基于模拟的非线性投资组合风险价值

根据观察到的下降趋势，可以推断百慕大掉期期权VaR应小于欧洲掉期期权的oracle VaR。在表3中，只有LLSM产生的VaR估计值小于表2中欧洲掉期期权的oracle VaR。即使没有甲骨文的百慕大掉期期权研究基准，这一观察结果，再加上可能存在的LSM估值不佳的迹象和delta-normal方法的不稳定估计，可以证明在百慕大案例中，LLSM仍优于其他竞争者。4结论在本文中，我们提出了LASSO最小二乘蒙特卡罗（LLSM）方法，作为投资组合风险价值（VaR）评估的最小二乘蒙特卡罗（LSM）方法的扩展。在LLSM中引入LASSO作为一种模型选择技术，使提案能够处理具有美国特色的高维非线性投资组合。虽然领域知识有助于从业者更自信地选择影响风险因素，但LLSM提供了一种客观的替代方案，尤其有助于评估新的复杂金融产品的VAR。在本文中，我们还建立了LLSM的oracle属性，并得出了定价和VAR评估的收敛结果。彩虹期权和交换期权的数值研究表明，LLSM优于其他现有做法，如delta normal、delta gamma方法和LSM。尽管《巴塞尔协议III》将实施预期缺口（ES），作为一种连贯的风险衡量标准（例如，见Gourieroux和Jasiak，2002），但我们想强调的是，准确、可靠的VaR估计是合理的ES估计的必要中间步骤。

尽管VaR在银行业风险管理中的作用相对较小，但应强调的是，SolvencyII是自2016年起对保险业实施的现行监管框架，它利用VaR计算偿付能力资本要求（SCR）。另一方面，正如Kouand Peng（2016）所讨论的那样，满足一组经济公理的风险度量类型，即预期效用和一般可诱导性的统计特性（即存在一个目标函数，使得预期目标函数最小化产生风险度量）是中值不足，这是尾部损失分布的中位数，相当于较高置信水平下的VaR。因此，VaR的使用确实有其优点。本文有几个可能的扩展。首先，包括历史模拟（HS）或过滤历史模拟（FHS）是合理的，这是银行业计算资本需求的常见做法；例如，请参见我们的框架中的Gurrola Perez和Murphy（2015）。其次，我们对VaR的讨论也可以扩展到ES。Dantzig选择器（见Candes和Tao，2007）也可以被证明是另一种可行的变量选择方法。我们将在单独的报告中讨论相应的处理方法。第三，由于偏差项决定了LLSM的不精确性，我们可以通过一个外部层的广泛模拟来减少估计偏差。同于100（1-α） %tVaR直接受α最小Ut的估计影响，更准确的分位数估计将有助于改善LLSM的性能。在获得N种情况下的Ut估计值后，我们可以进行密集模拟，以获得更精确的α最小Ut估计值。

这可以通过首先找到与Utas初始化的α最小估计相对应的基础资产价值，然后在Q度量下密集模拟Nsample路径来实现。通过对到期时的贴现支付进行平均，可以更好地估计α最小UT。对于这种所谓的密集套索最小二乘蒙特卡罗（ILLSM）方法，我们已经获得了有希望的初步结果。进一步的调查将在另一篇论文中讨论。致谢作者感谢编辑、副编辑和两位匿名推荐人的建设性评论，这些评论大大改进了手稿。第二作者的部分财务支持来自香港研究资助委员会研究资助ECS-24300514和GRF-14317716。附录A：收敛结果的证明本附录包含第2.2节和第2.3节中讨论的收敛结果的证明。A、 定理1的证明为了证明定理1，我们需要以下四个引理。引理1。考虑线性回归模型Y=X>a+ε。如果我们有n个观测值，则y=（y，…，yn）>，ym=（ym，…，ymn）>，xi=（x1i，…，xpi）>，x=（x，…，xn），x（j）=（xj1，xj2，…，xjn）>，a=（a，…，ap）>，ε=（ε，…，εn）>。xi，yi，Ym是随机变量X，Y，Ym的具体实现，其中i=1，n、 定义^amn：=arg minα∈IRP{nXi=1（y[M]i- x> iα）+λkαk}。假设ε，εnare i.i.d.，Eε=0，E |ε|<∞, 年[月]日。s→ 伊亚斯m→ ∞. 如果存在一个非奇异矩阵C，使得npni=1xix>i→ C作为n→ ∞,λn→ 0，则为^amna。s→ a为n→ ∞ 和m→ ∞.证据

