固定缴款养老金计划中的长寿风险对冲

（23）将（22）中的（23）替换为0=Vt+Vyry–VyVyyM（∑）–1M–VyVyyM∑–1ξVyz+uVz（24）+tr（ξVzz）–VyyyyzξVyz。一旦我们解出（24）中的值函数V（t，y，z），我们就可以得到最优控制αy？（t） 。下面的命题给出了转化问题（21）的显式最优投资策略。提案4。对于任何t∈ [0，T]，当风险规避参数γ>max（2σr+σrθr+2brθrσr（br+θrσr）+2σr，2bλθλσλ+σλθλ（bλ+θλσλ））（25）时，在金融市场设置（8）–（9）下，（21）的最优解为αYB？（t） =θSσrS–θrσS–σSσrA（t，t）γσSσrf（t，t+TB）Y（t）–f（t，t+TL）f（t，t+TB）αYL？（t） ，αYL？（t） =–θλ+σλA（t，t）γσλh（t，t+TL）Y（t），αYS？（t） =θSγσSY（t），αY？（t） =Y（t）–αYB？（t） –αYL？（t） –αYS？（t） ，其中A（t，t）=aaexp（–√（T–T））–aaaexp（–√（T–T））–a，= br+γ–1γ2σr+θrσr+2brθrσr,a11,12=（γ–1）θrσr+brγ±γ√σr，A（t，t）=aaexp（–√（T–T））–aaaexp（–√（T–T））–a，= bλ+γ–1γ（2bλθλσλ+θλσλ），a21,22=（γ–1）θλσλ+bλγ±γ√σλ，A（t，t）=ZTtarA（s，T）+aλ（s）a（s，T）+1–γ2γθsds。我们在附录D中提供了证明。接下来，我们验证了最优控制αY？（t） 。引理5。对于任何t∈ [0，T]，最优策略αY？（t） 在命题4中，属于可采集合A.证明。对于任何t∈ [0，T]，设Y（T）=lny（T），我们得到了Y（T）=r（t）+αY（t）M（t）dt+▄αY（t）∑（t）dW（t），其中▄αY（t）=αY（t）Y（t）。根据命题4，很容易看出，最优|αY？（t） 是连续函数的向量。因此，EhRT |αY？（t） | dti<+∞,Y（t）允许唯一解，且在[0，t]上有界。此外，（20）有唯一的解决方案Y？（t） （使用可平方积的αY？（t）获得）。此后，我们得到了EhRT |αY？（t） | dti<+∞ αY呢？（t）∈ A、 从上述命题中，我们观察到αY？（t） 对于常数θS，σ和γ，Y（t）。

即最优库存权重αYS？（t） 在整个投资期内，Y（t）始终保持不变。这类似于经典的默顿投资组合问题，其中风险资产的最优投资组合权重随时间保持不变。按照惯例，恒定的风险市场价格不会导致投资行为发生变化。我们还发现，长期债券的最优投资αYL？（t） 实际上是从对债券αYB的投资中提取的吗？（t） 按f–f（t，t+TL）f（t，t+TB）的比例计算。从（2）和（5）中，我们可以看到f（t，t+TB）和f（t，t+TL）分别是滚动键和滚动寿命键的持续时间。由于持续时间始终为正，–f（t，t+TL）f（t，t+TB）为负。我们得出结论，最优债券投资与长寿债券之间存在负相关关系。此外，如果滚动债券和滚动寿命债券的到期日相同（即TB=TL），我们有f（t，t+TL）=f（t，t+TB）和αYL？（t） 完全从αYB推导出来吗？（t） 。h（t，t+TL）是一个常数，a（t，t）和a（t，t）是正的，并且随t增加而增加，因此αYL？（t） Y（t）随时间而减小。因此，长寿债券的最佳投资比例随着时间的推移而降低。然而，投资于债券和货币市场的最佳比例的行为尚不清楚。此外，很容易推断，经理的风险厌恶程度越高，长期债券和股票的投资组合权重就越低。引理3表明问题（12）和（21）是等价的。根据（15）、（18）、（19）和命题4，我们得到了初始问题（12）的解，并在以下命题中陈述。提案6。

