固定缴款养老金计划中的长寿风险对冲

股票风险的市场价格和不同的波动系数可能是随机的，并且有许多不同的形式。然而，由于我们主要关注利率风险和寿命风险，而不是投资风险，因此假设它们是常数是合理的。对于以固定到期时间TB支付一单位货币的零息票债券B（t，TB）的定价，我们首先引入货币市场账户R（t）：dR（t）R（t）=R（t）dt，R（0）=1。然后，风险中性定价公式给出usB（t，TB）=eE“R（t）R（TB）F（t）#=eEe–RTBtr（u）duF（t）,其中，ee[·]是measureeP下的期望算子。由于利率r（t）遵循一个有效模型，我们可以求解债券价格asB（t，TB）=ef（t，TB）–f（t，TB）r（t）。（2） 式中，f（t，TB）=2arσrlog2ηre（br+ηr）（TB-t）（br+ηr）（eηr（TB-t）-1）+2ηr, （3） f（t，TB）=2（eηr（TB–t）–1）（~br+ηr）（eηr（TB–t）–1）+2ηr，ηr=qbr+2σr，~br=br+θrσr。这种公式可以在多个来源中找到，例如Brigo和Mercurio（2007，第3.2.3节），Cuchiero（2006，第3.1.2节）。P下B（t，TB）的动力学为db（t，TB）B（t，TB）=r（t）+θrqr（t）σB（t，TB）dt+σB（t，TB）dW（t），其中我们表示σB（t，TB）=–f（t，TB）σrpr（t）。我们在附录A.1中包含完整的计算。正如Boulier et al.（2001）所述，使用滚动到期的单一债券可以方便地复制市场上的任何债券。因此，我们引入了一种滚动债券B（t）（有点滥用符号），其到期时间为常数TB。B（t）的价格过程由以下随机微分方程（SDE）描述：dB（t）B（t）=r（t）+θrqr（t）σB（t，t+TB）dt+σB（t，t+TB）dW（t）。

（4） 通过以下等式，我们可以看到零息票债券B（t，TB）可以使用现金复制，滚动债券B（t）：dB（t，TB）B（t，TB）=1–σB（t，TB）σB（t，t+TB）dR（t）R（t）+σB（t，TB）σB（t，t+TB）dB（t）B（t）。因此，使用滚动债券相当于在市场上使用固定期限零息票债券。市场上的第三项也是最后一项资产是零息票长寿债券，主要用于对冲长寿风险。定义1。零息票长寿债券是一种从时间0到固定到期日支付票面金额等于参考人群生存概率的合同。根据定义1，在固定到期时间TLisp（TL）支付零息票长寿债券。

假设长寿风险的市场价格为θ（t）=θλpλ（t），则具有固定到期时间TL的零息票长寿债券的无套利价格l（t，TL）为asL（t，TL）=eER（t）R（TL）p（TL）F（t）= e–Rtλ（u）dueEe–RTLt（r（u）+λ（u））duF（t）.由于r（t）和λ（t）的性质以及它们之间的独立性，长寿债券价格可以用以下形式表示：L（t，TL）=e–Rtλ（u）duN（t，TL），（5），其中（t，TL）=ef（t，TL）–f（t，TL）r（t）+h（t，TL）–h（t，TL）λ（t），（6）h（t，TL）=2（eλ（TL）（t）–1）（bλ+η（TL）（eηλ（TL）–1）+2λ，h t，TL）=–ZTLtaλ（u）h（u，TL）du，ηλ=qbλ+2σλ，~bλ=bλ+θλσλ。通过表示σrL（t，TL）=–f（t，TL）σrpr（t）和σλL（t，TL）=–h（t，TL）σλpλ（t），然后将L（t，TL）的演化描述为dl（t，TL）L（t，TL）=r（t）+θrqr（t）σrL（t，TL）+θλqλ（t）σλL（t，TL）dt+σrL（t，TL）dW（t）+σλL（t，TL）dW（t）。详细计算见附录A.2。以与零息票债券相同的方式，我们考虑一种具有固定到期时间TL的滚动长寿债券L（t）（带有少量符号），其在P下的价格过程为：dL（t）L（t）=r（t）+θrqr（t）σrL（t，t+TL）+θλqλ（t）σλL（t，t+TL）dt（7）+σrL（t，t+TL）dW（t）+σλL（t，t+TL）dW（t）。我们发现，滚动寿命债券与利率r（t）以及死亡率λ（t）相关。事实上，任何固定期限的零息票长寿债券都可以使用滚动债券、滚动长寿债券和现金进行复制：dL（t，TL）L（t，TL）=n（t）dR（t）R（t）+nB（t）dB（t）B（t）+nL（t）dL（t）L（t，TL）σλL（t，t+TL），nB（t）=σrL（t，TL）σB（t，t+TB）-nL（t）σrL（t，t+TL）σB（t，t+TB），n（t）t）=1–nB（t）–nL（t）。文献中经常使用滚动债券：Han和Hung（2012）引入了滚动指数债券来对冲DC计划的通货膨胀风险。Menoncin（2008）使用滚动长寿债券转移个人的长寿风险。

