离散时间多先验无套利

设（X，T）是可测空间，Y是一些光滑空间。如果G∈ T如果G在X上的投影ProjX（G）属于Tc（X），则t关于（X，t）上的任何概率测度的完备。设Γ：XY为图（Γ）∈ T B（Y）。然后存在Tc（X）- B（Y）可测量选择器σ：X→ Y使得σ（x）∈ Γ（x）代表所有x∈ {Γ 6= }.根据扬科夫·冯·诺依曼定理（见[Bertsekas和Shreve，2004，命题7.49 p182]）和假设2.2，存在一些Bc(Ohmt） -可测量qt+1：Ohmt型→P(Ohmt+1），使得对于所有ωt∈ Ohmt、 qt+1（·，ωt）∈ Qt+1（ωt）（调用所有ωt的th at∈ Ohmt、 Qt+1（ωt）6= ). 适用于所有1≤ t型≤ T let Qt P(Ohmt） 由QT定义：=Q q ··· qt，Q∈ Q、 qs+1∈ SKs+1，（1）qs+1（·，ωs）∈ Qs+1（ωs），ωs∈ Ohms1.≤ s≤ t型- 1.,其中Qt：=Q q ···  QT表示Fubini定理的t倍应用（参见[Bertsekas和Sh-reve，2004，命题7.45 p175]），该定理定义了P(Ohmt） SKt+1是Ohmt+1驱动Ohmt（参见符号表示集值映射。[Bertsekas和Sh-reve，2004，定义7.12 p134，引理7.28 p174]）。除假设2.2外，未对先验集做出具体假设：QT n要么被假设为受给定概率测度支配，要么被假设为弱紧。此设置允许对QT集进行各种常规定义。第4节给出了一些非支配设置的具体示例。我们还参考【Bartl，2019a】了解其他示例。2.2多重先验条件支持以下定义是我们研究的核心。定义2.3让P∈ POhmT固定崩解P：=Qq···QT其中QT∈ SKT适用于所有1≤ t型≤ T

对于所有0≤ t型≤ T-1，随机集Et+1：Ohmt×P(Ohmt+1）Rd、Dt+1、Dt+1P：Ohmtr定义为ωt∈ Ohmt、 p∈ P(Ohmt+1）byEt+1（ωt，p）：=\\A. Rd，关闭，pSt+1（ωt，.）∈ A.= 1.,Dt+1（ωt）：=\\A. Rd，关闭，pSt+1（ωt，.）∈ A.= 1.p∈ Qt+1（ωt）,Dt+1P（ωt）：=\\A. Rd，闭合，qt+1St+1（ωt，.）∈ A、 ωt= 1.. （2） 备注2.4作为Rdis第二可数项，p(St+1（ωt，·）∈ Et+1（ωt，p））=1，参见【Aliprantis and Border，2006，定理12.14】和p(St+1（ωt，·）∈ Dt+1（ωt））=所有p的1∈ Qt+1（ωt），参见【Bouchard和Nutz，2015，引理4.2】。备注2.5很容易验证，对于所有ωt∈ Ohmt、 p∈ Qt+1（ωt）Et+1（ωt，p） Dt+1（ωt）。回想一下，任何概率P∈ P(OhmT） 可以使用Borel可测随机核进行分解，例如参见【Bertsekas和Shreve，2004，推论7.27.2 p139】。然后对于P的某些固定分解∈ QT，P：=Q q ···  qT，全部0≤ t型≤ T- 1和所有ωt∈ OhmtDt+1P（ωt）=Et+1（ωt，qt+1（·，ωt）） Dt+1（ωt）（3）作为qt（·，ωt）∈ 所有ωt的Qt+1（ωt）∈ Ohmt（见（1））。下面的引理阐明了前面介绍的随机集的一些重要的可测性性质，并使用了下面的符号。对于一些R Rd，letAff（R）：=\\{A Rd，af fine子空间，R A} ，Conv（R）：=\\{C Rd，凸面，R C} ，Conv（R）：=\\{C Rd，闭凸，R C} 。回想一下Conv（R）={Pni=1λipi，n≥ 1，pi∈ R、 Pni=1λi=1，λi≥ 0}参见【Rockafellar，1970，定理2.3 p12】和thatConv（R）=Conv（R）。对于随机集R：Ohm Rd、Conv（R）和Aff（R）是为所有ω定义的随机集∈ Ohm byConv（R）（ω）：=Conv（R（ω））和Aff（R）（ω）：=Aff（R（ω））。引理2.6Let假设2.1和2.2成立，let0≤ t型≤ T- 1固定。

