离散时间多先验无套利

换句话说，在每一步中，风险资产都会上升或下降，不仅跳跃的概率存在不确定性，跳跃的规模也存在不确定性。备注4.3通常的二项模型（见【Cox等人，1979年】）对应于πt=πt=π，ut=ut=u和dt=dt=d，其中0<π<1，d<1<u。引理4.4在假设4.2下，假设2.2成立。证据首先，Qt+1是定义的凸值。自年初至今+1(Ohmt+1）=（0，∞),eQt+1（ωt）6=,因此Qt+1（ωt）6= 对于所有ωt∈ Ohmt、 我们依次展示了图（Bt+1），图eQt+1和图（Qt+1）是解析集。对于ωt∈ Ohmt、 letE（ωt）：={（u，d，π）∈ R、 πt（ωt）≤ π ≤ ∏t（ωt），ut（ωt）≤ u≤ Ut（ωt），dt（ωt）≤ d≤ Dt（ωt）}，F（ωt，u，d，π）：=（ωt，πδu+（1- π） δd）对于（ωt，u，d，π）∈ Ohmt×R。这可以通过设置Bt+1（ωt）：={πδu+（1- π） δd，π∈ St（ωt），u∈ Ut（ωt），d∈ Dt（ωt）}，其中St，Ut，Dt是Borel可测随机集OhmtR.那么F是Borel me可测的（见[Bertsekas and Shreve，2004，推论7.21.1 p130]），图（E）∈ 卑诗省(Ohmt） B（R）asπt，∏t，ut，ut，dt和dt是可测的。我们得出结论，图（Bt+1）=F（图（E））是解析的。LetΦ：P(Ohmt+1）→ P（R）由Φ（q）定义：=q（Yt+1∈ ·). 利用[Bertsekas和Shreve，2004，命题7.29 p144和7.26 p134]，Φ是给定P的R上的Borel可测随机核(Ohmt+1）。所以Φ（ωt，q）：=（ωt，Φ（q））也是Borel可测的，图（eQt+1）=Φ-1（图（Bt+1））进行分析。然后我们可以在【Bartl，2019b，第2.3节的证明】中显示，图（Qt+1）是解析的，因为Qt+1是Qt+1的凸包。引理4.5在假设4.2下，theNA（QT）条件成立，theNA（QT）条件可能失效。证据很明显，对于所有0≤ t型≤ T- 1，全部ωt∈ Ohmt、 Conv公司Dt+1（ωt）=[St（ωt）（dt（ωt））- 1） ，St（ωt）（Ut（ωt）-1)].因此NA（QT）条件为0∈ 所有ωt的Ri（Conv（Dt+1））（ωt）∈ Ohmt（见定理3.24）。

在假设4.2下，所有ωt的ut（ωt）<1∈ Ohmt、 0个≤ t型≤ T- 1，并在（ωt）处找到一些∈ [ut（ωt），1）。对于所有0≤ t型≤ T-1和ωt∈ Ohmt、 letqt+1（Yt+1∈ ·, ωt）：=rt（ωt）δat（ωt）（·）+1.- rt（ωt）δdt（ωt）（·），其中rt（ωt）∈ [πt（ωt），∏t（ωt）]。设置Q：=Q q ··· qT∈ QT。AsConv公司Dt+1Q（ωt）=St（ωt）（dt（ωt）-1） ，St（ωt）（at（ωt）-1),0 /∈ 卷积和多项式相乘Dt+1Q（ωt）对于所有ωt∈ Ohmtand命题3.26意味着NA（Q）和thussNA（QT）失效。我们现在提供了εt、β和κtof（10）和（11）的一些显式表达式，并展示了测量P的候选值*定理3.30。引理4.6假设4.2成立。