样本选择的边际处理效应的锐界

我强调，Bernstein多项式模型与Brinch et al.（2017）提出的简单多项式模型之间的唯一区别在于，更容易对前一个模型施加可行性限制。回到方程（38）给出的参数模型，我定义了参数θAx，0，θAx，1aspseudo真参数，即方程（38）中的参数模型是通过任意D的矩E[A | X=X，P（W）=pn，D=D]近似于真实数据生成过程∈ {0，1}和n∈ {1，…，N}。正式地，我定义θAx，0，θAx，1:= argminθAx，0，￠θAx，1∈ΘAxNXn=1E[A | X=X，P（W）=pn，D=0]-RpnMAu、 θAx，0du1- pn编号+E[A | X=X，P（W）=pn，D=1]-RpnMAu、 θAx，1dupn公司.（39）注意，要估计参数θAx，0，θAx，1, 我可以简单地使用公式（39）的样本模拟，也就是说，我只需要估计一个约束OLS回归，其约束由集合ΘAx给出。如果通过一组可行参数Θax施加的模型限制有效且L=N，那么我的参数模型将崩溃为Brinch et al.（2017）提出的模型，并且我发现，对于任何pn∈ Px，E【A | X=X，P（W）=pn，D=0】=RpnMAu、 θAx，0du1- pn（40）E【A | X=X，P（W）=pn，D=1】=RpnMAu、 θAx，1杜邦。（41）然后我可以将推论11和14以及方程式（38）和（39）组合到界OOY公司*（x，u）。附录A.9包含该索赔的证明。6实证应用：职业团体培训计划我重点分析职业团体培训计划（JCTP）对总就业人口（M T EOO）工资的边际待遇效应。该计划为16至24岁的美国合法居民以及来自低收入家庭的个人提供免费教育和职业培训（Schochet et al.（2001）和Lee（2009））。

除了接受教育和职业培训外，受训人员还住在就业服务中心，提供膳食和少量现金补贴。20世纪90年代中期，美国劳工部聘请Mathematica Policy Research，Inc.通过随机实验评估JCTP。根据Chen&Flores（2015），1994年11月至1995年12月期间首次申请JCTP的合格人员（80833名申请人）被随机分为治疗组和对照组。对照组（5977人）被禁止参加该计划3年，而治疗组（74856人）被允许参加JC。然而，在这项随机对照试验中，存在不依从性（选择治疗），因为治疗组中的一些个体决定不参加该计划，而对照组中的一些个体即使被正式禁止也能够参加JCTP。为了评估JCTP，我首先描述了数据集，提供了汇总统计数据，最重要的是，使用Machado等人（2018）阐述的测试，正式测试了以下假设：潜在治疗状态在工具上是单调的（方程（1）），潜在就业（样本选择状态）在治疗上是正单调的（假设8）。然后，我使用Brinchet al.（2017）开发的参数化工具估计并讨论了边际待遇反应以及对就业和劳动收入的影响。

最后，我估计并讨论了平均优势假设（假设9）下无和平均优势假设下的月工资的界限，根据推论11和14.6.1描述性统计和单调性假设，可公开获得的国家就业服务队研究（NJCS）样本包含15386名个体，全部为5977名对照组个体和9409名随机选择的治疗组个体。所有受试者均在随机分配后12、30和48个月接受了访谈。继Lee（2009）之后，随机分组后，我只保留每周收入和每周工作小时数未缺失的个体（9145）。继Chen&Flores（2015）之后，我的工具（Z）是随机治疗分配，而我的治疗假人（D）是一个指标变量，如果个体在随机分配后208周内一直参加JCTP，则该指标变量等于1。由于该变量有51个缺失值，最终样本量为9094个观察值。该数据集包含有关人口协变量（性别、年龄、种族、婚姻、子女数量、受教育年限、犯罪行为、个人收入）以及治疗前后劳动力市场结果（就业和收入）的信息。继Chen&Flores（2015）之后，第208周的小时工资是通过将周收入除以该周的周工作小时数来创建的，这意味着缺失的工资等于零周工作小时数。当工资缺失时，我认为该人失业（S=0），当工资未缺失时，我认为该人就业（S=1）。与Lee（2009）和Chen&Flores（2015）不同，他们使用对数小时工资作为主要结果变量，我的利益结果（Y*) 是小时工资水平，因为假设7.1要求支持Y*有一个下限。

因此，可观察结果Y被定义为小时劳动收入。最后，我在实证分析中使用了NJCS设计权重，因为一些亚群是随机的，具有不同但已知的概率（Schochet et al.（2001））。考虑到Flores Lagunes等人（2010）的研究结果，他们专注于解释西班牙裔亚群体对就业和劳动收入的负面但不显著的影响，我分别分析了NJCS样本中的两个子样本：非西班牙裔亚样本和西班牙裔亚样本。表3显示了两个子样本的描述性统计数据。请注意，正如预期的那样，在随机治疗分配确定的各组之间，平均而言，治疗前协变量非常相似。因此，两个子样本都保持了基线变量的平衡。然而，当比较非西班牙裔和西班牙裔时，我发现女性、从未结婚、有孩子、曾经被捕、有基线工作和有工作等变量在数字上存在微小差异。表3：所选基线变量的汇总统计非西班牙裔样本西班牙裔样本Z=1 Z=0差异。

