限价订单的随机偏微分方程模型

回想一下，通过引理2.4，我们得到了所有t的ZtEt（X）=1≥ 0.设置gt：=ZUT，如上所述，设置fixД∈ dom（A*) 并写下BДt：=hutZt，ДiH=hgt，ДiH和CДt：=hut，ДiH。根据It^o的乘积法则和引理2.4，dBхt=Cхt-dZt+Z1t- dCДt+d[CД，Z]t=CДt-Zt公司-dYt+Zt-小屋-, A.*^1iHdt+CДt-Zt公司-dXt+CДt-Zt公司-d[X，Y]t=hgt-, A.*^1iHdt+BДt-（d[X，X]ct+dJt）- Bхt-（d[X，X]ct+dJt）=hgt-, A.*^1iHdt。因此，g是（2.2）的弱解。示例2.7。设A为强连续半群（St）t的生成元≥0。那么，对于h∈ 定义：=某物，t≥ 0，这是（2.2）的弱解。根据定理2.5。ut：=Et（X）Sth，t≥ 0是（2.1）的弱解。备注2.8。如果his是A的本征函数，且本征值为ν，则gt=eνthis（2.2）的唯一局部H-可积解，且（2.1）的唯一解由ut给出：=heνtEt（X）。2.2. 非齐次方程。我们将上一节中的假设保持在A，手X上，让f∈ H、 我们现在考虑非齐次线性旋转方程dUT=[Aut+αf]dt+ut-dXt，t≥ 0，u=h.（2.7）定义2.9。（2.7）的弱解是一个适应的H值随机过程，使得对于所有∈ dom（A*) 映射[0，∞) 3吨7→ 小屋，^1iHis c\'adl\'ag和小屋，ДiH-hh，ДiH=Zthus-, A.*^1iHds+Zthus-, ДiHdXs+tαhf，ДiH，t≥ 0，几乎可以肯定。我们排除了α=0或f的情况≡ 0对应于上面讨论的同质情况。让我们首先考虑A至少允许一个本征函数的情况。定理2.10。

假设f∈ dom（A）是A的特征值为λ的特征函数∈ R、 设z>0，z是（2.8）dZt=（λZt）的解-+ α） dt+Zt-dXt，t≥ 0，Z=Z。然后：（i）由ut=Ztf，t定义的随机过程≥ 0是（2.7）的解，初始条件为h:=zf。（ii）此外，让h∈ H存在弱解g=（gt）t≥确定性方程（2.9）的0tgt=Agt，t≥ 0克=小时- 采埃孚。那么，ut：=gtEt（X）+f zt是（2.7）的解，初始条件为h.（iii）设h∈ H存在一个弱解u=（ut）t≥0of（2.7），初始条件为h。然后，g：=（u- fZ）E（X）-1是（2.9）的弱解。备注2.11。Let（Zt）t≥0和（Zt）t≥由（2.8）给出相应的初始数据z，z>0，z6=z。然后，实际上是Zt- Zt=（z- z） Et（X），这与选择zin（ii）的不同值一致。证据第（i）部分后面是直接a计算：Let^1∈ H、 那么对于t≥ 0，（2.10）d hut，ДiH=hf，ДiHdZt==hf，ДiH（λZt-+ α） dt+hf，ДiHZt-dXt=[小屋-, A.*ДiH+αhf，φiH]dt+hut-, φiHdXt。同样，我们得到了（2.7）的任何解u，初始数据为h∈ H可写为asu=uo,（h）-zf）+u（zf），其中uo,（h）-zf）是具有初始数据的齐次问题（2.1）的解决方案- zf和u（zf）是具有初始数据zf的（2.7）解决方案。然后，第（i）部分和第2.5款完成了第（ii）和（iii）部分的证明。然后使用It^o公式验证（2.8）的唯一解为（2.11）Zt：=Et（X）eλtZ+α中兴通讯-λsEs-（Y）ds, t型≥ 0。其中，YT：=-Xt+[X，X]ct+Xs≤t型Xs1+Xs，t≥ 我们现在关注的是实布朗运动W和常数σ>0的情况X=σW。

