虚拟物品赌博的多重交互动力学建模

然而，在实际情况下，一次互动，即参与新一轮的头奖游戏，不会导致w值的显著变化。这种情况与第2.4.1节中讨论的情况非常接近，我们将这些互动称为放牧碰撞【16，24】。与第2.4.1节类似，我们可以通过将（43）、（47）中的微观参数缩放为α，很容易地考虑到如此小的尺寸→ α, λ → λ, τ = , （49）其中0<  [7、8]中详细讨论了这些缩放假设。特别是，这里我们提到，参数α、λ和相互作用频率τ的耦合标度背后的基本原理如下：由于标度相互作用是掠射的，因此在w中产生非常小的变化，只有当每个赌徒在固定的时间段内参与了大量的互动时，才能观察到分布函数g的有限（即非极小）变化。如第2.4.1节所述，当放牧相互作用占主导地位时，动力学模型（47）很好地近似于福克-普朗克型方程【16，24】。关于社会经济系统动力学理论中此类代词代用的详尽细节，请参见[7]。简言之，数学思想如下：如果Д足够平滑，且≈ 由于相互作用是掠射的，人们可以在泰勒级数中展开关于w的Д（w）。用值函数（44）将这种展开插入到（47）中，并考虑到标度（49），我们得到：ddtZR+Д（w）h（w，t）dw=ZR+-αuИ（w）w对数w？wL+λД（w）wh（w，t）dw+R（w，t），其中R余数是这样的R→ 0作为 → 0+，参见[7]。

因此，在标度（49）下，动力学方程（47）很好地近似于方程式ddtzr+Д（w）h（w，t）dw=ZR+-αuИ（w）w对数w？wL+λД（w）wh（w，t）dw。该方程可被认为是以下系数可变的福克-普朗克方程的弱形式：th（w，t）=λw（wh（w，t））+αuww对数wLh（w，t）, （50）假设部分积分产生的边界项消失。与第2.4.1节一样，福克-普朗克描述（50）优于原始的玻耳兹曼型方程（47），因为它允许显式计算稳态分布函数，例如h∞= h类∞（w） 。后者求解以下一阶常微分方程：λddw（wh∞（w） ）+αuw对数∞（w） =0，其具有酉质量ish的唯一解∞（w）=√2πσwexp-（日志w- θ)2σ!, （51）式中σ：=λαu，θ：=对数wL- σ.因此，与文献[25]中的观察结果非常一致，微观规则（43）预测的平衡分布函数与放牧相互作用机制中的值函数（44）是对数正态概率密度，其平均值和方差可以通过已知的对数正态分布公式轻松计算：m∞:= (R)wLe-σ、 Var（g∞) := (R)wL（1- e-σ).特别是，这些数量分别是“wL”和“wL”的分数，仅取决于随机波动η的方差λ与赌徒在一轮中购买的彩票数量的最大变化率u的部分αu之间的比率σ=λαu。如果σ>2 log“wL”，当渐近平均值m∞低于每轮购买的固定理想票数。

这表明一群赌徒能够不太深入地参与到彩票游戏中。图2显示，渐近公式（51）很好地描述了准不变区域中Boltzmann型方程（47）的大时间分布（即。， 小写（49））。（47）的解已通过标准蒙特卡罗方法数值获得。备注9。如【5】所示，使用值函数（46）代替（44）在广义伽马密度类中产生了一个倾斜的稳态分布。这种密度具有对数正态密度的大部分特性，正如酒精消费问题中所发生的那样，如果这些密度用于满足赌徒购买的门票数量，则可能会与经验观察到的结果更好地对应。在任何情况下，稳定状态的主要方面，即由于细长的尾巴，其在实际中的快速衰减，保持不变。图2：（51）与数值计算的大时间解（在计算时间T=10时）与Boltzmann型方程（47）的比较。值函数为（44），u=0.5，α=1。此外，二元相互作用为（43），λ=且wL=eλ2u。我们考虑了准不变标度（49） = 10-1（左面板）和 = 10-2（右面板）。4数值试验在本节中，我们对之前讨论的各种模型提供了数值见解，采用了碰撞动力学方程的直接蒙特卡罗方法和福克-普朗克方程的最新结构保持方法。有关这些数值方法的全面介绍，感兴趣的读者请访问[4、16、18、19]。我们首先整合多重相互作用Boltzmann型模型（5），以评估其与线性化模型（15）在案例N中的等效性 1个带N=κ>0，如第2.2节的理论预测。

