基于模拟的非线性投资组合风险价值

Ift=T，Ut可通过（2）计算；如果t∈ （T，T），UTI定义asUt：=E（U | Ft）=E“supτ∈T1，TE{f（Tτ，Xτ）| f}英尺#。（3） 遵循经典最优停止理论Neveu（1975），我们引入了Snell包络并重写（2）asUj：=ess supτ∈Tj，LE（Zτ| Fj）j=0，1，五十、 或等效地asUj：=（ZT，j=Lmax{Zj，E（Uj+1 | Fj）}，0≤ j≤ L- 1、如果我们确定τjis为Tj后的最佳停车时间，则τj：=min{k≥ j | Uk=Zk}在这种情况下，我们可以重写Uj=E（Zτj | Fj），j=0，1，五十、 采用反向方法确定每条路径的最佳停车时间。可以通过定义τjas的动力学（τT=Tτj=j1{Zj≥E（Zτj+1 | Fj）}+τj+1{Zj<E（Zτj+1 | Fj）}，0≤ j≤ L- 1，其中1{·}表示指示符函数。假设有一个Fj马尔可夫链{Xj}，j=1，五十、 对于某些Borel函数f（j，·），Zj=f（j，Xj）；对于某些函数g（j，·），我们有Uj=g（Tj，Xj），对于j=0，1，…，我们有E（Zτj+1 | Fj）=E（Zτj+1 | Xj），五十、 注意，在实践中，X和UAR都是确定性的。表示{Lm（Xj）}m≥1是一系列可测量的实值函数，用于回归模型中的基函数。数值计算{E（Zτj）}，j=1，2，L通过蒙特卡罗程序，我们可以模拟马尔可夫链{Xj}潜在风险因素的N条独立路径。我们定义j=（X[i]j1，…，X[i]jp）>为第i条模拟路径在时间j的基础随机变量的独立实现，Z[i]jas为j=1，2，…，的相关支付，Li=1，2，N，Z[i]j=f（Tj，X[i]j）。为了通过Xj的有限个基本函数来近似条件期望E（Zτj+1 | Xj），我们施加了Clement et al.（2002）中出现的以下两个条件：（A1）对于j=t，1。

L- 1，序列{Lm（Xj）}m≥1在L{σ（Xj）}中求和，其中L{σ（Xj）}表示σ（Xj）所跨越的L空间。（A2）对于j=t，1，L-1，如果PMM=1amLm（Xj）=0 a.s.，那么am=0表示m=1，M，其中M表示模型中包含的基函数数。在这两种条件下，我们可以得到系数向量a[M]jsuch thatE E（Zτj+1 | Fj）=E（Zτj+1 | Xj）=limM→∞a【M】j·L【M】（Xj），其中L【M】（Xj）=（L（Xj）。，LM（Xj））>。为了估计系数a【M】j，我们假设τj+1=a【M】j·L【M】（Xj）+j、 j=1，L- 1，（4）其中εjis为误差项。a【M】jis被称为回归中的真实系数。根据经典回归分析，gram矩阵定义为[M，N]j=N-1NXi=1{L[M]（X[i]j）}{L[M]（X[i]j）}>。（5） 我们还将M基函数估计的停止时间τ[M]定义为（τ[M]T=Tτ[M]j=j1{Zj≥a[M]j·L[M]（Xj）}+τ[M]j+1{Zj<a[M]j·L[M]（Xj）}，0≤ j≤ L- 1、同样，τ[i，M]j（j=1，…，L）用于表示估计的停车时间，以及第i条路径的真实回归系数。第i条路径的LASSO估计系数a【M，N】j的估计停车时间用τ【i，M，N】j表示，其中a【M，N】jis定义为asa【M，N】j：=arg minα∈IRMnkZτ[M，N]j+1- α·L[M]（Xj）k+λkαko，j=1，2，L- 1，惩罚λ依赖于M和N。在后半部分中，我们抑制了表示清晰表示的符号λ[M，N]。确定正则化参数的最佳值对于确保模型性能良好至关重要；通常，通过交叉验证进行选择。我们的数值计算程序也采用了这种方法来选择合理的惩罚。为了区分LASSO估计量和普通最小二乘（OLS）估计量，我们将与LSM相关的所有参数的关联符号用星号标出。因此，我们有*[M，N]j：=arg minα∈IRMnkZτ[M，N]j+1- α·L[M]（Xj）ko，j=1，2，L- 1对于LSM方法。

