离散时间多先验无套利

为了证明逆不等式，只要证明φ∈ Φ（x，U，PT）eq+（·，Vx，φT（·））<∞ 俄勒冈州-（·，Vx，φT（·））<∞ 对于任何Q∈ QT。如果U从上方有界，这显然是正确的。现在假设假设3.13成立。让Q∈ 固定崩解的QT Q：=P q . . .  qTand选择器：=P*+Pp*+q . . . p*T+qT.然后R∈ PT，见（5）。假设ERU+（·，Vx，φT（·））<∞ （同样的论点适用于否定部分）。ThenTEQU+（·，Vx，φT（·））≤ ERU+（·，Vx，φT（·））<∞.Thusu（x）=supφ∈Φ（x，U，PT）infP∈QTEPU（·，Vx，φT（·））。接下来，我们展示了对于所有x≥ 0和φ∈ Φ（x，U，PT）U（x，φ）：=infP∈QTEPU（·，Vx，φT（·））=infP∈PTEPU（·，Vx，φT（·））=：上（x，φ）。（7） 作为PT QT，向上（x，φ）≥ u（x，φ）。让Q∈ 固定崩解Q的QT：=P q. . .  qT。LetPn：=nP公司*+1.-nPnp公司*+1.-nq . . . np公司*T型+1.-nqT.则（5）表示Pn处的t h∈ PT，向上（x，φ）≤ EPnU（·，Vx，φT（·））（8），EPnU（·，Vx，φT（·））中唯一不乘以1/n的项是（1-1/n）特驱（·，Vx，φT（·））。此外，（5）意味着EPnU（·，Vx，φT（·））中出现的所有其他概率测度都属于PT。修复R∈ PTA是这一措施之一，并注意φ∈ φ（x，U，R）。理论3.8证明sNA（PT）和NA（R）条件均成立。我们首先证明ERU+（·，Vx，φT（·））<∞. 如果U从上方固定，这是立即的。假设假设3.13成立。然后【Blanchard等人，2018年，定理4.17】显示了几乎所有ωt∈ OhmT、 | Vx，φT（ωT）|≤TYs=1x个+|Ss（ωs）|αRs-1（ωs-1)=:λ∈ WT（9）组件Ss，αRs∈ Wsfor所有s≥ 1、假设x≥ 1否则，通过U+的单耳性，1可以用1代替x。然后【Blanchard和Carassus，2018年，提案3.24】（作为λ≥ 1） 表示Eru+（·，Vx，φT（·））≤ 4ERTYs=1x个+|Ss（·）|αRs-1(·)U+（·，1）+U-(·,)!< ∞,U+（·，1），U-(·,) ∈ 当前重量（如果ERU）-（·，Vx，φT（·））=-∞, 作为R∈ 我们得到u（x，φ）≤ 上（x，φ）=-∞. ThusuP（x，φ）=u（x，φ）。

否则让n进入（8）中的单位，我们得到（x，φ）≤ 等式（·，Vx，φT（·）），取所有Q的最小值∈ QT，向上（x，φ）≤ 证明了u（x，φ）：（7）。最终取（7）全部φ的上确界∈ Φ（x，U，PT），我们得到U（x）=上（x）。为了说明（6）存在最优解的推论，我们需要两个额外的假设。假设3.15存在一些0≤ s<∞ 此类th位于-s≤ Sit（ωt）<+∞ 适用于所有1≤ 我≤ d、 ωt∈ Ohm串联0≤ t型≤ T假设3.16适用于所有r∈ Q、 r>0，支持∈QTEPU-（·，r）<+∞.推论3.17假设theNA（QT）条件和假设2.1、2.2、3.15和3.16成立。此外，假设U是从上面看r有界的，或者假设3.13成立。莱克斯≥ 然后，存在一些最优策略φ*∈ Φ（x，U，QT），使得U（x）=infP∈QTEPU（·，Vx，φ*T（·））<∞.证据修复一些x≥ 定理3.8暗示sNA（PT）成立。因此【Blanchard和Carassus，2018，定理3.6】给出了uP（x）的最优策略的存在性。引理3.14允许得出结论，因为u（x）=向上（x）。3.2局部无套利条件和进一步结果我们现在转向局部条件，由于模型的结构，这些条件是证明的核心。我们回顾了【Bouchard和Nutz，2015，定理4.5】的第一部分，其中阐明了全球版本NA（QT）与其本地版本之间的基本联系。定理3.18假设假设2.1和2.2成立。那么下面的陈述是等价的。1、无（QT）条件成立。2、全部0≤ t型≤ T- 1，存在aQt完整度量集OhmtNA公司∈ 卑诗省(Ohmt） 使所有ωt∈ OhmtNA，hSt+1（ωt，·）≥ 0 Qt+1（ωt）-q.s。

