基于模拟的非线性投资组合风险价值

注意，在这种情况下，VaR[M，N]twill仍然收敛，而VaR*斜纹分叉。正如我们在这个定理中所看到的，LLSM允许我们包含o（exp（N））基函数，而LSM只能处理最多o（N）的收敛性。如果gram矩阵是非奇异的，则在N=o的限制下，LLSM比LSM产生更快的变收敛速度Mφslog M+2M+slog Mφ. NCA的这种增长率可以从以下两个方面进行解释。首先，N的选择意味着，由于给定的计算预算，可用的采样路径数量不能非常大。在M大的高维设定下，N几乎不能大于O（M）。其次，如果我们有足够的资源使得n>O（M），那么考虑到gram矩阵的非奇异性和丰富的样本路径，可能不需要LASSO分量。LASSO以其在高维统计中的应用而闻名，但如果我们在N足够大且gram矩阵非奇异的不必要情况下对最小化过程施加惩罚，则会产生偏差。3数值研究我们的兴趣量是具有非线性支付的投资组合的95%10天VaR。当oracle基准可用时，进行回溯测试以评估不同方法的性能。在本节中，通过20倍交叉验证确定套索中使用的惩罚，以最小化给定损失函数的平均交叉验证误差。我们将Gordy和Juneja（2010）中的嵌套模拟称为estimatedoracle方法。如果在内部模拟中，有一个封闭形式的解决方案可用于评估10天的投资组合，我们将该方法定义为真正的oracle方法。

delta-normalapproach中涉及的希腊人通过中心差分法进行数值计算。虽然我们考虑单个产品的VaR估计，但通过将额外的风险因素作为回归中的基础随机变量，VaR评估的思想可以从单一衍生工具扩展到高维投资组合。常见风险因素模拟一次，在每个可能的停止时间只执行一次回归，以评估整个投资组合的价值。具体而言，为了使结果更直接地与Longstaff和Schwartz（2001）中的结果相比较，我们采用了三阶以上的多项式作为所有示例的基函数L（X）。在以下示例中，weshall假设收益序列遵循多元高斯分布。它们在表1中构建：彩虹期权的10天95%VaR平均中值标准偏差回测时间（秒）LSM 1.78698 1.78664 0.11482 0.0290 18.62LLSM 1.61693 1.61108 0.10932 0.0442 20.25Delta-normal+1.74591 1.74591-0.0329 7.62Delta-gamma+5.00858 5.00858-0 66.36Oracle 1.58089 1.58089-0.0483 163850Oracle+1.56778 1.56778-0.0500 3634这样我们就可以用现有的程序来测试我们的性能，尤其是那些在这种设置下使用封闭形式解决方案的程序。然而，值得注意的是，我们的公式不需要回报序列的联合正态性假设。由于我们估计的非参数性质，我们的建议可以很容易地扩展到非椭圆世界，因为算法1.3.1中步骤13中规定的排名步骤彩虹期权彩虹期权是最常见的交易奇异期权之一，其支付函数依赖于多个基础风险资产。

在本节中，我们考虑了“买入最小”彩虹期权的一种变体，其中有10支股票作为其基础风险资产。如果十只基础股票的最低回报率超过预先确定的执行价格，多头将获得正收益。换句话说，到期时的支付额表示为最大100MiniSi0- K、 0个,其中SI0表示第i个标的股票的当前价格。付息函数中的常数100是用于说明标准化到期付息的任意值。为了推导基于封闭式定价解决方案的基准，我们假设基础股票价格遵循Black和Scholes（1973）模型。Johnson（1987）讨论了闭式解。附录中提供了相应的详细信息；见B2节。表1总结了不同方法得出的VaR估计值。选择罢工是为了确保彩虹期权的价格合理，在这种情况下，由于单位货币价格的非差异性，delta正态近似可能会面临挑战。在本例中，我们选择的到期日为270天。每个方法中生成的样本路径数为N=10000，而估计的oracle方法的内层中的路径数为N=50000。由于我们可以在估计的oracle方法中获得VaR的一个估计值，因此没有观察到标准偏差。除了oracle方法外，每种方法都会重复500次，以研究VaR估计的分布。

