限价订单的随机偏微分方程模型

以下结果来自第2.4节的备注：推论3.4（平衡订单流量）。订单簿密度u是局部鞅（在L中），当且仅当ifu（x）=VbHb（x）1(-五十、 0）（x）+VaHa（x）1（0，L）（x），对于某些Vb≥ 0，弗吉尼亚州≥ 0和（3.22）αa=ηaπL+βa4ηs，αb=ηbπL+βb4ηb。备注3.5（高频和低频序流之间的平衡）。平衡条件（3.22）表示了定向订单的缓慢到达（以αa和αb为代表）与账簿内订单的快速替换（以βa4η带βa4ηb为代表）之间的平衡，以及最终取消账簿内的有限订单，在ηaπ/L的速率下，不同频率的订单流量之间的这种平衡可以看作是（Kirilenko等人，2017年）对日内订单流量性质所做观察的数学对应物。3.2. 订单簿的形状。上述结果的一个含义是，订单簿的平均利润率由主要特征函数Ha，Hb：（3.23）E（ut（x））=E（Vbt）Hb（x）+E（Vat）Ha（x）给出，直到一个常数。除去指数a，b，订单簿的标准化利润率的形式为：H（x）：=ce-β2ηxsin（πLx），x∈ [0，L]，其中cis使得rl | H |=1：c=ZLe-β2ηxsin（πLx）dx=4πLηLβ+π4ηe-β2ηL+1,图3显示了β：hh的不同值的函数，作为唯一的最大值（3.24）^x：=Lπarctan2ηπLβ.随着β/η的增加，最大值的位置更靠近原点。对于β=0，我们有^x=L，另一方面，^x&0为β/η→ ∞. 通常情况下，流动性较大的证券的订单价格为中间价的几倍。图4显示了QQQ的平均订单量；类似的结果也见于（Bouchaud等人，2009年；Cont等人，2010年）。

这表明^x的数量级为几个刻度，因此我们对β/η较大的参数范围感兴趣。最大值为（3.25）maxx∈[0，L]H（x）=sβ4η+πLexp-βL2ηπarctan2ηπLβe-βL2η+1-1.其线性增长为β/2η→ ∞, 如图3所示，其中我们绘制了h，用其L-范数归一化，用于L=3π和η=1的各种β值。上述结果对于校准模型参数β2η、α和σ以重现订单的平均利润（每侧）很有价值。0 2 4 6 8 10x0.00.10.20.30.40.50.60.7h（x）/| h | L1图3。归一化主特征函数H的形状，对应于归一化订单的平均值，对于L：=3π，η：=1和不同的β值∈ {0, 0.5, ...3.5}.可以使用（3.24）从最大值的位置^x估计β2η。注意，当L较大时，则^x≈2ηβ.该最大值的高度使用（3.25）进一步限制参数。我们将在第3.6.3.3节中使用该结果进行参数估计。订单量动态。如推论3.3所述，Vat和Vbtma可被识别为卖出（或买入）限价订单的数量：它们遵循（相关的）几何布朗运动：Vat=ZL | ut（x）| dx=Vaexp（σaWat- νat-σat）Vbt=Z-L | ut（x）| dx=Vbep（σbWbt- νbt-σbt）式中，[Wa，Wb]t=ρa，bt.订单的平均数量Vt=增值税+增值税（Vt）=V-ZtVaνae-νas- Vbνbe-νbsds=V+Vae-νat+Vbe-νbt。对订单量的日内研究表明，远离开盘和收盘时，订单量是稳定的。这里EVt=Va+Vbif，并且仅当V是鞅，即νa=νb=0.3.4。价格和市场深度的动态。

