固定缴款养老金计划中的长寿风险对冲

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英文标题：
《Hedging longevity risk in defined contribution pension schemes》
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作者：
Ankush Agarwal, Christian-Oliver Ewald and Yongjie Wang
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最新提交年份：
2020
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英文摘要：
  Pension schemes all over the world are under increasing pressure to efficiently hedge the longevity risk posed by ageing populations. In this work, we study an optimal investment problem for a defined contribution pension scheme which decides to hedge the longevity risk using a mortality-linked security, typically a longevity bond. The pension scheme invests in the risky assets available in the market, including the longevity bond, by using the contributions from a representative scheme member to ensure a minimum guarantee such that the member is able to purchase a lifetime annuity upon retirement. We transform this constrained optimal investment problem into an unconstrained problem by replicating a self-financing portfolio of future contributions from the member and the minimum guarantee provided by the scheme. We solve the resulting optimisation problem using the dynamic programming principle and through a series of numerical studies reveal that the longevity risk has an important impact on the performance of investment strategies. Our results provide mathematical evidence supporting the use of mortality-linked securities for efficient hedging of the longevity risk.
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中文摘要：
全世界的养老金计划都面临着越来越大的压力，需要有效地对冲人口老龄化带来的长寿风险。在这项工作中，我们研究了固定缴款养老金计划的最优投资问题，该计划决定使用与死亡率相关的证券（通常是长寿债券）对冲长寿风险。养老金计划投资于市场上可用的风险资产，包括长寿债券，通过使用代表性计划成员的供款来确保最低保证，使成员能够在退休后购买终身年金。我们通过复制成员未来供款的自筹资金投资组合和该计划提供的最低担保，将该约束最优投资问题转化为无约束问题。我们利用动态规划原理解决了由此产生的优化问题，并通过一系列的数值研究表明，长寿风险对投资策略的绩效有着重要的影响。我们的结果提供了数学证据，支持使用与死亡率相关的证券有效对冲长寿风险。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Risk Management        风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
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PDF下载：
--> Hedging_longevity_risk_in_defined_contribution_pension_schemes.pdf (876.89 KB)

2022-6-14 13:26:34 上传

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关键词：风险对冲 养老金 Contribution Mathematical Quantitative

固定缴款养老金计划中的长寿风险对冲Sankush Agarwal格拉斯哥大学克里斯蒂安·奥利弗·伊瓦尔德永杰·王扎丹·史密斯商学院，格拉斯哥G12 8QQ，联合王国2020年5月摘要全球养老金计划面临越来越大的压力，需要有效地对冲人口老龄化带来的长期风险。在这项工作中，我们研究了固定缴款养老金计划的最优投资问题，该计划决定使用与死亡率相关的保障（通常是长寿债券）对冲长寿风险。养老金计划投资于市场上可用的风险资产，包括长寿债券，通过使用代表性计划成员的供款来确保最低保障，使成员能够在退休后购买终身年金。我们通过复制成员未来供款的自融资投资组合和该计划提供的最低担保，将该约束最优投资问题转化为单一投资组合优化问题。我们利用动态规划原理解决了由此产生的优化问题，并通过一系列的数值研究表明，长期风险对投资策略的绩效有着重要的影响。我们的结果补充了越来越多的数学证据，支持使用与死亡率相关的证券来有效地降低长寿风险。关键词：固定缴款养老金计划、长寿债券、随机控制、动态规划原则1简介养老金计划是社会中一种重要的经济机制，因为它为人们从生产性劳动力退休后提供正规收入。根据福利和缴款政策，养老金计划有两大类：固定福利计划（DBschemes）和固定缴款计划（DC计划）。

在DB计划中，退休后计划支付的养老金福利是预先确定的。在这种情况下，计划成员只需定期缴纳供款，不承担任何投资风险，而计划管理人则承担投资绩效不佳的风险，并可能无法实现收益。在DC计划中，计划成员应付的供款金额是预先确定的，而不是收益支付。收益取决于累计供款的规模和计划管理人的投资绩效，并且在退休前不确定。与DB计划成员相比，DC计划的成员在获得福利的方式上有更多的选择。通常有三种选择：购买电子邮件：ankush。agarwal@glasgow.ac.ukye-邮件：christian。ewald@glasgow.ac.ukze-邮件（通讯作者）：y.wang。12@research.gla.ac.uklifetime年金，或选择灵活的收入提取选项（即，在剩余资金留在养老金计划中的同时定期提取资金），或从计划中提取一次性现金金额。在跟单信用证计划中，计划成员的雇主不承担任何风险，因为其唯一责任是与其雇员一起支付供款。然而，由于投资业绩不佳，员工在退休后面临领取不足福利的风险。Bi ffis和Blake（2014）提到，全球年金和养老金相关的长寿风险敞口估计为15万亿美元。根据Cocco和Gomes（2012），65岁美国（英国）男性的平均预期寿命每十年增加1.2（1.5）岁。因此，针对这些人口的DB计划在2007年所需财富将比1970年多29%。由于DB计划的不可持续性，DC计划在雇主中越来越受欢迎。Boulier等人。