标有+的程序对所有涉及的定价采用封闭式解决方案。计算时间表示从Intel Core i5-5200U、CPU 2.2 GHz和RAM 8GB的计算机获取一个VaR估计值的方法所需的时间。如表1所示，即使LLSM采用20倍交叉验证，执行变量选择只需少量额外计算。根据我们的VaR估计，通过将估计值与基于封闭式公式评估的模拟价格的未实现损益进行比较，执行回溯测试程序。报告了超过VaR估计值的损失百分比。根据表1，我们可以看到，由于回测结果从2.90%显著提高到4.42%，因此值得执行额外的LassOxOxinable选择程序。为了进行公平比较，Delta normal和Delta gamma方法均采用有限差分法进行计算。我们观察到，随着希腊人数量的增加，对高阶希腊人的估计有偏差，计算负担也显著加重。如果将闭合格式解应用于希腊计算，则Delta-normal方法和Delta-gamma方法的回测结果分别为3.29%和0%，可分别提高到5.23%和6.18%。Delta-gamma方法的性能较差，因为在重复的差异数值近似中积累了偏差。这些结果证明，即使在短期内，一阶或二阶近似都不足以估计具有非线性支付的衍生工具的VaR。

当衍生产品接近货币时，这种差异就更加明显。3.2欧洲掉期期权是金融市场中流动性最强的利率衍生品之一。考虑欧洲付款人20 NC（“非赎回/锁定”期）2掉期期权，其基础掉期的最终期限为20年。我们采用对数正态远期伦敦银行同业拆借利率模型（LFM）作为掉期期权远期利率的基础模型。Brigo和Mercurio（2007）采用了相同的定义和校准。将L（t，t）表示为到期日t时的即期利率，P（t，t）表示为到期日t时付款的零息票债券价格delta。远期利率由Li（t）表示≡ L（t，Ti-1，Ti），其中i=1，20、在Brigo和Mercurio（2007）的第6.3.1节中定义了LFM中的远期利率动态。假设名义金额为N=1000，掉期利率为K，在TiisA（Ti）=1000·EQi时对持有人的支付Xj=i+1D（Ti，Tj）δj（Lj（Ti）- K）+金融机构, （8） 式中，i=2，20，δj=δ（Tj-1，Tj）是离散时间间隔，D（Ti，Tj）是（Ti，Tj）时间段的贴现因子，QI是对应于时间Ti的向前调整度量。有关模型和参数校准的更多详细信息，请参见附录。在Longsta off和Schwartz（2001）对掉期期权的数值研究中，主观上选择的基础函数为常数，即t时掉期期权贴现价格的前三次方，以及最终到期日在t之前（包括t）的所有未到期零息票债券价格的首次方。Werefer LSM主观上选择的基础函数为SLSM。这种方法可能不可靠，因为它执行主观的先验变量选择。

对于在不同资产类别中拥有大量基础资产的一般产品，选择可能不像互换期权那样直接。我们将GLSM表示为LSM，具体包括回归模型中风险因素的前三阶和这些风险因素的第二阶交叉项。请注意，GLSM不包括LSM中的三阶交叉项SUP。我们允许对基函数的顺序进行这种宽松的限制，以避免LSM由于过度参数化而无法获得OLS系数估计。基础掉期的掉期利率在以货币担保掉期期权时确定。每个方法中的样本路径数为N=5000。外层和内层的路径数分别为N=30000和N=30000。为确保估计的oracle方法适用于表2：欧洲加权平均中值标准偏差回归测试时间（秒）的10天95%VaR SLSM 8.94452 9.02583 1.45876 0.0200 13.07GLSM 19.8179 19.8070 1.23116 0.0000 17.25LLSM 7.02251 7.15271 1.62806 0.0505 25.16Delta-normal 8.88922 3.45005 0.0208 285.78Oracle 7.04185 7.04185-0.0500 242200A稳定估计，我们已经检查并选择了不同数量的密集模拟路径。我们选择了足够大的Nand Nso，在任何进一步增加的情况下，都不会出现显著变化。除oracle方法外，其他四种方法重复500次以获得样本统计数据。计算时间表示执行一轮迭代所需的平均时间。如表2所示，与其他方法相比，delta-normal方法所需的计算时间要长得多。这是因为评估投资组合价值的最佳方法是oracle估算法。

对于delta-normal方法，TF的18个潜在风险因素中的每一个都需要嵌套模拟。由于其计算负担，估计的oracle方法的应用受到很大限制：即使对于欧洲掉期期权，计算一次VaR估计也需要大约三天的时间。前三种方法的标准差很接近，但明显大于从delta normal方法获得的标准差。尽管deltanormal方法给出的估计值的标准偏差很小，但它产生了相当大的偏差，这使人们对其性能的准确性产生了怀疑。图1所示的箱线图总结了前四种方法得出的VaR估计值的分布。每种方法中的点代表了500个实验中的VaR估计值。虚线绘制了通过估计的oracle方法获得的VaR。在这五种方法中，GLSM表现最差。对于delta-normal方法，它产生的估计偏差较小，但方差异常小。在500个实验中，DeltanNormal方法或GLSM的任何结果都不会产生接近oracle VaR的VaR估计值。对于SLSM，虚线位于分布的25%分位数之外，表明如果在一个实验中获得准确的VaR，这种方法的概率仍然很小。关于LLSM，分布的中值更接近虚线，表明偏差较小。这种方法的方差也是合理的，因为虚线穿过25%和75%分位数范围内的分布。可以通过表2中总结的回测结果来评估性能。