回想一下第1.3节中的讨论，订单动态生成价格过程dst=θdDbtDbt-dDatDat公司,式中，θ是影响系数，Dbtand Dat表示订单顶部的深度（Cont等人，2014）：（3.26）Dat：=Zδut（x）dx≈δut（0+），Dbt：=Z-δ| ut（x）| dx≈δut（0-).利用推论3.3中的结果，我们得出以下价格动态：（3.27）dSt=θdVbtVbt-dVatVat公司,其中（3.28）dVbt=-νbVbtdt+σbVbtdWbt，dVat=-νaVatdt+σaVatdWat。因此，价格动态可以写成asSt=S- θt（νb- νa）+θσbWbt- θσaWat=S- θt（νb- νa）+σsbt其中B是布朗运动，σ是中间价格波动率，可以用描述订单流量的参数表示：（3.29）σS：=θqσB+σa- 2σaσba、 b.因此，隐含价格动态对应于Bachelier模型： 漂移项νa- νbonly取决于买卖深度的相对增加率，而不是实际深度dband Dat。 中间价的二次变化σSt随买卖订单流量之间的相关性而减小。这种由做市商产生的相关性降低了价格波动。备注3.6。将σawa和σbwbb替换为任意半鞅xa和xb，并使用以下跳跃-1，得出以下价格动态：（3.30）St=S- θt（νb- νa）+θ（Xbt- Xat）。特别是，这种关系将价格跳跃与大幅度变化（“跳跃”）联系在一起，从而导致流动不平衡：（3.31）St=θ（Xbt）- Xat）。3.5. 绝对价格坐标：随机移动边界问题。上述模型在相对价格坐标中描述了订单的动态，即作为与中间价格的（缩放）距离x的函数。由（绝对）价格水平p参数化的限制订单簿的密度∈ R（在线性缩放的情况下）由（3.32）vt（p）=ut（p）给出- St），x∈ R、 其中，我们通过设置ut（y）=0表示y来扩展utto R∈ R\\[-五十、 L）]。

如第3.4节所述，中间价格动态由（3.33）dSt=-θ（νb- νa）dt+θσbdWbt- θσadWat。然后，通过应用It^o-Wentzell公式，可以将v的动力学描述为随机移动边界问题的解（Mueller，2018）：定理3.7（随机移动边界问题）。订单密度vt（p）作为价格水平p的函数，在分布意义上是随机移动边界问题（3.34）dvt（p）的解=（ηa+σs）vt（p）+（νb- νa+βa- θ(a、 bσbσa- σa）vt（p）+αavt（p）dt+（σavt（p）+θσavt（p））dWat- θσbvt（p）dWbt，用于p∈ （St，St+L）和（3.35）dvt（p）=（ηb+σs）vt（p）+（νb- νa- βb- θ（σb- a、 bσbσa））vt（x）+αbvt（p）dt+θσavt（p）dWat+（σbvt（p）- θσbx的vt（p））dwbt∈ （St- 五十、 St）移动边界条件（3.36）vt（St）=0，vt（y）=0，y∈ R \\（St- 五十、 St+L），在以下意义上：（vt）t≥0是一个连续的L（R）值随机过程∈ C∞（R） 和t≥ 0，（3.37）hvt，Дi- hv，Дi=Zthm（x- 圣，vr，vr，vr），Дi dr+Zt(vr（Sr-) - vr（Sr+）Д（Sr）- vr（Sr- L+℃（Sr- 五十） +vr（Sr+L-)^1（Sr+L））dhSir+Zth1（S，Sr+L）σavr，Дi dWar+Zth1（Sr-五十、 Sr）σbvr，Дi dWbr+θσaZthvr，^1i矮人- θσbZthvr，Дi dWbr，其中我们表示，S∈ R、 五∈ H类((-五十、 L）\\{0}）∩ H类((-五十、 L）\\{0}），m（x，y，y，y）=（ηa+σs）y+（νb- νa+βa- θ(a、 bσbσa- σa）y+αay，x∈ （0，L），（ηb+θσs）y+（νb- νa- βb- θ（σb- a、 bσbσa）））y+αby，x∈ (-五十、 0）0，否则，对于x，y，y，y∈ R、 备注3.8。注意，（3.36）是St的随机边界条件。附录a中给出的证明基于Krylov的扩展It^o-Wentzellformula（Krylov，2011，定理1.1）。3.6. 参数估计。现在，我们描述一种估计模型参数的方法。

