虚拟物品赌博的多重交互动力学建模

首先，损失惨重的赌徒不断被新加入游戏的赌徒所取代。第二，在反复亏损的情况下，赌徒通过提取个人财富储备，不断地重新注入可用于下注的资金。请注意，我们可以很容易地通过简单假设N个赌徒的数量在时间上保持不变来识别进入游戏的新赌徒和离开游戏的赌徒。考虑到这一非次要方面，我们将升级规则（1）修改如下：xk（t）=（1- )xk（t- 1) + βYk（t- 1) + (1 - δ） NXj=1xj（t- 1） I（A（t- 1) - k） ，（3）k=1，N、 In（3），β≥ 0是一个固定常数，用于确定门票的充值率。此外，Yk是非负的、独立的、同分布的随机变量，决定了补票的数量。与【25】一致，如第3节中详细解释的，可以合理假设随机变量yk为对数正态分布。升级规则（2）、（3）直接导致了一个Boltzmann型动力学模型，该模型描述了根据交互Xk=（1），独立和重复玩N人Jackpot游戏的赌徒群体密度f（x，t）的时间演化- )xk+βYk+(1 - δ） NXj=1xjI（A- k） ，k=1，2，N、 （4）如果∈ {1，…，N}是一个离散随机变量，lawP（a=k）=xkNPj=1xj，k=1，N、 在（4）中，数量xk表示第k个赌徒在游戏中投入的彩票数量，即金钱金额，而数量xk表示第k个赌徒在中奖彩票抽奖后拥有的新彩票数量。从微观相互作用（4）开始，可以借助动力学碰撞模型来研究分布函数f的时间演化【16】。具体而言，任何可观测量的演化，即。

可表示为微观状态x函数的任何量，由Boltzmann型方程Ddtzr+Д（x）f（x，t）dx=τNZRN+NXk=1hД（xk）给出- ν（xk）iNYj=1f（xj，t）dx··dxN，（5），其中τ表示弛豫时间，h·i是（4）中随机变量Yk，a分布的平均值。注意，（5）右侧的相互作用项考虑了整个赌徒集合，因此它取决于密度函数f（xj，t），j=1，…，的N乘积，N因此，f的演化服从一个高度非线性的Boltzmann型方程。备注1。在稀有气体的经典动力学理论中，二元碰撞积分依赖于一个非常数碰撞核，该核根据碰撞粒子的相对速度选择碰撞。相反，（5）中的相互作用积分有一个常数核，Chosen等于1，但不失一般性。用经典动力学理论的术语来说，这对应于考虑麦克斯韦相互作用。值得注意的是，在jackpot游戏的情况下，这一假设与被调查游戏的描述完全一致，因为人们可能会现实地认为不同赌徒玩的彩票数量是不相关的。选择Д（x）=1 in（5）yieldsddtZR+f（x，t）dx=0，意味着系统的总质量在时间上是守恒的。值得指出的是，事实上，这是（5）中唯一的守恒量。为了更好地了解f的时间演变以及场地切割的作用，我们首先考虑赌徒不重新售票的情况，这对应于β=0。在这种情况下，相互作用（4）在xk中是线性的，我们可以明确地计算赌徒拥有的票证平均数量m（t）：=ZR+xf（x，t）dx的时间演化。

实际上，因为*NXk=1xk+=（1- )NXk=1xk+(1 - δ） NXj=1xjNXk=1P（A=k）=（1- δ） NXk=1xk，（6）选择Д（x）=x in（5）我们得到Dmdt=-Δτm.（7）正如预期的那样，jackpot游戏中出现的百分比切割δ>0会导致平均票数的指数衰减为零，其速率与δτ.就分布函数f的高阶矩而言，由于Boltzmann型方程（5）的非线性，可能会以更复杂的计算为代价获得分析结果。通过计算，例如二阶矩，即系统的能量，可以明显看出这一令人不快的事实，这相当于选择Д（x）=xin（5）。在这种情况下，我们有：*NXk=1（xk）+=(1 - )+ 2.(1 - )(1 - δ)NXk=1xk+(1 - δ） NXk=1xk！。（8） 请注意PNk=1xk, 一旦根据分布函数的N积进行积分，就会产生对二阶矩和一阶矩平方的依赖关系，其衰减规律已在（7）中建立。现在很清楚，虽然给出了jackpot游戏演变的精确图片，但高度非线性的Boltzmann型方程（5）基本上只能用数值方法处理。2.2线性化模型在游戏中有大量N名参与者在场的情况下，会发生相当大的简化。在这种情况下，在t>0的任何时候，我们都有nxk=1xk=N·NNXk=1xk≈ 纳米（t）。（9） 实际上，如果N足够大，我们可以用全体潜在赌徒拥有的理论平均票数m来近似参与一轮游戏的赌徒的经验平均票数npnk=1xkof。因此，目前仍考虑β=0的情况，相互作用（4）可重新表述为xk=（1- )xk+N（1- δ） m（t）I（A- k） ，k=1，2，N、 （10）其中A∈ {1，…，N}是具有（近似）lawP（~A=k）的离散随机变量≈xkNm（t），k=1，N.评论2。