回想一下，^amn=arg minα∈IRP公司nXi=1（ymi- 彝语+彝语- x> ia+x>ia- x> iα）+λkαk= arg最小值α∈IRP公司nXi=1（ymi- yi+εi+x>i（a- α） ）+λkαk.因此，可以编写^amn- a=参数分钟∈IRP（nXi=1（（ymi- yi）+εi+（x>iu）+2εi（ymi- 彝语）-2（ymi- yi）x>iu- 2εix>iu）+λku+ak.定义Cn=nPni=1xix>i，Wn=nPni=1xiεi，Vn=nPni=1xi（ymi-yi）并放弃不涉及u的条款，我们得到- a=参数分钟∈IRP公司u> Cnu公司- 2W>nu- 2V>nu+λn（ku+ak- kak）= arg分钟∈IRPfn（u）。设γ0，to为Cn的最小本征值，γ为C的最小本征值。然后γ0，n→ γasn→ ∞, 其中γ>0。写kuk=qPpj=1uj=kuk，这相当于“norm”。如果我们确定=最大值1≤j≤pn | x（j）Tε|≤ λ=最大值1≤j≤pn | nXi=1xjiεi |≤ λ,T型=最大值1≤j≤pn | x（j）T（ym- y） |≤ ε*=最大值1≤j≤pn | nXi=1xji（ymi- yi）|≤ ε*,然后在集合T上∩ T、 我们有w>nu=n（nXi=1xiεi）>u≤ λ√pkuk，V>nu≤ ε*√pkuk，u>Cnu≥ γ0，nkuk，λn（ku+ak- kak）≤λnkuk≤λn√pkuk。下面是fn（u）≥ γ0，nkuk- 2λ√北京大学- 2ε*√北京大学-λn√pkuk=kuk（γ0，nkuk- 2λ√p- 2ε*√p-λn√p） 。固定λ∈ (0, 1), ε*∈ (0, 1). 由于λn=o（1）和Chatterjee和Lahiri（2011）的引理3.1，nPni=1xiεip→0，存在一个n≥ n、 λn≤ λ、 γ0，n>γ>0。在集合T上∩ T、 对于任何u∈ IRPwithkuk>（6λ+4ε*)√pγ0，n，以下为fn（u）≥ kuk（γ0，nkuk- 2λ√p- 2ε*√p- λ√p）≥ γ0，nkuk>0。因为fn（0）=0，所以对于n≥ n、 在集合{u:kuk>（6λ+4ε）中不能获得fn（0）的最小值*)√pγ0，n}，每当T∩ 托尔德。因此n≥ n、 T型∩ Timplies that^amn- a=arg minufn（u）∈ {u：kuk≤(6λ+ 4ε*)√pγ0，n}。特别地，∞Xm=1Prk^amn公司- ak>（6λ+4ε*)√pγ0，ni。o。≤∞Xm=1Pr{（T∩ Tm）ci。o、 }≤∞Xm=1Pr{Tci.o.}+∞Xm=1Pr{（Tm）ci.o.}=∞Xm=1Pr{（Tm）ci.o.}<∞.自λ和ε*∈ (0, ∞) 都是武断的，证明是完整的。引理2。如果k=j，L-1，a【M，N】ka。s→ a[M]kas N→ ∞ Pr{a[M]k·L[M]（Xk）=Zk}=0，那么对于i=1，2，N，Z[i]τ[i，M，N]ja。s→ Z[i]τ[i，M]j.证明。对于j=L，Z[i]τ[i，M，N]T=Z[i]τ[i，M]T=Z[i]T。

在j上进行归纳。假设k=j+1，···，T- 1，Z[i]τ[i，M，N]ka。s→ Z[i]τ[i，M]k，我们想证明Z[i]τ[i，M，N]ja。s→ Z[i]τ[i，M]j。∞XN=1Pr{| Z[i]τ[i，M，N]j- Z[i]τ[i，M]j |<ε}≤∞XN=1Pr{| Z[i]τ[i，M，N]j+1- Z[i]τ[i，M]j+1 |<ε}+∞XN=1{a[M]j·L[M]X[i]j）≤Z[i]j<a[M，N]j·L[M]（X[i]j）}+∞XN=1{a[M，N]j·L[M]（X[i]j）≤Z[i]j<a[M]j·L[M]（X[i]j）}<∞因为第一项是通过归纳法确定的。第二项的范围为∞XN=1{| Z[i]j-a【M】j·L【M】（X【i】j）|≤|（a【M，N】j-a[M]j）·L[M]（X[i]j）|}，也可定义为Pr{Z[i]j- a【M】j·L【M】（X【i】j）=0}=0。同样，可以证明第三项是有限的。这就完成了归纳。因此，作为N→ ∞, Z[i]τ[i，M，N]ja。s→ Z[i]τ[i，M]jLemma 3。假设j=1，2，L- 1，Pr{a[M]j·L[M]（Xj）=Zj}=0。此外，条件（A1）（A4）是满足的。然后，对于惩罚参数λ为λ/N=o（1）的LASSO估计量a【M，N】jj，我们有一个【M，N】ja。s→ a[M]jas N→ ∞.证据引理1，对于j=L- 1，a【M，N】ja。s→ 我们再次对j进行归纳。假设fork=j，···，T- 1，a【M，N】ka。s→ 我们的目标是证明对于k=j- 1，我们还有一个【M，N】j-1a。s→ a【M】j-1.