为了某些人∈ R意味着St+1（ωt，·）=0 Qt+1（ωt）-q.s。我们提出了无套利的另外两个局部定义，并建立了它们与定理3.24中的NA（Qt）条件的等价性，这与定理3.18类似。第一个定义提出了无套利的几何视图。Theo-rem 3.24扩展了[Jacod和Shiryaev，1998，定理3g]的u n i-先验结果，另见[Kabanov和Safarian，2010，命题2.1.6]。请注意，几何无套利出现在不同的多重先验背景下，参见【Obl\'oj和Wiesel，2018，命题6.4】和【Burzoni等人，2016b，C orollary 21】。类似的想法已经在【Bouchard和Nutz，2015年，引理3.3】中得到了利用。定理3.24也将允许我们证明命题3.28和定理3.30。回想一下，对于凸集C Rd，C的相对内部（见【Rockafellar，1970年，第6节】）为Ri（C）={y∈ Cε>0，Aff（C）∩B（y，ε） C} 其中，B（y，ε）是以y为中心，半径为ε的开口球。此外，对于凸值随机集R，Ri（R）是由Ri（R）（ω）：=Ri（R（ω））定义的ω的随机集∈ Ohm.定义3.19几何无套利条件适用于所有0≤ t型≤ T-1，存在一些Qt全量测集OhmtgNA公司∈ 卑诗省(Ohmt） 对于所有ωt∈ OhmtgNA，0∈Ri（Con v（Dt+1））（ωt）。在这种情况下，对于所有ωt∈ OhmtgNA，存在εt（ωt）>0这样的thatb（0，εt（ωt））∩ Aff公司Dt+1（ωt） 卷积和多项式相乘Dt+1（ωt）。（10） 几何（局部）无套利条件确实是可行的：与Theorem3.24一起，它允许检查（全局）NA（QT）条件是否成立。

作为所有1的QTand≤ t型≤ TSt+1表示一个得到Ri（Conv（Dt+1））（·），并且很容易检查0是否在其中（有关此类推理的示例，请参见第4节）。其次，本着[R'asonyi和Stettner，2005，提案3.3]（另见[Blanchard和Carassus，2018，提案2.3]）的精神，我们引入了所谓的定量无套利条件。定义3.20如果所有0，则定量无套利条件成立≤ t型≤T- 1，存在一些Qt全量测集OhmtqNA∈ 卑诗省(Ohmt） 对于所有ωt∈ OhmtqNA，存在βt（ωt），κt（ωt）∈ （0，1）使得对于所有h∈ Aff（Dt+1）（ωt），h 6=0存在sph∈ Qt+1（ωt）满足pHh类St+1（ωt，·）<-βt（ωt）| h|≥ κt（ωt）。（11） 在re仅为风险资产且只有一个期间的情况下，（11）被解释为：存在一个先前的p+，风险资产的价格上涨幅度足够大，另一个p+-其减少，即p(±S（·）<-β) ≥ κ，其中β，κ∈ (0, 1).数字κ用于衡量收益/损失概率和误差的数值β。备注3.21定义3.20是对[Rasonyi和Stettner，2005，命题3.3]的多重先验设置的直接改编：概率度量取决于策略。对于买入或卖出一定数量的风险资产的代理人来说，总是有可能遭受潜在损失。命题3.37将表明，事实上，对于定义3.20中的所有策略，可以先选择一条评论。备注3.22定理3.8和命题3.37对于解决期望效用最大化问题很有价值。例如，当效用函数U定义为（0，∞) 它们为一步策略或U（Vx，ΦT）提供了自然边界，见（9）和[Blanchard和Carassus，2018，引理3.11和（44）]。