由于近似值（9），通常的性质P（~A=k）≤ 1和Pnk=1P（≈A=k）=1通常只在温和的意义上充满，但随着N的增长会变得更紧。我们避免精确地研究N的适当数量级，因为正如我们稍后将看到的那样，我们将主要对渐近区域N感兴趣→ ∞.在进一步研究之前，我们注意到，在最近的论文[3]中，考虑大量赌徒所导致的线性化是在经济背景下提出的。[22]中也使用了相同的近似类型，根据微观经济原理，将描述商品交换的Boltzmann型方程线性化。新交互规则（10）的主要结果是，每个交互后的票数xkd仅在交互前的票数xkd和（理论）平均票数m（t）上呈线性变化。将（10）插入（5）中，则得到一个线性玻耳兹曼型方程。特别是，可观测量的时间演化现在由ddtzr+Д（x）f（x，t）dx=τZR+hД（x）给出- ^1（x）如果（x，t）dx，（11），其中x=（1- )x+N（1- δ） m（t）I（(R)A- 1） （12）和随机变量A∈ {0，1}是这样的，p（(R)A=1）=xNm（t）。（13） 在实践中，由于不再需要给参加一轮jackpot游戏的单个赌徒贴上标签，我们只需使用“a”来决定随机选择的赌徒x是否在该轮中获胜（\'a=1）或不获胜（\'a=0）。方程（11）允许对分布函数f的统计矩进行简化和显式计算。特别是，它给出了第一时刻likein（7）的正确演变。然而，我们注意到，简化的交互规则（12）-（13）有两个主要缺点。

首先，由于平均值m（t）遵循（7）给出的衰减，因此它在时间上特别是非常数，因此相互作用（12）具有明显的时间依赖性。第二，如果与N（数字）无关单场比赛中的N张门票往往会使asN增加。此时，动力学模型不再代表目标jackpot游戏。因此，在保持基本线性特征的同时，使模型易于分析研究，必须将每轮中的大量赌徒与同时较小的. 事实上，假设产品N、 其特征是每场比赛的门票数量百分比，对于everyN来说仍然是确定的 1和  1、我们通过以下方式表达这一假设： ~ κN-1，其中κ>0是一个常数，因此limn→∞N=κ。（14） 备注3。请注意，线性模型（11）中平均值m的衰减率，正如已经观察到的，等于（7）给出的非线性模型的衰减率，对于 当且仅当τ~ . 因此，为了保持, N在线性化模型中，在不损失一般性的情况下，我们假设τ=.我们现在准备将赌徒利用其个人财富储备运营的资金注入动态中。