根据Emma 1，需要证明固定i=1，2，···，N，作为N→ ∞, Z[i]τ[i，M，N]ja。s→ Z[i]τ[i，M]j。通过定义，可以写出Z[i]τ[i，M，N]j=Fj（a[M，N]j，Z[i]，X[i]）=Z[i]j{Z[i]j≥a[M，N]j·L[M]（X[i]j）}+Z[i]j+1{Z[i]j<a[M，N]j·L[M]（X[i]j）}；Z[i]τ[i，M]j=Fj（a[M]j，Z[i]，X[i]）=Z[i]j{Z[i]j≥a[M]j·L[M]（X[i]j）}+Z[i]j+1{Z[i]j<a[M]j·L[M]（X[i]j）}和Z[i]τ[i，M，N]j- Z[i]τ[i，M]j=Z[i]j{Z[i]j≥a[M，N]j·L[M]（X[i]j）}- 1{Z[i]j≥a[M]j·L[M]（X[i]j）}+Z[i]τ[i，M，N]j+1{Z[i]j<a[M，N]j·L[M]（X[i]j）}- Z[i]τ[i，M]j+1{Z[i]j<a[M]j·L[M]（X[i]j）}。考虑以下四种情况：（i）如果Z[i]j≥ a[M，N]j·L[M]（X[i]j）和Z[i]j≥ a[我]j≥ a【M】j·L【M】（x【i】j），| Z【i】τ【i，M，N】j- Z[i]τ[i，M]j |=0；（ii）如果Z[i]j<a[M，N]j·L[M]（X[i]j）和Z[i]j≥ a[i]j<a[M]j·L[M]（x[i]j），| Z[i]τ[i，M，N]j-Z[i]τ[i，M]j |=| Z[i]τ[i，M，N]j+1-Z[i]τ[i，M]j+1 |；（iii）如果a【M】j·L【M】（X【i】j）≤ Z[i]j<a[M，N]j·L[M]（X[i]j），| Z[i]τ[i，M，N]j- Z[i]τ[i，M]j |=| Z[i]j- Z[i]τ[i，M，N]j+1 |；（iv）如果a【M，N】j·L【M】（X【i】j）≤ Z[i]j<a[M]j·L[M]（X[i]j），| Z[i]τ[i，M，N]j- Z[i]τ[i，M]j |=| Z[i]j- Z[i]τ[i，M]j+1 |，我们可以写∞XN公司-1Pr{| Z[i]τ[i，M，N]j- Z[i]τ[i，M]j |>ε}≤∞XN公司-1Pr{| Z[i]τ[i，M，N]j+1- Z[i]τ[i，M]j+1 |>ε}+∞XN=1{a[M]j·L[M]（X[i]j）≤Z[i]j<a[M，N]j·L[M]（X[i]j）}+∞XN=1{a[M，N]j·L[M]（X[i]j）≤Z[i]j<a[M]j·L[M]（X[i]j）}=i+i+i。引理2和a[M，N]j+1a。s→ a[M]j+1，I<∞.I+I≤∞XN=1{| Z[i]j-a[米]j·L[米]（X[米]j+1）|≤|a【M，N】j-a[M]j | L[M]（X[i]j）|}<∞.从一开始。s→ a[M]j，Pr{Zj=a[M]j·L[M]（Xj）}=0，我们得出Z[i]τ[i，M，N]ja的结论。s→ Z[i]τ[i，M]j。这完成了归纳。引理4。考虑线性回归模型：Y=X>a+. 如果我们有n个观测值，则y=（y，…，yn）>，xi=（x1i，…，xpi）>，x=（x，…，xn），x（j）=（xj1，xj2，…，xjn）>，a=（a，…，ap）>，ε=（ε，…，εn）>。我们还定义了^amn：=arg minα∈IRPnXi=1（ymi- x> iα）+λkαk！并用a表示回归模型中的真实参数。假设ε，εnare i.i.d。