事实上，这项工作中提出的问题也可以通过使用执行自然度零息票长寿债券和零息票债券来解决。滚动寿命键和滚动键的使用仅简化了第3节中的计算。此外，我们对风险θrpr（t）和θλpλ（t）市场价格的具体选择保持了我们模型的一种有效形式（例如，参见Duffee（2002））。对于任何t、TB、TL∈ T、 我们以向量的形式描述风险资产价格：dB（t）B（t）dL（t）L（t）dS（t）S（t）= （r（t）1+M（t））dt+∑（t）dW（t），（8）其中M（t）=θrpr（t）σB（t，t+TB）θrpr（t）σrL（t，t+TL）+θλpλ（t）σλL（t，t+TL）θrσrSr（t）+θSσS,∑（t）=σB（t，t+TB）0σrL（t，t+TL）σλL（t，t+TL）0σrSpr（t）0σS.为了便于表述，我们还用z（t）=[r（t），λ（t）]表示，其动力学为：dz（t）=u（t，z（t））dt+ξ（t，z（t））dW（t），z（0）=[r，λ]，（9），其中u（t，z（t））=“ar–brr（t）aλ（t）–bλλ（t），ξ（t，z（t））=“σrpr（t）0 00σλpλ（t）0#。3主要结果在文献中，一位有代表性的成员被用来研究C计划的最优资产配置问题，例如，参见Boulier等人（2001）。在这项工作中，我们还考虑了一位代表性成员，他在积累阶段持续向养老金计划贡献其工资的一小部分。退休时间T∈ T、 累计供款用于购买终身年金，以提供退休时的正常收入。计划经理代表代表成员，在积累阶段决定投资策略，以增加计划财富。该计划引入了最低担保，以保护代表成员免受投资绩效不佳的影响。在投资组合选择问题的文献中，有两种主要的最优性准则：效用最大化准则和均值方差准则。

在我们的框架中，我们遵循默顿（1969）的观点，并假设方案管理人的目标是从终端财富和最低担保之间的盈余中最大化代表成员的预期效用。3.1效用最大化问题我们假设代表成员贡献了其瞬时工资w（t）的一小部分Rc。之前的研究，如Han和Hung（2012）以及Guan和Liang（2014），将工资（或，贡献）建模为一个随机过程，以研究DC计划的最优资产配置问题。为了简化我们的计算，假设这项工作中的瞬时工资为常数，即对于任何t∈ [0，T]，w（T）=w。因此，贡献c（t）=rcw（t）=rcw=c也是常数。我们注意到，当w（t）和c（t）被视为独立的随机过程或确定性函数时，我们的以下分析也适用。在累积阶段，在任何时间t∈ [0，T]，方案经理将αS（T）、αB（T）和αL（T）金额分别投资于股票、滚动债券和滚动寿命债券。很明显，投资于货币市场的金额为α（t）=F（t）–αB（t）–αL（t）–αS（t），其中F（t）表示该计划的财富水平。假设代表构件的死亡时间τ为(Ohm, F、 P）。如果成员在退休时间之前死亡，即0<τ<T，我们假设其继承人收到其全部养老金作为遗赠。F（t）的动力学被给出为df（t）=r（t）F（t）+c+α（t）M（t）dt+α（t）∑（t）dW（t），F（0）=F，（10），其中α（t）t型∈ [0，T]=[αB（t）、αL（t）、αS（t）]t型∈ [0，T]表示对风险资产的投资。请注意，死亡力λ（t）不涉及计划的财富过程，因为我们假设继承人在去世后领取去世成员的养老金（计划的财富）。