与图1所示的分析一致，GLSM严重高估了VaR，导致回测结果为0。SLSM和delta-normal方法有相似的偏差，相似的回测结果约为2%。他们的回测结果也不令人满意，因为估计的VAR过于保守，因此需要额外的不必要资本储备。LLSM虽然低估了VaR，但表现更好，回测结果为5.05%。总体而言，LLSM在四种方法中表现最好。3.3百慕大掉期期权由于LLSM适用于具有美国特征的投资组合，我们将前面的示例扩展到百慕大掉期期权。考虑百慕大付款人20 NC 2掉期期权。向Ti持有人支付的款项，i=2，20定义为（8）。每次进近重复100次。由于无法进行嵌套模拟图1：欧洲Swaption的VaR箱线图表3：百慕大Swaption平均SD时间中位数的10天95%VaR（以秒为单位）SLSM 8.38623 8.48900 1.59813 195.00GLSM 21.0271 21.1145 1.51290 226.62LLSM 5.01065 4.98452 1.86820 270.01Delta-normal 189.649 7.87119 371.980 8807.50推导oracle初始值，我们使用具有大量路径的SLSM来确定swoption的初始值。其他设置与之前的研究相同。如表3所示，由于基础风险因素的每次变化都需要重新评估，因此三角洲正态法的计算时间明显大于其他方法。SLSM用于评估三角洲正常法下的投资组合价值，因为它是在某些迭代中具有百慕大特征的最佳选择，一些三角洲特别大，因此会导致弯曲轨迹。

如图2所示，从delta-normal方法计算的VaR严重向右倾斜，有大量的异常值，而其他四种方法的VaR似乎呈不对称分布，几乎没有异常值。较大的标准差也表明deltanormal方法缺乏统计效率。为了进一步调查评估VaR方法的不同表现，我们检查了第一个期限的评估表现，并将结果显示在表4中。delta Normal法被排除在外，因为它不涉及在tand T对掉期期权进行定价。表4显示，在不同的方法中，在T的估值相差不大。这可以用定理1以及Clement等人（2002）的分析结果来解释。与以下信念一致：（a）四种方法的VaR箱线图（b）百慕大Swaption的VaR箱线图图图图2：百慕大Swaption的VaR箱线图表4：百慕大SwapptionTime的值T=第2年T=第10天平均SD中值SDSLSM 72.975 72.946 0.85212 69.517 69.489 0.81175GLSM 75.391 72.946 0.86740 71.819 71.707 0.82638LLSM 73.452 73.426 0.87146 69.97169.946 0.83018表5：停止时间增加的VaR趋势SLSM GLSM LLSM1 8.79705 19.7843 6.874934 8.54725 21.9728 6.066026 8.31433 22.8349 5.695908 8.17318 22.9505 5.3640310 8.04154 22.9719 5.0846912 7.92492 22.7725 4.9769714 7.81349 22.6823 4.9152916 7.76497 22.6077 4.8434318 7.75723 22.5957 4.81491使用TDeteriors的OLS估计值，GLSM在tis的估值与其他三种方法显著不同，这可能表明t的估值估计较差。同样值得一提的是，如表4所示，SLSM的掉期期权价格平均值与LLSM的估值接近。

SLSM选择的变量由具有领域知识的专家选择，而LLSM可以自动在回归模型中以客观的方式将重要变量包含在一般协变量库（多项式）中。对于由大量底层资产组成的复杂/新产品，即使从业者决定定价模型中应包含哪些协变量也可能具有挑战性；另一方面，LLSM程序可以提供关于哪些变量具有影响力的提示。此外，尽管SLSM和LLSM导致的价格平均值一致，但相应的分布不同，这导致尾部分位数不同，因此进行了VaR估计。图2右侧面板上的方框图显示了通过SLSM、GLSM和LLSM估计的VAR分布。基于这四种方法的VaR分布差异表明，LLSM中的模型选择部分确实对估计的VaR值有显著影响。虽然delta-normal方法在图2中产生了高度波动的VaR估计，但我们也可以看到，GLSM产生的估计值远远高于LLSM给出的估计值。随着可用映射次数的增加，人们自然会认为普通股票期权的VaR应该更大。然而，对于掉期期权而言，VaR和停止时间之间的实际关系更为复杂，因为它们的支付函数由大量独立的基础远期利率过程决定。因此，我们给出了表5，该表显示了在校准模型下，随着停车次数的增加，VAR呈下降趋势。为了寻求公平的比较，我们采用相同的方法来估计锡每列的初始值和交换选项值。