut=gbt（h？）Et（Xb）1Ib+gat（h？）Et（Xa）1Ia，其中gband-gaare解为（1.14），见下面的定理2.5。此外，如果t 7→ gbt（0-) 和t 7→ gat（0+）具有有界变化，然后我们得到了价格动力学（1.9）。推论1.5。假设模型1.4的设置，此外，h？是的IGenFunction-A.特征值ν？∈ R、 用于 = b和 = a、 然后，（1.14）可以显式求解，（1.17）ut=hbe-νbtEt（Xb）1Ib+hae-νatEt（Xa）1Ia。备注1.6。

如果Xband Xa是（局部）鞅，则特征值-ν波段-νa分别在出价方和询价方上显示净订单到达率的作用。模型1.7（带源项的线性模型）。更现实的设置假设除订单流入/流出外，订单流入/流出的速率为fa（x），fb（x），这取决于x到中间价格的距离（Cont等人，2010）。然后方程变为：（1.18）（dubt=Abubt+fbdt+ubtdXbt，在Ib上，duat=（Aauat+fa）dt+uatdXat，在Ia上，对于t≥ 0，初始条件u=h。正如我们将在第4节中讨论的，一个有趣的情况是当fb（分别为fa）是-Ab（分别为。-Aa）与一些特征值νb（分别为νa）相关。然后通过定理2.10，我们得到（1.19）ut=gbt（hb- fa）Et（Xb）+fbZbtIb+（gat（ha- fa）+faZat）1Ia，其中，用于 ∈ {a，b}，Z？这是（1.20）dZ的溶液吗？t=（1- ν?Zt型-) dt+Z？t型-dX？t、 t型≥ 0，Z？=1、备注1.8。如果νb，νa>0，则订单簿的状态为均值恢复到状态fb[-五十、 0）+fa（0，L）。我们将在第4节中给出这种均值回复订单账簿模型的示例。备注1.9。订单账簿动态的任何模型都意味着通过（1.9）的价格动态模型。特别是，这意味着价格波动性与描述订单流量的参数之间存在关系（Cont和de Larrard，2013）。我们将为后继中研究的示例推导这种关系，并使用它构建基于模型的日内波动率估值器。在下一节中，我们将从数学角度研究这类模型。然后，我们将继续分析第3节和第4.2节中提到的两个示例。带乘性噪声的线性随机PDE模型为了进一步研究SPDE模型（1.2）的特性，我们需要对解进行更明确的表征，以便计算各种感兴趣的数量，并根据观测值估计模型系数。

一种有用的方法是寻找有限维过程u的有限维实现：定义2.1（有限维实现）。A进程u=（ut）t≥0（有限维）函数空间E中的定值表示允许维度d的有限维实现∈ N如果存在一个Rd值随机过程Z=（Z，…，Zd）和一个映射φ：Rd→ E使t型≥ 0，ut=φ（Zt）。SPDE（1.2）的有限维实现的可用性使得模拟、计算和估计问题更容易处理，尤其是当processZ是低维马尔可夫过程时。对于过滤（L’evine，1991）和利率建模（Filipovic和Teichmann，2003；Gaspar，2006）中产生的SPDE，研究了随机PDE的这种有限维实现的存在性。现在，我们将证明，对于一类包含（1.2）的SPDE，确实可以构建有限维实现，并使用此表示对这些模型进行分析研究。2.1. 齐次方程。我们现在考虑一类更一般的线性非齐次发展方程，它在实可分Hilbert空间（H，H·，·iH）中具有乘性噪声取值。通常，H将是一个函数空间，如某个区间I的L（I） R、 我们考虑以下一类演化方程：dut=Aut-dt+ut-dXt，t>0，u=h∈ H、 （2.1）其中X是一个跳满足Xt>-1 a.s.andA：dom（a） H→ H上的一个线性算子，其伴随由a表示*. 我们假设dom（A） H是稠密的，A是闭合的。因为A是闭合的，所以我们也有dom（A*)  H是稠密的**= A（Yosida，1995，定理VII.2.3）。定义2.2。自适应H值随机过程（ut）是（2.1）的（分析）弱解，初始条件为hif，对于所有∈ dom（A*), [0, ∞) 3t 7→ 小屋，^1iH∈ R是c\'adl\'ag a.s.，对于每个t≥ 0，a。

s、 小屋，^1iH- hh，ДiH=Zthus-, A.*^1iHds+Zthus-, ^1iHdXs。案例X≡ 0对应于PDE的弱解概念：（2.2）t>0，tgt=Agtg=h。也就是说，对于所有∈ dom（A*),（2.3）hgt，ДiH- hh，ДiH=Zthgs，A*^1iHds，其中假设存在右侧的积分。特别是，这会产生[0，∞) 3吨7→ hgt，ИiH∈ R是连续的。请注意，这与偏微分方程弱解的经典公式略有不同。备注2.3。通过分别考虑买卖双方，我们可以将（1.2）转化为（2.1）的形式，其中X是布朗运动，a由a给出：=η±β+αIdon H：=L（I），I：=（0，L）或I：=(-五十、 0），域（A）：=H（I）∩ H（I），其中H（I）是在H（I）中具有紧致支撑的测试函数的闭包。用Zt=Et（X）表示X的随机指数。我们回顾了以下有用的引理（参见（Karatzas和Kardaras，2007，引理3.4））：引理2.4。Let（2.4）Yt：=-Xt+[X，X]ct+Xs≤t型(Xs）1+Xs，t≥ 0，那么，对于所有t，Et（X）Et（Y）=1几乎可以肯定≥ 此外，（2.5）[X，Y]=-[X，X]c-Xs型≤·(Xs）1+Xs。定理2.5。设Z：=E（X），h∈ H、 （2.1）的每个弱解的形式为：=Ztgt，t≥ 0其中g是（2.2）的弱解。备注2.6。特别是，SPDE（2.1）允许在定义2.1的意义上实现二维实现，因子过程（t，Et（X））和φ（t，y）：=ygt。证据设置ut：=gtZt，t≥ 0，和∈ D（A*) 写入Bхt：=hgt，ДiH，Cхt：=BхtZt=hut，ДiH。自t 7起→ hgt，Иih是连续的，Z是标量，c\'adl\'ag，我们得到t 7→ 小屋，^1iHis c\'adl\'ag。请注意，BД是有限变差，Z是半鞅，因此CД也是半鞅。此外，根据It^o productrule，由于Bа是有限变化和连续的，（2.6）dCаt=BаtdZt+Zt-dBхt=Bхt-Zt公司-dXt+小屋-, A.*^1iHdt，即（2.1）。现在，让u是（2.1）的解，setY：=-X+[X，X]c+J，J：=Xs≤·(Xs）1+Xs和Zt：=Et（Y），t≥ 0