LetP公司∈ 具有固定崩解的QT P：=Q q ··· qT.o随机集合集+1、Conv（Et+1）、Aff（Et+1）为非空、闭值和B(Ohmt） B（P（Ohmt+1））-可通过图inB测量(Ohmt）B（P(Ohmt+1）） B（Rd）。o随机设置Dt+1、Dt+1P、Conv（Dt+1）、ConvDt+1P, Aff（Dt+1）和AffDt+1Parenon空、闭值和bc(Ohmt） -可测量。此外，eir图如下(Ohmt）B（Rd）。证据Dt+1的可测性来自【Blanchard和Carassus，2018，Lemma2.2】。修复一些开放集O Rd.假设2.1和[Bertsekas和Shreve，2004，命题7.29 p144]暗示th at（ωt，p）→ p(St+1（ωt，.）∈ O） 是B(Ohmt） B（P(Ohmt+1）可测量。Et+1和Dt+1的可测性如下（ωt，p），Et+1（ωt，p）∩ O 6==（ωt，p），pSt+1（ωt，.）∈ O> 0∈ B类(Ohmt） B（P(Ohmt+1）），{ωt，Dt+1P（ωt）∩ O 6=} =ωt，q∈ P(Ohmt+1），qt+1（·，ωt）=q，Et+1（ωt，q）∩ O 6== 项目Ohmt型（ωt，q），qt+1（·，ωt）=q，Et+1（ωt，q）∩ O 6=∈ 卑诗省(Ohmt） ，其中我们使用假设2.2和投影定理（ωt，q）→ qt+1（·，ωt）-q是Bc(Ohmt） P(Ohmt+1）-可测量。那么，【Rockafellar和Wets，1998，命题14.2，练习14.12】意味着conv（Et+1），Aff（Et+1）是B(Ohmt）B（P(Ohmt+1））-可测量且Conv（Dt+1），ConvDt+1P, Aff（Dt+1）和AffDt+1P是Bc(Ohmt） -可测量。最后，【Rockafellar和Wets，1998，定理14.8】暗示Et+1、Conv（Et+1）和Aff（Et+1）的图属于B(Ohmt）B（P(Ohmt+1））当Dt+1，Dt+1P，Conv（Dt+1），ConvDt+1P, Aff（Dt+1）和AffDt+1P属于Bc(Ohmt） B（Rd）。3无套利特征3.1全局无套利条件和主要结果在uni Preor情况下，对于任何P∈ 无套利NA（P）条件为真ifV0，φT≥ 0 P-a.s.对于某些φ∈ Φ意味着V0，φT=0 P-a.s。在多重先验假设中，无套利条件NA（QT），也称为准确定无套利，在【Bouchard和Nut z，2015年】中引入。

我们的主要信息是，这确实是一个很好的假设。除了是经典单先验套利条件的自然推广外，我们还将证明它等价于t h eliterature中以前使用的几个条件。定义3.1如果V0，φT，则NA（QT）条件成立≥ 0 QT-q.s.对于某些φ∈ Φ表示V0，φT=0 QT-q.s。对于给定的P P(OhmT） ，a集合N Ohm它被称为P极if for all P∈ P、 存在一些AP∈ 卑诗省(OhmT） P（AP）=0和N时的th 美联社。如果一个属性在P-极集合外为真，则该属性保持trueP准肯定（q.s.）。最后，如果一个集的补集是P极集，则该集是P极集。【Bouchard和Nutz，2015年】证明定义3.1允许FTAP推广。NA（QT）等效于以下各项：对于所有Q∈ QT，存在一些P∈ RTQ使Q<< P其中rt：={P∈ P(OhmT） ，则，Q′∈ QT，P<< Q′，P是鞅测度}。（4） 下一个结果很简单。参见【Rockafellar和Wets，1998，定义14.1】。引理3.2LetPandMbe两组概率测度onP(OhmT） 这样pandmh就有了相同的极坐标系。那么theNA（P）和theNA（M）条件是等价的。然而，在NA（QT）条件下，NA（P）条件对所有P都适用，这是不正确的∈ QT，见下面的引理3.7。这种情况称为“强无套利”或sNA（QT）。定义3.3如果NA（P）对所有P均成立，则sNA（QT）条件成立∈QT。备注3.4 sNA（QT）为强条件。但这与金融的实际情况有关：如果不成立，则存在一个模型P∈ QT和a策略φ∈ Φ使得V0，φT≥ 每年0。