我们使用LOBSTER数据库中纳斯达克股票和ETF的订单时间序列。鉴于我们没有单独观察（3.1）中订单的各个组成部分，我们使用了第节中讨论的关系。3.2校准参数σ、ν和形状参数（3.38）γ：=β2η。订单的每一面。我们将L设置为数据集中的最大值，（L：=1000）。可以通过（a）最小二乘法（3.23）对平均订单文件进行校准，或（b）校准参数以再现订单文件最大值的位置^x和高度。备注3.9。基于峰值最大位置的估计器是快速计算的，但数据中的固定价格水平网格限制了γ估计的可能值集。特别是，估计值对最大值的位置（即订单文件的模式）敏感。02500500075010000Data-bidmodel-Bid02500500075010000Data-askmodel-askFigure 4。2016年11月17日QQQ订单的平均利润（前20级）（顶部：出价，底部：询问）。10： 00 11:00 12:00 13:00 14:00 15:00 16:00时间0.260.280.300.320.340.360.380.40bidaskFigure 5。参数γa、γ值根据2016年11月17日QQQ订单（前20级）的30分钟平均值进行估算。我们展示了一组纳斯达克股票和ETF的结果。图4显示了该模型如何再现2017年11月17日纳斯达克QQQ的平均图书收益。在图5中，我们可以看到交易日内不同30分钟窗口的估计系数γ。基于主特征函数的单因素模型得出了平均订单量的合理近似值，这正好符合第1.2节中关于动态的假设。对于低价/大盘股，平均订单量可能不同于指数正弦形状。

对于此类股票，我们使用第1.1节中描述的非线性比例，得出平均订单比例：（3.39）U（p）=V exp(-γ（（p- St）/δ）a）sin（（p-St）/δ）aπ/L），其中Sti是最佳价格。图6显示了SIRI平均订单量的非线性函数。0500010000150000Data-bidmodel-BID0500010000150000Data-askmodel-askFigure 6。SIRI订单的平均利润（前20级，2016年11月17日）（顶部：bid，底部：ask）γb=0.95，γa=0.86，ab=0.52，aa=0.56.4。均值回复模型4.1。一类均值回归模型。现在，我们回到完整模型（1.2），其中非零源项fa（x），fb（x）表示新限额订单到达率，距离最佳价格x:dut（x）=[ηaut（x）+βaut（x）+αaut（x）+fa（x）]dt+σaut（x）dWat，x∈ （0，L），dut（x）=ηbut（x）- βbut（x）+α，但（x）+fb（x）dt+σ，但（x）dWbt，x∈ (-五十、 0），ut（0+）=ut（0-) = 0，ut(-五十） =ut（L）=0，t>0，带符号条件ut（x）≤ 0，x∈ (-五十、 0）和ut（x）≥ 0，x∈ （0，L），t≥ 0，其中，如上ηa，ηb，σa，σb>0，βa，βb≥ 0，αa，αb∈ R是常数和U∈ L((-五十、 L））。如上所述，我们表示ub：=u|[-五十、 0]和ua：=u |[0，L]。