如果继承人在成员死亡后仅获得计划财富的一小部分，则财富过程将受到λ（t）的影响。我们在附录A.3中提供了详细的计算，阐明了这一细微之处。代表成员在退休时间T使用其养老金总财富购买终身年金，并要求养老金财富必须超过作为最低保障的年金价格。此前，Boulier等人（2001）、Deelstra等人（2003）、Han和Hung（2012）以及Guan和Liang（2014）等著作也考虑了最低担保。我们将这些工作扩展到死亡时间不确定且死亡力随机的情况。要计算终身年金的价格，我们首先需要确定年金提供的分期付款水平。通常，工资替代率rw（退休收入与退休前收入的百分比）是对维持退休生活水平所需收入的良好估计。我们将年金的即时分期付款设定为π=rww，以便终身年金为维持生计提供充足的退休收入。通过将a（T）表示为退休时间T的终身年金价格，我们得到a（T）=eEZ∞TπR（T）R（s）p（s）p（T）dsF（T）.最低保证G是在退休时为幸存成员购买终身年金。因此，其在T处的值为asG（T）=p（T）a（T）=eEZ∞TπR（T）R（s）p（s）dsF（T）.如前所述，养老金计划管理人的目标是最大限度地利用退休时间T时基金水平和最低保障之间的盈余实现预期效用。

因此，对于给定的投资策略α，管理者效用最大化问题的目标函数是j（t，f，z；α）=EhUF（T）–G（T）i、 0<t≤ T、 其中U:R+→ R+是一个效用函数，F（t）=F>0，z（t）=z。在文献中，在与最优投资相关的问题中考虑了许多不同的效用函数。在众多选择中，双曲型绝对风险规避（HARA）效用函数是最常用的。常数相对风险厌恶（CRRA）、常数绝对风险厌恶（CARA）和二次效用都是以前工作中使用的HARA函数类型。例如，Gao（2008）和Boulier等人（2001）使用CRRA效用函数来研究DC方案的最优资产配置问题。Battocchio和Menoncin（2004）以及Cairns（2000）分别采用了Cara和二次效用。在本文中，我们使用幂效用函数（CRRA）：U（x）=x1–γ1–γ，（11），其中γ>0，γ6=1。在γ=1的情况下，U（x）=ln x是对数效用函数。我们选择功率效用函数有两个原因。首先，养老金计划通常管理着大量资金。随着相对风险厌恶情绪的增加或减少，投资于风险资产的财富比例受到财富水平的影响。然而，电力效用函数具有恒定的相对风险厌恶，投资策略不受规模的影响。其次，当使用功率效用函数时，我们的优化问题在分析上是可处理的。即使我们可以用我们的方法数值求解优化问题，我们也会失去对其他类型效用函数的分析可处理性。因此，我们提出了方案管理器的效用最大化问题assupα∈AE“（F（T）–G（T））1–γ1–γ#使得F（T）≥ G（T）a.s。。

（12） 在上面，集合A表示所有可接受策略的集合，定义如下。定义2。投资组合策略{α（t）∈ R | t∈ 如果α（T）相对于F是渐进可测的，且EhRT |α（T）| dti<∞.在我们的环境中，代表成员在积累阶段不断为该计划作出贡献。（10）中的cdt术语表明财富过程F（t）不是自我融资。此外，在退休时间T，有一个最低保证G（T）需要满足。这意味着所提出的问题（12）不是经典的默顿最优投资问题。为了解决这个非自融资约束问题，我们通过引入辅助盈余过程将其转化为自融资投资组合优化问题。然后，我们使用动态编程原理解决转换后的问题。3.2单一投资组合优化问题受Boulier等人（2001）的启发，我们将该计划的财富分为两部分：一部分是要支付的未来供款，另一部分是自我融资的投资组合。对于任何t∈ [0，T]，表示比亚迪（T）退休时间T前未来供款的现值，我们可以写（T）=eE“ZTtcR（T）R（s）dsF（t）#。（13） D（t）可以被视为一种息票支付债券，在时间t之前以c利率连续支付息票。因此，D（t）可以通过投资滚动债券和货币市场来复制。提案1。对于任何t∈ 【0，T】，（13）中的D（T）可以复制为dd（T）=–cdt+αB（T）dR（T）R（T）+αDB（T）DB（T）DB（T）B（T），（14），其中αDB（T）=cRTtB（T，s）f（T，s）dsf（T，T+TB），αB（T）=D（T）–αDB（T），（15）分别是滚动债券和货币市场的持有量。证明见附录B。我们的下一步是通过以下步骤将问题（12）转化为简化的投资组合优化问题。首先，我们为G（T）构造了一个复制投资组合。

