虚拟物品赌博的多重交互动力学建模

In（31），η是仅取两个值的离散随机变量-√(1 - δ） ，M/√ 具有概率Pη= -√(1 - δ)= 1.- p, Pη=M√= p,其中p∈ [0，1]和M> 0是两个需要正确固定的常数。我们解释规则（31）以及η的规定值, 如下所示：一个赌徒，他带着相当于x、 可能会赢得等于（M）的头奖- δ） 概率为p的x或损失金额x以概率1投入游戏- p.特别地，我们确定p通过施加hηi=0，这保证了（31）再现了（12）所提供的平均值的正确演变（实际上，在这种情况下，我们有hxi=（1- δ） x）。我们找到了P=(1 - δ） M级+ (1 - δ).利用这个，我们发现hηi=M(1 - δ） ，whenceh（x）i=(1 - δ)+ (1 - δ） M级x、 （32）通过公式（29）和（32）之间的比较，我们可以得出以下结论：= (1 - δ)κχ- 进一步意味着能量的时间演化与（30）相同。注意M的正性通过选择  1足够小。在推导出β=0的线性化模型后，我们可以在交互规则中重新包括门票/货币的填充：x=（1- δ） x+βY+√xη, （33）其中，如第2.2节所述，随机变量Y∈ R+由规定的对数正态概率密度函数Φ：R描述+→ R+。在这种动力学近似下，大量参与jackpot游戏的赌徒所玩和赢得的彩票（即金钱）的分布函数g=g（x，t）的演变由线性动力学方程（参见（15））：ddtZR+Д（x）g（x，t）dx=τZR+hД（x）描述- ψ（x）ig（x，t）Φ（y）dx dy（34），其中x由（33）给出。2.4.1福克-普朗克对jackpot游戏的描述线性动力学方程（34）描述了由于类型（33）的相互作用而导致的分布函数的演化。

如第2.2节所述，对于参与一轮的赌徒数量N的大值，因此，鉴于（14），小值为, 互动（33）在赌徒拥有的彩票数量上产生了微小的变化。然后我们说，在这样一个体系中，相互作用（33）是准不变的或掠射的。因此，只有当每个赌徒在固定的时间段内参与了大量的互动（33），才可能观察到分布函数g的有限（即非有限）演化。这是通过标度τ实现的~  如第2.2节所述，参见备注3。在此标度中，动力学模型（34）通过福克-普朗克型方程（7、16、24）接近其连续对应物吉文布。在目前的情况下，（34）很好地近似于具有可变系数的新线性福克-普朗克方程的以下弱形式：ddtZR+Д（x）g（x，t）dx=ZR+-Д（x）（δx- βM）+ДσД（x）xg（x，t）dx，（35），其中M是门票的平均填充量，参见（17），其中我们定义了σ：=lim→0+米= (1 - δ)κχ.然后，如果由部分积分产生的边界项消失，（35）可以用强形式重新计算为tg（x，t）=σx（xg（x，t））+x（（δx- βM）g（x，t））。（36）该方程描述了门票数量x的分布函数g的演变∈ 在放牧相互作用的限制下，赌徒在时间t>0时玩的R+。与（34）相比，该方程的优点在于其唯一的稳态g∞对于单位质量，可明确计算：g∞（十）=2βMσ1+2δ~σΓ1 +2δ~σ·e-2βMσxx2+2δОσ。（37）我们观察到，这是一个反伽马概率密度函数，其参数与微观相互作用的细节有关（33）。备注5。

