基于模拟的非线性投资组合风险价值

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英文标题：
《Simulation-based Value-at-Risk for Nonlinear Portfolios》
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作者：
Junyao Chen, Tony Sit and Hoi Ying Wong
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最新提交年份：
2019
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英文摘要：
  Value-at-risk (VaR) has been playing the role of a standard risk measure since its introduction. In practice, the delta-normal approach is usually adopted to approximate the VaR of portfolios with option positions. Its effectiveness, however, substantially diminishes when the portfolios concerned involve a high dimension of derivative positions with nonlinear payoffs; lack of closed form pricing solution for these potentially highly correlated, American-style derivatives further complicates the problem. This paper proposes a generic simulation-based algorithm for VaR estimation that can be easily applied to any existing procedures. Our proposal leverages cross-sectional information and applies variable selection techniques to simplify the existing simulation framework. Asymptotic properties of the new approach demonstrate faster convergence due to the additional model selection component introduced. We have also performed sets of numerical results that verify the effectiveness of our approach in comparison with some existing strategies.
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中文摘要：
自引入风险价值（VaR）以来，它一直扮演着标准风险度量的角色。在实践中，通常采用delta-normal方法来近似具有期权头寸的投资组合的VaR。然而，当相关投资组合涉及具有非线性回报的高维衍生品头寸时，其有效性大幅降低；这些潜在高度相关的美式衍生品缺乏封闭式定价解决方案，这进一步使问题复杂化。本文提出了一种基于仿真的VaR估计通用算法，该算法可以方便地应用于任何现有的过程。我们的建议利用横截面信息，并应用变量选择技术来简化现有的模拟框架。由于引入了额外的模型选择组件，新方法的渐近性质证明了更快的收敛速度。我们还进行了一系列数值计算，与一些现有策略相比，验证了我们方法的有效性。
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分类信息：

一级分类：Statistics        统计学
二级分类：Methodology        方法论
分类描述：Design, Surveys, Model Selection, Multiple Testing, Multivariate Methods, Signal and Image Processing, Time Series, Smoothing, Spatial Statistics, Survival Analysis, Nonparametric and Semiparametric Methods
设计，调查，模型选择，多重检验，多元方法，信号和图像处理，时间序列，平滑，空间统计，生存分析，非参数和半参数方法
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Risk Management        风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
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PDF下载：
--> Simulation-based_Value-at-Risk_for_Nonlinear_Portfolios.pdf (790.85 KB)

2022-6-14 13:09:17 上传

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关键词：投资组合风险 投资组合 风险价值 非线性 introduction

基于模拟的非线性投资组合风险值香港中文大学统计系陈俊耀、薛东尼和王会英Kongyukichen@link.cuhk.edu.hk tonysit@sta.cuhk.edu.hk hywong@sta.cuhk.edu.hkAbstractValue-自引入风险值（VaR）以来，它一直扮演着标准风险度量的角色。在实践中，通常采用delta-normal方法来近似具有期权头寸的投资组合的VaR。然而，当相关投资组合涉及具有非线性支付效应的高维衍生品头寸时，其有效性大幅降低；这些潜在高度相关的美式衍生品缺乏封闭式定价解决方案，这进一步使问题复杂化。本文提出了一种基于仿真的VaR估计通用算法，该算法可以方便地应用于任何现有的过程。我们的方案利用了横截面信息，并应用变量选择技术来简化现有的模拟框架。新方法的渐近性质表明，由于引入了额外的模型选择组件，收敛速度更快。我们还进行了一系列数值计算，与一些现有策略相比，验证了我们方法的有效性。关键词：Valu e-at-Risk、最小二乘蒙特卡罗、美式衍生品、高维投资组合1简介金融机构每天面临的挑战之一是重新评估其投资组合的价值和/或风险水平，这些投资组合在未来某个时间到期，通常可以用u（t，X）=supτ的形式表示∈TEQ{f（Xτ）| Ft}，（1）其中t（t>0）表示时间，f是在基础资产价值XT下评估的确定性支付函数，Q表示与P相关的风险中性概率度量，t是一系列停止时间。时间t之前的过滤表示为Ft。

