样本选择的边际处理效应的锐界

在假设1-6、7（子案例1、2、3（a）或3（b））和8下，边界OOY公司*和OOY公司*, 由推论11给出，是逐点尖锐的，即对于任何u∈ [0，1]，x∈ X和δ（X，u）∈OOY公司*（x，u），OOY公司*（x，u）, 存在随机变量Y*,Y*,U，▄V因此OO▄Y*（x，u）：=EhY*-Y*X=X，~U=U，~S=1，~S=1i=δ（X，U），（15）PhY*,Y*,~V∈ Y*×Y*× [0, 1]对于任何U，X=X，~U=ui=1∈ [0，1]，（16）和f▄Y，▄D，▄S，Z，X（Y，D，S，Z，X）=FY，D，S，Z，X（Y，D，S，Z，X）（17）表示任何（Y，D，S，Z）∈ R、 式中▄D：=1nP（X，Z）≥Uo，~S=1nQ（0，X）≥Vo，~S=nQ（1，X）≥Vo，Y=S·Y*,Y=▄S·▄Y*和▄Y=▄D·▄Y+1.-D·是的。本文和其余部分使用的逐点锐度定义遵循了Canay&Shaikh（2017，备注2.1）给出的锐度定义。此外，请注意，如果函数mY、mY、mSand只有在单位区间的子集中才能识别点，那么逐点锐度仅在该子集中有效。证据这里，我提供了定理12证明的一个草图。附录A.4包含其详细版本。确定候选随机变量Y*,Y*,U，▄V通过其联合累积分布函数FY*,Y*,~U、~V、Z、x，然后检查等式（15）、（16）和（17）是否满足要求。直观地说，我将该联合概率函数定义为等于FY*,Y*,U、 V，Z，xat每个点，但点▄U=▄U。通过这样做，我确保方程（17）成立，因为▄U=▄U与质量零集相关联。

一、 然后，定义函数FY*,Y*,~U、~V、Z、Xat ~U=~U确保方程式（15）和（16）成立。直觉上，定理12说，对于任何δ（x，u）∈OOY公司*（x，u），OOY公司*（x，u）, 有可能创建候选随机变量Y*,Y*,U，▄V生成候选边缘处理效应δ（x，u）（方程式（15）），满足有界支撑条件-由我的模型施加的限制（假设7）并总结在方程式（16）中-并生成相同的可观测变量分布-由数据施加的限制并总结在方程式（17）中。换句话说，第2节中的数据和模型没有产生足够的限制来反驳真实的目标参数OOY公司*（x，u）等于候选目标参数δ（x，u）。此外，有界支持条件（假设7）对于目标参数的界的存在是部分必要的OOY公司*（x，u）。当支架在两个方向上无边界时（即y*= -∞ 和y*= +∞), 那么就不可能推导出目标参数的边界OOY公司*（x，u）无任何额外假设。第13条提案将最后一条陈述形式化。命题13假设函数mY、mY、mSand每对（x，u）的Sare点识别∈ X×[0，1]。施加假设1-6和8。

如果Y*= R、 那么，对于安宇来说∈ [0，1]，x∈ X和δ（X，u）∈ R、 存在随机变量Y*,Y*,U，▄V因此OO▄Y*（x，u）：=EhY*-Y*X=X，~U=U，~S=1，~S=1i=δ（X，U），（18）PhY*,Y*,~V∈ Y*×Y*× [0, 1]对于任何U，X=X，~U=ui=1∈ 【0，1】，（19）附录A.5包含了这一命题的证明，其直觉与OREM 12提供的直觉相似。andF▄Y、▄D、▄S、Z、X（Y、D、S、Z、X）=FY、D、S、Z、X（Y、D、S、Z、X）（20）表示任何（Y、D、S、Z）∈ R、 式中▄D：=1nP（X，Z）≥Uo，~S=1nQ（0，X）≥Vo，~S=nQ（1，X）≥Vo，Y=S·Y*,Y=▄S·▄Y*和▄Y=▄D·▄Y+1.-D·Y。换句话说，当潜在结果的支持是整个实线时，第2节中的数据和模型不会产生足够的限制来反驳真实的targetparameterOOY公司*（x，u）等于大小上任意大的影响。鉴于之前关于样本选择对治疗效果的部分识别的文献，这个不可能的结果很有趣。在IT太（Lee（2009））和LAT EOO（Chen&Flores（2015））的情况下，即使潜在结果的支持是整个实线，也有可能构建信息边界。然而，当关注主题的特定点时，当Y*= R由于目标参数的局部性质。关于我刚刚得出的结果，有一点值得注意。定理12和命题13没有对（Y）的联合分布施加任何光滑条件*, Y*, U、 V、Z、X）。特别是条件累积分布函数FV | X，U，FY*|十、 U，Vand FY*|十、 U，Vare允许是U在点U处的不连续函数。

