已停止的低风险过程的最佳损失结转税

第三节给出了双边退出问题的解和给定税收策略的回报函数。然后在第4节中提出，如果最优纳税申报函数曾经是连续可微的，那么它满足Hamilton-Jacobi-Bellman（HJB）方程。相反，证明了HJB方程的解与最优纳税申报函数一致。在第5节中，构造了HJB方程的解，并在假设1成立的情况下找到了最优策略。在第6节中，对于一些谱负的L'evy过程，我们构造了适当的一类Draw-down函数，这些函数完全符合假设1，因此最优税收策略是已知的。最后，在第7.2节优化问题的数学表示中给出了一些数值例子。为了给出优化问题的数学表达式，我们从一维L'evyprocess X={X（t）；t≥ 0}定义日期(Ohm, F、 F={Ft，t≥ 0}，P），满足通常条件的过滤概率空间。在本文中，我们假设X是一个谱负L'evy过程，通常排除纯递增线性漂移和从属项的负。我们用px表示X定律，X=X≥ 0，并让Ex表示相应的期望运算符。设{X（t）；t≥ 0}是X的鲁宁上确界过程，这里w'X（t）：=sup0≤s≤t的tX（s）≥ 我们假设在没有控制的情况下，公司的盈余过程演化为{X（t）；t≥ 0}.亏损结转税收策略由一维随机过程{γ}描述\'\'X（t）, t型≥0}，其中γ：[0，∞) → [γ，γ]是一个可测函数，γ和γ是常数，因此0≤ γ≤ γ≤ 1.

因为函数γ和税收策略{γ之间有一对一的对应关系\'\'X（t）, t型≥ 0}，我们也将用γ表示相应的亏损结转税收策略。对于保险公司，γ\'\'X（t）表示保险人收入中在t时作为税款支付的部分，如果其处于可盈利状态。这里我们说，如果我们有X（t）=X（t），公司在时间t处于有利状态。因此，当应用策略γ时，截至时间t的累计税额为ztγ\'\'X（s）d'X（s），（2.1），受控剩余过程由uγ（t）=X（t）给出-Ztγ\'\'X（s）d'X（s）。（2.2）如果过程{γ，则称策略γ是可接受的\'\'X（t）, t型≥ 0}适用于过滤{Ft；t≥ 0}和γ≤ γ\'\'X（t）≤ γ. 通过Γ，我们表示所有可测函数的集合γ：[0，∞) →【γ，γ】，即Γ由所有可接受的税收策略组成，即将税收策略与其相应的函数γ相等。对于给定的容许策略γ∈ Γ，我们定义了纳税申报函数fγbyfγ（x）=Ex“Zτγξe-qtγ\'\'X（t）直径X（t）#，X∈ [0, ∞), （2.3）其中q>0是贴现因子，τγξ=inft型≥ 0; Uγ（t）<ξ\'Uγ（t）（2.4）带\'Uγ（t）：=sup0≤s≤tUγ（s）是过程Uγ与一般下降函数ξ相关的一般下降时间。函数ξ：[0，∞) → (-∞, +∞) 如果它是一个连续可微函数，满足ξ（y）<y的所有y≥ 很有意思的是，为什么（2.4）定义的停工时间被称为一般停工时间。在文献中，马尔可夫过程Y在其上确界的反映过程定义为sups∈[0，t]Y（s）-Y（t）被称为Y的下降过程（例如，参见Landriault et al.（2017））。