根据估计停止时间的定义，我们可以定义（2）中的投资组合价值，由M个基函数解释，真实系数为asU【M】j：=ZT，j=L，Zj{Zj≥a【M】j·L【M】（Xj）}+U【M】j+1{Zj<a【M】j·L【M】（Xj）}，j=1，2，L- 1、如果我们将a[M，N]jin替换为a[M]jin对U[M]j的定义，我们可以得到U[M，N]j，这是LLSM用M个基函数和N个样本路径估计的组合值。以下两个小节介绍了本文的主要贡献。我们的第一步是建立第2.2节中估值的收敛结果。根据这些一致的衍生产品价格估计，第2.3节讨论了VaR估计的相应收敛速度。尽管在过去二十年中，人们一直在积极研究处理高维数据的技术，但据我们所知，在定价/风险度量文献中尚未出现任何类似的发展。随后给出的所有新定理都比较了传统LSM和我们建议的LLSM的收敛速度。将LASSO纳入框架的好处在于M的大小，即模型可以处理的基数函数。当协变量的维数增加时，LSM等传统方法的性能会受到严重阻碍，这反过来又会导致相关gram矩阵的不可逆性。基函数的选择也是以相当主观的方式进行的。我们的主要结果定理4指出，当样本路径的数量不明显大于所考虑的基函数的数量时，LSM方法可以被新的建议所超越。2.2估值的收敛结果为了证明VaR估计的收敛性，我们首先建立估值的收敛结果。

估值收敛的最终目标是证明（Zτ[M，N]j | Fj）→ E（Zτj | Fj）为M，N→ ∞. （6） 与Clement et al.（2002）中采用的处理方法类似，可以根据limM的两个结果建立收敛性（6）→∞U[M]j=Ujand limN→∞U【M，N】j=U【M】j，对于任何固定的M。特别是，假设条件（A1）满足，对于j=1，2，五十、 Clement等人（2002）表明LIMM→∞E（Zτ[M]j | Fj）=E（Zτj | Fj）。（7） 这一结果确保了由基于M的回归函数估计的payoffu[M]将收敛到基函数数量M趋于一致的真实payoffu[Ujas]。这是L{σ（Xj）}的总体性质的结果。下一个定理规定，在确保LSM估值收敛的相同条件下，LLSM可以在Tjj为j=1，…，时达到相同的估值收敛速度，L- 1、换言之，如果可以通过增加N来解决奇异性问题，则LASSO的引入不会减慢收敛速度。同时，它表明，在对语法矩阵奇异性的较弱约束下，U[M，N]j几乎确定的收敛仍然成立。为了检验U[M，N]jt到U[M]j的收敛性，需要三个附加条件：（A3）对于j=1，2，L- 1，i=1，2，N、 实现jin（4）是具有零平均值和单位方差的i.i.d。（A4）对于j=1，2，L-1，存在一个非奇异的M×M矩阵cj，使得（5）中定义的gram矩阵a[M，N]jd收敛于Cjas N→ ∞.（A5）（相容条件）定义活动集S={m；a[m]jm6=0，m=1，2，…，m}。如果对于某些φ>0且对于所有满足ka[M]Sck的a[M]，则满足集合S的相容条件≤ 3ka【M】Sk，它认为ka【M】Sk≤ {a[M]}>a[M，N]j{a[M]}sφ，其中s=卡片（s）=| s |。定理1。假设j=1，2，L- 1，Pr{aj·L[M]（Xj）=Zj}=0，满足条件（A1）、（A2）和（A3）。

在λ=O（对数M/N）和λ/N=O（1）的惩罚下得到了LASSO估计量a[M，N]jare。（i） 如果条件（A4）成立，那么U[M，N]j最肯定地向U[M]j靠拢。（ii）如果条件（A5）对活动集成立，那么U[M，N]jc也必然会收敛到U[M]jalmat。证据证明详情见附录A.1。备注1。Clement等人（2002）也要求假设Pr{aj·L[M]j（Xj）=Zj}=0。为了了解LSM和LLSM之间的差异，我们观察到定理1（i）也适用于U*[M，N]jin LSM，butTheorem 1（ii）没有，因为如果没有适当的正则化，LSM中回归模型的关联gram矩阵将变得奇异。备注2。Clement等人（2002年）也实施了类似版本的条件（A3）。a的定义*Clement et al.（2002）的jin（2.11）认为gram矩阵在默认情况下是可逆的。如果我们对*考虑到估计误差和奇异性问题，条件（A4）对于LSM是必要的。然而，由于该条件要求gram矩阵的可逆性，因此该条件具有相当大的限制性。即使我们将条件（A4）替换为对文法矩阵特征值的不太严格的约束，LLSMestimates的几乎确定的收敛性仍然可以保持。相容条件（A5）（另见B¨uhlmann和van de Geer（2011）的（6.4））类似于对gram矩阵最小特征值的约束。这种标准套索条件是一种较弱的条件，可由条件（A4）暗示。Bickel等人也对相容性条件进行了更多讨论。