Z=1 Z=0差异。女的443 .454 -.011 .502 .473 .030（.011）（.025）基线年龄18.436 18.342。095* 18.438 18.398 .040（.049）（.109）白色。318 .318 .000——（.011）黑色。595 .592 .002——（.011）从未结婚。926 .924 .002 .875 .874 .001（.006）（.017）有孩子。186 .190 -.004 .201 .206 -.004（.009）（.020）受教育年限10.137 10.115。022 10.022 10.057 -.034（.036）（.084）曾被捕。255 .257 -.002 .216 .211 .005（.010）（.021）个人有限公司：<3000。787 .788 -.001 .789 .794 -.005（.010）（.022）在基线处有作业。204 .188 .016* .170 .211 -.041**（.009）（.020）基线前一年：有工作。642 .627 .015 .601 .630 -.029（.011）（.025）个月就业3.652 3.513。140 3.344 3.616 -.272（.098）（.214）收益2899.41 2795.62 103.79 2956.38 2885.47 70.91（103.81）（477.08）观察4554 2977总计：7531 942 621总计：1563注：Z表示随机治疗分配。括号中为稳健的标准错误。***、**和*表示差异分别在1%、5%和10%的水平上具有统计学意义。估算使用设计权重。表4显示了非西班牙裔和西班牙裔子样本的初步影响。第一行显示，许多人没有遵守他们的治疗任务。正如任何自愿治疗所预期的那样，大部分个体（两个亚样本约30%）决定不接受治疗，即使他们被分配到治疗组。也有一些人（非西班牙裔占5%，西班牙裔占3%）参加了JCTP，尽管他们被禁止参加。此外，两个子样本的工具（治疗分配）显然都很强大，这表明假设2在这种情况下是合理的。在分析治疗效果时，与之前的文献类似（例如，Schochet et al.（2008），Flores Lagunes et al。

（2010）和Chen&Flores（2015）），我们发现JCTP对非西班牙裔有积极而显著的影响，对西班牙裔有消极但不显著的影响。表4：初步效果非西班牙裔样本西班牙裔样本Z=1 Z=0差异。Z=1 Z=0差异。曾注册JCTP。737 .047 .689*** .747 .028 .719***（.008）（.016）ITT每周预估人数28.06 25.54 2.52***26.63 27.30-。670.60（1.28）周收入230.24 194.72 35.52***218.34 228.63-1.29（5.49）（12.68）就业。613 .564 .049*** .605 .607 -.002（0.011）（.025）每周延迟估算人数3.66***-。930（880）（1.78）周收入51.52***-14.31（8.00）（17.64）就业。071*** -.003（.016）（.034）注：Z表示随机治疗分配。在随机分组后第208周测量结果变量。括号中为稳健的标准错误。***、**和*表示差异分别在1%、5%和10%的水平上具有统计学意义。估算使用设计权重。最后一个结果，特别是关于就业状况的结果，对我的分析很重要。与Lee（2009）和Chen&Flores（2015）类似，我假设治疗对就业的影响（即样本选择）是单调和积极的。然而，正如Flores Lagunes et al.（2010）和Chen&Flores（2015）所讨论的，JCTP对就业的负面影响证明了这一假设。因此，我正式测试了假设8。为此，我实施了Machado et al.（2018）开发的程序，该程序同时测试了仪器的外生性（假设1）、治疗分配中治疗使用的单调性（方程（1））和治疗中使用的单调性（方程（2））。他们的程序还使用最后一项测试作为把关人，以测试治疗对就业的影响是否是积极的（假设（8））。更详细地说，马查多等人提出的测试。

（2018）有三个步骤。在第一步中，无效假设是工具不是外生的，或者治疗分配上的治疗使用不是单调的，或者治疗使用上的就业不是单调的。因此，另一种假设是假设1和方程式（1）和（2）成立。在第二步中，只有在第一步拒绝其无效假设的情况下才能实施，第二个无效假设是，待遇对就业的影响是非积极的。因此，其替代假设是假设1和8以及方程式（1）和（2）成立。最后，在第三步中，只有在第二步不拒绝其无效假设的情况下才能实施，第三个无效假设是处理对就业的影响是非负的。因此，其替代假设是，虽然假设1和方程式（1）和（2）有效，但假设8的方向相反（见假设C.1）。表5显示了上述试验的结果。在非西班牙裔子样本中，步骤1和2在1%显著水平上拒绝了其无效假设，这意味着假设1和8以及方程式（1）和（2）在给定数据的情况下是合理的。因此，使用推论11将JCTP的MT EOOof与非西班牙裔子样本内的工资绑定是合理的。对于西班牙裔子样本，步骤1在1%显著性水平上拒绝了其无效假设，而步骤2和步骤3都没有在10%显著性水平上拒绝其无效假设。因此，假设1和方程式（1）和（2）在给出数据的情况下是合理的，但似乎对就业没有影响，即对所有个人而言，S=SFO。由于西班牙裔人口没有不同的样本选择，如命题10之后立即讨论的那样，感兴趣的MTE的点识别是微不足道的。