因此，当下拉过程的幅度超过给定阈值a>0时，自然会第一次命名，即l+a： =inf{t≥ 0; su ps公司∈[0，t]Y（s）- Y（t）>a}=inf{t≥ 0; Y（t）<sups∈[0，t]Y（s）- a} ，作为d原始停机时间。通过比较l+和τγξ，我们可以观察到l+ais是过程Y的一般下降时间的特例，因为它的一般下降函数被专门化为ξ（x）=x- a、 这就解释了一般提款时间名称的由来。此外，如果选择ξ，则可以恢复经典破产时间≡ 0 in（2.4），而d原始下降提供了比破产更多的储备水平相关信息。从这个意义上说，从风险管理的角度来看，提取应是描述极端风险的有效工具。本报告的目标是找到最佳纳税申报函数，该函数由f（x）=supγ定义∈Γfγ（x）=supγ∈ΓEx“Zτγξe-qtγ\'\'X（t）直径X（t）#，X∈ [0, ∞), （2.5）并确定最佳税收策略γ*满足f（x）=fγ*（x） 对于所有x，x的拉普拉斯指数由ψ（θ）=logEx[eθ（x（1））定义-x） ]，（2.6），已知至少θ是有限的∈ [0, ∞) 在这种情况下，它是严格凸的，并且是可微的。与Bertoin（1996）一样，q-标度函数{W（q）；q≥ X的0}定义如下。Foreach q公司≥ 0，W（q）：[0，∞) → [0, ∞) 是具有LaplacetransformZ的唯一严格递增连续函数∞e-θxW（q）（x）dx=ψ（θ）- q、 f或θ>Φ（q），（2.7），其中Φ（q）是ψ的右逆，即方程（inθ）ψ（θ）=q的最大根。为简单起见，我们为W（0）（x）写W（x）。此外，它来自Zhou（2007）thatlimx→∞（W（q））′（x）W（q）（x）=Φ（q）>0，对于q>0。（2.8）对于任何x∈ R和θ≥ 0，存在一个众所周知的指数变化测度，人们可能会对光谱负的L'evy过程，PθxPxFt=eθ（X（t）-x）-ψ（θ）t。

（2.9）此外，在概率测度Pθx下，x保持在光谱负L'evyprocess类别内。在此之后，我们将函数W（q）θ和Wθ称为在测度Pθx下发挥q-尺度函数和0-尺度函数作用的函数。我们还简要回顾了偏移理论中关于反射过程{x（t）的概念-X（t）；t型≥ 0}，我们参考Bertoin（1996）了解更多详细信息。对于x∈ R、 进程{L（t）：=(R)X（t）- x、 t型≥ 0}作为马尔可夫过程{X（t）0的本地时间- X（t）；t型≥ Px下的0}。将相应的反演时间定义为-1（t）：=inf{s≥ 0 | L（s）>t}=su p{s≥ 0 | L（s）≤ t} 。让我进一步-1（t-) = lims公司↑tL公司-1（s）。由本地时间索引的偏移的泊松点过程由{（t，εt）；t≥ 0}εt（s）：=X（L-1（t））- X（L-1（t-) + s） ，s∈ （0，L-1（t）- L-1（t-)],每当我-1（t）- L-1（t-) > 0、对于L-1（t）- L-1（t-) = 0，定义εt=Υ，其中Υ是额外的隔离点。因此，我们将属于正则漂移空间E的一般漂移表示为ε（·）（或简称ε）。过程的强度测度{（t，εt）；t≥ 0}由dt×dn给出，其中n是偏移空间的度量。特别是，ε=sups≥0ε（s）是正则漂移的n-可测泛函的一个例子。回顾L的定义-1（t），我们可以验证，L-1（t-) = 利木↑tL公司-1（u）=inf{s≥ 0 | L（s）≥ t} =su p{s≥ 0 | L（s）<t}，且<L-1（t-) <=> L（s）<t.（2.10）在本文中，为了避免琐碎的情况th在X处漂移到-∞ （draw-d own是确定的），weassumeψ′（0+）≥ 0

还假设每个尺度函数都有二阶连续导数。3双边退出问题和预期累计折扣税在本节中，给出了双边退出问题和预期累计折扣税的解决方案，为第4节中的汉密尔顿-雅可比-贝尔曼（HJB）方程（见命题3）和验证命题（见命题4）做准备。解由与驱动光谱负L'evy过程相关的标度函数明确表示。定义b级的首次交叉时间如下，τ+b=inf{t≥ 0; Uγ（t）>b}，（3.1），根据inf = ∞. 对于z≥ x和γ∈ Γ，定义以下函数γx（z）of z∈ [x，∞),γx（z）：=x+Zzx（1- γ（y））dy，z≥ x个≥ 0。（3.2）通过Kyprianou和Zhou（2009）中的引理2.1，我们知道随机时间{t≥ 0:Uγ（t）=Uγ（t）}与{t）精确一致≥ 0:X（t）=X（t）}。因此我们有Xτ+x+h=\'\'Xτ+x+h, 加上γx（z）和Uγ的定义，对于h≥ 0，x+h=Uγτ+x+h=\'\'Xτ+x+h-Zτ+x+hγ\'\'X（s）d'X（s）=X+Zτ+X+h1.- γ\'\'X（s）d'X（s）=X+Z'X（τ+X+h）X（1- γ（y））dy=γx\'\'Xτ+x+h, x个∈ [0, ∞), （3.3）加上γxis严格递增且连续的事实，意味着'Xτ+x+h=γ-1x（x+h），x∈ [0, ∞), （3.4）式中γ-1xdenotesγx的定义良好的反函数。下面的命题1给出了基于偏移参数的标度函数双边退出问题的解决方案。最近的一些现有文献中也使用了偏移理论，见Li et al.（2017），Avram et al。