对于所有0≤ t型≤ T- 1，全部ωt∈ Ohmtlet'πt（ωt）：=πt（ωt）+∏t（ωt）∈ （0，1）εt（ωt）=βt（ωt）：=St（ωt）NminUt（ωt）-1,1 - dt（ωt）> 0，κt（ωt）：=Mminπt（ωt），1- πt（ωt）> 0，a+t（ωt）：=Ut（ωt）>1，b+t（ωt）：=最小值Dt（ωt），Dt（ωt）+1< 1，a-t（ωt）：=最大值ut（ωt），ut（ωt）+1> 1，b-t（ωt）：=dt（ωt）<1，r±t+1（·，ωt）：=πt（ωt）δa±t（ωt）（·）+（1- πt（ωt））δb±t（ωt）（·）∈ Bt+1（ωt），r*t+1（·，ωt）：=r+t+1（·，ωt）+r-t+1（·，ωt）∈ Bt+1（ωt），p*t+1（Yt+1∈ ·, ωt）：=r*t+1（·，ωt）∈ Qt+1（ωt），其中n>1和m>1是固定的，允许获得εt（ωt）、βt（ωt）和κt（ωt）的更清晰界限。然后*t+1±St+1（ωt，·）<-βt（ωt），ωt≥ κt（ωt），（14）和（11）满足；（10） 这也是正确的。此外，forP*:= P* p*···  p*T∈ QT，0∈国际扶轮社转换（Dt+1P*)（ωt）和AffDt+1P*（ωt）=Aff（Dt+1）（ωt）=所有ωt的rf∈ Ohmt、 最后，假设≤ t型≤ T- 1和一些ωt∈ Ohmt、 ut（ωt）<ut（ωt）ordt（ωt）<Dt（ωt）。那么setQt+1（ωt）是非支配的，可以构造非支配的setQt。备注4.7 P处的注释th*不是唯一的。εt、β和κtareclear的（Borel）可测性。通常，它们将继承对St、πt、πt、dt、dt、utan和Ut施加的任何可积条件。例如，如果它们都属于WT1≤ t型≤ εT、β和κT也是如此。修复一些0≤ t型≤ T-1，ωt∈ Ohmt、 设q±t+1（Yt+1∈ ·, ωt）：=r±t+1（·，ωt）∈ Qt+1（ωt）。

然后Q+t+1St+1（ωt，·）<-βt（ωt），ωt≥ q+t+1Yt+1（·）<dt（ωt）+1，ωt≥ 1.- πt（ωt）≥ κt（ωt）q-t+1St+1（ωt，·）>βt（ωt），ωt≥ q-t+1Yt+1（·）>Ut（ωt）+1，ωt≥ πt（ωt）≥ κt（ωt）和（14）遵循定理3.24。作为p*t+1∈ SKt+1，P*∈ QT。从（14）中，定量无套利（11）适用于所有ωt∈ Ohmt ph=p*对于所有可能的策略h，t+1（·，ωt）。因此，NA（P*) 条件成立（见备注3.27）。定理3.24还暗示0∈ 国际扶轮社转换（Dt+1P*)（ωt）。此外，AffDt+1P*（ωt）=Aff（Dt+1）（ωt）=R对于所有ωt。对于最后一项，假设对于一些0≤ t型≤ T- 1和一些ωt∈ Ohmt、 ut（ωt）<ut（ωt），并且集合Qt+1（ωt）由某些度量bp控制。对于x∈ (0, ∞) letAx：={Y-1t+1（{x}}}6= 同年初至今+1(Ohmt） =（0，∞). 固定x（ωt）∈ （min（1，ut（ωt）），ut（ωt））和choosea（ωt）∈ Ax（ωt）和b（ωt）∈ Adt（ωt）。设rx（.，ωt）：=πt（ωt）δa（ωt）+（1- πt（ωt））δb（ωt）∈ Bt+1（ωt）和px（Yt+1∈ ·, ωt）：=rx（.，ωt）∈ Qt+1（ωt）。A s rx（{A（ωt）}，ωt）=∏t（ωt）>0，bp（{A（ωt）}）>0，这导致bp的原子数不可计算。然后，命题4.1允许构建不受支配的QT集示例。4.2离散化d维扩散我们现在提供了一个多维扩散过程离散化动力学的示例【Carassus and R'asonyi，2015，示例8.2】。固定句点T≥ 1和n≥ d、 用mn表示具有n行n列的实值矩阵集。选择一些常量Y∈ r并通过以下差分方程确定所有0的Yt+1≤ t型≤ T-1，（ωt，ωt+1）∈ Ohmt×Ohmt+1Yt+1（ωt，ωt+1）- Yt（ωt）=ut+1Yt（ωt），ωt，ωt+1+ νt+1Yt（ωt），ωtZt+1（ωt，ωt+1）（15），其中ut+1:Rn×Ohmt×Ohmt+1→ Rn，νt+1:Rn×Ohmt型→ Mn，Zt+1：Ohmt×Ohmt+1→ R被认为是可测量的。将研究两种情况：Sit=YI和Sit=EYIT≤ 我≤ d