（2001）研究了随机利率框架下DC计划的最优投资问题，其中为成员的利益提供了下行保护。他们通过应用动态规划原理，从方案最终财富和下行担保之间的盈余中获得了最大化预期终端效用的最优投资策略。Gao（2008）使用对偶方法解决了随机利率市场中DC计划的最优资产配置问题。Deelstra等人（2003年）从计划经理的角度研究了DC养老金计划的资产负债管理（ALM）问题。他们在存在特定最低担保的情况下，最大化了终端财富的预期效用，并使用马丁格尔理论来解决优化问题。Han和Hung（2012）研究了考虑通货膨胀风险和劳动收入风险的DC养老金计划的最优资产配置问题。他们对退休时购买通货膨胀指数年金引入了最低担保。为了对冲通货膨胀风险，他们在投资组合中加入了通货膨胀指数债券。受这些之前工作的启发，我们考虑了一个DC计划，在该计划中，计划经理在金融市场中分配财富，以达到成员退休后购买终身年金所需的金额。年金作为最低保障，其价格取决于计划成员的预期剩余寿命。因此，正确模拟成员的死亡行为至关重要。在精算学中，死亡率（即瞬时死亡率）通常用于实施生存分析。De Moivre（1725）和Gompertz（1825）的经典著作研究了死亡模型的决定性力量。

然而，最近关于死亡率建模的研究考虑了具有随机死亡率的离散时间和连续时间模型。由于死亡率数据通常每年报告一次，因此很容易在离散时间环境中对死亡率进行建模。Lee和Carter（1992）是最早使用时间序列方法建模和估计死亡率的人之一。其他离散时间模型包括，例如，CBD模型和Renshaw-Habermancohort模型（Cairns et al.（2006）；Renshaw和Haberman（2006））。一些研究，如米列夫斯基（Milevsky）和普罗米斯洛（Promislow）（2001）以及达尔（Dahl）（2004），发现利率和死亡率之间存在相似之处；例如，他们是积极的，并且有一个期限结构。因此，根据利率建模文献，现在使用扩散过程和跳跃过程来研究死亡率的力量。特别是，a ffine死亡率模型很受欢迎，并在Dahl（2004）、Bi ffsand Millossovich（2006）、Luciano和Vigna（2005）以及Russo等人（2011）等著作中进行了研究。在这项工作中，我们假设所有计划成员的死亡率的演化可以用相同的连续时间-时间-仓促过程来描述，因此，选择一个有代表性的成员来研究这个问题。我们遵循Menoncin（2009）的观点，使用一个类似于Cox-Ingersolross（CIR）过程的a ffine模型来描述死亡率。a ffine模型的分析可跟踪性允许我们使用为利率衍生品开发的无套利定价框架对与死亡率相关的证券进行定价。由Blake和Burrows（2001）提出的长寿债券根据选定参考人群中的幸存者数量提供息票支付。因此，投资长寿债券不仅可以有效对冲长寿风险，还可以分散投资组合。

Menoncin（2008）研究了具有随机死亡时间的投资者的最优消费和投资问题。他将投资者的跨期消费最大化，直至死亡时间，并使用滚动长寿债券对冲投资者的长寿风险。他指出，投资于长寿债券的最佳金额随着时间的推移而减少，因为对冲longevityrisk的需求随着死亡的临近而减少，而最佳消费则随着时间的推移而增加。De Kort和Vellekoop（2017）使用CIR过程对死亡率进行建模，该过程确保死亡率为非负。他们认为，尽管此类长寿债券没有流动市场，但将长寿风险的市场价格设定为零并不现实。相反，他们假设风险的市场价格随时间变化，与死亡率的平方根成正比。Cocco和Gomes（2012）研究了生命周期模型中的最优消费和投资问题。通过对美国历史数据和当前预测的校准，他们显示出未来死亡率改善的巨大不确定性。他们还建议，与长寿相关的证券有助于长寿风险管理。Menoncin和Regis（2017）研究了个人投资者在退休前对冲长寿风险的最佳消费和投资问题。他们表明，投资于长寿债券的最佳比例高于其他资产。在这项工作中，我们考虑了一个由三种风险资产组成的金融市场：股票、滚动债券和循环寿命债券。

结果表明，长寿债券为对冲长寿风险提供了一种有效的方法。大多数研究DC计划最优投资组合策略的文章都关注财务风险（例如，利率风险、通货膨胀风险），而忽视了寿命风险。即使是考虑长寿风险的研究，也主要关注DB养老金方案的最优资产配置问题，并使用时变但确定性的死亡率模型来衡量长寿风险。此外，由于养老金计划是代表其成员管理的，因此研究使成员的预期终端效用最大化的最佳投资问题更有意义。然而，只有少数作者，例如Han和Hung（2012），He和Liang（2015），从方案成员的角度研究了最优投资问题，而其余的主要关注ALM框架。在我们的工作中，我们从一个具有代表性的计划成员的角度，在随机死亡率和随机利率的框架下，研究了DC计划的最优资产配置问题。特别是，我们的主要贡献是扩展了Boulier et al.（2001）、Gao（2008）、Menoncin和Regis（2017）的工作，以研究DC计划的最优投资组合配置，同时对冲寿命风险。代表成员要求该计划的财富水平必须至少足以购买作为最低保证的终身年金。方案管理者在方案财富水平和最低担保之间最大化终端盈余的预期效用。为了对冲长寿风险，Menoncin（2008）引入的滚动长寿债券被添加到投资组合中。