（23）和福克-普朗克方程（36）之间的比较表明，虽然漂移项相同，但扩散项的系数与（23）中的x和xin（36）成正比。在后一种情况下，这种差异决定了脂肪尾巴的形成，这与[25]中的说法一致。然而，正如brie Fly之前所解释的，基于准不变区域中导致（36）的相互作用（33）的方法实际上并不能准确描述jackpot游戏。事实上，它承认所有赌徒都可能同时获胜，尽管可能性很小。2.4.2情况β=0可在情况β=0下对福克-普朗克方程（36）进行进一步的显式计算，这对应于赌徒持有一定数量的彩票进入游戏的情况，即。金额，并且只使用那些门票，即。钱，去玩。然后，分布函数g=g（x，t）求解方程tg（x，t）=σx（xg（x，t））+δx（xg（x，t））。（38）设置▄g（x，t）：=e-δtg（e-δtx，t），这很容易被检查为在每次t>0时具有单一质量的分布函数，我们可以看到▄g求解了扩散方程t▄g（x，t）=▄σx（x▄g（x，t））（39），初始基准与（38）中规定的基准相同，因为▄g（x，0）=g（x，0）。与初始基准g（x）相对应的（39）的唯一解由表达式给出：▄g（x，t）=ZR+zgxz公司Lt（z）dz，（40），其中Lt（x）：=√2πИσtxp-（对数x+▄σt）2▄σt！是对数正态概率密度。事实上，（39）具有唯一的源类型解，由对数正态密度和单位平均值给出，在时间t=0时，该解与以x=1为中心的Dirac delta一致，参见【21】。质量和（40）的平均值在时间上守恒，而初始有界动量为n阶≥ 2以n（n）的速率指数增长- 1).

此外，可以证明，（40）在各种范数下在时间上收敛于Lt（x），参见【21】。从（40）开始，我们很容易得到原始福克-普朗克方程（38）的唯一解由g（x，t）=ZR+zg给出xz公司Lt（z）dz，（41），其中▄Lt（x）=√2πИσtxp-对数x+（δ+～σ）t2σt！。（42）注意，正如预期的那样，对数正态密度（42）的平均值在一段时间内呈指数衰减：ZR+xLt（x）dx=e-δt.因此，如果Xt~ g（x，t）是一个概率密度等于（38）解的随机过程，x的平均值以相同的速率指数衰减为零，hxti=ZR+xg（x，t）dx=e-δthXi。利用表示公式（41），我们可以很容易地计算出解的高阶矩。特别是，Xti的方差等于Hxti- hXti=hXie（|σ-2δ）t- hXie公司-2δt。从这里，我们可以看到，方差的大时间趋势取决于数量∑的符号-2δ. 如果σ<2δ，方差指数收敛为零，因此从长远来看，所有赌徒都会输掉所有的彩票（即金钱）。相反，如果∧σ>2δ，方差会在较长时间内增大。这种情况类似于赢家通吃的行为【16】，其中渐近稳态是一个以零为中心的Dirac delta，但在任何时刻，数量不断减少的少数占卜者拥有大量的彩票，足以维持方差的增长。3赌博代理人行为在线赌博的非次要方面与赌徒的行为趋势有关。[25]中的数据分析特别关注赌博活动的两个特征：第一，同一赌徒连续下注之间的等待时间，定义为时间，以秒为单位；第二，个人赌徒玩的回合数。

对这第二个方面的研究可能会揭示赌博频率高背后的原因，因此也可能会有赌博引起的成瘾问题。在赌博日志所涵盖的时期内，对单个赌徒所玩的回合数进行了设置，这使得[25]的作者得出结论，回合数符合对数正态分布。这一结果与其他研究（参见[15]及其参考文献）一致，其中平均赌博频率与酒精消费密切相关。从这一开创性的贡献开始[14]，人们早就承认，人口中的酒精消费水平与社会中的酗酒者比例之间存在着正相关关系。这种关系有几个名称，如总消费模型或单一分配理论。此前的研究还发现，它的有效性不仅限于酒精消费，还扩展到不同的人类现象。在最近的一些论文[8，10]中，我们介绍了一些人类行为现象的动力学描述，最近也将其应用于酒精消费的研究[5]。[5]中的建模假设允许我们将酒精消耗量分布分类为广义伽马概率密度，其中包括对数正态分布作为一种特殊情况。回顾如上所述，酒精消费与赌博活动有很多相似之处，并从[5,10]中得到启发，我们可以详尽地解释与赌徒行为相关的两个主要现象。一方面，个人赌徒在单轮jackpot游戏中玩的彩票数量的分布（包括重新填充）。另一方面，个人赌徒在一段时间内玩的回合数的分布。