在单一先验设置中，如果假设Zt+1定律为正态，则这对应于标的资产的常用正态和对数正态动态。请注意，在这两种情况下，如果d<n，我们可能会认为i>d的收益代表一些非交易资产，或某些经济因素的演变将影响市场。假设某个P∈ P(OhmT） 给出固定崩解P：=Pp···pT，其中pT+1∈ SKt+1用于所有0≤ t型≤ T- 1： P应该是对先验知识的初步猜测或估计。对于所有0≤ t型≤ T- 1，让RTAN和qtbe函数从Ohmtto（0，∞ ): RTwill是漂移的界，而QT保证扩散是非退化的（在维度1中，它是波动率的下界）。我们对Y的动力学作如下假设。假设4.8适用于所有0≤ t型≤ T- 1，rtis B(Ohmt） -可测量。对于所有ωt∈ Ohmt、 x个∈ Rn，oνt+1（x，ωt）∈ Mqt（ωt）nwhere Mδn：={M∈ Mn，h类∈ Rn，htMMth≥ δ>0时的δhth}Zt+1（ωt，·）和ut+1（ωt，·）在pt+1（·，ωt）下是独立的pt+1（ut+1（Yt（ωt），ωt，·）∈ [-rt（ωt），rt（ωt）]n，ωt）=1oDt+1Zt+1（ωt）=Rn，其中Dt+1Zt+1（ωt）是pt+1（·，ωt）下Zt+1（ωt，·）的支撑，见（2）。ut+1和Zt+1定律的模型不确定性由以下集合给出。Qt+1（ωt）：=p∈ P(Ohmt+1），put+1（Yt（ωt），ωt，·）∈ [-rt（ωt），rt（ωt）]n= 1.,Qt+1（ωt）：=p∈ P(Ohmt+1），Ft（p，ωt）=0,Qt+1（ωt）：=Qt+1（ωt）\\Qt+1（ωt），其中对于一些k≥ 1，Ft:P(Ohmt+1）×Ohmt型→ Rk是一个Bo-rel可测函数，使得ft（pt+1（·，ωt），ωt）=0≤ t型≤ T-1，ωt∈ Ohmt、 假设pt+1（·，ωt）∈ 所有ωt的Qt+1（ωt）∈ Ohmtand因此P∈ QT。不是e，对于给定的p∈ Qt+1（ωt）p下Zt+1（ωt，·）和ut+1（ωt，·）的规律不一定是独立的。财务解释如下。设置Qt+1（ωt）允许t h扩散的漂移不仅是随机的，而且具有未知的分布。它只是假设有界的。

如果Ft（p，ωt）=1distt（p，pt+1（·，ωt））≤bt（ωt）- 1当bt（ωt）>0且概率测度之间存在某种距离函数时，集合Qt+1（ωt）包含与pt+1（·，ωt）足够接近的模型。如果物理测量值不知道n，但从每个步骤的数据中估计d，则可能发生这种情况。DisttFunction的一个流行选择是Wasserstein距离。但也可以选择F（p，ωt）的坐标i（1≤ 我≤ k） p和undertt+1（·，ωt）下Zt+1（ωt，·）的i阶矩之间的差，并结合所有模型p，使得pare下Zt+1（ωt，·）的矩等于pt+1（·，ωt）下的Zt+1（ωt，·）的矩直到k阶。引理4.9在假设4.8下，假设2.1和2.2得到满足。证明。假设2.1来自于ut+1、νt+1、Zt+1的Borel可测性，以及Yt+1的Borel可测性。A s函数（ωt，p）→ p（ut+1（Yt（ωt），ωt，·）∈ [-rt（ωt），rt（ωt）]n）是可测量的（见[Bertsekas和Shreve，2004，命题7.29 p144]），图Qt+1I分析。Ftimplies的Borel可测性表示该图Qt+1是一个解析集，也是一个图（Qt+1）。很明显，Qt+1是凸值的。如果Ft（·，ωt）对于所有ωt是凸的∈ Ohmt、 那么Qt+1是凸值。e上的Else可以考虑Qt+1的凸包，其分析性可以建立在引理4.4的证明中。证明了假设2.2。