我们将表明，当αa和α为负且fa（x）>0时，fb(-x） <0表示allx∈ （0，L），这类模型导致订单量的均值回复动力学，这与观察到的结果一致，即订单量和队列大小在中间时间尺度（小时，天）上的日内动力学通常表现为均值回复，而不是趋势。将方程投影到本征函数hak，hbk上，如第3节所示，我们看到，由于本征值（3.4）的快速增加，从ageneric初始条件开始的解可以通过其在主函数ha上的投影来近似，hb（我们将在下面的命题4.2中证明这一点），异质订单到达的主要贡献来自fa（分别为fb）对ha（分别为hb）的预测。这激发了以下规范，从而产生了一类易于处理的模型：（4.1）fa（x）：=\'VaHa（x），fb（x）：=\'VbHb（x），\'Va>0，\'Vb>0。OREM 2.10然后给出了（1.2）的明确解决方案。回顾符号（3.10）和（3.9），定义Vbtand Vatby（4.2）dVat=\'弗吉尼亚州- νaVatdt+σaVatdWat，dVbt=(R)Vb- νbVbtdt+σbvbtdwbt其中νi：=ηiπL+βi4ηi- αi，i∈ {a，b}。SPDE的解可以如下所示：命题4.1。（i） （1.2）–（4.1）对于一般初始条件Ui的唯一L-连续解由UT（x）给出=VbtHb（x）+Et（σbWb）P∞k=1e-νbkt乌兰巴托- VbHb，hbk(-βb2ηb）hbk（x），x∈ (-五十、 0），VatHa（x）+Et（σaWa）P∞k=1e-νakthua- VaHa，hakiβa2ηahak（x），x∈ （0，L），0，x/∈ (-五十、 0）∪ （0，L）。（ii）对于公式（x）=VaHa（x）1【0，L】+VbHb（x）1的初始条件[-五十、 （1.2）–（4.1）的唯一L-连续解由（4.3）ut（x）给出=VatHa（x）1（0，L）（x）+VbtHb（x）1(-五十、 0）（x）, x个∈ [-五十、 L）]。证据我们从命题3.2中得到了线性齐次方程的通解。u的级数表示是谱分解、命题3.1和定理2.10的结果。

4.2. 长时间渐近解和平稳解。为了推导“平均”订单文件的属性，我们现在检查订单文件是否为遍历行为，并描述平稳解。下面的结果描述了长期动力学，并表明通过将初始条件投影到（4.3）：命题4.2中所述的主特征函数上，这种动力学非常接近。设Ut为一般初始条件u的（1.2）–（4.1）的唯一解∈ L(-五十、 L）和定义：（4.4）ˇut（x）：=VbtHb（x）1(-五十、 0）（x）+VatHa（x）1（0，L）（x），t>0。如果νb>0且νa>0，则：（i）订单的长期动力学可通过沿主特征函数投影的动力学（4.4）很好地近似：（4.5）P限制→∞库特- ˇutk∞= 0= 1.（ii）uthas唯一的平稳分布和（4.6）ut（x）==>t型→∞fb（x）Zb，x<0，ut（x）==>t型→∞fa（x）Za，x>0，其中fa，fb由（4.1）给出，而Za（分别为Zb）是一个反Gammarandom变量，形状参数为1+2νaσa（分别为1+2νbσb）和比例参数σa'Va（分别为σb'Vb）。（iii）如果此外νb>σbandνa>σa，则（4.7）limt→∞Ehkut公司- ˇutkL(-五十、 L）i=0。证据对于t>0，letKt：=vuut∞Xk=1e-2（νak-νa）t<∞.这个术语实际上是由级数的积分标准定义的，参见命题3.2的证明。表示uot（.；h）初始条件h下线性齐次方程（3.1）的唯一解。回想定理2.10 thatut（x）- ˇut（x）=uot（x；u- ˇu）。现在需要证明ask方的结果，并注意计算结果将与投标方类似。使用u的表示ot从命题3.2我们得到所有t>和所有h∈ L（0，L），uot（；h）|（0，L）∞≤ e-νatEt（σaWa）vuut∞Xk=1e-2（νak-νa）tvuut∞Xk=1hh，hakiβa2ηa= Ktkhkβa2ηaexpσaWat-νa+σat型,其中，作为t→ ∞, 收敛到0，前提是νa>0。

