限价订单的随机偏微分方程模型

买卖深度之间的不平衡是预测短期价格变动的常用指标（Carteaet al.，2018；Cont and de Larrard，2013；Lipton et al.，2014））。在此模型中，深度不平衡具有以下动力学：d（Dbt- Dat）=νbDb- νaDa- （νbDbt- νaDat）dt+σbDbtdWbt- σaDatdWat。在对称情况下，当D=Da=Db，ν=νa=νb时，（4.17）变为νDθ√tσSDa公司- 数据库DaDb-yσS√t！。（4.19）该数量在深度不平衡Db中减少-Da：这是订单深度均值回归的结果。在对称情况下（4.20）d（Dbt- Dat）=-νDbt公司- Dat）dt+σbDbtdWbt- σaDatdWat，因此该模型再现了订单簿不平衡是平均回复的经验观察结果（Cartea et al.，2018）。请注意，该模型预测市场深度的平均反转为1/ν，对应于ETF QQQ和SPY的秒数，以及MSFT和INTC等大型股票的约10秒（见表1）。如股票市场的实证研究所示，对于小于1/ν的时间尺度，价格变动的方向与订单流量不平衡高度相关（Cont等人，2014）。4.5. 参数估计。我们现在讨论从一组离散观测值（Van，Vbn）n=0，…，估计模型参数，。。。，Nof买卖量增值税，Vbton统一时间网格{kt:k=0，N} 。让我们将Vatand和Vbtin的动力学改写为相互的伽马扩散形式：（4.21）dV？t=ν？D- 五、+rν？c（V？t）dW？t、 t型≥ 0，V？∈ (0, ∞),  ∈ {a，b}带ν？，Dc？>0

我们使用矩估计法，如（LeonenkoandˇSuvak，2010）中的D？c呢？以及自相关参数ν？的鞅估计函数（Bibby andSorensen，1995）？， ∈ {a，b}：我们需要：=NNXk=1^Vk和^c？：=PNn=1（^Vn）PNn=1（^Vn）-cD？=1+cD？PNn=1 |^Vn|-cD？。将命题2.13和备注2.16与（Leonenko和ˇSuvak，2010，定理6.3）相结合，我们得出如果D？>0和c？>5，那么V？具有有限的第四矩，估计量一致且渐近正态。对于自相关参数νaA和νbW，我们使用鞅估计函数（Bibby和Sorensen，1995年，第2节）：（4.22）G？（ν；D，c）：=cνNXn=1（D？-^V？n-1） （^Vn-1)^Vn- F（^Vn）-1.ν、 D）,式中（4.23）F（z；ν，D）：=（z- D） e类-νt+D。给定D？，这就产生了估计量（4.24）^ν？：=tlog-PNn=1（D？-^Vn-1） （^Vn-1） PNn=1（D？-^Vn-1） （^Vn-1） （Vn- D？）,  ∈ {a，b}。（Bibby和Sorensen，1995，Theorem3.2）讨论了该估计量的收敛性。我们将这些估计器应用于纳斯达克股票和ETF的高频极限指令簿时间序列，这些时间序列是从LOBSTER数据库中获得的，在大小的时间间隔内排列成等距观测值t=10ms，dt=50ms。对于每次观察，我们使用前两个价格水平的平均订单量作为市场深度，分别为买入和卖出。下面我们展示了ETF（SPY和QQQ）和流动股票（MSFT和INTC）的抽样结果。图1显示了INTC、MSFT、QQQ和SPY在不同日期的估计参数值。我们观察到负相关值a、 bacross bidand询问订单流量，这与中的观察结果一致（Carmona和Webster，2013）。图7和图8显示了νa、νb、σa、σ带估计量的日内变化a、 B超过15分钟的计算时间。该模型中存在多种日内价格波动的估计量，需要对模型进行检验。