(2009); Koltchinskii（2009b）和Koltchinskii（2009a）等。在定理1中，附加的LASSO分量允许在模型中包含大量的基函数，而不会破坏活动集中估计系数的收敛性；参见B¨uhlmann和van de Geer（2011）；赵和余（2006）。我们还将在定理4中看到确保在这个LASSO框架下收敛的M的大小。此外，我们模型中的变量选择步骤减少了由于多重共线性导致的系数不稳定性。通过（7）和定理1，我们可以看到最终估值收敛目标（6）可以在以下意义上几乎肯定地实现：limM→∞N→∞E（Zτ[M，N]j | Fj）=limM→∞画→∞E（Zτ[M，N]j | Fj）=limM→∞E（Zτ[M]j | Fj）=E（Zτj | Fj）。人们可能会注意到，上述归纳可能不像它看起来那么简单，因为M的值受到N的选择的限制。事实上，（6）对于一些非常大但有限的M仍然有效，因为L{σ（Xj）}空间由有限个基函数跨越。当空间L{σ（Xj）}被有限个基函数L[M]（Xj）跨越时，需要一种能够正确选择跨越L{σ（Xj）}的所有未知基函数的方法。如果排除了一些必要的基函数，即使N趋于完整，也永远不会收敛；另一方面，如果包含不必要的基函数，模型中系数参数数量的增加可能会因数值不稳定而减少，最终导致错误的VaR估计。以下定理保证，在资产价值收敛率相同的情况下，LLSM可以在回归模型中包含比LSM更多的基函数。定理2。

假设定理1中的条件满足，并且赵和余（2006）的观点中的不可再现条件适用于活动集，| S |=S<∞ 对于j=1，L-1.不可再现条件的定义另见附录。如果一组有限的Mbasis函数最初包含在Msu足够大的回归中 S[M]，则存在M≤ M<∞ 这样，U*贾斯→ 乌贾德·乌贾斯→ Ujas N公司→ ∞.证据证明详情见附录A.2。定理2确保，在给定合适的惩罚λ的情况下，可以使用基函数的个数执行估值过程，并在N增加时获得相同的收敛结果。此外，对于基于相同基函数初始集的相同收敛结果，LLSM中考虑的基函数数量从未超过LSM中考虑的基函数数量。不可再现条件是暗示兼容性条件的更强条件。它取决于gram矩阵和真系数的符号；更多讨论请参见B–uhlmann和van de Geer（2011）。上述结果还得出结论，在LLSMis中获得收敛所需的基函数数上界为LSM所需的基函数数。回归模型中的基函数越少，意味着在相同的计算预算下，估计误差越小。诚然，不能保证在回归模型中包含跨越L{σ（Xj）}的所有有效基函数。尽管如此，给定相同的计算预算N，LLSM允许用户最初包括和筛选更多的基本函数；另请参见定理4.2.3 VaR的收敛结果鉴于第2.2节中给出的估值收敛结果，我们现在确定了所提出VaR估计的相应收敛性质。

如前所述，具有t asa停止时间的t日VaR的性质不同于t不是停止时间的情况。在本节中，我们提出了定理3，该定理确保VaR在可能的停止时间收敛。定理6和定理4分别推导了通过LSM和LLSM评估的VaRsat非停止时间的具体收敛速度。定理3。对于j=1，L- 1，如果满足定理1（i）中的条件，则Var[M，N]j→ VaR[M]jas N→ ∞,其中，VaR【M，N】jand VaR【M】jare定义为，VaR【M，N】j，infx∈IRnPr（U- U[M，N]j<-x） <αo，VaR[M]j，infx∈IRnPr（U- U【M】j<-x） <αo.证明。证明详情见附录A.3。备注3。这个定理也适用于VaR*[M，N]J源自LSM。VaR[M，N]jif的一个类似的收敛结果仍然成立。如果我们将相容条件（较弱的条件）替换为条件A4。然而，对于VaR来说，情况并非如此*定理3证明了LLSM在停止时刻VaR估计的收敛性。均为VaR【M，N】jandVaR*[M，N]j以O（N）的速率收敛-1); c、 f.Bauer et al.（2012）的第3.2号提案。然而，在大多数情况下，我们需要不间断时间为t的t天VaR的收敛结果。例如，在典型情况下，风险经理必须计算10天的VaR，以符合巴塞尔协议II的规定。在这种情况下，t=10天，t/∈ T0，T；VaR[M，N]与VaR[M]的收敛性显然很重要。为了实现这一点，我们提供了定理6和定理4，它们保证在一些温和的条件下，LSM在非停止时间的VaR估计比LSM得到的VaR估计收敛速度更快。