P（V0，φT>0）>0，并且销售了一些衍生产品的代理可能无法使用不同的无套利模型来管理结果头寸（例如，考虑不同的波动率水平来对简单的Vanilla期权进行delta对冲）。sNA（QT）条件也有助于获得关于无界函数多重先验期望效用最大化的可处理定理，参见[Blanchard和Carassus，2018，定理3.6]和[Rasonyi和Meirelis Rodrigues，2018，定理3.9]。最后，这一定义似乎也与研究无套利特征的连续时间环境相关，参见【Biagini等人，2015年，定义2.1，定理3.4】。本着【Davis和Hobson，2007年】（另见R emark 3.35）中引入的模型依赖套利的精神，我们引入了“弱无套利”的概念。定义3.5如果存在一些P∈ 因此NA（P）是正确的。备注3.6 wNA（QT）条件的相反情况是，对于所有型号P∈ QT，在V0，φPT存在策略φPsuch th≥ 0 P-a.s.和P（V0，φPT>0）>0。[Davis and Hobson，2007]给出了这种依赖模型的套利的一个具体例子。我们现在说明了引入的三个无套利条件之间的明显关系（另请参见图2）。定理3.8和3.30将讨论更微妙的问题。最后一个定理表明，NA（QT）条件意味着wNA（QT）条件。引理3.71。假设someP的qt={P}∈ P(OhmT） 。然后，THNA（QT）、sNA（QT）、wNA（QT）和NA（P）条件是等效的。2、假设re存在一个支配概率测度bP∈ QT。然后，NA（QT）和NA（bP）条件是等效的。SNA（QT）条件意味着WNA（QT），但反之则不成立。theNA（QT）条件意味着theNA（QT），但反之则不成立。5.

WNA（QT）条件并不意味着NA（QT）条件。证据第一项是明确的。第二个引理来自引理3.2。第3项的第一部分很简单，很容易为第二部分构建简单的反例（见下面的示例3.36）。我们现在证明第4项。如果NA（QT）条件失败，则存在so meφ∈ Φ和P∈ QT使V0，φT≥ 0 QT-q.s.和P（V0，φT>0）>0：ThesNA（QT）条件也失效。现在考虑一个具有一项风险资产的单周期模型QT国民账户体系QT不适用QT图1：无套利定义之间的关系，见Lemma3.7。S=0，S：Ohm → R（对于一些抛光空间Ohm). 让Psuch P（±S> 0）>0，并且P(S≥ 0）=1和P(S> 0）>0，并设置Q={λP+（1-λ） P，0<λ≤ 1}.然后NA（P）失败，而NA（Q）保持为真。注意引理4.5提供了另一个反例。最后，对于第5项，考虑两个风险资产S=0和S1,2的单期模型：Ohm → R、 让Pbe使P(S≥ 0）=1，P(S> 0）>0，P(S=0）=1，P（±）S> 0）>0，并设置Q={λP+（1-λ） P，0<λ≤ 1}.然后，NA（P）和wNA（Q）条件得到了明确验证。但NA（Q）条件并不成立。实际上，设h=（1，0）。然后hS≥ 0 Q-Q.s.但P（hS> 0）>0。注意，Aff（D）=Rand Aff（DP）={0}×R。以下定理是主要结果。定理3.8假设假设2.1和2.2成立。以下条件等效：TheNA（QT）条件成立。o存在如此多的mePT qt使得pta和qt具有相同的极性集，并且使得sna（PT）条件成立。让P*如下面的定理3.30中的fix分解P*:= P*p*···p*T、 集合选项递归定义如下：对于所有1≤ t型≤ T- 1P：=λP*+ (1 - λ） P，0<λ≤ 1，P∈ Q,Pt+1：=nPλp*t+1+（1- λ） qt+1, 0 < λ ≤ 1，P∈ Pt，qt+1（·，ωt）∈ 所有ωt的Qt+1（ωt）∈ Ohm到（5） 证明。见第5.2.4节。