Eε=0时，E |ε|<∞, 伊米亚。s→ 伊亚斯m→ ∞. 如果沙的相容条件成立，λ是一个合适的惩罚参数，满足λ/n→ 0和λ=O（对数p/n），然后是^amna。s→ a为n→ ∞ 和m→ ∞.证据证明类似于引理1。我们采用引理1中使用的相同符号，并省略了部分证明。再次观察W>nu≤ λ√pkuk，V>nu≤ ε*√pkuk和u>Cnu≥ kuSkφs>0，我们可以写fn（u）≥ kuSkφs- 2λ√北京大学- 2ε*√北京大学-λn√北京大学≥ kuSk（φskuSk- 2λ√p- 2ε*√p-λn√p） 。固定λ∈ (0, 1), ε*∈ (0, 1). 由于λ/n=o（1），因此存在n≥ n、 λ/n≤ λ.在集合T上∩ Tu∈ IRP，kuSk>（6λ+4ε*)√pφ/秒，fn（u）≥ kuSk（φskuSk- 2λ√p- 2ε*√p- λ√p）≥φskuSk>0。因为fn（0）=0，所以对于n≥ n、 在集合{u:kuSk>（6λ+4ε）中无法获得fn（0）的最小值*)√pφ/s}，当T∩ 托尔德。因此，对于n≥ n、 T型∩ Timplies^a【M】n- a=arg minufn（u）∈ {u:kuSk≤(6λ+ 4ε*)√pφ/s}。由于兼容性条件，我们可以编写UK≤ 库斯克+库斯克≤ 10kuSkbecause库斯克≤ 3kuSkimplies库斯克≤ 9kuSk。因此∞XM=1Pr{k^a[M]n- ak>10（6λ+4ε*)√pφ/平方英寸。o、 }≤∞XM=1Pr{kuk>10（6λ+4ε*)√pφ/平方英寸。o、 }≤∞XM=1Pr{kuSk+kuSk>10（6λ+4ε*)√pφ/平方英寸。o、 }≤∞XM=1Pr{10kuSk>10（6λ+4ε*)√pφ/平方英寸。o、 }≤∞XM=1Pr{（T∩ T【M】）ci。o、 }<∞.自λ和ε*∈ (0, ∞) 都是武断的，这就完成了证明。定理1的证明。定理1（i）的证明可以建立在前面引理1-4的基础上。它与provelimN等效→∞NNXi=1U[i，M，N]j=E（UMj | Fj）。根据大数定律（LLN），必须证明n=NNXi=1U[i，M，N]j- U[i，M]j根据Clement et al.（2002）的引理3.1，我们可以写出| GN |≤NNXi=1U[i，M，N]j- U[i，M]j≤NNXi=1TXk=j | z[i]k | T-1Xk=j{| Z[i]k-a【M】k·L【M】（X【i】k）|≤|（a【M，N】k-a[M]k）·L[M]（X[i]k）|}。因为对于j=1，L- 1，a【M，N】ja。s→ a【M】j。

然后ε>0，lim supN | GN |≤ lim supNNNXi=1TXk=j | Z[i]k | T-1Xk=j{| Z[i]k-a【M】k·L【M】（X【i】k）|≤|ε·L[M]（X[i]k）|}=ETXk=j | Zk | T-1Xk=j{| Zk-a【M】k·L【M】（Xk）|≤|ε·L[M]（Xk）|}.最后一个等式来自LLN。Letε→ 0，我们得到收敛到零，因为对于j=1，L-1，Pr{a[M]j·L[M]（Xj）=Zj}=0。如果我们在前面的证明中用引理4代替引理1，则定理1（ii）的证明如下。A、 2定理2的证明为了定义不可表示条件和相关的活动集，我们首先重写gram矩阵A[M，N]jasAj，ck，lis矩阵Aj中第k行和第l列的元素。定义语法矩阵的子矩阵，给定索引集S asA（j）1,1（S）=（ck，l）k，l∈SA（j）2,2（S）=（ck，l）k，l/∈SA（j）1,2（S）=（ck，l）k∈S、 l/∈SA（j）2,1（S）=A（j）>1,2（S）。