接下来，我们还对福克-普朗克方程（23）与线性化玻耳兹曼型方程（15）的一致性进行了数值检验。随后，我们研究了第2.4.1节中讨论的脂肪尾动力学模型。特别是，我们在数值上评估了它与其他模型的一些差异。4.1测试1：多重相互作用Boltzmann型模型及其线性化版本多重相互作用Boltzmann型方程（5）可以有效地写成强形式，以证明积分算子的增益和损失部分：tf（x，t）=*ZRN公司-1JNYk=1f（xk，t）-NYk=1f（xk，t）！dx。dxN公司+=Q+（f，…，f）（x，t）-f（x，t），（52），其中Q+是增益运算符：Q+（f，…，f）（x，t）：=*ZRN公司-1NYk=1Jf（xk，t）dx。dxN+和J是从相互作用前变量{xk}Nk=1到相互作用后变量{xk}Nk=1的变换（4）的雅可比矩阵。我们通过网格tn:=n上的正向格式在时间上离散（52）t，t>0。用符号fn（x）：=f（x，tn），我们得到以下半离散公式：fn+1（x）=1.-t型fn（x）+t型Q+（fn，…，fn）（x）。0 1 2 3 4 500.10.20.30.40.5（a）t=0 1 2 3 4 500.20.40.6（b）t=10 1 2 3 4 500.20.40.60.8（c）t=2图3：试验1-无填充。N=5个赌徒（空圆形标记）或N=100个赌徒（三角形标记）的多重相互作用Boltzmann模型及其线性化版本（填充圆形标记）在δ=0.2，β=0的时间间隔[0，2]内的演化。我们认为κ=0.1。通过选择t=, 损耗部分消失，在每个时间步，只需计算增益运算符Q+。我们记得（4）给出了多重相互作用微观动力学。特别是，根据第3节的结果，我们选择Yk作为独立的、同分布的随机变量，对数正态概率密度为Φ（y）=√4πyexp-（对数y+1）！。

（53）与（51）的比较表明，这对应于σ=2和'wL=e，因此，对于所有k，M=hYki=1。平行地，我们考虑线性化的Boltzmann型方程（15），我们已经证明它在形式上等同于大量赌徒的多重相互作用模型N。线性化模型读数的半离散时间公式fn+1（x）=1.-t型fn（x）+t型*ZR+Jfn（x）dx+，现在微观动力学由（16）给出，其中κ=N和Y~ Φ（y）与前面一样，参见（53）。在这两种情况下，我们都通过蒙特卡罗方案求解相互作用动力学，考虑到初始均匀分布在区间[0，2]内的10个粒子的arandom样本，因此f（x）：=f（x，0）=[0，2]（x），其中1表示特征函数。在图3中，我们比较了两个模型在时间间隔t内的演变∈ [0，2]对于δ=0.2，β=0 in（4），（16），参见（10），即，特别是，没有填充。在图4中，我们在较大的时间间隔t内执行相同的测试∈ [0，25]对于δ=β=0.2，即通过包括其他填充。在这两种情况下，我们清楚地看到，如果N足够大，线性化模型可以捕捉到每次的多重相互作用动力学，而如果N相对较小，则可以观察到差异。此外，在线性化模型中，我们知道赌徒在jackpot游戏中拥有的彩票平均数量由（18）给出。在图5中，我们展示了几种选择的填充参数β的多重相互作用Boltzmann型模型的平均解的时间演化。我们观察到与理论结果很好的一致性，特别是我们看到，正如预期的那样，平均值确实逐渐趋于βMδ。4.2试验2。

大NIn情况下的福克-普朗克近似, κ  1，相互作用（16）是准不变的，因此线性化的Boltzmann型模型（15）由福克-普朗克方程（23）很好地描述。如果是常数平均值0 1 2 3 4 500.10.20.30.40.50.6（a）t=10 1 2 3 4 500.20.40.60.811.2（b）t=50 1 2 3 4 500.511.52（c）t=25图4：试验1-有填料。N=5个赌徒（空圆形标记）或N=100个赌徒（三角形标记）的多重相互作用Boltzmann型模型及其线性化版本（填充圆形标记）在δ=β=0.2的时间间隔[0，25]内的演变（对数正态填充从（53）中采样）。我们考虑了κ=0.1.0 5 10 15 20 2500.511.5图5：测试1–平均值的演变。δ=0.2，κ=0.1时，时间间隔[0，25]内票证平均数量m（t）的演变以及β的几种选择。值m（t）≡ m=赌徒拥有的彩票数量的βmδ，稳定分布为伽马概率密度函数（24）。

在本节中，我们对多重相互作用Boltzmann型模型（5）或线性Boltzmann型模型（15）与（24）产生的大时间分布进行了数值比较。与之前一样，我们考虑区间[0，2]中的均匀初始分布f（x），而且arandom变量Y根据（53）对数正态分布，因此，特别是平均值M=1。我们还在微观相互作用（4），（16）中设定β=δ=0.2，因此，ticket分布的平均值始终为m=βmδ=1，与福克-普朗克区域一致，在该区域中，我们能够明确计算稳定分布（24）。在图6（a）中，我们将参与每一轮头奖游戏（N=10，N=10）的越来越多的赌徒的多重相互作用Boltzmanntype模型的大时间分布与从福克-普朗克方程计算的渐近伽马概率密度（24）进行了比较。我们清楚地看到，对于足够大的N，福克-普朗克稳定解可以很好地近似真实多重相互作用模型的平衡分布。在图6（b）中，我们展示了相同分布的对数-对数图，这使我们能够理解，特别是福克-普朗克解决方案正确地再现了多重相互作用模型平衡分布的尾部，从而证实了在赌徒拥有的门票的分布中不会出现肥尾。在图6（c）中，我们比较了线性化Boltzmann-type0 1 2 3 4 500.511.5（a）10010110-2100（b）0 1 2 3 4 50123（c）10010-2100（d）的大时间分布图6：测试2。