这证明了（i）。为了显示（iii），一个类似的计算，但使用命题3.2 yieldsEh中分解的正交性uot（；h）|（0，L）βa2ηai=∞Xk=1e-2νakthh，hakiβa2ηaEh | Et（σaWa）| i≤ e-2νatkhkβa2ηaE经验值2σaWat- σat= e类(-2νa+σa）tkhkβa2ηa。如果σa<2νa，则当t→ ∞. 由于k.kβa2η在L（0，L）上定义了一个等价形式，这就完成了（iii）的证明。主张（ii）源自命题2.13。的确，回想一下，Vi，i∈ {a，b}是遍历过程，其唯一不变分布由形状参数1+2νiσi和尺度参数σi（(R)Vi），i∈ {a，b}。用Zband Zarandom变量表示，其分布为任意x∈ [-五十、 L]，我们有分布（4.8）的收敛性|(-五十、 0）==> Zbfb（.），ˇut |（0，L）==> Zafa（.）。由于几乎可以肯定的是，收敛会产生分布上的收敛，因此（i）部分得出的结果（4.8）也适用于任意初始数据u的UT∈ L(-五十、 L）。4.3. 订单量动态。现在考虑命题4.1中的“预测”动态。（二）。订单量Vt的动态由（4.9）Vt得出：=ZL-L | ut（x）| dx=Vbt+Vat，t≥ 0，其中（4.2）中定义的Vb和Va表示订单簿中的买入（或卖出）订单量。自【Wa，Wb】t=a、 bt我们可以写WA=：W，Wb：=a、 bW+q1- a、 bcW，对于某些布朗运动cw，与W无关。然后，（4.10）dVt=（\'Va+\'Vb- （νaVat+νbVbt）dt+σaVat+a、 bσbVbtdWt+q1- a、 bσbVbtdcWt。尤其是订单量的二次变化（“已实现变化”）由（4.11）dhV it给出=σa（增值税）+2a、 bσbσaVatVbt+σb（Vbt）dt对于对称和完全相关的情况，V本身就是一个相互的伽马函数：推论4.3。假设命题4.1的设置。（ii）此外，νa=νb=：ν，σa=σb=：σa、 b=1。

那么，V是（4.12）dVt的唯一解决方案=（\'Vb+\'Va）- νVtdt+σVtdWt，V=Vb+Va。在所有情况下，我们从（2.22）得到i∈ {a，b}，t≥ 0，（4.13）EVit=不及物动词-νi？Vie-νit+νi'Viand（4.14）EVit=Vb-(R)Vbνbe-νbt+弗吉尼亚州-(R)Vaνae-νat+？Vbνb+？Vaνa.4.4。中等价格和市场深度的联合动态。我们现在考虑命题4.1中的中间价格和市场深度动态。（二）。如第1.3节和第3.4节所述，对于线性齐次模型，中间价格的动力学由dst=θ给出dDbtDbt-dDatDat公司,其中θ是一个影响系数，而买卖深度如下：=Zδut（x）dx≈δut（0+）=π2LδVat，Dbt：=-Z-δut（x）dx≈δut（0-) =π2LδVat。因此，市场深度的动态由DDBT=νb给出数据库- Dbt公司dt+σbDbtdWbt，dDat=νaDa公司- Dat公司dt+σaDatdWat。对于某些平均回复水平Db，Da>0。因此，我们获得了价格和市场深度的联合动力学：（4.15）dDbtDatSt=νb（Db- Dbt）νa（Da- Dat）θνbDbDbt-νaDaDat- （νb- νa）dt公司+σbDbta、 bσaDatq1- a、 bσaDatθ（σb- a、 bσa）-θq1- a、 bσadWTWTWT,其中Wand Ware是独立的布朗运动。中间价本身具有二次变化hSit=σSt，其中（4.16）σS：=θqσb+σa- 2σaσba、 b.在小时间间隔内t、 St=S+θZtνb（Db- Dbs）Dbs-νa（Da- Das）2Da（s）ds+θσbWbt型- θσaWat型≈ S+tθνb（Db- Db）Db-νa（Da- Da）Da+ σS√t N0,1其中N0,1是标准高斯变量。特别是，规模为y的中位价格上涨的条件概率由（4.17）P[S]给出t型≥ S+y]\'Nθ√tσSνb（Db- Db）Db-νa（Da- Da）Da-yσS√t！，其中N表示标准正态分布的累积分布函数。备注4.4。使用（2.22），书的每一面在一个小时间间隔[0，t]内的预期订单流量由以下公式给出： ∈ {a，b}，（4.18）E[D？t- D？]=tν？（D？- D？+o（t）。备注4.5（平均回复订单簿不平衡）。