不可再现条件和相关的活动集定义如下：我们说，对于基数为S的集S，如果对于所有向量uS，则满足不可再现条件∈ Irssatizing kuSk公司∞≤ 1，我们有KA2,1（S）A-11.1（S）uSk∞< 此外，相关活动集定义为固定j∈ {0，…，T- 1} ，s相关=（m：| a【m】j，m |>λ（j）supkuSk∞≤1kA（j）-11.1（S）uSk∞/2） ，其中，Sis是活动集，a[M]j，mis是真系数向量a[M]j的第M个元素。下面的引理是根据B¨uhlmann和van de Geer（2011）的定理7.1得出的。引理5。假设S的不可再现条件成立，则S是相关的 S（λ） J=0。。。，L- 1，k（a[M，N]j）S- （a[M]j）Sk∞≤ λsupkuSk∞≤1k∑（j）-11.1（S）uSk∞/2，其中a[M，N]jis是带惩罚λ的LASSO估计系数，S（λ）={k，a[M，N]j，k6=0}。定理2的证明。我们的证明跳过了一些步骤，这些步骤类似于Clement等人（2002）中定理3.1的证明。这等价于证明j=0，五十、 limN公司→∞E（Zτ[M，N]j | Fj）=E（Zτj | Fj）。请注意，以下归纳法适用于Mand和M，直至规范。

对于j=L，τ[M，N]T=τT=T和E（Zτ[M，N]j | Fj）=E（Zτj | Fj）。假设limN→∞E（Zτ[M，N]k | Fk）=E（Zτk | Fk）适用于k=j+1，我们想证明它也适用于k=j.E（Zτ[M，N]j | Fj）=NNXi=1Z[i]τ[i，M，N]j=NNXi=1Z[i]j{Z[i]j≥a[M，N]j·L[M]（X[i]j）}+Z[i]τ[i，M，N]j+1{Z[i]j<a[M，N]j·L[M]（X[i]j）}andE（Z[M，N]τj- Zτj | Fj）={Zj- E（Zτj+1 | Fj）}（1{Zj≥a[M，N]j·L[M]（Xj）}- 1{Zj>E（Zτj+1 | Fj）}）+E（Zτ[M，N]j+1- Zτj+1 | Fj）1{Zj<a[M，N]j·L[M]（Xj）}。RHS中的第二项通过归纳收敛到零。接下来，观察| B[M]j |=|（Zj- E（Zτj+1 | Fj））（1{Zj≥a[M，N]j·L[M]（Xj）}- 1{Zj>E（Zτj+1 | Fj）}）|≤ |Zj公司- E（Zτj+1 | Fj）| 1{| Zj-E（Zτj+1 | Fj）|≤|a[M，N]j·L[M]（Xj）-E（Zτj+1 | Fj）|}≤ |a[M，N]j·L[M]（Xj）- E（Zτj+1 | Fj）|≤ |a[M，N]j·L[M]（Xj）- P[M]j（E（Zτj+1 | Fj））|+| P[M]j（E（Zτj+1 | Fj））- E（Zτj+1 | Fj）|。根据投影Pj（·）的定义，P【M】j（E（Zτ【M】j+1 | Fj））=a【M】j·L【M】（Xj）。因此，可以写| B[M]j |≤ |a[M，N]j·L[M]（Xj）- a[M]j·L[M]（Xj）+P[M]j（E（Zτ[M]j+1 | Fj））- P[M]j（E（Zτj+1 | Fj））|+| P[M]j（E（Zτj+1 | Fj））- E（Zτj+1 | Fj）|。作为N→ ∞, 根据定理7，R.H.S.中的第一项收敛为零。第二项是定理7中的零，因为这些Mbasis函数跨越L{σ（Xj）}|B【M】j |≤ |a[M，N]j·L[M]（Xj）- a[M]j·L[M]（Xj）+P[M]j（E（Zτ[M]j+1 | Fj））- P[M]j（E（Zτj+1 | Fj））|+| P[M]j（E（Zτj+1 | Fj））- E（Zτj+1 | Fj）|。作为N→ ∞, R.H.S.中的第一项收敛为零，因为定理7适用于任何一项。根据定理7，第二项为零，因为这些Mbasis函数跨越L（σ（Xj））。