更重要的是，根据这些估值，金融机构需要计算监管资本，以满足巴塞尔II对银行业BIS（2013）或偿付能力II对保险业的具体要求。监管资本的计算与风险价值（VaR）密切相关，这是一个基本量，在此基础上制定了一些其他一致的风险度量，包括Artzner et al.（1999）的预期缺口。读者可以参考Kou等人（2013）、Kou和Peng（2016）等进行进一步讨论。本文的重点是提出一种更有效的VAR估计方法。虽然高维投资组合或具有大量基础资产的衍生品很常见，但交易的证券的实质部分是具有非线性回报的衍生品；这使得一阶或二阶近似值不足以进行风险估计。因此，（1）及其相应风险度量的评估成为一项非常重要的任务。鉴于（1）的解析解在大多数情况下很难获得，模拟通常是唯一可行的方法；参见Chan和Wong（2015）；格拉斯曼（2003）；Hong等人（2014年）等。尽管它们很简单，但基于仿真的程序可能不可行，因为它的计算负担很重。虽然有了提高计算效率的新解决方案（例如，见Gramacy和Ludkovski，2015），但高维设置的扩展并不完全是直接的。要使用所选的特定统计模型评估t日VaR，可以进行嵌套模拟。对于计算上更经济的备选方案，也可以为每一层优化计算效率分配（Broadie等人，2011年）或简单地减少模拟试验的数量。

然而，如Bauer et al.（2012）所指出的，任何一层试验的缩减都可能导致潜在的重大估计偏差和不稳定性。鉴于上述困难，目前的市场做法是通过希腊近似法计算VAR，如delta normal和delta gamma近似法；见Jorion（2006）。这些方法的性能有时会令人失望。特别是，对于具有高度非线性回报的投资组合，一阶近似远远不能产生可接受的小误差。此外，由于所有这些希腊货币都是时变的，因此delta-normal和delta-gamma近似值仅适用于投资期限较短的投资组合——这对保险公司来说可能会有相当大的限制，因为要求的偿付能力资本比率（SCR）涉及一年期VaR估值。计算负担也引起了很大的关注，因为它随着随机变量的数量呈指数增长。对希腊人进行数字评估时产生的巨大偏差的总和也可能是巨大的。为了应对上述挑战，Bauer et al.（2012）novelly基于Longstaff和Schwartz（2001）的开创性发展，提出了使用最小二乘蒙特卡罗（LSM）方法计算VaR，以定价美式期权。然而，当所考虑的基础资产数量增加时，这种方法可以避免高维诅咒。大量的回归系数会产生高度的波动性，甚至是不一致的系数估计，这反过来会导致较差的VaR估计。本文将收缩思想引入到高维非线性组合变量的最小二乘模拟中。我们将通过最小绝对收缩和选择算子（LASSO；Tibshirani，1996）或等效的约束极小化来证明我们的建议。

值得注意的是，我们的提案与Pun and Wong（2016）、Chiu et al.（2017）和Pun and Wong（2019）等持类似观点，因为引入套索罚款能够一致估计利益数量。例如，Pun和Wong（2016）证明了高维投资组合的估计误差会导致最优投资组合目标函数发散，而我们的结果表明，由于LASSO的适当收缩，Longstaff和Schwartz（2001）的方法可以在高维情况下正确实施。1.1贡献总结鉴于基于回归/Longstaff-Schwartz算法的流行，我们的主要目标是研究高维环境下相应的收敛特性。更具体地说，这项工作有助于以下三个方面的文献：1。正确处理高维问题：在分析Longstaff-Schwartz算法的症状的几项工作中，Clement et al.（2002）为p N、 其中p和N分别表示回归器和样本的维数。收敛结果的一个关键假设是，模型应包括所有重要的基函数。基函数的选择通常是比较主观的，并且这种假设通常不适用于具有大量基础资产的资产。为了提供更客观和系统的替代方案，我们的方法利用了最近为变量选择开发的优雅结果，这样我们就可以在回归模型中考虑大量的协变量，而不会因高维性而产生问题。