现在我们给出ph=pt+1（·，ωt）的β和κtin（11）的显式值，并证明NA（QT）。引理4.10假设假设4.8已满足，且所有1≤ 我≤ D全部1≤ t型≤ T、 ThenDt+1（ωT）=所有ωT的Rd∈ Ohm坦德1≤ t型≤ T- 1 ANDNA（QT）条件成立。Letκt（ωt）：=水貂∈Kpt+1Gk（ωt），ωt> 0和βt（ωt）：=ln 2√n> 0，（16）其中k是从{1，···，d}到{-1，1}和somek∈ KGk（ωt）：=k（一）Yit+1（ωt，·）<-第2层，第1层≤ 我≤ d. （17） 那么，无论如何∈ RdH |=1pt+1h类St+1（ωt，·）<-βt（ωt），ωt≥ κt。

（18） 证明。首先，我们认为所有ωt∈ Ohmt、 Dt+1（ωt）=Rd。为此，我们证明Dt+1Y（ωt）：=\\A. Rn，关闭，pYt+1（ωt，·）∈ A、 ωt= 1.p∈ Qt+1（ωt）= 注册护士。（19） 设Dt+1Y，P（ωt）是Y（ωt，·）在pt+1（·，ωt）下的支撑，见（2）。使用（3）Dt+1Y，P（ωt）Dt+1Y（ωt），证明Dt+1Y，P（ωt）=Rn是不可能的。修正一些ωt∈ Ohmt、 为便于阅读，我们采用以下符号。允许Y（·）=Yt+1（ωt，·），R（·）=ut+1（Yt（ωt），ωt，·），X（·）=Y（·）- R（·），M=νt+1（Yt（ωt），ωt），Z（·）=Zt+1（ωt，·），p（·）=pt+1（·，ωt）。AsX（·）=MZ（·）（见（15）），Z和R在p下是独立的，X和R在p下也是独立的∈ Rn，ε>0。假设M是可逆矩阵：存在∈ Rn，α>0，使得B（y，α） M-1（B（x，ε））。假设4.8的第四项与Lemm a 5.2一起表示P（X（·））∈ B（x，ε））=pZ（·）∈ M-1（B（x，ε））≥ p（Z（·）∈ B（y，α））>0p(Y（·）∈ B（x，ε））=p（x（·）+R（·）∈ B（x，ε））=ZRp（x（·）∈ B（x- u、 ε））pR（du）>0，因为X和R在p下是独立的。引理5.2意味着X和Y不等于Rn。对于所有0≤ t型≤ T-1，ωt∈ Ohmt、 Dt+1（ωt）=Rd和0∈ Ri（Aff（Dt+1）（ωt））。定理3.24意味着NA（QT）条件得到验证。现在修复一些ωt∈ Ohm串联h∈ RDH |=1。首先，Dt+1Y，P（ωt）=rn意味着对于所有k∈ K、 ωt∈ Ohmtpt+1Gk（ωt），ωt= pt+1(Yt+1（ωt，·）∈ Oh，ωt）>0，（20），其中Oh：={z∈ Rn，k（i）zi<-第2层，1.≤ 我≤ d} 是一组Rn的o笔。设置k*（i） ：=所有1的符号（hi）≤ 我≤ d、 然后k*∈ K、 设ωt+1∈ Gk公司*（ωt）as（20）表示Gk*（ωt）不为空。适用于所有1≤ 我≤ d、 你好Sit+1（ωt，ωt+1）=hi | k*（一）Yit+1（ωt，ωt+1）≤ -ln 2 |嗨|≤ 0、当| h |=1时，存在1≤ 我*≤ d使√n≤√d≤ |你好*| ≤ 1和HSt+1（ωt，ωt+1）<-第2层√n+Xi6=i*你好Yit+1（ωt，ωt+1）≤ -第2层√n、 因此pt+1（hSt+1（ωt，·）<-第2层/√n、 ωt）≥ 水貂∈Kpt+1（Gk（ωt），ωt）. 回顾（20），（18）是令人满意的。