然后，我们将考虑形式ut=Φ（t，Yt）的正则二维实现，其中（a）Y是状态空间J的一个微分过程 R、 满足DYT=b（Yt）dt+a（Yt）dWt，对于可测函数b，a:J→ R、 其中J具有非空内部，所有y的a（y）>0∈ J和1/a在J.（b）Φ：[0，∞) ×J→ dom（A）使得所有∈ dom（A*), 由ΦД（t，y）定义的映射：=hΦ（t，y），Дi，t≥ 0，y∈ J、 位于C1,2（R≥0×J；R） 。定理2.10给出了此类规则二维实现的示例。（i） 。定理2.12。设Xt=σWt，t≥ 对于σ>0和实布朗运动W，假设（2.7）允许正则有限维实现ut=Φ（t，Yt），t≥ 那么f是A对于某个特征值λ的特征函数∈ R、 存在可逆变换h:J→ R+使t≥ 0，几乎可以肯定zt=h（Yt），ut=Φ（t，h-1（Zt））=fZt，其中Z由（2.8）给出。证据Let^1∈ dom（A*), 和（2.12）ΦД（t，Yt）：=hΦ（t，Yt），Дi。应用It^o公式可得到（2.13）dhut，Дi=dΦД（t，Yt）==tΦИ（t，Yt）+yb（Yt）ΦИ（t，Yt）+a（Yt）yyΦИ（t，Yt）dt++a（Yt）yΦИ（t，Yt）dWt。将鞅项与（2.7）进行比较，我们发现ΦД满足ODEy豕（t，Yt）=σ豕豕（t，Yt）a（Yt），dt dP-a.e.因此，ΦД的形式必须为ΦД（t，y）=gД（t）h（y）=gД（t）expZyyσdηa（η）, t型≥ 0，y∈ J、 对于一些g^1∈ C（R≥0）和J的内部。呈现的正则性保证了h是定义良好且严格单调递增的。我们强调h实际上独立于ν∈ dom（A*). 设置Zt=h（Yt），我们可以看到，对于漂移函数m=（bh），Z满足dzt=m（Zt）dt+σztdwto h类-1+（ah）o h类-1、注意，对于每个t≥ 0，映射φ7→ gИ（t）与dom（A）是线性连续的*)  H到R。

自dom（A*)  根据Riesz表示定理，H是稠密的≥ 0存在g（t）∈ H使得（2.14）hg（t），Дi=gД（t）。由于ΦД（t，y）=gД（t）h（y），gД是可区分的，并且（2.13）变成∈ dom（A*),d小屋，Дi=（ZttgД（t）+gД（t）m（Zt））dt+gД（t）ZtdWt。将漂移项与t的（2.7）收益率进行比较≥ 0, φ ∈ dom（A*) 和z∈ h（J），（2.15）z（hg（t），A*^1i- tgД（t））+αhf，Дi=m（z）gД（t）。在两个不同的点z、z进行评估∈ h（J）减去得到（hg（t），A*^1i- thg（t），Дi）·（z）- z） =hg（t），Дi·（m（z）- m（z）），对于所有t∈ R≥0, φ ∈ dom（A*) 和z，z∈ h（J）。我们得出结论，存在常数λ∈ R使得hg（t），A*^1i- thg（t），Дi=λhg（t），Дi（2.16）和m（z）- m（z）=λ（z- z） 。（2.17）因此，对于c：=m（0），m的形式必须为m（z）=λz+c。插入（2.15）中，我们得到αhf，Дi=c hg（t），Дi，φ ∈ dom（A*).自dom（A*)  H是稠密的，该方程适用于所有ν∈ H、 由于假设α6=0且f非零，c 6=0，我们得到g（t）=αcf。特别是，g（t）独立于t和（2.16）屈服强度，A*^1i=λcαf，Дφ ∈ dom（A*).这意味着f∈ dom（A**). 因为A=A**, 参见例如（Yosida，1995，TheoremVII.2.3），我们有f∈ dom（A）和HF，A*Дi=hAf，Дi=λhf，Дi，φ ∈ dom（A*).按dom密度（A*) 在H中，这得出Af=λf，即f必须是A的特征值为λ的特征函数。把所有的东西放在一起，我们已经证明了ut=αcfzt，其中dzt=（λZt+c）dt+σZtdWt。通过αc重新调整Z的比例包括证明。2.3. 线性SDE和皮尔逊差异。对于某些σ>0和一个真正的布朗运动W，设Xt=σwt。上述因子过程Z是线性SDE（2.18）dZt=（aZt+c）dt+（bZt+d）dWt，t的特例≥ 0，Z=Z，例如在（Kloeden and Platen，1992，第4章）或（Kallenberg，2002，Prop.21.2）中研究。众所周知的特例是几何布朗运动（c=d=0）和theOrnstein-Uhlenbeck过程（b=0）。