附录G陈述并证明了当FV | X，U，FY时类似于定理12的锐度结果和类似于命题13的不可能结果*|十、 U，Vand FY*|十、 U，v必须是U.3.2部分识别的连续函数，具有额外的平均优势假设。在这里，我使用平均优势假设9来收紧targetparameter的界限OOY公司*（方程式（3））由推论11给出。注意，假设9意味着NOY（x，u）≤mY（x，u）mS（x，u）≤ E【Y】*|X=X，U=U，S=1，S=1]，通过方程式（A.4）和（A.5）。因此，通过遵循推论11证明的相同步骤，我可以得出：推论14修复u∈ [0，1]和x∈ 任意X。假设mY（x，u）、mY（x，u）、mS（x，u）和S（x，u）是在假设1-6、7.1、8和9下确定的点，OOY公司*（x，u）必须满足OOY公司*（x，u）≥mY（x，u）mS（x，u）-我的（x，u）毫秒（x，u）=：OOY公司*（x，u）（21）和OOY公司*（x，u）≤mY（x，u）- y*· S（x，u）mS（x，u）-我的（x，u）毫秒（x，u）=：OOY公司*（x，u）。（22）在假设1-6、7.2、8和9下，OOY公司*（x，u）必须满足OOY公司*（x，u）≥mY（x，u）mS（x，u）-我的（x，u）毫秒（x，u）=：OOY公司*（x，u）（23）和OOY公司*（x，u）≤ y*-我的（x，u）毫秒（x，u）=：OOY公司*（x，u）。（24）根据假设1-6、7.3（子案例（a）或（b））、8和9，OOY公司*（x，u）必须满足OOY公司*（x，u）≥mY（x，u）mS（x，u）-我的（x，u）毫秒（x，u）=：OOY公司*（x，u）（25）和OOY公司*（x，u）≤ 最小值（mY（x，u）- y*· S（x，u）mS（x，u），y*)-我的（x，u）毫秒（x，u）=：OOY公司*（x，u）。（26）Y时*= R和假设1-6、8和9成立，OOY公司*（x，u）必须满足OOY公司*（x，u）≥mY（x，u）mS（x，u）-我的（x，u）毫秒（x，u）=：OOY公司*（x，u）（27）和OOY公司*（x，u）≤ ∞ =:OOY公司*（x，u）。

（28）注意，在平均优势假设9下，我可以在假设7下增加推论11中提出的下界，并提供一个信息性的下界，即使当兴趣结果的支持是整个实线时，这一结果与命题13形成鲜明对比。这些改进清楚地表明了平均优势假设9的识别能力。此外，如Tamer（2010）和Kline&Tartari（2016）所述，通过施加额外假设获得更多信息边界的现象在部分识别文献中很常见。如第3.1小节所述，我假设mY（x，u）、mY（x，u）、mS（x，u）、mS（x，u）和S（x，u）为点识别，将其识别的讨论推迟到第4节和第5节。现在，利用上述推论，我可以将第3.1小节的尖锐性和不可能性结果结合在一个命题中：命题15假设函数mY，mY，mS，mSand在每对（x，u）上识别Sare点∈ X×[0，1]。在假设1-6、8和9下，边界OOY公司*和OOY公司*, 由推论14给出，是逐点尖锐的，即对于任何u∈ [0，1]，x∈ X和δ（X，u）∈OOY公司*（x，u），OOY公司*（x，u）, 存在随机变量Y*,Y*,U，▄V因此OO▄Y*（x，u）：=EhY*-Y*X=X，~U=U，~S=1，~S=1i=δ（X，U），（29）PhY*,Y*,~V∈ Y*×Y*× [0, 1]对于任何U，X=X，~U=ui=1∈ [0，1]，（30）EhY*X=X，~U=U，~S=1，~S=1i≥ EhY*X=X，~U=U，~S=0，~S=1i，（31）和fY，~D，~S，Z，X（Y，D，S，Z，X）=FY，D，S，Z，X（Y，D，S，Z，X）（32），对于任何（Y，D，S，Z）∈ R、 式中▄D：=1nP（X，Z）≥Uo，~S=1nQ（0，X）≥Vo，~S=nQ（1，X）≥Vo，Y=S·Y*,Y=▄S·▄Y*和▄Y=▄D·▄Y+1.-D·~Y.注意，除了定理12施加的所有限制外，候选随机变量Y*,Y*,U，▄V还必须满足与平均优势假设9相关的额外模型限制（方程式（31））。

