离散时间多先验无套利

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英文标题：
《No-arbitrage with multiple-priors in discrete time》
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作者：
Romain Blanchard and Laurence Carassus
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最新提交年份：
2019
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英文摘要：
  In a discrete time and multiple-priors setting, we propose a new characterisation of the condition of quasi-sure no-arbitrage which has become a standard assumption. This characterisation shows that it is indeed a well-chosen condition being equivalent to several previously used alternative notions of no-arbitrage and allowing the proof of important results in mathematical finance. We also revisit the so-called geometric and quantitative no-arbitrage conditions and explicit two important examples where all these concepts are illustrated.
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中文摘要：
在离散时间和多先验条件下，我们提出了一种新的准确定无套利条件的特征，这已成为一种标准假设。这一特征表明，这确实是一个精心选择的条件，相当于之前使用的几种无套利的替代概念，并允许证明数学金融中的重要结果。我们还重新讨论了所谓的几何和定量无套利条件，并明确了两个重要的例子，其中说明了所有这些概念。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
--> No-arbitrage_with_multiple-priors_in_discrete_time.pdf (525.19 KB)

2022-6-14 12:55:54 上传

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关键词：离散时间 无套利 Mathematical Quantitative mathematica

离散时间内无多优先级套利Romain Blanchard，电子邮件：romblanch@hotmail.comLaurenceCarassus，电子邮件：laurence。carassus@devinci.frL2011年法国兰斯香槟大学阿登分校巴黎埃芬塞分校研究中心，邮编92916。2019年10月8日在离散时间和多个先验条件下，我们提出了准确定无套利条件的一个新特征，这已成为一个标准假设。这一特征表明，这确实是一个精心选择的条件，相当于之前使用的几种无套利替代方案，并允许在数学金融中获得重要结果。我们还重新讨论了所谓的几何和定量无套利条件，并给出了两个重要的例子来说明所有这些概念。关键词：无套利，奈特不确定性；多重先验；非支配型m模型2000主题分类：初级91B70、91B30、28B20.1简介无套利的概念是现代数学金融理论的基础。粗略地说，这意味着如果不冒一些风险，就不可能有盈利的希望。在经典的单一先验条件下，资产定价的基本理论（简称FTAP）将无套利的适当概念与等效风险中性概率测度的存在联系起来。这个结果对于定价问题至关重要，即对于一个给定的索赔，超级复制价格是通过市场交易超级复制它所需的最低售价。FTAPwas最初在【Harrison和Kreps，1979】、【Harrison和Pliska，1981】和【Kreps，1981】中正式化，而【Dalang等人，1990】将其建立在一般离散时间设置中，并【Delbaen和Schachermayer，1994】建立在连续时间模型中。

关于这一主题的文献非常多，我们参考了【Delbaen和Schachermayer，2006年】，以了解总体概况。然而，长期以来，经济学文献对单一概率测度的依赖性提出了质疑，并经常被称为骑士不确定性，参考文献【Knight，1921年】。在金融领域，它被称为模型风险，也有着悠久的历史。金融危机加上金融市场结构和行为的演变，使得这些问题对学者和从业者来说更加尖锐。特别是，这推动了进一步的研究，以找到无套利的好方法，从而扩展FTAP和超级复制价格特征，同时考虑模型的不确定性。这种努力的一个典型例子是，直接受具体情况的推动，为一些奇异的衍生产品（如障碍期权、回溯期权、两位数期权等）找到无套利价格使用A输入活跃交易的欧洲期权的价格，而不对标的证券的动态做出任何假设。这就是所谓的独立于模型的方法，于【Hobson，1998年】首创。我们参考【Hobson，2011】了解相关Skorokho d嵌入问题的详细描述。

重要的是，【Davis和Hobson，2007】已经表明，适当鞅测度的存在与模型独立套利的存在之间的预期二分法可能不成立。【Acciaio等人，2013年】还建立了一个模型独立框架下的FTAP，该框架的无套利概念相当薄弱，但假设存在具有超线性增长回报函数的交易期权。建模不确定性的另一种方法是用一组表示所有可能模型的先验值代替经典设置的单一概率度量值：这就是所谓的准确定或多先验方法。由于集合可以在给定空间上的单个和所有概率度量之间变化，此公式适用于各种设置，包括经典设置。由于这组先验不被认为是占主导地位的，这就提出了具有挑战性的数学问题，并导致了创新工具的发展，如准随机分析、非线性期望和G-Brownian运动。关于这些主题，除其他外，我们参考了【Peng，2008，2011】、【D e nis and Martini，2006】、【Denis et al.，2011】、【Nutz and van Handel，2013】、【Soner et al.，2011a】和【Soner et al.，2011b】。按照这种方法，【Bouchard和Nutz，2015】在时间范围为T的离散时间设置中引入了一种称为NA（QT）条件的无套利条件（其中QT代表所有可能的模型）。它指出，如果交易策略的终值是非负QT准肯定，那么它总是等于0 QT准肯定（见定义3.1）。这是经典u-n-i-prior的自然扩展，几乎是sureequality和不等式被其准sure挂件所取代。【Bouchard和Nutz，2015年】建立了FTAP的推广以及超边缘定理。