关于第二个方面，经验数据的拟合在【25】中进行了介绍和分析。相反，其中没有提及第一个方面。因此，在下文中，我们将主要关注赌徒在每一轮中使用的彩票数量的分配问题，这提供了Yk出现在（3）、（4）和Y出现在（16）中的规律。通过对这一问题的讨论，还可以对单个赌徒的回合数问题得出结论，因为这两个问题实际上都受到相同的微观规则的制约，参见下面的备注8。3.1动力学建模和价值函数赌徒为参加中奖游戏的失败回合而购买的彩票数量密度的演变仍然可以借助统计力学的原理来处理。具体而言，我们可以将赌徒群体视为一个多代理系统：每个赌徒都经历一系列微观互动，通过这些互动，他/她更新个人的彩票数量。为了保持与受欢迎气体的经典动力学理论的联系，这些相互作用遵循适当和普遍的规则，在没有明确物理定律的情况下，这些规则的设计是为了最多考虑一些与赌博相关的心理方面。由于游戏的性质，玩家知道输球的概率很高，赢的概率很小。因此，他们通常准备参加一连串的比赛，希望至少在其中一场比赛中获胜。参与游戏促使赌徒通过购买越来越多的门票来参与连续几轮，从而增加获胜的概率。

另一方面，试图保护个人财富的行为表明，他们对购买的门票数量有一个先验的上限。显然，这两个方面是典型人类行为的特征，最近在相似的情况下对其进行了建模【5、8、10】。在那里，微观相互作用的建立受到了卡尼曼和特沃斯基关于风险下决策过程的开创性分析的启发。在目前的情况下，上述保障趋势可以通过假设赌徒在每一轮中都有一个理想的购买票数w>0，同时还有一个阈值wL>w来建模，为了避免（极有可能）过度的金钱损失，他们最好不要超过该阈值。因此，赌徒在接下来的几轮中增加购买的票数w>0的自然趋势必须与极限值“wL”相结合，这是明智的，不要超过。在[8，10]之后，我们可能会通过via01实现赌徒更新- s11+s-uΨ(1 - s） 0ψ（1+s） 图1（44）中给出的函数ψ。以下规则：w=w- Ψw'wLw+wη。（43）在（43）、w、w中，分别列出上一轮和下一轮的门票数量。函数ψ在Kahneman和Twersky的前景理论中扮演着所谓的价值函数的角色【12】。具体而言，它以倾斜的方式确定票证数量的更新，以便再现上述行为方面。与[8]类似，weletψ（s）：=usα- 1sα+1，s≥ 0，（44），其中u，α∈ （0，1）是表征试剂行为的合适常数。具体而言，u表示单个交互中允许的票证数量的最大变化（43），实际上是|ψ（s）|≤ u s≥ 0

（45）因此，u的小值表示在每轮中购买固定数量门票的赌徒。（44）中给出的函数ψ保持了前景理论[12]中价值函数所需的大部分物理性质，特别适合当前情况。在微观相互作用（43）中，ψ前面的减号与这样一个事实有关，即当w<wL时，赌徒想要增加获胜概率的欲望促使他们增加购买的票数w。同时，保护个人财富的趋势促使赌徒在w>wL时减少购买门票的数量。此外，函数ψ表示-Ψ(1 - s） >ψ（1+s） ，则，s∈ （0，1），参见图1。这种不平等意味着，如果两个赌徒分别从下方和上方距离极限值WL相同，则从下方开始的赌徒将比从上方开始的赌徒更接近最优值WL。换句话说，对于一个赌徒来说，在没有超过最佳阈值的情况下，允许她/自己购买更多的彩票，比在已经超过最佳阈值的情况下限制她/自己要容易得多。最后，为了考虑到新一轮购票中人类的一定程度的不可预测性，有理由假设新的票数可能会受到随机波动的影响，用（43）中的术语wη表示。具体而言，η是一个中心随机变量，hηi=0，hηi=λ>0，这意味着平均而言，随机波动可以忽略不计。此外，为了与w的必要非负性一致，我们假设η>-1+u，即η的支撑从左侧开始。备注6。（43）所模拟的行为原则上只涉及输家，实际上也可能适用于唯一的赢家。