与我们的上下文相关的是不太常见的d=0，我们现在重点关注它。使用（2.11），解决方案由（2.19）Zt=Xt给出Z+cZtX-1sds, t型≥ 0，其中（2.20）Xt=exp（a）-b） t+bWt, t型≥ （2.18）的溶液也在相互伽马扩散的背景下进行了研究（例如，参见（Forman和Sorensen，2008）中的“案例4”）或PearsonDiffusions。这些是（2.18）的推广，允许在微分系数中使用平方根项。提案2.13。假设z>0，a<0，c>0。那么，Z具有唯一不变分布, 这是形状参数为1的反伽马分布-2Band scale parameterb2cand，对于任何有界可测函数φ：（0，∞) → R、 限制→∞E[φ（Zt）]=极限→∞tZtφ（Zs）ds=Z∞φ（x）（dx）。证据首先，注意s（x）：=x-2abecbx，m（dx）：=x2（ab-1） e类-2cbxdx，x∈ (0, ∞)定义Z的标度密度和速度度量。然后，可以很容易地验证Z在（0，∞), 参见例如（Karatzas和Shreve，1987年，第5.5.22号提案）。此外，m（（0，∞)) < ∞ 所以Z的唯一不变分布是（2.21）（A） ：=m（A）m（（0，∞)).剩下的结果来自例如（Borodin和Salminen，2012，II.35）或（Revuz和Yor，1999，X.3.12）。u（t）：=EZt，t≥ 0，表示颂歌tu（t）=au（t）+c，t>0，u（0）=Z。因此，（2.22）u（t）=Z+ca吃-ca.备注2.14。设a<0，c>0和（Zt）为Zt=（aZt+c）dt+bZtdWt的稳定解，即根据形状参数1的反伽马分布选择分布的Zis-2波段刻度参数B2C。然后，如（Bibby et al.，2005）所示，（Zt）的自相关函数由（2.23）r（t）：=Corr（Zs+t，Zs）=eat，s，t给出≥ 为了研究价格动态，检查互惠过程Y=1/Z也是有用的。

当d=0时，Y=1/Z是（2.24）dYt=-Yt（a- b+周期）dt- bYtdWt，Y=z-1、尤其是（2.20），（2.25）Yt=Et中给出的X(-体重。- a（.））Z+cZtX-1sds-1，t≥ 当a<b时，（2.24）称为随机logistic方程。2.4. 正性、平稳性和鞅性质。让我们首先回到线性齐次情况。平均而言，做市商不累积投资，这建议考虑平衡订单流的基线情况，其中X是（局部）鞅。如果X是局部鞅X>-1 a.s.，然后，根据随机指数的性质，我们得到： 齐次方程（2.1）的弱解为局部鞅，当且仅当初始条件为-谐波：h∈ dom（A）和Ah=0。 如果E（M）是鞅且Ah=0，则（ut）t≥0是鞅。在布朗运动的情况下，从上一节的讨论中我们直接得到：推论2.15。设X=σW，其中W是标准布朗运动，σ>0，u是非齐次方程（2.7）的解，其中f是具有特征值的a的奇异函数-ν和h=zf，对于某些z>0。如果ν>0且α>0，则→∞=> fZ公司∞其中Z∞具有反伽马分布，形状参数为1+2νσ，尺度参数为σ2α。备注2.16。反伽马分布有一个带有tailindex 1+2ν的帕累托（右）尾，在这种情况下：E（Zk）的第k阶矩∞) < ∞ 当且仅当k<1+2ν。到目前为止，我们已经为u留出了正性约束。通过定理2.5，这简化为确定性方程的分析。在二阶椭圆型验光器的情况下，只要初始条件为正，则正性来自比较原则：假设2.17。