这被用来证明最优策略的存在性，但也可以用于数值计算。我们在第4节中提出了βtandκt的显式值。备注3.23在（11）中，βt（ωt）提供了关于Dt+1（ωt）的信息，而κt（ωt）提供了关于Qt+1（ωt）的信息。此外，定义3.20可等效如下：对于所有0≤ t型≤ T- 1，存在一些Qt全量测集OhmtqNA∈ 卑诗省(Ohmt） 使所有ωt∈ OhmtqNA，存在αt（ωt）∈ （0，1）使得对于所有h∈ Aff（Dt+1）（ωt），h 6=0存在ph∈ Qt+1（ωt）满足pHh类St+1（ωt，·）<-αt（ωt）| h|≥ αt（ωt）。（12） 实际上，（12）意味着（11），并假设（11），（12）为真，αt（ωt）=min（κt（ωt），βt（ωt））∈(0, 1).定理3.24假设假设2.1和2.2成立。然后，a（QT）条件（见定义3.1）、几何无套利（见定义3.19）和定量无套利（见定义3.20）是等效的，可以选择OhmtNA公司=OhmtqNA=OhmtgNAfor ALL 0≤ t型≤ T- 此外，可以选择βt=εt/2in（11）（对于（10）中产生的εt）。证据见第5.2.2节。备注3.25在假设2.1和2.2以及任何无套利条件下，0∈ Conv（Dt+1）（ωt）和Aff（Dt+1）（ωt）是所有ωt的向量空间∈ OhmtNA。下一个命题是【Jacod和Shiryaev，1998，定理3】，但也可以作为定理3.24与【Bertsekas和Shreve，2004，Lemma 7.28 p174】和【Aliprantis和Border，2006，定理12.28】在特定设置中的直接应用，其中QT={P p ···  pT}。事实上，定理3.24并不直接适用，因为图（pt）属于Bc的隐修会(Ohmt×P(Ohmt+1），而不是(Ohmt×P(Ohmt+1），需要构建一些Borel可测量的pt版本。

命题3.26将在续集中使用，以证明NA（P）条件h为真。命题3.26假设假设假设2.1适用于t rue和letP∈ P(OhmT） 固定崩解P：=P p ···  pTwherept∈ SKT适用于所有1≤ t型≤ T、 ThentheNA（P）条件成立，当且仅当0∈国际扶轮社卷积和多项式相乘Dt+1P（·）Pt-a.s.适用于所有0≤ t型≤ T- 备注3.27类似地，在命题3.26的假设下，可以证明NA（P）条件成立，当且仅当QT={P}的定量无套利成立，这正是[R'asonyi和Stettner，2005，命题3.3]。在这种情况下，我们用αPt表示αtin（12）。我们现在建立一些棘手的可测性属性。命题3.28假设假设假设2.1和2.2成立。在无套利条件下（见定义3.1、3.19和3.20），可以选择aBc(Ohmt） εt（in（10））和βt（in（11））的可测量版本。证据见第5.2.2节。备注3.29κt的可测性不能直接从εt的可测性中推断出来，但根据定理3.8，将在命题3.37中获得。κ的可测性有助于解决在整个实线上定义的u n有界效用函数的多先验最优投资问题，因为最优策略的边界取决于κtsee，例如，在非稳健设置中【R’asonyi和Stettner，2005，（17）】，以及在稳健环境中【R’asonyi和Meires Rodrigues，2018，引理3.3的证明】。下一个定理至关重要。这是迈向定理3.8的第一步：它给出了测度P的存在性*它允许递归地构建set PT（参见（5））。但这也是我们自己的兴趣所在，因为它给出了en-NA（QT）和wNA（QT）之间的等价性。定理3.30假设假设2.1和2.2成立。

