已停止的低风险过程的最佳损失结转税

我们可以选择ξ满足o ξ′（x）∈ (-∞, 1),  x个∈ [0, ∞);oξ（0）=d∈ (0, ∞),ξ(∞) = d∈ (0, ∞], 一∈d、 d;oξ-1.′（z）- 1 < (>) -W（q）′（z）W（q）（z）W（q）′（z）,  z∈ 【d，a】；oξ-1.′（z）- 1.≥ (≤) -W（q）′（z）W（q）（z）W（q）′（z）,  z∈a、 d,保证假设1在x=(R)ξ时成立-1（a）。注意ξ′（x）也是有用的∈(-∞, 1） （或同等地，’ξ′（x）∈ (0, ∞)) 超过x∈ [0, ∞) 可能导致ξ-1.′（z）∈ (0, ∞) 超过z∈ [0, ∞).本质上，通过施加反函数ξ的条件来构造满足假设1的适当类别的一般下拉函数-1代替onξ或\'ξ。我们也可以按照Wang和Zhou（2018）的方法构建一类一般下拉函数，用x=(R)ξ填充假设1-1（a）和a：=inf{z≥ 0:W（q）′（z）>0}，对于L'evy测度具有完全单调密度的谱负L'evy过程。7数值分析在本节中，我们提供了一些数值例子来说明前几节中获得的理论结果。我们考虑一个线性下降函数ξ（x）=kx- d、 k<1，d≥ 在这个假设下，我们有，对于x<y，ZyxW（q）′（u- ξ（u））W（q）（u- ξ（u））du=1- klnW（q）（（1- k） y+d）W（q）（（1- k） x+d）！，这经常出现在第4节的公式中。对于风险过程，假设为线性布朗运动：X（t）=ut+σB（t），t≥ 0，（7.1），其中u∈ R、 σ>0，{B（t）}是标准布朗运动。注意，我们的主要结果用q尺度函数W（q）表示。Kyprianou（2006）知道，线性布朗运动（7.1）的q尺度函数由w（q）（x）=σe给出-uσxsinh（Ξx），x≥ 0，（7.2）式中=√u+2qσ。在本文中，我们设定u=0.03，σ=0.4，q=0.01。从命题5和命题6可以看出，假设1在刻画最优回报函数方面起着重要作用。

可以看到Limx→∞W（q）′（x）- ξ（x））W（q）（x- ξ（x））W（q）′（x）- ξ（x））= 1，产生limx→∞g（x）=1。在图1中，我们绘制了d=1和k=-10, -5.-1, 0, 0.1.因此，f函数g确实收敛到1作为x→ ∞, 我们还发现，函数g在某个点x上表示其符号。现在，对于下拉参数（k，d），我们将考虑两种情况：（0.1，1）和(-1, 1). 此外，我们设置（γ，γ）=（0.2，0.6）。首先，我们考虑命题5中的条件。除了假设1，我们还需要检查不等式（5.10）。从图1可以看出，对于y>x，g（y）>0。因此，为了检查不等式（5.10），我们只需要检查以下条件g（x）≥ 0,  0<x≤ x、 （7.3）对于（k，d）=（0.1，1），我们可以得到x=1.360；对于（k，d）=(-1，1），我们可以得到x=1.443。在图2中，我们绘制了气体x f或0的函数≤ x个≤ 1.5. 当k=0.1时，我们发现G（x）对于0是严格正的≤ x个≤ x、 根据命题5，最大化策略函数为γ（x）≡ γ,  x个≥ 0，最佳返回函数由公式（5.6）给出。在图3中，我们将最优回报值绘制为初始盈余水平x的函数。我们观察到f（x）是一个In-cr测量函数，并收敛到常数2.8209。

可按如下数学方法检查限值。使用公式（5.8），我们得到f（x）=W（q）（x- ξ（x））W（q）′（x- ξ（x））-Z∞xexp{-1.- γZyxW（q）′（u- ξ（u））W（q）（u- ξ（u））du}g（y）dy，0 5 10 15 20-14-12-10-8.-6.-4.-202xg（x）k=-10公里=-5公里=-1k=0k=0.1图1：函数g在d=1和k=-10, -5.-1, 0, 0.1.0 0.5 1 1.5-0.6-0.4-0.200.20.40.60.811.21.4x k=-1k=0.1图2:d=1和k=-10, -5.-1, 0, 0.1.加上g（y）→ 1为y→ ∞, 大x，f（x）的收益率≈W（q）（x）- ξ（x））W（q）′（x- ξ（x））-1.- γγf（x），其中我们使用（5.6），（2.8），（5.5）和L\'H^opital规则来推导limx→∞R∞xexp{-1.-γRyxW（q）′（u-ξ（u））W（q）（u-ξ（u））du}g（y）dyf（x）=limx→∞-g（x）+1-γW（q）′（x）-ξ（x））W（q）（x-ξ（x））R∞xexp{-1.-γRyxW（q）′（u-ξ（u））W（q）（u-ξ（u））du}g（y）dy-γ1-γ+γ1-γ1-γW（q）′（x）-ξ（x））W（q）（x-ξ（x））R∞xexp{-1.-γRyxW（q）′（u-ξ（u））W（q）（u-ξ（u））du}dy=1- γγ.因此，对于大x，我们有f（x）≈ γW（q）（x- ξ（x））W（q）′（x- ξ（x））=0.6W（q）（0.9x+1）W（q）′（0.9x+1）→0.6Φ（0.01）=2.8209，如x→ ∞,其中，最后一步遵循公式（2.8）。对于k=-1，观察图2后，我们发现G（x）对于0并不总是正的≤ x个≤ x、 因此，最优回报函数不是命题5的特征。然而，可以看出，如果满足（v）中的条件，则最佳回报函数由（5.17）中的公式给出。在图4中，我们绘制了0的最佳返回函数≤ x个≤ 20、在这种情况下，我们发现f（x）收敛到与k=0.1时相同的极限，这是因为当x较大时，最优回报函数具有相同的形式，相应的极限2.8209与参数k无关。图3和图4所示的最优回报函数的模式表明，参数k越小，最优回报函数越大。