（2017）、Kyprianou和Zhou（2009）等。命题1给定任意x∈ （0，a），任何可测函数γ：[0，∞) → [γ，γ]带0≤ γ≤ γ<1，任意连续函数ξ（·）：R→ R，ξ（y）<y表示所有y∈ R、 我们有，Exhe-qτ+a{τ+a<τγξ}i=exp{-ZaxW（q）′（y）- ξ（y））W（q）（y- ξ（y））1- γγ-1x（y）dy}，x∈ [0, ∞). （3.5）证明。见附录。对于给定的策略γ，其预期累计贴现纳税额（退税函数）的解由以下命题2给出。命题2给定任意x∈ （0，a），任何可测函数γ：[0，∞) → [γ，γ]带0≤ γ≤ γ<1，任意连续函数ξ（·）：R→ R，ξ（y）<y表示所有y∈ R、 我们有ex“Zτ+a∧τγξe-qtγ\'\'X（t）d\'\'X（t）- x个#=Zγ-1x（a）-xexp{-ZyW（q）′（γx（x+t）- ξ（γx（x+t）））W（q）（γx（x+t）- ξ（γx（x+t）））dt}γ（y+x）dy，x∈ [0, ∞). （3.6）证明。见附录。备注1让a→ ∞ 在（3.6）中，我们得到x∈ [0, ∞)Ex“Zτγξe-qtγ\'\'X（t）d\'\'X（t）- x个#=Z∞经验值{-ZyW（q）′（γx（x+t）- ξ（γx（x+t）））W（q）（γx（x+t）- ξ（γx（x+t）））dt}γ（y+x）dy=Z∞xexp{-ZyxW（q）′（γx（s）- ξ（γx（s）））W（q）（γx（s）- ξ（γx（s）））ds}γ（y）dy.（3.7）上述方程给出了在一般停机时间之前支付的预期总贴现税款的解。顺便说一下，因为W（q）′（x）W（q）（x）≥ Φ（q）>0对所有x>0和q>0都成立（见方程式（5.7）），我们可以得到纳税申报函数fγ（x），fγ（x）的以下上界≤ γZ∞xe公司-Φ（q）（y）-x） dy=γ/Φ（q），x∈ [0, ∞).由于上述γ的任意性，我们可以进一步推断，f（x）=supγ∈Γfγ（x）≤ γ/Φ（q），x∈ [0, ∞). （3.8），为最优纳税申报函数提供了一个上界。4 HJB方程和验证论证本节介绍了Hamilton-Jacobi-Bellman（HJB）方程和验证命题。

结果表明，最优税收回报函数（即最优税收策略的预期累计折扣税支付）满足汉密尔顿-雅可比-贝尔曼（HJB）方程；汉密尔顿-雅可比-贝尔曼（HJB）方程的解不一定是最优的纳税申报函数，因此需要一个验证命题来保证HJB方程的解确实是最优的纳税申报函数。以下命题3给出了由（2.5）定义的最优纳税申报函数满足的汉密尔顿-雅可比-贝尔曼（HJB）方程。命题3假设（2.5）定义的f（x）在（0，∞). f（x）满足以下Hamilton-Jacobi-Bellman方程，supγ∈[γ，γ]hγ1- γ-1.- γW（q）′（x）- ξ（x））W（q）（x- ξ（x））f（x）+f′（x）i=0，x∈ [0, ∞). （4.1）证明。见附录。在下面的命题中，我们将论证汉密尔顿-雅可比-贝尔曼方程（4.1）的解可以作为（2.5）给出的最优纳税申报函数f（x）。命题4（验证命题）假设f（x）是（4.1）的一次连续可微解，让γ*是最大化（4.1）左侧的函数，即γ*（z） =arg maxγ∈[γ，γ]hγ1- γ-1.- γW（q）′（γx（z）- ξ（γx（z）））W（q）（γx（z）- ξ（γx（z）））f（γx（z））+f′（γx（z））i，z≥ x个≥ 0。（4.2）然后γ*作为最佳税收策略。证据见附录。5描述随机控制问题中的最优回报函数和策略，我们猜测最优回报函数解的定性性质，并作出这些假设。基于这些假设，我们找到HJB方程的解，稍后，我们需要验证获得的解是否满足这些假设。