对于任何t∈ [0，T]，在条件（25）和金融市场环境（8）–（9）下，（12）的最优解为α？B（t）=θSσrS–θrσS–σSσrA（t，t）γσSσrf（t，t+TB）Y（t）+πr∞TL（t，s）f（t，s）dsf（t，t+TB）–RTtB（t，s）f（t，s）dsf（t，t+TB）–f（t，t+TL）f（t，t+TB）α？L（t），α？L（t）=–θλ+σλA（t，t）γσλh（t，t+TL）Y（t）+πR∞TL（t，s）h（t，s）dsh（t，t+TL），α？S（t）=θSγσSY（t），α？（t） =F（t）–α？B（t）–α？L（t）–α？S（t）。结果是通过简单的计算得到的。我们发现，投资股票的最佳金额并不取决于基金财富F（t），而是取决于过程Y（t）。此外，最优股票权重α？S（t）F（t）不再保持不变，而是取决于比率（t）F（t）。根据（10）和（20）中的漂移项ofF（t）和Y（t），我们推断F（t）的增长速度预计将快于Y（t）。因此，我们得出结论，最优库存重量会随着时间的推移而下降。与命题4的结果类似，债券和长寿债券的最优投资呈负相关。我们很难从解中推断出债券和长寿债券的最佳权重是如何随时间变化的。第4节显示了数值模拟的结果，这使我们能够动态观察最优投资策略。要从最优解中发现风险规避系数γ、贡献率和工资替代率如何影响最优策略，并不容易。我们将在下一节中对这些参数进行数值分析。4数值应用我们首先给出一个基本情景，以显示投资于风险资产和货币市场的最佳比例。然后，进行敏感性分析，研究模型参数对最优投资策略的影响。

在下文中，我们分别用wB（t）、wL（t）、wS（t）和w（t）表示债券、长寿债券、股票和货币市场的投资比例。4.1基本情景表1给出了基本情景的参数值。我们不使用实际市场数据，但大多数参数值取自Menoncin和Regis（2017）以及Han和Hung（2012）。这里，我们假设存在一个滚动债券和一个滚动寿命债券，其到期时间（以年为单位）分别为TB=10和TL=10。由于长寿债券应根据老年人口的死亡率指数发行，我们假设市场由滚动的长寿债券组成，其基础是40岁人口的生存指数。在很小的年龄段，长寿风险往往被忽视。因此，我们假设，在代表性计划成员达到40岁之后，计划管理人考虑将长期债券添加到投资组合中，即初始年龄（以年为单位）为t=40。使用表1中给出的参数计算（1）中给出的λ。退休年龄选择为65岁，换言之，退休时间为T=25年。θλ是长寿风险市场价格的参数。很难确定θλ的价值，因为市场上没有流动交易的长寿债券。在我们的基本场景中，我们使用θλ=–0.10。在时间0时，滚动债券的风险溢价约为0.01370，长寿债券的总风险溢价约为0.01372。该股票的总风险溢价约为0.01670。在这种情况下，长寿风险溢价远低于利率和股票风险溢价。之后，我们给出了θλ值不同的不同情景下的最优投资策略。养老金缴款率在不同的计划和国家之间差异很大。

根据HMRC（2018），在英国，个人在每个纳税年度可以存入其养老金账户的免税养老金储蓄额是有限制的。然而，缴款率没有上限。如DWP（2013）所述，根据英国立法，工作和养老金部要求DC计划的最低缴款率为8%。我们首先考虑rc=0.15，然后对贡献率进行敏感性分析。OECD（2019）显示，inOECD国家的净替代率变化范围很大，从30%左右到90%或更多。强制性计划平均收入者的平均净替代率为59%。在我们的基本场景中，我们采用rw=0.59。我们将瞬时工资设置为w=15，因此间接供款和年金分期付款分别为c=2.25和π=8.85。我们假设代表成员在40岁时的累积养老金财富为F=50，经理的风险规避系数为γ=2。表1：基准情景中的参数值利率死亡率股票r=0.0621328 b=12.9374σS=0.14926ar=0.0056210φ=0.0009944σrS=–0.0046306br=0.0904668 m=86.4515θS=0.1108301σr=0.0543625 bλ=0.5610000θr=–0.5590635λσ=0.0352我们收集了100条模拟路径，并在图1的左图中显示了最佳投资比例的平均路径。图1中的右图显示了y（t）F（t）的平均路径。如第3.3节所述，股票和长寿债券的比率（t）F（t）和最佳权重随着时间的推移而下降。我们发现，债券的最佳权重也会下降，而现金的权重会上升。起初，货币市场的空头头寸表明，计划管理人借入资金并投资于风险资产以获得风险溢价。