备注3.9【Burzoni等人，2016b，定理4】提供了类似的信息，但采用了完全不同的序列，不依赖于一组先验值，并且在无公开套利假设下。集合PTI被一组完全支持的概率度量所取代。备注3.10在之前关于稳健定价和定价的研究中，通常假设存在一些仅可用于静态交易（买入和持有）的额外资产，例如参见【Bouchard和Nutz，2015，定理5.1】。这增加了数学上的困难，因为粗略地说，它打破了时间零点和未来时间之间的动态一致性，可能会妨碍获得动态规划原则。出现的问题的非典型例证是美式期权的所谓二元缺口，其中美式期权的超边际价格可能严格大于其在所有停站时间和所有（相关）鞅测度下的预期（贴现）回报的上限（参见【Bayraktar et al.，2015】、【Hobson and Neuberger，2016】、【Bayraktar and Zhou，2017】）。在我们的环境中，所有资产都是动态交易的，其中一些可能是衍生产品。很明显，有关各资产行为的不确定性水平可能取决于其性质，并且将在之前的QT集中反映出t h is。这遵循了【Hobson，1998年】中开发的原始方法的精神，该方法将活跃交易期权的价格作为输入。此外，从纯粹实用的角度来看，我们认为，为定价提供有用信息的额外金融资产应至少每天进行交易。因此，引入交易约束或交易成本可能是反映资产和衍生品之间流动性潜在差异的一种更有效的方法。

从理论角度来看，【Aksamit等人，2018年】表明，【Bouchard和Nutz，2015年】中的任何集合u p都可以提升到一个以不引入套利的方式动态交易所有资产的设置（见【Aksamit等人，2018年，引理3.1】）。其思想是假设期权是动态交易的，并选择一组先验QT，该先验QT不会对其动态施加任何假设，除了初始设置中无套利产生的假设。原始设置中的可接受定价度量可用于通过条件期望确定动态期权价格，因此可提升为扩展设置中的鞅度量。我们提出了定理3.8的三个应用，说明了它是多么有用。第一个应用程序建立了NA（QT）条件和【Bartl等人，2019年】引入的无套利条件之间的等价性，该条件研究了使用中间极限实现预期效用稳健最大化的问题。推论3.11假设假设假设2.1和2.2成立。以下条件是等效的o然后（QT）条件成立。o对于allQ∈ QT，存在一些∈ Pt等thatQ<< 且该等条款（P）成立对于allQ∈ QT，存在一些∈ Q这样的Q<< 使na（P）成立。证据假设NA（QT）条件为真，并选择一些Q∈ 固定崩解Q的QT：=Q q ··· qT。LetP：=P*+Qp*+q . . . p*T+qT,其中P*定理3.30中给出了固定分解P*:= P*p*···p*T、 那么（5）意味着P∈ P和明显Q<< P、 现在，定理3.8暗示THENA（P）条件成立，并证明了第二个断言。作为PT QT，第二个断言暗示第三个断言。现在假设第三个断言为true，让φ∈ Φ使得V0，φT≥ 0 QT-q.s.修复一些q∈ QT。然后存在P∈ QT等th atQ<< 使NA（P）成立。