更具体地说，我们提前猜测“W（q）\'（x-ξ（x））W（q）（x-ξ（x））f（x）≤ 1表示所有x”，相当于（5.10），以得出阿康迪德溶液（5.6）至（4.1）。然后我们应该证明（5.6）满足“W（q）′（x-ξ（x））W（q）（x-ξ（x））f（x）≤ 1对于所有x”，为了保证该cand idate解决方案（5.6）确实是（4.1）的解决方案，请参见命题5及其证明提前猜测“W（q）′（x）”处的th-ξ（x））W（q）（x-ξ（x））f（x）≥ 1表示所有x”，相当于（5.14），以得出（5.12）至（4.1）的候选解。我们应该证明（5.12）满足“W（q）′（x-ξ（x））W（q）（x-ξ（x））f（x）≥ 1代表所有x”，为保证该候选解决方案（5.12）确实是（4.1）的解决方案，请参见提案6及其pro。o预先猜测“W（q）′（x-ξ（x））W（q）（x-ξ（x））f（x）≥ 1代表所有x∈ （0，x）和w（q）′（x-ξ（x））W（q）（x-ξ（x））f（x）≤ 1适用于allx∈ [x，∞)”, 得出备选解决方案（5.17）至（4.1）。然后我们应该证明（5.17）满足“W（q）′（x-ξ（x））W（q）（x-ξ（x））f（x）≥ 1代表所有x∈ （0，x）和w（q）′（x-ξ（x））W（q）（x-ξ（x））f（x）≤ 1代表所有x∈ [x，∞)”, 为了保证这个候选解（5.17）是（4.1）的一个解，请参见命题7中的情况（v）及其证明。或者，对于命题7中的情况（vi），反之亦然。命题4中已经提出，（4.1）的解作为税收优化问题（2.5）的最优税收返还函数，最优税收策略是通过（4.2）的解得到的。为了求解（4.1），可以消除运算符“supγ∈（4.1）右侧的“[γ，γ]”。为此，我们首先猜测（4.1）的解f（x）满足w（q）′（x-ξ（x））W（q）（x-ξ（x））f（x）≤ 1对于所有x，在这种情况下，γ的函数，例如γ1-γ-1.-γW（q）′（x）-ξ（x））W（q）（x-对于所有给定的x，ξ（x））f（x）相对于γ是不变的。

然后我们考虑到γ1-γ-1.-γW（q）′（x）-ξ（x））W（q）（x-ξ（x））f（x）是γ的非减函数，我们可以将（4.1）改写为0=γ-W（q）′（x）- ξ（x））W（q）（x- ξ（x））f（x）+（1- γ） f′（x），对于所有x≥ 0。（5.1）代替求解（5.1），我们首先转向方程（5.1）的齐次微分方程，其可重写为，ddxln f（x）=f′（x）f（x）=1- γW（q）′（x）- ξ（x））W（q）（x- ξ（x）），x≥ 上述齐次微分方程的解为，f（x）=C exp{1- γZxW（q）′（y）- ξ（y））W（q）（y- ξ（y））dy}，x≥ 0，其中C是某个常量。根据常数变化的标准方法，我们猜测（5.1）的解为，f（x）=C（x）exp{1- γZxW（q）′（y）- ξ（y））W（q）（y- ξ（y））dy}，x≥ 0，（5.2），其中C（x）是稍后确定的未知函数。将（5.2）插入（5.1），我们得到，0=γ-W（q）′（x）- ξ（x））W（q）（x- ξ（x））C（x）exp{1- γZxW（q）′（y）- ξ（y））W（q）（y- ξ（y））dy}+（1- γ） exp{1- γZxW（q）′（y）- ξ（y））W（q）（y- ξ（y））dy}C′（x）+C（x）1- γW（q）′（x）- ξ（x））W（q）（x- ξ（x））！，可简化如下，C′（x）=-γ1 - γexp{-1.- γZxW（q）′（y）- ξ（y））W（q）（y- ξ（y））dy}。上述微分方程的解由C（x）=C给出-γ1 - γZxexp{-1.- γZyW（q）′（u- ξ（u））W（q）（u- ξ（u））du}dy，（5.3），其中Cis为常数。结合（5.3）和（5.2），我们知道（5.1）的解如下，f（x）=C-γ1 - γZxexp{-1.- γZyW（q）′（u- ξ（u））W（q）（u- ξ（u））du}dy！×exp{1- γZxW（q）′（y）- ξ（y））W（q）（y- ξ（y））dy}，x≥ 0。（5.4）仍需确定未知的n常数C。为此，我们首先推导出thatlimx→∞exp{1- γZxW（q）′（y）- ξ（y））W（q）（y- ξ（y））dy}=∞, （5.5）以及f(∞) < ∞ 意味着方程（5.4）可以重写为，f（x）=γ1- γZ∞xexp{-1.- γZyW（q）′（u- ξ（u））W（q）（u- ξ（u））du}dy×exp{1- γZxW（q）′（y）- ξ（y））W（q）（y- ξ（y））dy}=γ1- γZ∞xexp{-1.- γZyxW（q）′（u- ξ（u））W（q）（u- ξ（u））du}dy，x≥ 我们将在续集中证明（5.5）。