这一理论解释了为什么在我们的数值研究中，当我们计算95%的10天VaR时，LLSM总是优于LSM。为了处理与非停止时间相关的计算，我们将Zτ的估计写为基函数的组合，即。Zτ[M]=a[M]t·L[M]（Xt）+t、 其中，a【M】是指在tand处回归的真实系数t用零均值和有限方差表示误差项。注意，Zτ[M]作为回归中的响应，表明在每次回归中使用真系数来估计τ[M]。LASSO估计值对应于a【M，N】t=arg minα∈IRMnkZτ【M，N】- α·L[M]（Xt）k+λkαko，其中Zτ[M，N]是回归中的响应。同一回归中的真实系数定义为a【M，N】t。相应的OLS估计值，即*[M，N]tanda*[M，N]t，可通过替换Zτ获得*[M，N]，Zτ[M，N]作为回归中的响应。tis的定价错误由两部分组成。一个是来自t处回归的估计误差，表示为（a【M，N】t- a【M，N】t）·L【M】（Xt）; 另一个是Zτ[M]的估计误差，表示为N-1PNi=1（Z[i]τ[i，M，N]-Z[i]τ[i，M]）此符号中的上标i表示相应随机变量的第i个实现。虽然a【M】和a【M，N】皮重都被称为真系数，但在相应的回归中，不同的响应被用作因变量。由于U【M】的定义不同于U【M】j的定义，j=0，五十、 我们不能简单地将定理3应用于t处变收敛的证明。为了解决这个问题，我们定义了W，N-1NXi=1na【M】t·L【M】（X【i】t）- a【M，N】t·L【M】（X【i】t）o’W*,N-1NXi=1na【M】t·L【M】（X【i】t）- 一*[M，N]t·L[M]（X[i]t）oas分别是LASSO和OLS的平均定价误差。

我们还定义了=√西北和西北*=√西北地区*.设gN（·，·），g（·）和gN（·）分别表示U[M]和W的联合pdf，U[M]和U[M，N]t的边缘pdf。为确保嵌套模拟和LSM的VaR收敛，以下条件对W和W的分布施加了一些限制*是必需的；见Gordy和Juneja（2010）和Bauer等人（2012）。如果满足以下两个条件，我们认为条件（A6）适用于随机变量W：i.U[M]和W及其偏导数的联合pdf gN（·，·）ugN（u，w），ugN（u，w）存在于每个Hn和（u，w）的所有集合中。二。对于N≥ 1，存在非负函数p0，N（·），p1，N（·），p2，N（·），因此对于所有（u，w），gN（u，w）≤ p0，N（w），ugN（u，w）≤ p1，N（w），ugN（u，w）≤ p2，N（w）。此外，supNZ∞-∞|w | rpi，N（w）dw<∞ 对于i=0、1、2和0≤ r≤ 4、这一条件通常适用于大型投资组合，其中至少有几个头寸具有足够平稳的支付；见Gordy和Juneja（2010）。为了比较LLSM和LSM的性能，我们引入了定理4，它显示了VaR[M，N]和VaR的收敛速度*定理4。如果满足定理1（i）中的条件，则条件（A6）适用于W和W*, 风险【M，N】tby LLSM风险*[M，N]t通过LSM将在以下意义上收敛到VaR[M]t，VaR[M，N]t- VaR[M]t=Osslog MNφ+g（v）g（v）g（v）-g（v）ddvg（v）Oslog MNφ+oN-1.,风险值*【M，N】t- VaR[M]t=g（v）ddvg（v）O明尼苏达州+ oN-1.,其中v=VaR【M】t- Uandv∈ 【五】- w/√N、 v）]。此外，如果N=oMφslog M+2M+slog Mφ, 我们将有Var[M，N]t-VaR[M]tVaR*【M，N】t-VaR[M]t=o（1）。证据证明详情见附录A.4。备注4。如果我们用相容条件代替条件（A4），定理4仍然成立。