让我 R是一个区间，假设A是形式为（x）=η（x）的统一线性算子u（x）+β（x）u（x）+α（x）u（x），x∈ 一、 使用Dirichlet边界条件，其中η、β和α是光滑的有界系数，尤其是η（x）≥ η> 0表示所有x∈ 一、 此外，A，λ的主特征值具有一个与I正相关的特征函数f（Evans，2010，第6.5节）。请注意，因子进程ZT具有状态空间（0，∞) 在定理2.5和2.5中。因此，我们得到以下推论。推论2.18（积极性）。在假设2.17下，（i）如果his在i上为正，则解gtof（2.2）和解utof（2.1）在i上为a.s.正。（ii）如果f是a的主特征函数，则有限维实现ut=fZtof（2.7）在i上为a.s.正。因此，这个简单的结果保证了具有正确符号的解的存在，从而避免了求助于（Hambly等人，2020年）中的“反思”解决方案，并大大简化了我们的模型分析。3、双因素模型我们现在研究满足假设2.17的模型的最简单示例，即常数系数ηA、ηb、σA、σb>0、βA、βb的情况≥ 0，αa，αb∈ Rdut（x）=[ηaut（x）+βaut（x）+αaut（x）]dt+σaut（x）dWat，x∈ （0，L），dut（x）=[ηbut（x）- βbut（x）+αbut（x）]dt+σbut（x）dWbt，x∈ (-五十、 0），ut（x）=0，x∈ {-五十、 0，L}，u∈ L(-五十、 L）。（3.1）连同符号条件：（3.2）ut（x）≤ 0，x∈ (-五十、 0）和ut（x）≥ 0，x∈ （0，L），t≥ 0。在下面，我们将写入ub：=u|[-五十、 0]和ua：=u |[0，L]。3.1. 溶液的光谱表示。算子的谱表示可用于获得该模型的解析解。提案3.1。让我=(-五十、 0）或I=（0，L）和η>0，β，α∈ R、 考虑线性算子（3.3）A：=η + β + αIdon L（I），带dom（A）：=u∈ H（I）| u|I=0= H（一）∩H（I）。

特征值-A为实数，由（3.4）νk=-α+ηkπL+β4η，k=1，2。。。具有相应的特征函数shk（x）：=e-β2ηxsinkπLx, x个∈ 一、 特别是唯一的正本征函数是h证明。首先，我们注意到φ是A的特征值为ν的特征函数，当且仅当ifx 7→ eβ2ηxφ（x）是A的本征函数：=η + 具有零Dirichlet边界条件的αId，foreigenvalueν+β4η。计算详情见（续，2005）。具有域dom（A）的运算符dom（A）：=dom（A）是自伴的，具有紧预解（Cont，2005）和特征值（3.5）α-ηkπL，k∈ N、 特征值为ν的aw的特征函数∈ R是Sturm-Liouville问题（3.6）ηg（x）+（α）的解- ν） g（x）=0，x∈ 一、 在零边界条件下，产生g的形式必须为（3.7）g（x）=ce-γxsin（γx），其中γ=0，γ=ν- αη.0和±L处的零边界条件意味着某些k的γ=kLπ∈ N so（3.8）ν=α-ηkπL。将其从Ato A转换得到结果。定义以下双线性形式：（3.9）L(-五十、 0）×L(-五十、 0）3（f，g）7→ hf，gi-γ： =LZ-Lf（x）g（x）e-2γxDx和（3.10）L（0，L）×L（0，L）3（f，g）7→ hf，giγ：=LZLf（x）g（x）e2γxdx，分别定义L的等效内积(-五十、 0）和L（0，L）。对于γ>0和k∈ N、 定义νak：=-αa+ηakπL+βa4ηa，νbk：=-αb+ηbkπL+βb4ηb，（3.11）hak（x）：=e-βa2ηaxsinkπLx, x个∈ （0，L），（3.12）hbk（x）：=eβb2ηbxsinkπLx, x个∈ (-五十、 0）。（3.13）设（3.14）γa：=βa2ηa，γb：=βb2ηb。然后（hbk）k∈Nis的正交基L(-五十、 0）、h·、·i-γb和（hak）k∈Nis异常基础L（0，L），h·，·iγaSPDE的解决方案可以使用沿着这些基础的扩展来构建：命题3.2。

