基于模拟的非线性投资组合风险价值

由于VaR[M，N]jis分布的支撑集很紧，因此存在u∈ [最小值（VaR[M，N]j，VaR[M]j），最大值（VaR[M，N]j，VaR[M]j）]，使得gN（u）>0。如果U[M，N]是离散的，ZVaR[M，N]jVaR[M]jgn（u）du=GN（VaR【M】j）- G（VaR[M]j）> 0，矛盾。如果U[M，N]是连续的，*> 0, u∈ （u）- *, u+*) ∩ 最大值（VaR[M，N]j，VaR[M]j）]，gN（u）>u*> 0,ZVaR[M，N]jVaR[M]jgN（u）du> u*最小值（2*, ) > 0，矛盾。因此，假设VaR[M，N]j9 VaR[M]jis不正确，在这种情况下，VaR[M，N]j→ VaR[M]jas N→ ∞.A、 4定理的证明4为了证明这个定理，我们首先介绍以下引理及其证明。引理6。设αN=Pr{U-U[M，N]t<-VaR[M]t}，α*N=Pr{U-U*[M，N]t<-VaR[M]t}。假设定理1（ii）中的条件满足，且条件（A6）适用于W和W*分别为αN- α = - g（v）Osslog MNφ+ddvg（v）Oslog MNφ+ oN-1.,α*N- α=ddvg（v）O明尼苏达州+ g（v）oN-1.,其中φ表示相容条件中定义的相容常数。引理6的证明。利用泰勒展开，我们可以写出αN- α=ZIRZvv+w/√NgN（u，w）dudw=-ZIRw公司√NgN（v，w）dw+ZIRw2NvgN（v，w）dw+ON3/2.第一个术语可以写成ZIRw√NgN（v，w）dw=g（v）√NE（W | U[M]t=v）=g（v）E（E“N-1NXi=1（a【M，N】t- a[M，N]t）·L[M]（Xt）| U[M]t=v，Xt#）+g（v）E（E”N-1NXi=1（￠a【M，N】t- a[M]t）·L[M]（Xt）| U[M]t=v，Xt#）=g（v）或log MN！+oN-1..最后一个等式来自于B¨uhlmann和van de Geer（2011）中的定理7.7和定理1。关于第二学期，我们可以写，2NZIRwugN（v，w）dw=2Nddvg（v）EnE（w | Xt）| U[M]t=vo=ddvg（v）Oslog MNφ.因此αN- α=g（v）Osslog MNφ+ddvg（v）Oslog MNφ+ oN-1..同样，我们有α*N- α=ddvg（v）O明尼苏达州- g（v）oN-1..定理4的证明。根据条件（A5），U[M]是连续的。

因此，infx∈IRnPr{U- U[M]t<-x} <αo=nx∈ IR；Pr{U- U[M]t<-x} =αo。与Gordy和Juneja（2010）中（28）的证明类似，我们将泰勒展开应用于以下等式中的Pr{U[M，N]t>v}，α=Pr{U[M，N]t>v}- （五）- v） gN（v）-（五）- v） gN（~v）+ON-1.,其中v是v和v之间的适当值。根据条件（A5），gN（u）对所有v一致有界。根据定理6，Pr{u[M，N]t>v}=Pr{u[M]t>v}- g（v）Osslog MNφ+ddvg（v）Oslog MNφ+ ON3/2= α - g（v）Osslog MNφ！-ddvg（v）Oslog MNφ+ ON3/2.因此，我们有- v=gN（v）“g（v）Osslog MNφ！-ddvg（v）Oslog MNφ+ oN-1.#.为了推导gN（v）和g（v）之间的关系，我们观察到gN（v）- g（v）=ZIRgN（v-w√N、 w）- gN（v，w）dw=ZIR-√NwgN（▄v，w）dw=g（▄v）Osslog MNφ！，其中，v位于v之间- w/√N和v.v- v=“g（v）- g（▄v）g（v）g（v）Osslog MNφ#×\"-g（v）Osslog MNφ！-ddvg（v）Oslog MNφ+ oN-1.#= Osslog MNφ+g（v）g（v）g（v）-g（v）ddvg（v）Oslog MNφ+ oN-1..同样，我们可以证明v*- v=g（v）ddvg（v）O明尼苏达州+ oN-1..如果N=oMφslog M+2M+slog Mφ,Osslog MNφ+g（v）g（v）g（v）-g（v）ddvg（v）Oslog MNφ= og（v）ddvg（v）O明尼苏达州.因此，预期结果如下。附录B：数值研究详情本节包含第3节中讨论的数值研究详情，包括数据、基础模型及其校准参数。B1、第3.1节中彩虹期权的设置为了利用现有的封闭式定价解决方案得出基准，我们假设标的股票价格遵循Black-Scholes模型，其中无风险利率r、各标的股票的波动性以及不同标的股票之间的相关性从T到T保持不变。定义ρij为第i个和第j个标的股票之间的相关性，σij=σi+σj- 2ρijσiσjas为协方差。定义ρiij=σi- ρijσjσijρijk=σi- ρijσiσj- ρikσiσk+ρjkσjσkσijσikd（S，k，σ）=log（Ke-rT/S）- σT/2σ√Td（S，K，σ）=d+σ√T，其中i，j，k=1。。。，10