这表明管理者采取了积极的方法，在早期阶段将养老金计划的财富快速增加到较高水平。风险资产投资的减少表明，当退休时间临近时，管理者会变得更加保守，并将计划的财富转移到更安全的资产上。此外，当退休时间临近时，利率和死亡率对最低保障的影响会降低。这意味着在投资后期，对利率风险和寿命风险对冲的需求会降低。因此，管理者降低了债券和长寿债券的投资比例。在最初的五年里，债券和长寿债券的最佳权重没有太大差异。然而，债券投资比例的下降速度要快于长寿债券。此外，在整个投资期内，该投资组合由longevitybond主导。即使在时间T，长寿键的重量仍然非常高，约为66.44%。这一观察结果表明，长寿债券为对冲利率和长寿风险提供了一种有效的方法。4.2敏感性分析在第3.3节中，我们对模型参数对最优投资策略的影响给出了一些评论。本节提供了各种场景，以从数值上研究模型参数的影响。我们对以下参数感兴趣：风险规避系数（γ）、长期风险参数的市场价格（θλ）、滚动长寿债券的到期日（TL）、缴款率（rc）和工资替代率（rw）。其他因素，如利率风险和股票风险的市场价格，也可能有效地影响最优投资策略。

尽管如此，我们并没有研究这些因素，因为我们的研究重点是对冲长寿风险。0 5 10 15 20 25时间（年）-1.5-1-0.500.511.5投资比例长寿债券股票现金0 5 10 15 20 25时间（年）0.80.911.11.21.3Y（t）/F（t图1：最佳投资比例和基本情景中Y（t）/F（t）的平均路径4.2.1风险规避在幂效用函数（11）中，γ测量相对风险规避。γ越高，方案经理越厌恶风险。图2中的四个图显示了风险规避系数γ分别等于2、3、4和5的最优投资比例的平均路径。比较图1和图2中的曲线图，我们发现风险规避系数γ越高（或越低），债券和现金的投资比例越高（或越低）。而长寿债券和股票的投资比例则随着γ的增大而减小。债券仅用于对冲利率风险，而长寿债券提供利率风险和长寿风险对冲。风险厌恶型投资者倾向于避免相对较高的风险，并倾向于风险较低但回报更有保障的投资。尽管长寿债券提供了更高的风险溢价，但具有高风险规避系数的计划经理更倾向于投资债券等更安全的资产。这些情况下的不同策略也可以用命题6中的最优解来解释。债券和长寿债券的最优投资比例呈负相关。特别是，我们将TB=TL=10，并将–f（t，t+TL）f（t，t+TB）=–1。这意味着长寿债券的投资完全来自债券投资。由于长期债券中的投资组合权重随γ减小，债券权重相应增大。这种行为发生的原因是，与长寿债券相比，债券是一种更安全的资产。