回想一下，在（4.16）中，我们通过描述订单流量的参数来表示价格波动：（4.25）^σS：=θqσb+σa- 2σbσaa、 b.其中θ是冲击系数。我们称之为RV估计器。通过使用鞅估计函数（4.22）首先估计σ带σ，然后使用方程（4.25）计算价格波动，得到另一个估计量。我们将其标记为RCG估计量。最后，可以使用10毫秒间隔内的价格变化计算30分钟时间窗口内价格的已实现方差。比较这些不同的测试者是对模型的定性测试。图9比较了这些在30分钟时间窗口内计算的估计器：我们观察到，基于模型的估计器具有相同的阶数，并密切跟踪日内实现的价格波动，这表明模型准确地捕捉到了订单流量和波动之间的定性关系。实现的源代码可在线获取（Cont和Mueller，2018）。05101520自相关ticker:QQQ日期：2016-11-16νbνa0.00.51.01.52.0波动率σbσa10:00:0011:00:0012:00:0013:00:0014:00:0015:00:00时间1.00.80.60.40.20.00.2Bid-AskCorrelation%a，B01234567自相关ticker:SPY日期：2016-11-16νbνa0.20.40.60.81.21.41.6波动率σbσa10:00:0011:00:0012:00:0013:00:0014:00:0015:00:00Time1.00.80.60.40.20.00.2Bid-ASK相关性%a，b图7。

自相关（νa/b）、标准差（σa/b）和买卖相关(a、 b）两个流动ETF（QQQ和SPY）的前2级订单深度。0.00.10.20.30.40.50.6自动相关股票代码：INTC日期：2016-11-16νbνa0.00.10.20.30.40.5波动率σbσa10:00:0011:00:0012:00:0013:00:0014:00:0015:00:00:00时间1.00.80.60.40.20.00.2Bid-AskCorrelation%a，b0.00.51.01.52.02.5自相关检测器：MSFT日期：2016-11-16νbνa0.00.20.40.60.81.01.21.41.61.8波动性σbσa10:00:0011:00:0012:00:0013:00:0014:00:0015:00:00Time1.00.80.60.20.00.2Bid-AskCorrelation%a，图8。自相关（νa/b）、标准差（σa/b）和买卖相关(a、 b）两种流动库存（INTC和MSFT）的前2级订单深度。0.10%0.20%0.30%0.40%0.50%0.60%s，单位：国际日期：2016-11-17价格，单位：RVfrom depth:RCG0.20%0.40%0.60%0.80%1.00%s，单位：MSFT日期：2016-11-170.40%0.60%0.80%1.00%s，单位：SPY日期：2016-11-1710:0011:0012:0013:0014:0015:0016:00Time0.40%0.60%0.80%1.00%1.20%1.40%s，单位：QQQ日期：2016-11-17图9。

比较日内价格波动率σS的各种估计值：价格变化的标准偏差（蓝色），基于买卖深度的已实现方差/协方差的估计值（红色），以及基于鞅估计函数的估计值（橙色）。股票代码ubuaνbνaσbσa一bINTC 2016-11-15 5179.0 5641.7 0.151 0.156 0.133 0.134-0.0772016-11-16 5565.0 5672.5 0.082 0.118 0.111 0.124-0.0702016-11-17 5776.5 7363.2 0.144 0.109 0.118 0.116-0.019MSFT 2016-11-15 3035.6 3855.9 0.522 0.426 0.292-0.0922016-11-16 2839.9 3562.1 0.409 0.395 0.239 0.240-0.0712016-11-17 4149.0 5762.5 0.300 0.239 0.202 0.208-0.146QQQ 2016-11-15 4686.9 5489.2 2 2.467 1.972 0.724 0.639-0.1772016-11-16 4801.0 5142.6 2.041 1.845 0.632 0.677-0.1772016-11-17 6414.0 6226.4 1.428 1.281 0.510 0.506-0.224SPY 2016-11-15 3903.4 4877.9 1.949 1.689 0.737 0.666-0.1762016-11-16 3773.4 4486.4 1.324 1.763 0.578 0.657-0.1562016-11 3693.0 4115.4 1.355 1.405 0.597 0.543-0.181表1。模型参数的平均估计量；每秒给出ν和σ。附录A.绝对价格协调中的动力学我们现在更详细地讨论了分配值过程的广义It^o-Wentzell公式，该公式在第3.5节中用于推导（非中心）订单簿密度vt（p）的动力学。让C∞:= C∞（R） 是R，D上的光滑紧支函数空间，其对偶是广义函数空间。我们表示为X和X分布意义上的前两个导数And by h。i D×C上的对偶积∞.一个D值随机过程u=（ut）t≥0在过滤概率空间上(Ohm, F、 F，P）称为F-可预测if for allφ∈ C∞（R） 实值过程（hut，φi）t≥0可预测。让N∈ N和（bt）t≥0和（ckt）t≥0，k∈ {1，…，N}是可预测的D值进程。我们假设对于所有的T，R∈ (0, ∞) 和所有φ∈ C∞（R） ，几乎可以肯定（A.1）ZTsup | x|≤R | hbt，φ（。