因此，V0，φT=0 P-a.s，以及Q-a.s，因为这适用于所有Q∈ QT，我们得到V0，φT=0 QT-q.s。第二个应用证明了经典FTA P的鲁棒性。我们的证明使用了【Bayraktar和Z h ou，2017，定理2.1】中的单周期参数，该参数适用于多周期设置。LetKT：={P∈ P(OhmT） ，则，Q′∈ PT，P~ Q′，P是鞅测度}。推论3.12假设假设假设2.1和2.2成立。以下条件是等效的o然后（QT）条件成立。o对于allQ∈ QT，存在一些∈ kt这样的thatQ<< P、 o对于allQ∈ QT，存在一些∈ RT（见（4））这样<< P、 请注意，这是[Bouchard and Nutz，2015]版本的一个补充，因为我们有更多关于度量P.Proof的信息。假设NA（QT）条件成立。推论3.11意味着对于所有Q∈ qt存在一些Q′∈ Pt使Q<< Q′，使得NA（Q′）保持不变。现在，经典的FTAP（见【Dalang et al.，1990】）确定了一些P的存在~ Q′，使得P是鞅测度。因此P∈ 千吨级。作为Q<< P，第二个断言成立。作为KT RT，第二个断言暗示第三个断言。假设第三个假设成立，让φ∈ Φ使得V0，φT≥ 0 QT-q.s.固定体q∈ QT。然后存在P∈ P(OhmT） 和Q′∈ QT使Q<< P，P<< Q′andP是鞅测度。同于V0，φT≥ 0 Q′-a.s和t h u s P-a.s.和EP（V0，φt）=0，我们得到V0，φt=0 P-a.s和Q-a.s，因为这对于所有Q∈ QT，我们得到V0，φT=0QT-q.s。最后，定理3.8允许在NA（QT）条件下获得关于期望最大化的易于处理的定理，避免了困难【Blanchard和Carassus，2018，假设2.1】。请注意，无套利条件确实与un i-prior案例中的效用最大化问题有关（例如参见[Rogers，1994]）。

在稳健的情况下，尚不清楚类似的方法是否可行。这是进一步研究的主题。随机效用U是定义在OhmT×（0，∞) 在R中取值∪ {-∞} 这样每x∈ R、 U（·，x）是B(OhmT） -可测量且对于每个ωT∈ OhmT、 U（ωT，·）isproper，非递减且凹于（0+∞ ) . 我们在0中通过（右）连续性扩展U，并设置U（·，x）=-∞ 如果x<0。修复一些x≥ 0.对于P∈ P(OhmT） 固定后，我们用Φ（x，U，P）表示所有策略的集合φ∈ Vx处的Φt h，φt（·）≥ 0 P-a.s.，且EPU+（·，Vx，φT（·））<∞ 奥雷普-（·，Vx，φT（·））<∞. 那么Φ（x，U，QT）：=TP∈QTΦ（x，U，P）。集合Φ（x，U，PT）由PT定义，其中PT在（5）中定义。初始财富x的多重先验投资组合问题≥ 0 isu（x）：=supφ∈Φ（x，U，QT）infP∈QTEPU（·，Vx，φT（·））。（6） 我们还定义（x）：=supφ∈Φ（x，U，PT）infP∈PTEPU（·，Vx，φT（·））。让所有人都参与1≤ t型≤ 行波管：=\\r>0X：Ohmt型→ R∪ {±∞}, B（Ohmt） -可测量，支持∈QtEP | X | r<∞.存在x∈ (0, +∞) 使得U（ωT，x）>-∞ 和U（ωT，x）<+∞ 对于所有x∈ (0, +∞).假设3.13我们有U+（·，1），U-(·,) ∈ WTandSt，1/αPt∈ WT适用于所有1≤t型≤ T和P∈ Pt（αPt的定义见备注3.27）。第一个引理a显示了两个值函数之间的相等性。引理3.14假设theNA（QT）条件和假设2.1和2.2成立。此外，假设UI从上方有界，或者假设3.13成立。Thenu（x）=向上（x）表示所有x≥ 0.证明。修复x≥ 定理3.8将生效。让P*由定理3.30给出，具有固定分解P*:= P* p* ···  p*T、 首先我们证明Φ（x，U，QT）=Φ（x，U，PT）。第一个包含来自PT QT。P和Q具有相同的极性集Vx，φT（·）≥ 0 QT-q.s.和Vx，φT（·）≥ 0 PT-q.s.相当。