众所周知，函数W（q）（x）是连续可微的、正值的，并且在（0，∞). 通过等式W（q）（x）=eΦ（q）xW（0）Φ（q）（x），可以得出函数W（0）′（x）也必须是（0）上的连续函数，∞). 此外，wehaveW（q）′（x）W（q）（x）=Φ（q）eΦ（q）xW（0）Φ（q）（x）+eΦ（q）xW（0）′Φ（q）（x）eΦ（q）xW（0）Φ（q）（x）=Φ（q）+W（0）′Φ（q）（x）W（0）Φ（q）（x）=Φ（q）+nΦ（q）（ε>x）≥Φ（q）>0，x个∈ (0, ∞), q>0。（5.7）因此，回顾y- ξ（y）>0表示所有y∈ [0, ∞), 我们可以找到那个Limx→∞exp{1- γZxW（q）′（y）- ξ（y））W（q）（y- ξ（y））dy}≥ 林克斯→∞exp{1- γΦ（q）x}=∞,按照（5.5）的要求。对于（5.6）给出的候选最优解，我们需要证明w（q）′（x-ξ（x））W（q）（x-ξ（x））f（x）≤ 1(x>0），以确保其最佳性。通过分部积分，我们可以将（5.6）改写为，f（x）=Z∞除息的-经验值{-γ1-γRyxW（q）′（u-ξ（u））W（q）（u-ξ（u））du}exp{RyxW（q）′（u-ξ（u））W（q）（u-ξ（u））du}W（q）′（y-ξ（y））W（q）（y-ξ（y））-exp{RyxW（q）′（u-ξ（u））W（q）（u-ξ（u））du}W（q）′（y-ξ（y））W（q）（y-ξ（y））′经验值{-γ1-γRyxW（q）′（u-ξ（u））W（q）（u-ξ（u））du}hexp{RyxW（q）′（u-ξ（u））W（q）（u-ξ（u））du}W（q）′（y-ξ（y））W（q）（y-ξ（y））idy=-经验值{-γ1-γRyxW（q）′（u-ξ（u））W（q）（u-ξ（u））du}exp{RyxW（q）′（u-ξ（u））W（q）（u-ξ（u））du}W（q）′（y-ξ（y））W（q）（y-ξ（y））∞x个-Z∞x个exp{RyxW（q）′（u-ξ（u））W（q）（u-ξ（u））du}W（q）′（y-ξ（y））W（q）（y-ξ（y））′经验值{-γ1-γRyxW（q）′（u-ξ（u））W（q）（u-ξ（u））du}hexp{RyxW（q）′（u-ξ（u））W（q）（u-ξ（u））du}W（q）′（y-ξ（y））W（q）（y-ξ（y））idy=-Z∞xexp{-1.- γZyxW（q）′（u- ξ（u））W（q）（u- ξ（u））du}1 +W（q）′（y）-ξ（y））W（q）（y-ξ（y））′hW（q）′（y）-ξ（y））W（q）（y-ξ（y））idy+W（q）（x）- ξ（x））W（q）′（x- ξ（x））=W（q）（x- ξ（x））W（q）′（x- ξ（x））-Z∞xexp{-1.- γZyxW（q）′（u- ξ（u））W（q）（u- ξ（u））du}×1+W（q）′（y）- ξ（y））W（q）（y- ξ（y））W（q）′（y）- ξ（y））- 1.1.- ξ′（y）!dy=W（q）（x- ξ（x））W（q）′（x- ξ（x））- G（x），x≥ 0，（5.8），其中g（x）=Z∞xexp{-1.- γZyxW（q）′（u- ξ（u））W（q）（u- ξ（u））du}g（y）dy，x≥ 0