该框架还被用于研究大量相关问题（具有交易成本的FTAP、美式期权、最坏情况下的最优投资等）此外，我们还参考了【Bouchard和Nutz，2016】、【Bayraktar等人，2015】、【Blanchard和Carassus，2018】和【Bartl，2019b】。最后，所谓的路径方法是一种更富有成效的建模方法：在这种情况下，通过描述相关事件或场景的子集引入不确定性，而无需参考任何概率度量，也无需指定其相对权重。在离散时间环境中，【Burzoni et al.，2016c】【Burzoni et al.，2016a】引入了一组代表代理人信念的场景，套利类是一种交易策略，导致终值对于S中的所有事件始终为非负值，对于S中的至少一个事件始终为正值。然后获得相应的FTAP。请注意，通过选择不同的集合S，可以考虑无套利的不同定义，尤其是可以通过选择S的整个空间来恢复前面提到的模型独立方法。重要的是，【Obl\'oj和Wiesel，2018】最近统一了准肯定方法和路径方法，表明在技术假设下，两种方法实际上是等效的（见Metatheorem1.1，另见备注3.34）。在本文中，我们遵循[Bouchard和Nutz，2015]的多先验方法。套利是一种在世界所有国家都具有严格正的最终回报的策略。尽管取得了成功，人们仍可能怀疑NA（QT）状态是否“正确”。事实上，至少乍一看，在这种情况下，甚至不清楚是否存在模型P∈ qt满足单先验无套利条件NA（P）。定理3.30将证明这实际上是可能的。

但正如Lemmata 3.7和4.5所示，QT可能仍然包含一些不无套利的模型。这意味着代理人可能无法以无套利的方式使用不同的波动率水平对简单的普通期权进行三角对冲。因此，可以假设每个模型都是无套利的，而不是NA（QT），即NA（P）条件对每个模型P都成立∈ QT。我们称此sNA（QT）为强无套利，请参见定义3.3。这种替代条件出现在无界函数稳健效用最大化的最新结果中，例如参见【Blanchard和Carassus，2018】和【Rasonyi和Meireles Rodrigues，2018】。我们的主要结果提供了NA（QT）条件的特征，为这些问题提供了某种明确的答案，并确认NA（QT）条件确实是准确定环境中的“正确”条件。更准确地说，定理3.8表明，NA（QT）条件等价于先验PT子类的存在 QT使PT和QT具有相同的极性集（大致表示相同的相关事件），并使sNA（PT）成立。除了能够更好地理解NA（QT）的经济含义外，定理3.8还提供了几个重要结果。首先，它允许使用经典的Dalang-Morton-Willinger定理（见推论3.12和[Bayraktar和Zhou，2017，定理2.1]）对[Bouchard和Nutz，2015]的FTAP的一个矛盾进行短期证明。然后，定理3.8为鲁棒效用最大化问题的解的存在性提供了易于处理的定理。我认为它可以证明NA（QT）和以前在Literature中用于解决这个问题的两个其他条件之间的等价性。第一个是Bartl等人提出的无套利条件。

【2019年】规定，对于每一个priorQ∈ QT存在先验P∈ QT使Q<< P和NA（P）成立（见推论3.11）。第二个是【Rasonyi和Meirelis Rodrigues，2018年】所使用的条件，该条件要求存在一个模型P*∈ QTNA（P*) 因此，对于该模型，条件支持产生的有限空间始终等于Rd（见定理3.30，备注3.35，以及单周期设置中的[Bayraktar和Zhou，2017]）。最后，定理3.8表明，在鲁棒期望效用最大化问题中，可以用集合PTI代替集合QT，而不改变值函数（见引理3.14和推论3.17）。然后，我们介绍了称为几何和定量条件的NA（QT）条件的局部特征（见定义3.19、3.20和定理3.24）。几何条件可以追溯到【Jacod和S h iryaev，1998，定理3 g】的uni Preor设置中，并提供了一些几何直觉。定理3.24将前面的结果推广到准肯定设置。几何条件是多先验文献中的一个重要工具。【Obl\'oj和Wiesel，2018年】和【Burzoni等人，2016b】已经在不同的设置中使用了它。具体证明theNA（QT）条件成立也是有效的。定量无套利可追溯到【Rasonyi和Stettner，2005年，命题3.3】，并用于使用动态规划原理解决优化问题。例如，它为预期效用最大化问题中的最优策略提供了明确的界限，见备注3.22。