当且仅当存在某个*∈ QT使AffDt+1P*（ωt）=Aff（Dt+1）（ωt）和0∈国际扶轮社转换（Dt+1P*)（ωt）表示所有0≤ t型≤ T- 1，ωt∈ OhmtNA。集合Ohm定理3.18中介绍了tNAwas，另见（26）。证据见第5.2.3节。备注3.31【Bayraktar和Zhou，2017，引理2.2】在一个周期内证明了定理3.30。备注3.32概率测度P*定理3.30不是唯一的。事实上，在NA（QT）下，所有P∈ PTF满足AffDt+1P（ωt）=Aff（Dt+1）（ωt）和0∈ R i转换（Dt+1P）（ωt）对于所有0≤ t型≤ T- 1，ωt∈ OhmtNA，见定理3.8的证明步骤2 iii）。备注3.33定理3.30中的主要（和难点）点是P*∈ QT。因此，anyQt null集也是一个P*-空集合，尤其是OhmP的tNAis*-完全测量（见定理3.18）。So 0∈ 国际扶轮社转换（Dt+1P*)（ωt）表示ωt∈ OhmTNA和NA（P*) 条件成立（见命题3.26）。事实上，从那以后OhmQt满量程的tNAI。我们将在第4节中提供P的明确形式*.备注3.34定理3.30是相关和补充【Obl\'oj和Wiesel，2018，定理3.1】。事实上，在这两种情况下，主要问题是找到一些p*t+1（·，ωt）∈ Qt+1（ωt），使得0∈ 国际扶轮社转换（Dt+1P*)（ωt） Ri（Con v（Dt+1））（ωt）（回忆（3））。这在【Obl\'oj和Wiesel，2018】中被用来与准肯定设置建立联系，在我们的案例中，建立定理3.8。备注3.35【Rasonyi和Meirelis Rodrigues，2018，假设2.1】声称至少存在一个无套利模型（在单一先验意义上），并且对于这种现代模型，条件支持产生的af FINE空间始终等于Rd。

这些是P验证的条件*在定理3.30中，因此[R'asonyi和Meirelis Rodrigues，2018，定理3.7]表明，在NA（QT）下，在整条实线上定义的有界函数的预期效用最大化问题存在。示例3.36概率度量P*∈ QTof定理3.30提供了一种强NA（P*). 引理3.7中最后一项的反例说明了为什么条件AffDt+1P*（·）=Aff（Dt+1）（·）Qt-q.s.在定理3.30中需要。无论如何，这还不足以获得与NA（QT）条件相等的结果，下面的反例说明了为什么0∈ 国际扶轮社转换（Dt+1P*)（·）需要Qt-q.s.以及为什么0∈国际扶轮社转换（Dt+1P*)（·）P*t-p.s.还不够。设T=2，d=1，Ohm:= Ohm:= {-1，0，1}，S：=2，S（ω）：=2+ω，S（ω，ω）：=2+ω+ω。设Pna：=（δ-1+δ），P：=δ和P：=δ是P上的三个概率测度(Ohm). SetQ：=Con v（P，Pna）和定义Q（·）如下：Q（±1）={Pna}和Q（0）={P}。这如图2所示。很明显，假设2.1和2.2是正确的。设p（·）∈ Q（·）和设置P*:= Pna公司 p∈ Q（见图2）。theNA（P*) 因此，wNA（Q）条件成立。此外，DP*（±1）=D（±1）={-1、1}和DP*（0）=D（0）={1}。因此对于所有ω，Aff（DP*) （ω）=Aff（D）（ω）=R.As0∈ Ri（转换（DP*)) （±1）和P*({±1}) = 1, 0 ∈ Ri（转换（DP*)) （·）P*-a、 s.现在让\'Q:=P p∈ Q（见图2）。然后'Q（{0}）=1和0/∈ Ri（转换（DP*)) （0）表示0时的时间∈ Ri（转换（DP*)) （·）(R)Q-p.s.，因此0∈ Ri（C onv（DP*)) （·）Q-Q.s.未验证。让我们检查NA（Q）条件是否成立。选择φ∈ Φ使得φ=0且φ（ω）=1（ω），并再次使用'Q=P p∈ Q、 然后V0，φ≥ 0 Q-Q.s.和\'Q{V0，φ>0}= δ({ω> 0}) = 1.现在替换QbyeQ（·）：=Con v（Pna，P），同时保留Qas before和seteP*:= Pna公司 ep，其中ep（·，ω）：=所有ω的Pna（·）。