在时间t∈ [0，T]，G（T）的当前值由G（T）=eE“G（T）R（T）R（T）给出F（t）#。（16） 在命题1中，我们通过使用现金和滚动债券复制D（t），因为利率风险是对冲的唯一风险。我们在下面的命题中表明，通过投资债券、长寿债券和货币市场，G（t）可以类似地复制。提案2。对于任何t∈ （16）中的[0，T]，G（T）可以复制为dg（T）=αG（T）dR（T）R（T）+αGB（T）dB（T）B（T）+αGL（T）dL（T）L（T），（17），其中αGL（T）=πR∞TL（t，s）h（t，s）dsh（t，t+TL），（18）αGB（t）=πR∞TL（t，s）f（t，s）dsf（t，t+TB）–αGL（t）f（t，t+TL）f（t，t+TB），αG（t）=G（t）–αGB（t）–αGL（t）。分别持有滚动长寿债券、滚动债券和货币市场。证明见附录C。最后，我们构造了一个辅助过程Y（t），它是终端财富超过最小担保的盈余，即Y（t）=F（t）+D（t）–G（t）。在退休时间T，从（13）中，我们看到d（T）=0，我们有Y（T）=F（T）–G（T）。从（10）、（14）和（17）中，我们得到以下方程式dy（t）=dF（t）+dD（t）-dG（t）=αY（t）dR（t）R（t）+αYB（t）dB（t）B（t）+αYL（t）dL（t）L（t）+αYS（t）dS（t）S（t），其中αYB（t）=αB（t）+αdB（t）-αGB（t），αYL（t）=αL（t）-GL（t），αYS（t）=αS（t），αY（t）=Y（t）-αYB（t）–αYS（t）。对于任何t∈ [0，T]，设αD（T）=[αDB（T），0，0]，αG（T）=[αGB（T），αGL（T），0]，αY（T）=[αYB（T），αYL（T），αYS（T）]。那么，我们有αY（t）=α（t）+αD（t）–αG（t）。（19） 剩余过程Y（t）的动力学可以写成dy（t）=r（t）Y（t）+αY（t）M（t）dt+αY（t）∑（t）dW（t）。（20） 因此，我们简化的投资组合优化问题被假定为αY∈AE“Y（T）1–γ1–γ#这样Y（T）≥ 每年0次。。（21）引理3。对于任何t∈ [0，T]，如果αY（T）∈ A、 然后α（t）∈ A、 优化问题（12）和（21）是等效的。证据从（19）中可以清楚地看出，我们需要证明确定性函数αD（t）和αG（t）的容许条件。

现在对于任何固定的t∈ [0，T]和任何s∈ [T，∞), f（t，s）和B（t，s）是连续函数。很容易看出EhRT |αD（t）| dti<+∞. h（t，s）和L（t，s）也是连续函数。此外，作为s→ ∞, 函数L（t，s）f（t，s）→ 0和L（t，s）h（t，s）→ 0。那么对于任何 > 0，存在K≥ T>0，这样对于所有K>K≥ K、 我们有ZKKL（t，s）f（t，s）ds< ,ZKKL（t，s）h（t，s）ds< .根据柯西准则，R∞TL（t，s）f（t，s）ds，R∞TL（t，s）h（t，s）ds收敛。因此，EhRT |αG（t）| dti<+∞. 因此，如果EhRT |αY（t）| dti<+∞, 然后EhRT |α（t）| dti<+∞. 这意味着如果αY（t）∈ A、 然后α（t）∈ A、 我们有D（T）=0，因此如果Y（T）≥ 0 a.s.，然后F（T）–G（T）≥ 0a。s此外，由于F（t）=Y（t）–D（t）+G（t）和（19）成立，αY？（t） 导致最优策略α？（t） 这就结束了争论。我们看到财富过程（20）是自我融资。一旦我们能够解（21）并获得唯一的最优控制αY？（t） ，我们可以使用（15）、（18）和（19）来获得α？（t） 。3.3最优解我们定义了简化问题（21）的值函数asV（t，y，z）：=supαy∈AE“Y（T）1–γ1–γ#，终端条件V（T，Y，z）=Y（T）1–γ1–γ。我们假设值函数V（T，Y，z）∈ C1,2,2（[0，T]×R+）。然后，通过遵循通常的动态规划原则（例如，参见Pham（2009，第3章）），V满足以下Hamilton-Jacobi-Bellman（HJB）方程0=Vt（t，y，z）+supαy∈RLαYV（t，y，z）（22），其中lαYV=Vy（ry+αYM）+uVz+tr（ξξVzz）+αY∑∑αYVyy+αY∑ξVyz.Vt、Vy、Vyy、Vz、Vzzand Vyz是关于t、y、z的一阶和二阶偏导数。特别是，Vz=[Vr，Vλ]、Vyz=hVyr、Vyλ和Vzz=h[Vrr，Vλr]、[Vrλ，Vλλ]i。通过求解αY上的Firstorder条件，我们得到了唯一的投资策略，即αY？=-VyVyy（∑）–1M–Vyy∑–1ξVyz。