为了证明第二项的收敛性，必须证明E（Zτ[M]j+1 | Fj）- E（Zτj+1 | Fj）=E（Zτ[M]j+1 | Fj）- E（Zτ[M]j+1 | Fj）=（aj）S\\S（λ）·（L（Xj））S\\S（λ）→ 0.（i）证明U*是的。s→ Uj，仍需证明为N→ ∞,P[M]j（E（Zτj+1 | Fj））- E（Zτj+1 | Fj）→ 0.（ii）证明U[M，N]ja。s→ Uj，仍需证明为N→ ∞,|P[M]j（E（Zτj+1 | Fj））- E（Zτj+1 | Fj）|→ 0，|（aj）S\\S（λ）·（L（Xj））S\\S（λ）|→ 根据条件（A1），E（Zτj+1 | Fj）=aj，1·L（Xj）+。

. + aj，k·Lk（Xj）=（aj）S·L（Xj）S、 对于（i），P[M]j（E（Zτj+1 | Fj））=（aj）S[M]·L（Xj）S[米]。回想一下S S[米]。对于k∈ S S【M】，a【M】j，k=aj，k6=0。对于k∈ Sc \\（S[M]）c，a[M]j，k=aj，k6=0。因此（aj）S·L（Xj）S=（aj）S[米]·L（Xj）S【M】和P[M]j（E（Zτj+1 | Fj））- E（Zτj+1 | Fj）对于（ii），P[M]j（E（Zτj+1 | Fj））=（aj）S（λ）·L（Xj）S（λ）。有M个基函数是从带有惩罚λ的LASSO的Mbasis函数的初始回归中选择的，其中M≤ M、 定义相关={k：| a[M]j，k |>λ（j）supkuSk∞≤1k∑（j）-11.1（S）uSk∞/2} 然后通过引理5，s相关 S（λ） S S[米]。对于k∈ S（λ） S、 a【M】j，k=aj，k6=0。对于k∈ S \\（S（λ）），a[M]j，k=0，aj，k6=0，其中S \\（S（λ）） S\\S相关={k:0<a[M]j，k<λ（j）supkuSk∞≤1k∑（j）-11.1（S）uSk∞/2}.由此得出| P[M]j（E（Zτj+1 | Fj））- E（Zτj+1 | Fj）|=（aj）S\\S（λ）·L（Xj）S\\S（λ）≤ λ（j）（supkuSk∞≤1k∑（j）-11.1（S）uSk∞/2)Xk公司∈S\\S（λ）Lk（Xj）→ 0作为N→ ∞自λ（j）supkuSk起∞≤1k∑（j）-11.1（S）uSk∞/2.→ 0作为N→ ∞. 剩余期限| Pk∈S\\S（λ）Lk（Xj）|<Pk∈S\\S（λ）| Lk（Xj）|<∞ 因为| S |=S<∞, |Xj |<∞, |Lk（Xj）|<∞ 对于所有k∈ S、 A.3定理3的证明定理3的证明。我们首先重写VaR[M，N]j，VaR[M]jasPr{U[M，N]j>VaR[M，N]j}=Pr{U[M]j>VaR[M]j}=α。其中α是确定性已知常数。根据定理1，U[M，N]ta。s→ U[M]塔斯N→ ∞. 分别表示U[M，N]和U[M]tas gN（U）和g（U）的pdf，然后是zvar[M，N]j-∞gN（u）du=ZVaR【M】j-∞g（u）du=α。0=ZVaR【M】j-∞gN（u）du-ZVaR[M]j-∞g（u）du+ZVaR[M，N]jVaR[M]jgN（u）du=Gn（VaR[M]j）- G（VaR[M]j）+ZVaR[M，N]jVaR[M]jgN（u）du，其中GN（u），G（u）是u[M，N]t，u[M]t的cdf，即u[M，N]ta。s→ 我们有时间→ U[M]t，GN（VaR[M]j）→G（VaR[M]j），| RVaR[M，N]jVaR[M]jgN（u）du |→ 我们通过矛盾来完成证明。假设VaR[M，N]j9 VaR[M]j，然后N∈ N+，> 0，st | VaR[M，N]j- VaR[M]j |>.