直观地说，命题15指出，附录A.6讨论了推论14何时提供的界限比推论11提供的界限更严格。附录A.7包含了这一命题的证明，其直觉与第12章提供的直觉相似。唯一的区别是，现在，函数FY*,Y*,~U、~V、Z、Xat ~U=~U也必须满足方程式（31）。（方程式（32））和模型（方程式（30）和（31））没有产生足够的限制来反驳真实目标参数OOY公司*（x，u）等于候选目标参数δ（x，u）（等式（29））。3.3 MTEOOof利息界限的经验相关性现在，值得讨论部分确定MTEOOof利息的经验相关性。首先，M T EOOcan的界限说明了治疗效果的异质性，使研究人员能够了解谁会受益，谁会输给特定的治疗。这一点很重要，因为公共参数（例如，AT EOO、AT TOO、AT UOO、LAT EOO）可以是正的，即使大多数人在少数人有很大收益的情况下失去了策略。此外，即使部分了解MT EOOFunctions，也有助于优化设计政策，鼓励代理接受某种治疗。其次，我可以使用MT EOObounds部分识别任何被描述为加权积分的治疗效果OOY公司*（x，u）因为OOY公司*（x，u）· ω（x，u）du≤ZOOY公司*（x，u）·ω（x，u）du≤ZOOY公司*（x，u）· ω（x，u）du，（33），其中ω（x，·）是已知或可识别的加权函数。尽管这种界限对于任何特定参数都可能不明确，但它们是许多经验问题的通用且有效的解决方案。

由于这种权衡，如果应用研究人员对已经有特定基础的参数感兴趣，我建议他们使用专门的工具（例如，it TOOby Lee（2009）和LAT Eoby Chen&Flores（2015））。然而，我建议应用研究人员，如果他或她对没有专门界限的参数感兴趣（例如，在符合性不完全的情况下，ATE、ATT和ATU），可以轻松地计算出感兴趣的MTE的逐点锐界加权积分。换言之，面对经验灵活性和清晰度之间的权衡，本文提出的部分识别工具侧重于经验灵活性，同时仍然确保感兴趣的MTE边界的逐点清晰度。表1和表2显示了一些治疗效果参数，这些参数可以通过不平等部分识别（33）。Heckman等人（2006年，表1A和1B）和Mogstad等人（2018年，表1）给出了更多的例子。表1:EOO=E【Y】时作为边缘处理效果加权积分的处理效果*- Y*|S=1，S=1]=ROOY公司*（u） duAT太=E[Y*- Y*|D=1，S=1，S=1]=ROOY公司*（u） ·ωAT T（u）duAT UOO=E[Y*- Y*|D=0，S=1，S=1]=ROOY公司*（u） ·u（u）duLAT EOO（u，u）=E[Y时的ω*- Y*|U∈ 【u，u】，S=1，S=1】=ROOY公司*（u） ·ωLAT E（u）duSource：Heckman et al.（2006）和Mogstad et al.（2018）。注：为简洁起见，此表中对X的条件保持隐式。表2：T（x，u）=RufP（W）| x（p | x）dpE[p（W）| x=x]ω，u（x，u）==RufP（W）| x（p | x）dp1- E[P（W）| X=X]ωLAT E（X，u）=1{u∈ [u，u]}u- uSource：Heckman等人（2006年）和Mogstadet等人（2018年）。4当倾向性得分的支持度为一个区间时的部分识别，I fix x∈ X并施加倾向得分的支持度，由px定义：={P（X，z）：z∈ Z} ，是一个间隔。

然后，在假设1-5下，MTR函数Pxas可以通过连续工具Z或独立协变量的存在来实现（Carneiro et al.2011）。与任何变量A关联∈ {Y，S}是由以下等式确定的点：mA（x，p）=E[A | x=x，p（W）=p，D=0]-E[A | X=X，P（W）=P，D=0]p·（1）- p） ，（34）和Ma（x，p）=E[A | x=x，p（W）=p，D=1]+E[A | X=X，P（W）=P，D=1]p·p（35）表示任何p∈ 二甲苯。最后，给出了OOY公司*（x，p）是通过组合方程式（34）和（35）确定的点，事实上S（x，p）=mS（x，p）- mS（x，p）和推论11或14.5部分识别当倾向性得分的支持度是离散的时当倾向性得分的支持度不是区间时，我无法点识别mY（x，u）、mY（x，u）、mS（x，u）、mS（x，u）、mS（x，u）和S（x，u）没有额外的假设，这意味着我无法确定OOY公司*（x，u）由推论11或14给出。对于这种缺乏识别的情况，有两种解决方案：我可以非参数地绑定这四个对象（Mogstad et al.（2018）），或者我可以施加灵活的参数假设（Brinch et al.（2017）），以点识别它们。虽然第一种方法在第5.1小节中进行了讨论，但第二种方法在第5.2.5.1小节中详细介绍了任何u∈ [0，1]和x∈ X，我可以绑定mS（X，u），mS（X，u），S（x，u）、mY（x，u）、mY（x，u）和Y（x，u），使用Mogstad et al.（2018）提出的机械。为此，fix A∈ {S，Y}和d∈ {0，1}并定义一对函数mA：=妈，妈和容许MTR函数集MA3 mA。