- x） i |+NXk=1ckt，φ（。- x）dt<∞.Let（Wkt，k=1，…，N）t≥0be独立的标量布朗运动。我们考虑形式为（A.2）dut=btdt+NXk=1cktdWkt的方程，定义A.1。一个D值随机过程（ut）t≥0称为（a.2）在初始条件为t的分布意义下的解∈ (0, ∞) 和φ∈ C∞（A.3）小屋，φi- hu，φi=Zthbs，φi dt+NXk=1Ztcks，φdWks。几乎可以肯定。变量公式的以下变化是Krylov结果的特例（Krylov，2011，定理1.1）：定理a.2（广义It^o-Wentzell公式）。让（ut）t≥0是（a.2）在分布意义下的解，且let（xt）t≥0be表示为dxt=utdt+NXk=1σktdWkt，t的局部可积过程≥ 0.其中（ut）t≥0和（σkt，k=1..N）t≥0是实值可预测流程。定义D值过程（vt）t≥0按vt（x）：=ut（x+xt），对于x∈ R、 t型∈ [0, ∞). 然后（vt）t≥0是VT=“bt（.+xt）+NXk=1的解决方案σkt!xvt+utxvt+NXk=1σktxckt（.+xt）#dt+NXk=1ckt（.+xt）+σktxvt公司分布意义上的DWK。备注A.3。值得注意的是，（ut）和（xt）的相关性导致termNXk=1σktxckt（.+xt）.现在，我们应用上述It^o-Wentzell公式，以便在第3节和第4节中考虑的设置中，在非中心坐标下推导订单簿密度v的动态。让我∈ (0, ∞] 而我：=(-五十、 0）∪（0，L）。对于h，f∈ H（一）∩H（I）。然后，（1.2）在初始条件u=h时，允许一个由（ut）t表示的唯一（解析）强解≥设▄ut是utto R的平凡扩展，即（A.4）▄ut（x）：=（ut（x），x∈ 一、 0，否则。请注意，u∈ H（R\\{-五十、 0，L}）∩ H（R）。