与Johnson（1987）给出的“最小买入”彩虹期权的闭式解类似，任何给定时间的期权价格t∈ [0，T]可写入asct=100S1tS1,0Nnd（S1tS1,0，K，σ），-d（S1tS1,0，S2tS2,0，σ）。。。，-d（S1tS1,0，SntSn，0，σ1n），-ρ, -ρ, ..., ρ, ...+ 100S2tS2,0Nnd（S2tS2,0，K，σ），-d（S2tS2,0，S1tS1,0，σ。。。，-d（S2tS2,0，SntSn，0，σ2n），-ρ, -ρ, ..., ρ, ...+ ···+ 100SntSn，0Nnd（SntSn，0，K，σn），-d（SntSn，0，S1tS1,0，σ1n）。。。，-d（SntSn，0，Sn-1，tSn-1,0，σn-1，n），-ρn1n，-ρn2n。。。，ρn12，…）- 100Ke-r（T-t） Nn型d（S1tS1,0，K，σ），d（S2tS2,0，K，σ）。。。，d（SntSn，0，K，σn），ρ，ρ。。。,其中，n=10，Nn（·）是n维标准正态分布的累积分布函数。因此，Tcan的期权价格将降低至toc=100Nnd（1，K，σ），-d（1，1，σ）。。。，-d（1，1，σ1n），-ρ, -ρ, ..., ρ, ...+ 100Nnd（1，K，σ），-d（1，1，σ。。。，-d（1，1，σ2n），-ρ, -ρ, ..., ρ, ...+ ···+ 100Nnd（1，K，σn），-d（1，1，σ1n）。。。，-d（1，1，σn-1，n），-ρn1n，-ρn2n。。。，ρn12，…）- 100Ke-rTNn公司d（1，K，σ），d（1，K，σ）。。。，d（1，K，σn），ρ，ρ。。。.标的股票的动力学参数包括无风险利率r、波动率σi、漂移ui、当前价格Si0以及不同股票之间的相关性ρij，其中i，j=1。。。，（十）根据对市场常见交易股票的观察，合理选择。假设Black-Scholes为基础模型，模拟500个每日历史基础股票价格。我们将波动率σ、σ以及S、S之间的相关性设置为相对较大的值，以便在回归中，沙子呈现出显著的变量。起始历史价格Si，-1，日漂移ui和波动率σi如表6所示，而相关矩阵如表7所示。

数值结果见第3.1节。表6：基础模型中的参数i，-1uiσi80.38723 1.1015E-06 0.008526342.70244 1.5939E-06 0.009309367.57745 3.4755E-06 0.002476385.70454 3.8621E-05 0.002164658.11831 8.6745E-05 0.004294232.29635 7.4338E-05 0.002560157.28909 9 9 9 9.0098E-05 0.004442468.65604 1.1443E-05 0.001032686.43502 7.7736E-05 0.001612881.60649 1.2489E-05 0.0013172表7：相关矩阵中的参数SSSSSSSSSSSSSS1.00000 0.55000 0.29311 0.28272 0.236810.33050 0.34773 0.39159 0.29665 0.23986S0.55000 1.00000 0.28613 0.27540 0.37854 0.38001 0.25678 0.32052 0.26683 0.28365S0.29311 0.25510 1.00000 0.31191 0.39619 0.32266 0.27440 0.26772 0.39976 0.28598S0.28613 0.33050 0.27440 1.25510 0.23745 0.22811 0.25273 0.22504 0.35783S0.28273 0.38001 0.22811 0.25273 1.00000 0.24183 0.25727 0.29702 0.30817 0.33151S0.27540 0.32266 0.25727 0.29702 0.399761.00000 0.25681 0.21482 0.32993 0.20017S0.31191 0.23745 0.25681 0.21482 0.22504 0.21862 1.00000 0.28263 0.29389 0.24210S0.23681 0.24183 0.39159 0.28263 0.30817 0.23986 0.35783 1.00000 0.21862 0.23128S0.37854 0.34773 0.32052 0.29665 0.32993 0.28365 0.33151 0.24210 1.00000.37021S0.39619 0.25678 0.26772 0.26683 0.29389 0.28598 0.20017 0.23128 0.37021 1.00000B2。第3.2节和第3.3节中彩虹期权的设置我们的公式遵循Brigo和Mercurio（2007）[第6.3.1节]假设正向利率的对数正态分布。Qiare下的远期利率动态Li（t），分别为i<j，t≤ Ti:dLj（t）=σj（t）Lj（t）jXk=i+1ρkjδkσk（t）Lk（t）1+δkLk（t）dt+σj（t）Lj（t）dZj（t）i=j，t≤ Ti公司-1： dLj（t）=σj（t）Lj（t）dZj（t）i>j，t≤ Tj公司-1： dLj（t）=-σj（t）Lj（t）jXk=i+1ρkjδkσk（t）Lk（t）1+δkLk（t）dt+σj（t）Lj（t）dZj（t），其中Z是一个布朗运动，在不同远期利率的测度Qi，Zi，Zjare布朗运动下，其与Lj（t）的瞬时相关性为ρ=（ρij）i，j=1,2，。。。。