因此，我将实证分析的重点放在非西班牙裔子样本上。表5：测试非西班牙裔子样本的识别假设西班牙裔子样本估计临界值估计临界值检验统计量10%5%1%检验统计量10%5%1%步骤1。282 .034 .039 .043 .308 .044 .047 .050步骤2。070 .033 .036 .039 -.003 .032 .036 .038步骤3-。070 .033 .036 .039 .003 .032 .036 .038注：步骤1的替代假设是假设1和方程式（1）和（2）有效。步骤2的替代假设是假设1和8以及方程式（1）和（2）有效。步骤3的替代假设是假设1和C.1以及方程式（1）和（2）有效。临界值使用10000次自举重复计算，并与10%、5%和1%的显著性水平相关。估算使用设计权重。6.2就业和劳动收入的MTR和MTE：非西班牙裔人口估计JCTP每小时工资的MT EOOO界限的初步步骤在非西班牙裔子样本中，我需要估计MTR对就业和每小时劳动收入的函数，即我需要估计函数mS、mS、mY和mY。为此，我使用了第5.2小节中描述的程序，该程序将Brinch et al.（2017）开发的方法调整为受约束的框架。具体而言，我使用带有四个参数的Bernstein多项式对Y和S的MTR函数进行建模，即MAu、 θAd= θAd，0·（1）- u） +θAd，任何A为1·u∈ {Y，S}和d∈ 可行集ΘY=R+和ΘS=n的{0，1}θS，θS∈ [0，1]：θS≥ θSo。估计θA，θA.

我运行以下受约束的OLSmodel：A=aA·（1- D） +bA·（1- D） ·P（Z）+aA·D+bA·D·P（Z）+e，（42），其中e是误差项，θA0,0=aA- bA，θA0,1=aA+bA，θA1,0=aA，θA1,1=aA+2·bA，约束条件为aA，bA，aA，bA表6报告了参数模型的点估计值和90%置信区间。当工具为二进制且无协变量时，附录A.10将OLS模型（42）与最小化问题（39）联系起来。它还使用第5.2小节中描述的参数模型提供了推论11和14中边界的显式公式。附录H实施了蒙特卡罗模拟，分析了基于OLSmodel（42）的MTE边界周围置信区间的覆盖率。对于MTR的就业和小时劳动收入功能。注意，可行性约束θS1,0≥ θS0,0具有约束力，即使根据Machado等人（2018）提出的测试，假设8是合理的。此外，对于90%置信区间的上界，可行性约束θS1,0≤ 1也具有约束力。表6：参数MTR函数：非西班牙裔子样本结果参数∈ {Y，S}变量θA0,0θA0,1θA1,0θA1,1就业0.46 0.66 0.46 0.89[0.39，0.47][0.64，0.71][0.39，0.47][0.84，1.00]劳动收入（Y）2.96 5.74 3.00 8.39[1.45，3.69][4.98，6.94][2.20，3.41][7.54，9.81]注：就业MTR由MS给出u、 θSd= θSd，0·（1- u） +θSd，1·u，可行性集由ΘS给出=θS，θS∈ [0，1]：θS≥ θS. 劳工收入的MTR由我的u、 θYd= θYd，0·（1- u） +θYd，1·u，可行性集givenbyΘY=R+。在括号中，我报告了基于5000次引导预测的90%置信区间。估算使用设计权重。使用图1更容易理解和解释这些估计。

实线是基于表6中报告的参数对MTR和MTE函数的点估计。虚线是基于5000次引导重复的估计函数周围的90%置信区间。蓝色线条与治疗后的潜在结果相关，而红色线条与未治疗的结果相关。在子图1a中，我发现，虽然最有可能参加JCTP的代理人的就业概率在接受治疗的个体和未接受治疗的个体之间相似，但接受治疗的个体与未接受治疗的个体相比，不太可能参加JCTP的代理人的就业概率要高得多。因此，非西班牙裔子样本（子图1b）中的就业MTE在潜在异质性方面正在增加。类似地，在子图1c中，我发现，虽然最有可能参加JCTP的代理人的预期小时劳动收入在接受治疗的个体和未接受治疗的个体之间相似，但接受治疗的个体较未接受治疗的个体更不可能参加JCTP的代理人的预期小时劳动收入要高得多。因此，非西班牙裔子样本（子图1d）中每小时劳动收入的MTE在潜在异质性中增加。我强调，我估计的MTE函数的形状与Chen等人的结果一致。