尽管最近开发了各种高维线性回归方法，如LASSO（见Tibshirani，1996），但据我们所知，这是第一次尝试从理论和数值上证明这些变量选择工具如何能够纳入Longsta ff-Schwartz框架。各种相关估计的相应收敛结果也缺失。为此，随着模拟路径的数量与回归模型中的维度趋于一致，我们建立了估值和VaR估计的相关渐近结果。因此，对于在各种应用中经常遇到的重要基函数未知的情况，新提出的收缩程序，即LASSO最小二乘MonteCarlo（LLSM），比LSM在回归中选择有效基函数的可能性更高。2、理论构建：我们还通过允许leastsquares回归中的估计误差来丰富证明，而不是按照Clement等人（2002）的要求假设理想估计。此扩展对相关问题进行了更一般性的讨论。该框架为其他可能的扩展奠定了基础，包括使用其他变量选择方法besides LASSO以及其他风险度量，包括预期短缺。3、计算效率：在计算方面，通过新的变量选择元素，新提案可以处理大量基于资产价格和/或其他风险因素的基函数，LASSO组件有助于客观和系统地选择重要的基函数。在我们的数值研究中，LLSM显著优于嵌套模拟和希腊近似。

随着底层随机变量数量的增加，LLSM的计算效率更加突出。数值结果表明，将LASSO纳入原始LSM只需增加总计算时间的5%（或20%，包括交叉验证）。所需的额外计算时间随着维数p的增加而减少。然而，估算结果的质量得到了显著改善；见第3.1.2节文件的组织本文件其余部分的组织如下。第2节阐述了LLSM程序，发展了LLSM收敛结果的理论合理性，并讨论了新方法的进一步改进。第3节介绍了几个具有美式特征和非线性Payo ff函数的导数的数值研究。通过与现有方法和oracle方法的全面比较，证明了LLSM的性能。结束语见第4节，后面是附录，附录给出了第2节讨论结果的证明。还包括我们数值研究的详细信息，包括模型规格。2方法套索最小二乘蒙特卡罗（LLSM）程序，用于早期练习特征目标为100（1）的一般投资组合- α） %t-投资期限内的日风险值，从t到t，在此期间，以t表示的冲顶时间，TL=T包括在内。值得注意的是，VaR不一定在停止时间进行评估，LLSM程序可以处理更通用的t日VaR∈ （T，T）。与著名的Bauer et al.（2012）和Longstaff and Schwartz（2001）方法类似，LLSM被表述为向后递归过程。在第一步中，LLSM通过模拟路径估计条件期望值。根据这些路径，对产生的期权价值进行回归。

与现有策略相比，LLSM增加了一个变量选择步骤，该步骤允许在所考虑的回归模型中使用客观程序来选择有效的基函数。相应的回归结果提供了连续值的近似值，可与早期执行值进行比较。然后可以评估所有路径不同停止时间的期权值，也可以评估投资组合值及其VaR。LLSM算法的详细信息总结在算法1.1中：确定投资组合的可能风险因素，并将其表示为向量Xt，其中下标TDE表示记录协变量的时间点。2： 模拟基本随机变量XTT的N个样本路径∈ 【T，T】在物理测量下，P.对于剩余的投资期限to TL，继续模拟风险中性测量下的路径Q.Xtat T，T，t表示为X，分别为xl。3： 初始化τ=L作为最佳停车时间指示器。4： 对于j← L- 1到1 do5：计算每个路径在时间Tjby C（Tj）=D（Tj，Tτ）A（Tτ）的贴现连续值，其中Tτ是最大化投资组合价值的Tj后的最佳停止时间，D（Tj，Tτ）是时间段（Tj，Tτ）的贴现因子，A（Tτ）是Tτ的即时行使值。6： 在L（Xj）上回归C（Tj），其中L（Xj）是Xj上带套索的基函数向量。用回归拟合值^C（Tj）近似C（Tj）。7： 如果A（Tj）≥^C（Tj）然后8：更新相应路径的τ=j。9： 结束if10：结束for11：计算T处的投资组合值，用U表示，U=D（T，Tτ）A（Tτ）。12： 用套索回归D（t，t）Uon L（Xt）。近似t处的投资组合价值，用Ut表示，用回归的拟合值^Ut表示。13： 计算损失`=U-^Ut。