事实上，如果胜利者仍在比赛中，比赛的乐趣将占据主导地位，因此可以合理地想象，未来的行为将不会太多地取决于上一轮获得的门票数量。备注7。如【8】所述，可以修改函数（44），以更好地匹配所考虑的现象。例如，为了区分ψ的增长率和下降率，并强调赌徒难以对抗这种扭曲趋势，可以考虑以下修正值函数：ψ（s）=usα- 1νsα+1，s≥ 0，ν>1，因此边界（45）修改为-u ≤ ψ（s）≤uν< u.在这种情况下，违背自然趋势的可能性会降低。此外，如【5】所述，价值函数（44）的形状可以概括，以便更好地考虑可能的成瘾效应。这里考虑的一般值函数类由ψ（s）=ue（sδ）给出-1)/δ- 1e（sδ-1） /δ+1，s≥ 0，（46），其中δ∈ （0，1）是一个常数。这种选择会导致不同的倾斜稳态，以广义伽马密度的形式出现。备注8。所述讨论也适用于在固定时间段内单个赌徒玩的回合数的建模，这已在[25]中考虑过. 特别是，我们可以假设赌徒为了只花费一定的总金额而建立了一种先验，即只玩有限的次数。但是，正如单场比赛中发生的那样，停下来比继续下去更困难。规则（43）和值函数（44）可以很好地描述这一点，其中w表示该时间段内进行的回合数。现在让h=h（w，t）是阿甘布勒在某一轮头奖游戏中购买的彩票数量的分布函数。

正如本节开头所预期的，其时间演化可通过采用基于（43）的类动力学碰撞模型【16】获得。特别是，由于相互作用（43）仅取决于单个赌徒的行为，h服从线性Boltzmann型方程，形式为Ddtzr+Д（w）h（w，t）dw=τZR+hД（w）- Д（w）ih（w，t）dw，（47）cf.（11），其中常数τ>0测量相互作用频率，而Д是任何可观察的等式。由于基本相互作用（43）相对于w是非线性的，所以（47）中的唯一守恒量是从Д（w）=1：ddtZR+h（w，t）dw=0获得的，这意味着如果在初始时间t=0时，则（47）的解始终保持概率密度t>0。高阶矩的演化很难显式计算。作为一个代表性的例子，让我们以Д（w）=w为例，它提供了赌徒购买的彩票平均数量随时间的演变：m（t）：=ZR+wh（w，t）dw。自HW起- wi=uwα- \'wαLwα+\'wαLw，我们得到dmdt=uτZR+wα- \'wαLwα+\'wαLwh（w，t）dw。（48）该方程不是显式可解的。然而，考虑到（45），m在任何时间t>0时都保持有界，前提是它最初是有界的，有明确的上限，参见[10]，m（t）≤ meuτt，其中m：=m（0）。然而，从（48）中无法推断m的时间变化是否单调。现在取ν（w）=赢（47），并考虑H（w）- wi公司=Ψw'wL- 2Ψw'wL+ λw≤ （3u+λ）W由于（45）和0<u<1，我们可以看到，初始时间的能量有界性意味着任何后续时间t>0的能量有界性，显式上界为（t）≤ m2,0e3u+λτt，其中m2,0：=m（0）。3.2福克-普朗克描述和平衡线性动力学方程（47）适用于表征微观相互作用的参数α、u和λ的每一个选择（43）。