我们现在处理对数正常情况。M-1（B（x，ε））在Rn中是开放的，并且不是空的，因为M是Rn上的双射函数。用符号pR（A）=p（R∈ A） 对于所有A∈ B（Rn）。引理4.11假设假设假设4.8是满足的，并且假设所有1≤ 我≤ D全部1≤ t型≤ T、 ThenDt+1（ωT）=所有ωT的Rd∈ Ohm坦德1≤ t型≤ T- 1 ANDNA（QT）条件成立。Letκt（ωt）：=水貂∈Kpt+1Gk（ωt），ωt> 0βt（ωt）：=最小值1，最小1≤我≤dSit（ωt）√n> 0，（21）回顾（17）对Gk（ωt）的定义。那么，无论如何∈ RdH |=1pt+1h类St+1（ωt，·）<-βt（ωt），ωt≥ κt.证明。让0≤ t型≤ T- 1和fixωt∈ Ohmt、 使用（3）Dt+1P（ωt） Dt+1（ωt），证明Dt+1P（ωt）=Rd是不可能的。如果对于Rd的任何开集O，p(St+1（·，ωt）∈ O、 ωt）>0。固定rdo的一个开集，并设Fωt:Rn→ Rdbe定义为fωt（x，···，xn）=（eYt（ωt）（ex- 1） ，···，eYdt（ωt）（exd- 1)). As Fωtis连续F-1ωt（O）是Rn的一个开放集。然后eYt+1（·，ωt）- eYt（ωt）∈ O、 ωt= peYt（ωt）eYt+1（·，ωt）- 1., ··· , eYdt（ωt）eYdt+1（·，ωt）- 1.∈ O、 ωt= pYt+1（·，ωt）∈ F-1ωt（O），ωt> 0，再次使用（19）和引理5.2。因此，对于所有0≤ t型≤ T- 1，ωt∈ Ohmt、 Dt+1（ωt）=Rdand0∈ Ri（Aff（Dt+1）（ωt））。定理3.24意味着NA（QT）条件得到验证。固定aωt∈ Ohmt、 h类∈ RDH |=1。然后St+1（ωt，ωt+1）=dXi=1hiSit（ωt）eYit+1（ωt，ωt+1）- 1.. （23）让k*∈ K作为前面引理的证明，并设ωt+1∈ Gk公司*（ωt）。

首先，对于所有人1≤ 我≤ d、 hiSit（ωt）eYit+1（ωt，ωt+1）- 1.<(-|hi | Sit（ωt）如果k*（i） =1-|hi | Sit（ωt）如果k*（i） =-1.≤ 当| h |=1时，有一个组件hi*因此√n≤√d≤ |你好*| ≤ 1和as Si*t（ωt）>0，（23）表示hSt+1（ωt，ωt+1）<-硅*t（ωt）√n+Xi6=i*hiSit（ωt）eYit+1（ωt，ωt+1）- 1.≤ -最小1≤我≤dSit（ωt）√n、 因此，pt+1h类St+1（ωt，·）<-最小1≤我≤dSit（ωt）√n、 ωt≥ 水貂∈Kpt+1Gk（ωt），ωt,使用（20），（22）是令人满意的。备注4.12注意，在这两种情况下（Sit=YIT和Sit=eYit），我们都可以选择P*= Pin定理3.30。现在，我们给出一个一维图，说明QT不占主导地位的先前设置。取n=d=1和Ohmt： =Ohm 对于一些抛光空间Ohm. 设Z是定义在上的某个实值随机变量Ohm 和p∈ P(Ohm) 在p下，Z正态分布，平均值为0，标准偏差为1。设置P：=P ···  pandZt+1（ωt，ωt+1）：=Z（ωt+1），对于所有0≤ t型≤ T- 1和ωt∈ Ohmt、 定义F:P(Ohm) → RbyF（p）：=Ep（Z），Ep（Z- Ep（Z））- 1.和F（ωt，ωt+1）：=对于所有0≤ t型≤ T- 1和ωt∈ Ohmt、 最后，设置Qt+1（ωt）：={p∈ P(Ohm), F（p）=0}=：所有0的Q≤ t型≤ T- 1，ωt∈ Ohmt、 对于每个ωt，n个下一周期的驱动过程Z的规律以方差1为中心，但不一定是正态分布的。如果我们选择Y：=1，并且对于所有0，则验证关于Y的动态o的假设4.8≤ t型≤T- 1，x∈ R、 （ωt，ωt+1）∈ Ohmt×Ohmut+1（x，ωt，ωt+1）：=rt（ωt）：=r，νt+1（x，ωt）：=σ，qt（ωt）：=σ，对于某些r∈ R和σ>0固定。像Yt=r+σZ，Z正态分布，平均值为0，p下的标准偏差为1，（16）（或（21））表示κt=κ=min时的t hΦ-ln 2+rσ, 1.- Φ第2层- rσ其中Φ是一些正态律的相对分布函数，其中me为0，标准差为1。我们已经看到βt（ωt）=β=（ln2）/√当St=Yt时为n。