回想一下 和 在前面的讨论中，表示R上的弱导数\\{-五十、 0，L}，我们明白了xu=u和（A.5）xu- u=x个u-u=(u(-L+）-u(-L-))δ-L+(u（0+）- u（0-))δ+ (u（L+）- u（L-))δL，其中δxdenotes是x处的点质量∈ R、 定义（x）：=ηaut（x）+βaut（x）+αaut（x）+fa（x），x∈ （0，L），ηbut（x）- βbut（x）+α，但（x）- fb（x），x∈ (-五十、 0），否则为0，（A.6）ct（x）：=σaa、 但是（x），x∈ （0，L），σ，但（x），x∈ (-五十、 0），否则为0，（A.7）ct（x）：=（σaq1- a、 但是（x），x∈ （0，L），0，否则，（A.8），使（A.9）dut=btdt+ctdWt+ctdWt。Cauchy-Schwartz不等式表明（A.1）是令人满意的。现在假设中间价格（St）t≥0遵循动力学（A.10）dSt=csθutdt+csθ（σb- σaa、 b）载重吨- csθσaq1- a、 bdWt。对于某些可积可预测过程u。定义（A.11）σs：=csθqσb+σA- 2.a、 bσbσa。然后，定理a.2得出vt（x）：=~ut（x- St）我们得到（A.12）dvt=hbt（。- St）+σsxvt公司- csθutxvt公司-csθ（σb- a、 bσa）xct（。- St）+csθq1- a、 bσaxct（。- St）idt公司+ct（。- St）- csθ（σb）- a、 bσa）xvt公司载重吨+ct（。- St）+csθq1- a、 bσaxvt公司dWti。e、 v是随机移动边界问题的解，（a.13）dvt=ηa+σsvt公司+βa- csθut- csθa、 bσbσa- σavt+αavt+fa（。- St）dt+（σaa、 bvt公司- csθ（σb- a、 bσa）vt）dWt+σaq1- a、 b（vt+csθvt）dWt，on（St，St+L），dvt=ηb+σs及物动词-βb+csθut+csθσb- a、 bσbσavt+αbvt- fb（。

- St）dt+（σbvt- csθ（σb- a、 bσa）vt）dWt+csθq1- a、 bσavtdWton（圣- 五十、 St），否则vt=0；dSt=csθutdt+csθ（σb- a、 bσa）dWt- csθq1- a、 bσadWt，为了明确我们在本文中所指的解决方案，我们引入了映射SL:[x∈RH（R \\{x- 五十、 x，x+L}）∩ H（R \\{x- 五十、 x，x+L}）×{x}→ D、 （五、六）7→ (（五）- L+）- v（s）-L-)))δs-L+(（v（s+）- v（s）-)))δs+(（v（s+L+）- v（s+L-)))δs+L。现在定义函数u：R→ R、 \'\'σ，\'\'σ：R→ R为u（x，y，y，y，s）：=（ηa+σs）y+（βa- csθ(a、 bσbσa- σa）y+αay+fa（x），x∈ （0，L）（ηb+σs）y- （βa+csθ（σb- a、 bσbσa）y+αby- fb（x），x∈ (-五十、 0），否则，(R)σ（x，y，y，s）：=σaa、 由，x∈ （0，L），σby，x∈ (-五十、 0），否则，\'（x，y，y，s）：=（σaq1- a、 由，x∈ （0，L）0，否则为x，y，y，y，s∈ R、 根据（Mueller，2018，定义1.11），（a.13）的解是一个L（R）×R连续随机过程（vt，St），取[x]中的值∈RH（R \\{x- 五十、 x，x+L}）∩ H（R \\{x- 五十、 x，x+L}）×{x},（St）由（A.10）给出，并且在分布意义上，（A.14）dvt=（(R)u（。-圣，及物动词，vt，vt，St）dt- vtdSt+L（vt，St）dhSit+(R)σ（。- 圣，vt，vt，St）dWt+(R)σ（。- 圣，vt、vt、St）载重吨。参考Bibby，B.M.、Skovgaard，I.M.和Sorensen，M.（2005）。具有给定边缘分布和自相关函数的扩散型模型。伯努利，11（2）：191–220。Bibby，B.M.和Sorensen，M.（1995年）。离散观测扩散过程的鞅估计函数。伯努利，1（1-2）：17-39。Borodin，A.N.和Salminen，P.（2012年）。布朗运动事实和公式手册。Birkh–auser。Bouchaud，J.-P.，Farmer，J.，和Lillo，F.（2009）。市场如何慢慢消化供求变化。Hens，T.和Schenk Hoppe，K.R.，编辑，《金融市场手册：动态和演变》，第57-160页。爱思唯尔。Burger，M.、Caffarelli，L.、Markowich，P.A.和Wolfram，M.-T.（2013）。

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