让u∈ L(-五十、 L），ua：=u |[0，L]，ub：=u|[-五十、 0）。然后（ut）t≥0定义人（3.15）ut（x）：=Et（σbWb）P∞k=1e-νbktub，hbk-γbhbk（x），x∈ (-五十、 0），Et（σaWa）P∞k=1e-νakthua，hakiγahak（x），x∈ （0，L），0，x∈ {-五十、 0，L}。是定义2.2意义下（3.1）的唯一连续弱解。证据各确定性方程的唯一连续解由（Sbtub）t给出≥0和（Satua）t≥0，其中（Sbt）t≥0和（Sat）t≥0是由（3.16）Ab=ηb生成的DirichletSemigroup美国犹他州- βb + α带Aa=ηa + βa + αaon(-五十、 0）和（0，L）。因此，从定理2.5我们得到（3.17）ut（x）=（Et（σbWb）Sbtub（x），x∈ (-五十、 0），Et（σaWa）Satua（x），x∈ （0，L）。（Sat）和（Sbt）是线性连续的，因此对于每个ha∈ L（0，L），hb∈ L(-五十、 0），Satha=Xk∈Nhua、hakiγaSathbk和Sbthb=Xk∈Nub，hbk-γbSbthbk。根据命题3.1，hak（分别为hbk）是Aa（分别为Ab）的本征函数，因此也是Sa（分别为Sb）的本征函数。这产生了所需的表示，其中级数在L中收敛。为了获得逐点收敛，我们注意到对于x∈ [0，L]和t>0，byCauchy-Schwarz不等式，Parseval恒等式和序列的积分准则，对于 ∈ {a，b}，∞Xk=1e-ν?千吨级u |（0，L），h？kβ?η?h？k（x）≤h |（0，L）L（0，L）vuut∞Xk=1e-2ν?千吨级≤u |（0，L）L（0，L）et（α？-β?4η?)sZ公司∞e-2tη？πLydy。当η>0时，则权重e-对于大k，谱分解的νktof在kF中呈指数衰减。这正好通过前几项近似解。还要注意，唯一的正本征函数是主本征函数haand-hbso符号约束（3.2）仅当解沿主特征函数的投影支配展开式中的其他项时。这促使我们关注存在于第一特征空间中的解决方案。如果初始条件是Ha和hb的（正）线性组合，则会发生这种情况。我们稍后将证明这一假设得到了市场数据的支持。

这导致了满足符号约束（3.2）：推论3.3的有限维实现。让Va>0 resp。Vb>0，定义（3.18）Ha（x）=Ha（x）1（0，L）（x）RL | Ha|≥ 0和Hb（x）=Hb（x）1(-五十、 0）（x）R-L | hb|≤ （3.1）–（3.2）的唯一解，初始条件u=VaHa+VbHb由（3.19）ut（x）=Hb（x）Vbt+Ha（x）Vat，t给出≥ 0，x∈ [-五十、 L]，其中νa=-αa+ηaπL+（βa）4ηa，νb=-αb+ηbπL+（βb）4η带（3.20）dVat=-νaVatdt+σaVatdWat，dVbt=-νbVbtdt+σbVbtdWbt（3.21），尤其是ut|[-五十、 0]≤ 0，ut |[0，L]≥ 0和ut（0+）=πLVat，ut（0-) =πLVbt。规范化（3.18）允许根据订单量和深度解释变量：RL | ut |=Vat（分别为R-L | ut |=Vbt）表示卖出（或买入）订单的数量，而ut（0+）θ=θπLVat（分别为。ut（0-).θ=θπLVbt）表示书本顶部的深度。在这个简单的双因素模型中，这两者是成比例的：它们可以通过考虑涉及高阶特征函数的多因素规范来解耦。漂移参数-νa（分别为。-因此，νb）表示销售（或购买）订单数量减少的净增长率。如（3.20）所示，这一净增长率是多种影响叠加的结果： 定向卖方（代表买方）以αa（代表αb）费率提交/取消限价销售（代表买方）订单；这可以解释为订单流量的“低频”成分； 以更接近中间价格的新订单替换限额订单，价格为βa4ηa（分别为βb4ηb）； 当中间价移动时（即距离中间价±L），以ηaπL（分别为ηbπL）取消限额订单。在平衡订单流的情况下，如果中间价以外的限价订单没有系统性累积或耗尽，则这些条款相互补偿，并且任何区间的限价订单量【St+x，St+x】是一个（局部）鞅。