然后是DeP*(ω) = { -1，1}，Aff（DeP*)（ω） =Aff（D）（ω）=R和0∈ Ri（转换（DeP*))（ω） 对于所有ω。我们可以直接检查eNA（eQ）条件是否成立。S=4S=3，Q（1）S=3S=2，QS=2，Q（0）S=2S=1，Q(-1） S=1S=0S=4S=3 S=3S=2 S=2 S=2S=1 S=1S=0图2：左侧：模型。右侧：绿色P*最后，我们可以使用（5）andeP*. 很明显，EPI严格包含在Q中，因为它不包含{P q、 q（·，ω）∈公式（ω）}。以下结果为Remark3.29中提出的可测量性问题提供了答案，也为所有策略提供了公社优先权。命题3.37假设假设2.1和2.2以及纳（QT）条件成立。那么对于所有0≤ t型≤ T- 1存在一些BC(Ohmt） -可测量的随机变量βt（·），κt（·）∈ （0，1）使得对于所有ωt∈ Ohm特南德∈Aff（Dt+1）（ωt），h 6=0p*t+1h类St+1（ωt，·）<-βt（ωt）| h |，ωt≥ κt（ωt），其中p*t+1（·，ωt）在定理3.30中用fix分解p定义*:= P* p*··· p*T、 备注3.38只有当Dt+1P时，我们才有βT（ωT）=κT（ωT）=1*（ωt）={0}。实际上，如果βt（ωt）=κt（ωt）=1且Dt+1P*（ωt）6={0}，那么对于所有h∈ Aff（Dt+1）（ωt）w，其中| h |=1 p*t+1（hSt+1（ωt，·）<-1，ωt）=1。修正这样一个h，让Fh：={y∈ Rd，hy≤ -1}. 然后是p*t+1(St+1（ωt，·）∈ F±h，ωt）=1，dt+1P*（ωt）=Et+1（ωt，p*t+1（·，ωt）） F-h类∩ F+h=, 见备注2.5。注意，对于定理3.24，要得到这个结果并不容易，因为（11）中的先验知识依赖于h证明。见第5.2.5节。最后，如果存在一个占支配地位的概率测度bP∈ QT，以下结果为真。命题3.39假设假设假设2.1和2.2成立。进一步假设存在一些支配性度量ebp∈ QT。那么theNA（bP）和theNA（QT）条件是等价的。

在这种情况下，对于所有0≤ t型≤ T- 1，Dt+1bP（·）=Dt+1（·）和0∈国际扶轮社转换（Dt+1bP）（·）Qt-q.s.（13）备注3.40可以选择P*=提案3.37中的bP变更Ohmt通过fullmeasure集合，其中（13）为真。此外，定理3.8中的PT（见（5））可以由bp构造。证据见第5.2.6节。4示例本节提出了多个先验设置的具体示例，以说明我们的结果。我们还使用这些示例来说明如何构建未经处理的概率度量集。这取决于以下结果。命题4.1假设假设假设2.2成立，并且存在∈ QT，约0≤ t型≤ T- 1和一些Ohm田纳西州∈ 卑诗省(Ohmt） 这样的话(OhmtN）>0，因此setQt+1（ωt）不是所有ωt都占主导地位∈ OhmtN.然后才是主导。证据见第5.3节。4.1稳健二项模型假设T≥ 1，d=1和Ohmt=R（或（0，∞)) 适用于所有1≤ t型≤ T风险资产（St）0≤t型≤S=1，St+1=StYt+1，其中Yt+1是实数，B(Ohmt+1）可测量的随机变量，使得Yt+1(Ohmt+1）=（0，∞) 对于所有0≤ t型≤ T- 1（如果Ohmt=（0，∞) 你可以想象Yt=ωt）。y的正性意味着所有ωt的St（ωt）>0∈ Ohmt、 很明显，假设2.1得到验证。那么，对于0≤ t型≤ T- 1 letBt+1（ωt）：={πδu+（1- π） δd，πt（ωt）≤ π ≤ ∏t（ωt），ut（ωt）≤ u≤ Ut（ωt），dt（ωt）≤ d≤ Dt（ωt）}，其中πt，πt，ut，ut，Dt，Dt是实值B(Ohmt） -可测量的随机变量，如0≤ πt（ωt）≤ ∏t（ωt）≤ 1，ut（ωt）≤ Ut（ωt）和dt（ωt）≤ 所有ωt的Dt（ωt）∈ Ohmt、 假设4.2对于所有0，我们有πt（ωt）<1，∏t（ωt）>0和0<dt（ωt）<1<Ut（ωt≤ t型≤ T- 1和ωt∈ Ohmt、 对于所有0≤ t型≤ T- 1和ωt∈ Ohmt、 leteQt+1（ωt）：=q∈ P(Ohmt+1），q（Yt+1∈ ·) ∈ Bt+1（ωt）和Qt+1（ωt）：=ConveQt+1（ωt）,式中q（Yt+1∈ ·) 是q下的y+1定律。