例如，在二元函数的情况下，附录a.8包含了基于Heckman&Vytlacil（2005）描述的局部辅助变量（LIV）方法对该主张的证明。容许集为MA=[0，1]X×[0,1]×[0，1]X×[0,1]，对于选择指示符，该集将进一步受到假设8 toMA=n的限制妈，妈∈ [0，1]X×[0,1]×[0，1]X×[0,1]：mA（X，u）≥ mA（x，u） （x，u）∈ X×[0，1]o。此外，定义函数Γ*A： 文学硕士→ R组件：Γ*A.mA= ~mA（x，u）- mA（x，u），观察Γ*A.妈妈= A（x，u）。此外，定义GAto为已知可测函数gA的集合：{0，1}×Z→ R的第二个时刻是有限的。对于每个IV类规格gA∈ GA，还定义βGA：=E[GA（D，Z）A | X=X]。根据toMogstad等人（2018年，命题1），函数ΓgA:MA→ R、 定义为ΓgAmA= EZmA（X，u）·gA（0，Z）·1{p（W）<u}duX=X+ EZ▄mA（X，u）·gA（1，Z）·1{p（W）≥ u} 杜邦X=X,satis fiesΓgA妈妈= βgA.因此，mAmust位于容许函数集mgao中，该函数满足通过IV类规范的数据施加的限制，其中：MGA：=mA∈ MA：ΓgAmA= 所有gA的βgA∈ 乔治亚州.假设MAis凸面和MGA6= 对于每个A∈ {S，Y}，Mogstad等人（2018年，命题2）表明：inf▄mA∈MGAΓ*A.mA=:A（x，u）≤ A（x，u）≤ A（x，u）：=辅助mA∈MGAΓ*A.mA.（36）根据这一结果，我还可以定义MTR函数的界限，如下所示：mA（x，u），mA（x，u）:= 精氨酸mA∈MGAΓ*A.mA和mA（x，u），mA（x，u）:= argsupmA∈MGAΓ*A.mA,其中mad（x，u）≤ mAd（x，u）≤ mAd（x，u）表示任何d∈ {0, 1} . （37）因此，我可以结合推论11和14以及不等式（36）和（37）来提供一个非参数识别的外部集合OOY公司*（x，u），其中包含truetarget参数OOY公司*（x，u）按构造。

然而，mS（x，u），mS（x，u）的非参数部分识别成本，S（x，u）、mY（x，u）、mY（x，u）和Y（x，u）正在失去目标参数周围边界的逐点锐度OOY公司*（x，u）。5.2 MTEOOBounds的参数识别第5.1小节中解释的完全非参数方法可提供无信息的外部集（例如，等于y*- y*或y*- y*当潜在结果的支持有界时）。在这种情况下，边际治疗反应函数的参数假设可能会购买大量识别能力。虽然原则上有限制，但参数假设可能足够灵活，可以为OOY公司*（x，u），如Brinch et al.（2017）所示。I fix x公司∈ 假设倾向得分P（X，Z）的支持度是离散的，对于某些N，由Px={Px，1，…，Px，N}给出∈ N、 我可以通过假设与Y和S相关的MTR函数是U的多项式函数，直接应用Brinch et al.（2017）提出的识别策略。然而，对于二元变量，如选择指标S，这种假设是有问题的。因此，我对Brinch et al.（2017）创建的程序进行了一点修改：对于d∈ {0，1}和A∈ {Y，S}，mtr函数由mad（x，u）=MA给出u、 θAx，d（38）对于任何u∈ [0，1]，其中ΘAx R2Lis一组可行参数，L∈ {1，…，N}是每个治疗组d的参数数量，θAx，0，θAx，1∈ Θ轴是伪真未知参数的向量，MA：[0，1]×R2L→ R是一个已知函数。例如，在二进制变量的情况下，合理选择MAis是Bernstein多项式文科硕士u、 θAx，d=PL公司-1l=0θAx，d，l·L-1升· ul·（1- u） L-1.-l可行集ΘAx=[0，1]2L。在选择指标的情况下，可行集将进一步受到假设8到ΘAx=n的限制θAx，0，￠θAx，1∈ [0，1]2L：￠θAx，1≥θAx，0o。