图2中右下角的曲线图显示，即使对于高度厌恶风险的投资者，长寿债券的最佳投资比例几乎总是高于45%。此外，我们发现，在所有情况下，长寿债券的最佳权重始终高于股票。总的来说，我们的结论是，尽管高度规避风险的投资者对longevitybond的投资较少，但它始终是该计划投资组合的重要组成部分。4.2.2长寿风险的市场价格滚动债券提供的利率风险溢价为–f（t，t+TB）σrθrr（t）。由于滚动长期债券的到期时间与滚动债券相同，因此其利率风险溢价相同。此外，长寿债券提供–h（t，t+TL）σλθλλ（t）的长寿风险溢价。股票提供了σrSθrr（t）的利率风险溢价和θSσS的股票风险溢价。很明显，θrandθ会影响最优策略。然而，我们更感兴趣的是长寿风险溢价的影响，只对长寿风险参数θλ的市场价格进行分析。从（7）中，我们了解到，滚动寿命债券所带来的寿命风险溢价随着–θλ的增加而增加。图3显示了θλ=–0.06、–0.08、–0.12和–0.14的平均最优策略。最初，这些情况下对应的寿命风险溢价分别为1.1778×10–5、1.5703×10–5，2.3555×10–5和2.7841×10–5,0 5 10 15 20 25次（年）-1.5-1-0.500.511.5投资比例=2长期债券债券现金0 5 10 15 20次（年）-1.5-1-0.500.51投资比例=3长期债券现金0 5 10 15 20次（年）-1.5-1-0.500.511.5投资比例=4长期债券现金0 5 10 15 20次（年）-1.5-1-0.500.511.5投资比例=5长寿债券股票现金图2：最优投资比例的平均路径，γ分别为2、3、4和5。

在所有这些情况下，长寿风险溢价远小于利率风险和股票风险溢价。图3中右下角的曲线图显示，当θλ=–0.14时，长寿债券的最佳比例始终在1.0左右或以上，并且它始终主导着投资组合。股票的最佳比例是稳定的，空头头寸是现金。t=21后，该计划通过卖空债券进行融资。这是因为当退休时间临近时，与对冲死亡率的不确定性变化相比，对冲利率风险的需要是微不足道的。图3中左上角的曲线图表明，即使在longevityrisk溢价非常低的情况下，长寿债券的最佳权重始终高于45%。这表明长寿债券是养老金计划投资组合的重要组成部分，是对冲长寿风险的有效工具。比较这些图，我们观察到，长寿风险溢价越高（即θλ越低），长寿债券中的投资组合权重越高。解释是，在其他参数不变的情况下，较低的θλ会增加长寿风险溢价，但不会增加长寿债券价值的不确定性。因此，这使得长寿债券对投资更具吸引力。通过对命题6的讨论，再次解释了键重和寿命键重对θλ的相反反应。现金权重对θλ不敏感。这是因为债券和长寿债券权重的变化相互影响，风险资产的总比例对θλ不敏感。库存中的最佳重量是稳定的，并且只受到θλ的轻微影响，这并不奇怪。

从最优解可以推断，股票的投资组合权重为θSσSγY（t）F（t）。θSσSγ不依赖于θλ，andY（t）F（t）仅受θλ的轻微影响。总之，我们得出结论，长寿债券有效地对冲了该计划的长寿风险。即使当longevitybond提供相对较低的长寿风险溢价时，将该模式的大部分财富投资于它也是最佳选择。0 5 10 15 20 25次（年）-1.5-1-0.500.511.5投资比例=-0.06长寿债券现金0 5 10 15 20 25次（年）-1.5-1-0.500.511.5投资比例=-0.08长寿债券现金0 5 10 15 20次（年）-1.5-1-0.500.511.5投资比例=-0.12长寿债券现金0 5 10 15 20次（年）-1.5-1-0.500.511.5投资比例=-0.14长寿债券现金bondbondstockcashFigure 3：最优投资比例的平均路径，θλ=–0.06、–0.08、–0.12和–0.144.2.3滚动寿命债券的到期日在之前的数字场景中，我们将TB=TL=10，并将f（t，t+TB）=f（t，t+TL）。在图4中，我们展示了平均最优投资策略，T等于5、15、20和25。我们观察到，滚动长寿债券到期时间越长，债券和长寿债券的投资比例越低，而现金的权重越大。似乎最佳库存重量在TL增加时变化不大。从图1和图4中，我们可以看到，尽管wL（t）随着TL的减少而减少，但longevitybond总是抑制其他资产。令人惊讶的是，在投资后期，当TL=25时，最优债券权重可以降低到–0.50左右，同时货币市场的持有量为正。这表明管理人在接近退休时间时选择卖空债券。Gao（2008）和Han and Hung（2012）也有类似的发现。