我们的结果表明，长寿风险在养老金计划的风险管理中起着重要作用，并表明长寿债券不仅可以有效对冲未来的长寿风险，还可以提供有吸引力的风险溢价。本文的其余部分组织如下。在第2节中，我们介绍了问题的数学框架，并介绍了金融市场中考虑的不同风险资产。在第3.1节中，我们首先计算了约束优化问题，其中计划的财富水平应足以在成员退休时购买终身年金。我们确定了投资组合的不同组成部分，并将投资组合选择重新表述为第3.2节中的单个投资组合优化问题。我们利用第3.3节中的动态规划原理推导出最优投资策略的解析解。第4节讨论了一些数值研究，包括对不同模型参数的敏感性分析，这些研究揭示了在投资组合中引入滚动寿命债券的重要性。2金融市场设置(Ohm, F、 {F（t）}t≥0，P）是一个在有限时间范围T=[0，∞). P是物理（可观察）概率度量，F（t）表示投资者在t时可获得的信息。在这个概率空间上，我们考虑一个由股票、滚动债券和滚动寿命债券组成的无摩擦金融市场。对于零耦合债券和长寿债券的实际定价，我们考虑了随机无风险利率r（t）和随机死亡力λ（t）。此外，我们用以下公式表示P下的三维标准布朗运动W（t）| t∈ T=W（t），W（t），W（t）| t型∈ T.

我们假设r（t）由CIR过程描述：dr（t）=（ar–brr（t））dt+σrqr（t）dW（t），r（0）=r，其中ar，brandσ稀有正常数。我们进一步假设Feller条件2ar>σ满足，因此，对于任何t∈ T、 r（T）>0几乎可以肯定，在P下。如第1节所述，在建模随机摩尔力时，a ffene模型很受欢迎。Luciano和Vigna（2005）通过模型描述了死亡率的力量（也称为死亡率强度），并使用英国观察和预测的死亡率表校准了模型。他们认为，具有指数增长的确定性部分的过程可以恰当地描述死亡力量的演化。Russo et al.（2011）使用三家意大利保险公司的定期保险费校准了三种不同的随机死亡率模型，并提出此类模型可用于死亡率相关证券的定价。因此，本着同样的精神，我们假设λ（t）演变为dλ（t）=（aλ（t）–bλλ（t））dt+σλqλ（t）dW（t），λ（0）=λ，其中aλ（t）是确定性函数，bλ和σλ是正常数。我们限制死亡率模型参数满足条件2aλ（t）>σλ，以确保λ（t）的严格正性。死亡强度λ的初始值根据Gompertz-Makeham定律计算，由λ=φ+bet–mb给出，（1）其中t、m、φ和b是常数。正如Menoncin（2009）所述，我们希望λ（t）的预期值等于Gompertz-Makeham死亡率，以确保在任何时候，λ（t）都有一个合理的值。

为了实现这一点，我们假设aλ（t）的形式如下：aλ（t）=bλφ +bλb+1bet–mb.死亡率被用作研究人口瞬时生存率的工具。如果我们用p（t）表示从时间0到t存活的种群比例，那么p（t）衡量的是与存活概率一致的累积存活率。由于致命力测量的是瞬时死亡率，我们可以写出p（t）p（t）=–λ（t）dt，p（0）=1。截至时间t的给定信息∈ T、 从T到s>T的（有条件的）预期生存概率由（见Menoncin（2008，第2.2节））E给出p（s）p（t）F（t）= Ee–Rstλ（u）duF（t）.为了讨论市场上可交易金融风险资产的价格，我们首先引入了一种风险中性定价方法，方法如下：Radon-Nikodym-derivativedePdP=Z（t）=exp–ZtΘ（s）dW（s）–ZtΘ（s）| ds！。在上述{Θ（t）| t中∈ T}=θ（t），θ（t），θ（t）t型∈ T是一个R值的F适应过程，因此Z（t）是鞅，E[Z（t）]=1。这里，我们用E[·]表示P.ByGirsanov定理下的期望算子，fW（t）| t∈ T=fW（t），fW（t），fW（t）t型∈ T是EP下的三维标准布朗运动，fw（t）=W（t）+ZtΘ（s）ds。引入风险中性措施也使我们能够在我们的金融市场框架中通过Θ（t）激发风险或风险溢价的市场价格理念。市场上的第一项金融资产是代表性股票。我们假设P下的股价过程S（t）演化为asdS（t）S（t）=（r（t）+θrσrSr（t）+θSσS）dt+σrSqr（t）dW（t）+σSdW（t），S（0）=S，在上面，σS，σrS，θr，θ是一些常数。这里，我们假设利率风险和股票风险的市场价格分别为θ（t）=θrpr（t）和θ（t）=θS。股票价格与无风险利率之间的瞬时协方差由σrSpr（t）获得。