N级已实现损失，并将dα净最大值定义为100（1- α） %t-day VaR.算法1：一般投资组合的LLSM在本节的其余部分，我们首先介绍后续讨论所需的所有符号。由于我们的VaR估计程序是根据模拟评估的价格制定的，因此我们首先在第2.2节中介绍了评估结果，然后可以在此基础上建立VaR收敛性；见第2.3.2.1节准备工作和注释，因为t日VaR的评估取决于对t时投资组合价值的估计，这是从j=1，…，停止时间Tjj时的投资组合价值得出的，五十、 为了保证VaR在t时的收敛性，我们首先得出产品价格在停止时间Tj的收敛结果。假设一个基本的完全概率空间(Ohm,F，P）和有限时间范围（0，T），其中Ohm 表示从时间0到T，F，σ的随机经济的所有可能实现的集合(Ohm) = FTI是累计至T=TL的总信息过滤，T是投资组合中所有金融产品的最大到期日。我们将时间范围离散为区间（Tj-1，Tj）对于j=1，L等长t=Tj- Tj公司-1足够小，以便投资组合中的潜在行使日期可以用一些离散时间点Tj表示。在不丧失一般性的情况下，我们假设j=1，L是相关的停止时间。因此，我们让Fjdenote及时过滤信息。将Zjas表示为投资组合的AdaptedPayoff过程，并假设所有j的Zjare平方可积随机变量。在Tj，我们让{Xj∈ Rpj | Xj=Xj1，Xjpj公司>} 是投资组合中最重要的随机变量。

根据我们的符号，不同TJI的基本随机变量数量不一定固定。一个例子是由利率产品组成的投资组合，其收益是远期利率的函数。为简单起见，我们假设pj≡ p表示j=1，五十、 给定Xj，存在一个确定性payoff函数f，使得Zj=f（Tj，Xj）。函数f可以是非线性和/或不连续的。最后，我们让Tj，kbe为所有可能的停止时间{Tj，…，Tk}的集合。定义为Tj的投资组合价值，Uj可以用条件期望的形式表示为：Uj：=supτ∈Tj，TEQ{f（Tτ，Xτ）| Fj}，（2）其中Q是风险中性度量。在续集中，为了简单起见，符号Q将被抑制。为了更有效地说明这一想法，我们假设只有一个最佳停止时间可供识别。如果投资组合中有多个具有不同最佳停止时间的衍生工具，我们可以通过将投资组合分离为几个元素的线性组合来进行类似分析，每个元素只有一个需要研究的最佳停止时间。（2）中定义的投资组合价值的公式考虑了一个相当普遍的设置，并涵盖了市场上广泛的资产。我们的目标是准确估计100（1-α） %t日VaR，其中α∈ （0，1）通常设置为0.01或0.05。在不丧失一般性的情况下，假设t∈ （T，T），这是Uis观察到常数的当前时间点。如果t=t，则我们在可能的停止时间将VaR称为VaR，或者通常在非停止时间将其称为VaR。实际上，所考虑的大多数风险值都属于后一种类型。100（1- α） %t日VaR基于对未来时间点t的投资组合价值的估计。