第一行：（a）多重相互作用Boltzmann模型（5）的稳态分布与福克-普朗克渐近分布（24）（实线）的比较，N=10（空圆形标记），N=10（填充圆形标记）和固定κ=0.1。（b） （a）的对数-对数图。底行：（c）对于κ=0.1（空圆形标记）和κ=0.01（填充圆形标记），线性化博尔茨曼模型（15）的稳态分布与福克-普朗克渐近分布（24）（实线）的比较。（d） （c）的对数-对数图。具有渐近伽马概率密度（24）的模型，用于减小κ的值（分别为κ=0.1，κ=0.01）。在图6（d）中，我们显示了相同应力分布的对数-对数图，特别是（24）提供的尾部近似的优度。4.3试验3。在厚尾酪蛋白第2.4.1节中，我们导出了替代线性Boltzmann模型（33）-（34），该模型保留了原始多重相互作用模型（4）-（5）的一些主要宏观性质。特别是，它解释了分配函数第一和第二时刻的正确演变。我们将这样的推导建立在如下考虑的基础上，对于N大且 很小，可以将（28）中定义的量χ近似视为N-gambler动力学的碰撞不变量。在图7（a）中，我们通过取N=10和标度参数的一些值对这一假设进行数值测试 从10减少-2至10-特别是，由于χ实际上取决于旋转的微观状态x，xNof the agents，我们绘制了t的χ的时间演化图∈ [0, 25].0 5 10 15 20 2500.511.522.5（a）10010-200100（b）图7：试验3。（a） 近似碰撞不变量χ的估计，参见（28）。（b） 分布（24）、（37）的对数图。0 1 2 3 4 500.20.40.6（a）t=10 1 2 3 4 500.511.5（b）t=50 1 2 3 4 50123（c）t=25图8：测试3。

准变区中Boltzmann型模型（33），（34）（圆形标记）及其Fokker-Planck近似（36）（星形标记）的时间演化之间的比较。使用了以下参数：β=δ=0.2，M=1，κ=10-近似碰撞不变量χ的值由多重相互作用Boltzmann型模型估算，如图7所示。这种时间演化是用第4.1节中描述的蒙特卡罗方法计算的，从S=10粒子的初始样本开始。因此，我们得到了N=10个S/N=10个粒子的子样本，每个子样本都产生了时间趋势χ的蒙特卡罗估计。在这些样本中，我们最终计算出χ的平均时间趋势，即图7（a）中绘制的每条曲线。与我们的理论发现一致，我们观察到 如果足够小，χ实际上可以被视为碰撞不变量。在准不变极限下，线性Boltzmann型模型（33）-（34）的解已显示为接近福克-普朗克方程（36）的解。其可显式计算的稳定状态是反伽马概率密度（37），与平衡分布（24）不同，平衡分布（24）近似于大N的多重相互作用模型的趋势，表现出肥尾。在图7（b）中，我们显示了分布（24）、（37）的对数图，它强调了尾部的差异。为了检查Fokker-Planck区域的一致性，在准不变量极限下，通过（36）与Boltzmann型模型（33），（34），在图8中，我们显示了使用两种模型计算的分布函数g的时间演化，用于∈ [0，25]，从x的初始均匀分布开始∈ [0, 2]. 在这两种情况下，我们将χ视为Ngambler模型的碰撞不变量。

因此，我们首先计算模型（4）、（5）（N=10）的χ值，然后计算0 20 40 60 80 100 10-2100图9：测试3。福克-普朗克方程（23）和（36）的解之间的相对L误差（54）。这两种模型的数值解都是在x变量的计算域[0，10]上通过半隐式SP方法获得的，其中t=x=10/Nx和Nx=401个节点。我们在二进制规则（33）中使用它，其中χ确定η的值可以采用，并且在（36）的扩散系数σ中。从图8中，我们可以看到，正如预期的那样，这两个模型在任何时候都保持紧密的联系，并且在很大的时间内都接近相同的稳定分布。最后，我们量化了福克-普朗克方程（23）的解f与福克-普朗克方程（36）的解g之间的距离，前者再现了多重相互作用玻耳兹曼型模型（4）、（5）的大时间趋势，参见之前的测试2（第4.2节），后者描述了线性离散玻耳兹曼型模型（33）、（34）的大时间趋势。我们特别考虑以下相对L误差κ（t）：=ZR+| g（x，t）- f（x，t）| f（x，t）dx，（54）对于常数κ的几个值，cf.（14），这在两个福克-普朗克方程中都是一个系数。特别地，我们考虑κ=10-1, 10-2, 10-3我们取f（x，0）=g（x，0）=[0，2]（x）作为初始（均匀）分布。通过半隐式SP方法，我们保证了两种模型数值解的正性和大时间精度。感兴趣的读者可参考【19】了解有关该数值技术的更多详细信息）。从图9中，我们可以看到Eκ随着κ的增加而减少，尽管其数量级仍然不可忽略。