在另一种情况下，St（ωt）=exp（Yt（ωt））=exp1+rt+σPti=1Z（ωi）βt（ωt）=（1/2）min（1，St（ωt））（见（21））。最后，se t QT不占主导地位。事实上，我们证明Q不是占优的，并使用命题4.1得出结论。假设有一些bp∈ P(Ohm) 占主导地位。对于x 6=0，让qx∈ P(Ohm) 这样qx（Z=x）=2x，q（Z=-x） =2x，q（Z=0）=1-x、 然后qx∈ Q和{x∈ R、 bp（{Z=x}）>0}=R \\{0}，这是一个矛盾。5证明第一节用确定性初始数据展示了我们问题的单周期版本。我们将研究套利的不同概念及其等价性（见第5.7节）。我们还证明了命题5.8，该命题将用于定理3.30的证明。第二节利用单周期结果和可测选择技术证明了多周期结果。最后，第三部分给出命题4.1.5.1单周期模型的证明(Ohm, G） 为测量空间，P(Ohm) 定义在Gand Q上的所有概率测度集是P的非空凸集(Ohm). 对于P∈ Q固定，Ep表示P下的预期值。设Y为G-可测Rd值随机变量。以下集合是定义2.3中引入的单周期情形中的笔dant。让P∈ QE（P）：=\\A. Rd，闭合，P（Y（.）∈ A） =1,D：=\\A. Rd，闭合，P（Y（·）∈ A） =1，P∈ Q.下一个引理将用于命题3.28的证明。引理5.1LetCbe是一些ε>0的凸集。ThenB（0，ε）∩Aff（C） 仅Cifand ifB（0，ε）∩Aff（C） C、 证明。相反的含义是微不足道的。假设B（0，ε）∩ Aff（C） C和letx∈ B（0，ε）∩ Aff（C）。当| x |<ε时，存在一些δ>0，使得B（x，δ）∩ Aff（C）B（0，ε）∩ Aff（C）C、 因此x∈ Ri（C）=Ri（C） C（见【Rockafellar，1970，定理6.3p46】）。

这个引理可以很容易地描述支撑，并且在论文中多次使用。引理5.2Leth∈ RdandP公司∈ P(Ohm)固定。然后，h∈ E（P）当且仅当所有n≥ 1，P（Y（·）∈ B（h，1/n））>0。同样，h∈ Dif且仅当所有≥ 1，存在SSOMEPN∈ Q、 例如Pn（Y（·）∈ B（h，1/n））>0。证据固定一些h∈ 定义为Rd的h/∈ E（P）当且仅当存在o笔集时 Rd使h∈ O和P（Y（·）∈ O） =0，第一项如下。同样，h/∈ Dif且仅当存在开集O时 Rd使h∈ O和P（Y（·）∈ O） =0表示allP∈ 问题和问题如下。现在，我们介绍在这一时期背景下无套利的定义。firstone是NA（QT）状态的一个周期，而其他两个是定义3.19和3.20的依赖项。定义5.3如果hY（·），则一期无套利条件成立≥ 某些h的0 Q-Q.s∈ r表示hY（·）=0 Q-Q.s.definition 5.4如果0，则一期几何无套利条件为真∈ Ri（Conv（D））。这相当于0∈ Conv（D），存在一些ε>0，使得B（0，ε）∩A ff（D）Conv（D）。定义5.5如果t中存在一些常数β、κ，则一期定量无套利条件成立∈ （0，1）使所有h∈ Aff（D），h 6=0存在Ph∈ QsatisfyingPh（hY（·）<-β| h |）≥ κ. （24）备注5.6我们记得，如果0/∈ Ri（Conv（D））存在一些h*∈ Aff（D），h*6=0，使h*Y（·）≥ 0 Q-Q.s.这是一个依赖于分离论证的经典练习，参见【Rockafellar，1970，定理11.1，11.3 p97】或【F¨ollmer and Schied，2002，命题a.1】。命题5.7确定上述三个条件实际上是等效的。命题5.7定义5.3、5.4和5.5相当。