与在时间Ti到期的零息票债券相关的度量由Qi表示。注意，如果σj（·）有界，则方程（9）中的所有方程都允许唯一强解。为了充分说明LFM中的远期利率动态，必须确定瞬时波动率和相关函数。广泛采用时间齐次函数来参数化瞬时挥发率和相关性。这里的术语“时间同质”表示功能是时间依赖的，时间依赖性与达到基础掉期到期的剩余时间有关。在我们的例子中，我们使用了一种最常用的参数形式，即σi（t）=ψiν（Ti-1.- t、 γ）=ψi[{（Ti）-1.- t） γ+γ}e-（Ti-1.-t） γ+γ]，其中γ=（γ，γ，γ，γ）是一个参数集，ψII是一个修正参数，它使波动率更接近市场数据。该函数具有“驼峰”形状，可以用经济学知识进行描述性解释。对于瞬时相关性ρ，Joshi（2003）和Rebonato（2002）中建议的参数化形式为ρij=e-β| i-j |。（9） 为了校准瞬时波动率和相关性中的参数，我们将市场数据作为初始年远期利率的输入L=[L（T，T，T），L（T，T），…，L（T，T，T）]，以及年度ATM caplet波动率σcaplet=[σcaplet，…，σcaplet]，其中σcaplet代表年度caplet在第i年重置并在（i+1）年支付的波动率。i=1，2，···，20。递归校准算法首先通过适当的猜测初始化γ、β。

用γ，β，我们可以估计ψifor i=1。。。，20，以便通过σcapleti=Ti匹配共同终端小股的市场波动性-1eψiZ∞ν（Ti-1.- s、 γ）ds=Ti-1eψi我-1Xs=0（（Ti-1.- Ts）γ1,0+γ2,0）e-（Ti-1.-Ts）γ3,0+γ4,0.给定thoseeψi，重新估计γ，βbyarg minγ，β|σi- ^σi（β，γ；eψ）|，（10），其中σi是i NCα交换期权的黑色波动率，σi（β，γ；eψ）是Rebonto（2002）采用的模型波动率。相应的公式近似于对数正态远期伦敦银行同业拆借利率模型掉期期权波动率，即σi（0）=iXj，k=3wj（0）wk（0）Lj（0）Lk（0）ρjkS2，i（0）Xs=0σj（Ts）σk（Ts），i≥ 3，其中wj（0）=δjL（0，T，Tj）Pik=3δkL（0，T，Tk），S2，i（0）是i NC 2交换选项的ATM交换率。用公式（9）和（9）中的函数形式代替瞬时波动率和相关性，σi（0）可以表示为参数γ、β、ψ的函数。通过解决公式（10）中的极小化问题，可以重新估计γ，β，然后迭代地重新估计ψ。当达到收敛或最大迭代次数时，迭代过程停止。我们对ψ的校准进行了限制，使得1- 0.1≤ ψi≤ 1+0.1表示所有i。该约束要求所有ψito都接近1，以便及时捕获术语结构的定性行为。由于分段恒常消费的典型不稳定行为可以通过线性/指数函数加以改善，因此构建瞬时波动率和相关性的函数形式，以生成所有瞬时波动率的期限结构的平滑形状。数值结果见第3.2节。参考Artzner，P.、Delbaen，F.、Eber，J.和Heath，D.（1999），“一致的风险度量”，数学金融，9203-28。Bauer，D.，Reuss，A.，和Singer，D。

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