假设一个非常大的数字N 1对于赌徒，加上（14）以及备注3，充满的jackpot游戏可以用线性动力学方程DDTZR+Д（x）f（x，t）dx很好地描述=ZR+hД（x）- 如果（x，t）Φ（y）dx dy，（15），其中x=（1）- )x+βY+κ（1- δ） m（t）I（(R)A- 1） ，（16）带“A”∈ {0，1}并且，回顾（13），P（\'A=1）=xκm（t）。在（15）中，我们用Φ：R表示+→ R+随机变量的概率密度函数，用于描述赌徒的充值或资金。受下一节第3节讨论的启发，我们假设Φ是对数正态概率密度函数。这与[25]中观察到的赌徒行为一致，并确保Y的时刻都是有限的。特别是：M：=ZR+yΦ（y）dy<+∞. （17） 取（15）中的φ（x）=x，我们得到赌徒拥有的彩票平均数量现在服从方程式Dmdt=-δm+βm，其中m（t）=me-δt+βMδ1.- e-δt（18） m：=m（0）≥ 值得注意的是，m不依赖于. 此外，在存在回填的情况下，从上到下的时间差一致有界：minm、 βmδ≤ m（t）≤ 最大值m、 βmδ.注意，对于β，M>0，票证的平均数量M不再衰减为零，而是趋向于βMδ的值。现在选择Д（x）=e-iξx，其中ξ∈ R和i是虚单位，我们得到了动力学方程（15）的Fourier变换版本：t^f（ξ，t）=ZR+De-iξx- e-iξxEf（x，t）Φ（y）dx dy，（19），其中，通常，^f表示分布函数f的傅里叶变换：^f（ξ，t）：=ZR+f（x，t）e-iξxdx。考虑到（13），（19）的右侧可以写为两个贡献的总和：（ξ，t）=锆+e-我βξy- 1.“ZR+e-iξ[（1-)x+κ（1-δ） m（t）]xκm（t）f（x，t）dx+ZR+e-i（1-)ξx1.-xκm（t）f（x，t）dx#Φ（y）dy，and b（ξ，t）=锆+e-iξ[（1-)x+κ（1-δ） m（t）]- e-iξxxκm（t）f（x，t）dx+锆+e-i（1-)ξx- e-iξx1.-xκm（t）f（x，t）dx。在极限内 → 0+，即。

N→ ∞, 我们获得LIM→0+A（ξ，t）=-iβMξ^f（ξ，t）lim→0+B（ξ，t）=iκm（t）e-iκm（t）（1-δ)ξ- 1.- ξξ^f（ξ，t），这表明，对于N 在区域（14）中，非线性动力学模型（5）的标度τ= （参见备注3）由傅里叶变换的线性方程很好地近似t^f=iκm（t）e-iκm（t）（1-δ)ξ- 1.- ξξ^f-iβMξ^f.（20）在回顾关系mn（t）：=ZR+xnf（x，t）dx=in时，该方程可用于递归计算统计动量f的时间演化nξ^f（0，t），n∈ N、 （21）为了检查它们在f.2.3显式稳态和动量有界中可能形成肥尾的爆炸，为了获得物理变量x中（20）的进一步信息，让我们首先考虑常数κ很小的情况，例如κ 将泰勒级数（20）中出现的指数函数展开到二阶，我们得到iκm（t）e-iκm（t）（1-δ)ξ- 1.- ξξ^f≈-δξ -iκm（t）（1- δ)ξξ^f.（22）在这种近似下，我们可以通过逆Forier变换从（20）返回到物理变量x。特别是tf（x，t）=κ（1- δ） m（t）x（xf（x，t））+x个（δx- βM）f（x，t）, （23）这是一个具有可变扩散系数的福克-普朗克型方程。请注意，（23）的解的平均值与（18）一致。特别是，如果m=βmδ，则平均值在时间上保持不变：m（t）≡βMδt>0。在这个简单的例子中，（23）有一个固定的解，比如f∞= f∞（x） ，这很容易通过求解微分方程κ（1）找到- δ） ·βMδx（xf∞) + （δx- βM）f∞= 结果是伽马概率密度函数：f∞（十）=2δκ(1-δ） βM2δκ(1-δ)Γ2δκ(1-δ)x2δκ（1-δ)-1e级-2δκ(1-δ） βMx。（24）自f起∞如果矩有任意阶的界，我们得出结论，在这种情况下不会产生胖尾。在一般情况下，即。

在不调用近似值（22）的情况下，我们可以通过使用以下参数来检查是否出现了相等的渐近趋势。让我们定义（ξ，t）：=iκm（t）e-iκm（t）（1-δ)ξ- 1.- (1 - δ） ξ，因此（20）可以重写为t^f=D（ξ，t）ξ^f-δξξ^f-iβMξ^f.（25）函数D（ξ，t）满足（0，t）=ξD（0，t）=0，而对于n≥ 2.nξD（0，t）=（iκm（t））n-1(1 - δ） n，而且，由于莱布尼兹法则，nξD（ξ，t）ξ^f（ξ，t）ξ=0=nXk=2nk公司kξD（0，t）n-k+1ξ^f（0，t）。（26）注意，（26）右侧出现的^f的最高阶导数为n阶-因此，取（25）的nξ-导数，计算ξ=0，同时回忆（21），得出n≥ 2，dmndt=-nδmn+E（m，…，mn-1） ，（27）式中，E是一个仅包含阶矩的项，最大等于n-E的精确表达式可以从（21）-（26）中获得，但在任何情况下，（27）递归地表明，如果f的任何阶统计量在初始时间有界，则它们在时间上是一致有界的。因此，我们得出结论，在（20）所述的一般情况下，脂肪尾巴也不会形成。备注4。实际上，只有在极限状态下，线性化动力学模型（11）-（12）才证明了f的所有矩的一致有界性 → 0+，即。N→ ∞. 然而，如此获得的结果表明，由高度非线性的Boltzmann型方程（5）描述的“真实”动力学模型也可能以同样的方式表现。这与[25]中得出的结论相反，在[25]中，作者借助一些简化模型证明了赌徒赢款分布中幂律尾的形成。值得注意的是，方程式（20）是在大量赌徒参与一轮jackpot游戏的限制下获得的，它保持了游戏的所有基本特征。