再次，Theorem3.24将[R'asonyi和Stettner，2005，命题3.3]推广到准肯定设置。与命题3.28和3.37一起，这填补了【Blanchard和Carassus，2018，命题2.3】中的一个空白，证明了不同的可测性结果，并开启了解决【Bouchard和Nutz，2015】集合中整条实线上定义的无界ut函数的多重先验最优投资问题的可能性（见Remark3.29）。最后，命题3.39明确了支配情况下无仲裁的不同概念之间的关系，而命题4.1用于构建非支配的概率测度集QT的示例。证明遵循相同的想法：我们首先研究了一个具有确定性初始数据的单周期问题，其中我们依赖分离定理和有限维的初等几何关联。然后，我们根据高级可测量选择参数将结果扩展到mu-lti周期设置。命题4.1的证明也依赖于相对较新的拓扑结果。最后，通过两个具体而有用的例子对这些理论结果进行了补充。第一个模型提出了一个多先验二项模型，第二个模型提出了一种引入扩散过程离散化动力学不确定性的代理方法。在这两种情况下，我们都证明了NA（QT）条件成立，并为NA（QT）条件的几何和定量版本中引入的参数以及设定PT提供了明确的表达式。本文的结构如下：第2节介绍了本文所需的框架和内容。介绍了处于研究核心的条件支持的不同定义，并建立了重要的可测量性结果。第3节包含无套利的不同定义以及我们的主要结果。

在第4节中，我们提出了两个详细的例子来说明以前的结果，以及如何建立一套不占主导地位的概率测度。最后，第5节收集了缺失的证据。2模型本节介绍了我们的多优先级框架，并给出了介绍性定义。2.1不确定性建模全局概率空间的构建基于局部概率（时间t和t+1之间）的乘积，使用以下假设2.2下的可测量选择。这是为动态规划方法量身定做的。我们定义了一个时间范围T∈ N并引入一个序列(Ohmt） 1个≤t型≤Tof抛光空间。每个Ohmt+1包含时间t和t+1之间的所有可能场景。对于一些1≤ t型≤ T，我们开始Ohmt： =Ohm×···×Ohmt（按照惯例Ohm被简化为单态），B(Ohmt） 它的Borelsigma代数与P(Ohmt） 上的所有概率度量集(Ohmt、 B类(Ohmt） ）。元素Ohm斜纹由ωt=（ω，…，ωt）=（ωt）表示-1，ωt）表示（ω，…，ωt）∈ Ohm× ··· × Ohmt、 我们还将介绍通用西格玛代数Bc(Ohmt） 这是B（Ohmt） 。设S：={St，0≤ t型≤ T}是一个Rd值进程，其中对于所有0≤ t型≤ T，St=（Sit）1≤我≤Dre表示时间t时d风险证券的价格。我们假设存在一个价格为常数且等于1的无风险资产集。我们还提出了【Bouchard和Nutz，2015年】中所述的以下假设，我们参考了这些假设，以了解框架的更多细节和动机。假设2.1过程S为（B(Ohmt） ）0≤t型≤T适应。交易策略由（Bc）表示(Ohmt型-1))1≤t型≤T-可测和d-维过程φ：={φT，1≤ t型≤ T}其中所有1≤ t型≤ T，φT=（φit）1≤我≤d表示投资者在时间t时持有的每项d资产。所有此类交易策略的集合用Φ表示。符号St：=St- St公司-1将经常使用。

如果x，y∈ 然后，concatenation xy代表它们的标量积。符号|·|表示Rd（或R）上的欧几里得形式。交易假设为自融资，投资组合在t时的价值φ从初始资本x开始∈ R由vx给出，φt=x+tXs=1φs不锈钢。我们构造了市场中所有可能先验的集合QT。对于所有0≤ t型≤ T-1，letQt+1：OhmtP(Ohmt+1），其中Qt+1（ωt）可被视为给定状态ωtuntil时间t的第个周期的所有可能先验的集合。假设2.2对于所有0≤ t型≤ T- 1，Qt+1是一个非n-空凸值随机集，如图（Qt+1）=（ωt，P）∈ Ohmt×P(Ohmt+1），P∈ Qt+1（ωt）是一个分析集。设X是一个抛光空间。X的解析集是一些波兰空间的连续图像，参见【Aliprantis and Border，2006，定理12.24 p447】。我们用A（X）表示X的解析集集，并回顾了一些关键属性，这些属性通常在本文其余部分不作进一步参考的情况下使用。解析集的投影是一个解析集参见（【Bertsekas和Shreve，2004，命题7.39 p165】），解析集的可数并或交集是一个解析集（参见【Bertsekas和Shreve，2004，推论7.35.2 p160】），解析集的笛卡尔积是一个解析集（参见【Bertsekas和Shreve，2004，命题7.38 p165】），分析集的映像或预映像是一个分析集（见[Bertsekas and Shreve，2004，命题7.40 p165]），和（见[Bertsekas and Shreve，2004，命题7.36 p161，推论7.42.1 p169]）B（X） A（X） Bc（X）。然而，一个解析集的完备性不需要是一个解析集。为了完整起见，我们还将使用投影定理（见【Castaing and Valadier，1977，定理3.23 p75】）和奥曼定理（见【Sainte Beuve，1974，推论1】）的一个特例，无需进一步参考。