特别是，它保留了一个事实，即每一轮只有一名胜利者。这使得赌徒的赢款之间存在着很强的相关性，这显然也在极限之内。这些特征与文献[1]中描述的情况非常接近，在文献[1]中，发现了两个参与者之间纯赌博模型的显式稳态。具体来说，如果在每一轮中都有一个赢家和一个输家，那么可以证明稳态拥有所有的动量基础。相反，如果两个赌徒可能在一轮中同时赢或输，那么权力法则就处于平衡状态。2.4幂律尾部是否正确？正如brie Fly在备注4中所述，jackpot游戏的线性化动力学模型的解决方案不具有肥尾。为了研究【25】中明显观察到的肥尾背后的可能原因，下面我们引入了一个Jackpot博弈的替代线性动力学模型，该模型仍然来自微观相互作用（4），其平衡密度显示出指数幂律型肥尾。这个新模型可以通过求助于（5）的不同线性化来获得。然而，正如在下一节第4节中通过数值实验观察到的，这种线性化方程虽然显然非常接近原始非线性模型，但与（20）中描述的趋势相比，产生了很大的时间差异。让我们在（4）中fixβ=0，并假设在不损失一般性的情况下，提取的Winneries是赌徒k=1。然后：x=（1- )x+(1 - δ） NXj=1xjxk=（1- )xk，k=2，3，N、 这意味着（参见。

还有（8））：NXk=1（xk）=（1- )NXk=1xk+2(1 - )(1 - δ） xNXk=1xk+(1 - δ） NXk=1xk！。考虑到平均值的表达式（6），我们得到nnpk=1（xk）NPk=1xk=(1 - )(1 - δ） NNPk=1xkNPk=1xk+ N(1 - δ） +2N(1 - )(1 - δ） xNPk=1xk≈NNPk=1xkNPk=1xk对于N 1大，因此，  1个小型。实际上，xNPk=1xk=NxNNPk=1xk≈xNm（t）N→∞----→ 换句话说，对于大量的N个赌徒和相应的一小部分人来说 在单场比赛中，关系式（14）表示数量χ：=NNPk=1xkNPk=1xk（28）可近似视为相互作用（4）的碰撞不变量。SinceNXk=1xk！≤ NNXk=1xk，遵循χ≥ 请注意，此结果并不取决于jackpot游戏每轮中的获胜者的选择。使用（8）中的（14）和（28），在这个渐近近似中，我们得到：*NXk=1（xk）+=(1 - )+ 2.(1 - )(1 - δ)NXk=1xk+(1 - δ） κχNXk=1xk=(1 - δ)+ (1 - δ)κχ- NXk=1xk，（29）从何处，选择Д（x）=xin（5），dmdt=(1 - δ)κχ- 2.- (1 - 2δ)m、 （30）该方程表明，比值κ/χ对于分类分布f的能量的大时间趋势至关重要，因此也是f本身。事实上，系数的符号（κ，χ，) := (1 - δ)κχ- 2.- (1 - 2δ）确定f是否在时间上渐近收敛到以x=0为中心的狄拉克δ（当（κ，χ，) < 0）或者如果它扩散到整个正实线上（当c（κ，χ，) > 0).这一讨论提出了一种一致的方法来消除相互作用中的时间依赖性（12），同时保留jackpot游戏的主要宏观属性，如平均值的正确时间演化，参见（7）和能量的正确时间演化，参见（30）。具体而言，我们的工作如下。对于所有可观测量Д=Д（x），我们考虑线性动力学模型（11），具有以下线性相互作用规则：x=（1- δ） x个+√xη, （31）其中 > 0