这是因为，对于每个可接受的税收策略γ∈ Γ，下降时间τγξ几乎肯定会随着k的增加而减少，记住方程（2.4）和ξ（x）=kx-图3和图4中设置了d=1的d。这些理由与（2.5）给出的最优回报函数的定义一起，解释了为什么较小的k会给出较大的最优回报函数值，即f（x）| k=k≤ f（x）| k=x的k∈ [0, ∞) 和k≤ k<1。附录7.1命题1证明。在s et{τ+a<τγξ}上，征税过程{Uγ（t）；t≥ 0}up在一般下降时间τγξ之前穿过a级，即Uγ（t）≥ ξ\'Uγ（t）= ξsup0≤s≤tUγ（s）对于所有t∈ [0，τ+a]。图3：当d=1、k=0.1、γ=0.2和γ=0.6时的最佳回报函数。图4：当d=1，k=-1，γ=0.2和γ=0.6。因此，我们可以将集合{τ+a<τγξ}重写如下，{τ+a<τγξ}={εt≤γx（x+t）- ξ（γx（x+t）），t型∈ [0, γ-1x（a）- x] }。（7.4）在这里，我们使用了以下事实：∈ [0，L-1（t）- L-1（t-)],Uγ（L-1（t-) + s） =X（L-1（t-) + s）-ZL公司-1（t-)+sγ\'\'X（u）d'X（u）=X（L-1（t-) + s）-ZL公司-1（t-)γ\'\'X（u）d'X（u），这意味着uγL-1（t-) + s≥ ξsup0≤u≤L-1（t-)+sUγ（u）！=ξUγL-1（t）等于εt（s）=X（L-1（t））- X（L-1（t-) + s） =Uγ（L-1（t））- Uγ（L-1（t-) + s）≤Uγ（L-1（t））- ξUγL-1（t）=γx（x+t）- ξ（γx（x+t））适用于所有s∈ [0，L-1（t）- L-1（t-)].

到（7.4）我们有，Px{τ+a<τγξ}= 二甲苯{εt≤γx（x+t）- ξ（γx（x+t）），t型∈ [0, γ-1x（a）- x] }= 经验值{-Zγ-1x（a）-xn（|ε>γx（x+t）- ξ（γx（x+t）））dt}=exp{-Zγ-1x（a）-xW′（γx（x+t）- ξ（γx（x+t）））W（γx（x+t）- ξ（γx（x+t）））dt}=exp{-ZaxW′（y- ξ（y））W（y）- ξ（y））1- γγ-1x（y）dy}，（7.5）其中，在最后一个等式中，我们使用n（|ε>x）=W′（x）W（x），前提是x不是W的导数中的不连续点（见Kyprianou（2006）），并且在最后一步中，我们改变了变量us ingy=γx（x+t），从而得出dt=1-γ（x+t）dy=1-γ(γ-1x（y））dy。注意，一方面，我们有pΦ（q）xτ+a<τγξ= 前任eΦ（q）（X（τ+a）-x）-qτ+a{τ+a<τγξ}= eΦ（q）（γ-1x（a）-x） Ex公司e-qτ+a{τ+a<τγξ}; （7.6）另一方面，我们有pΦ（q）x{τ+a<τγξ}= 经验值{-ZaxW′Φ（q）（y）- ξ（y））WΦ（q）（y- ξ（y））1- γγ-1x（y）dy}=exp{-ZaxW（q）′（y）- ξ（y））W（q）（y- ξ（y））- Φ（q）！1.- γγ-1x（y）dy}=exp{-ZaxW（q）′（y）- ξ（y））W（q）（y- ξ（y））1- γγ-1x（y）dy+Φ（q）Zax1- γγ-1x（y）dy}=exp{-ZaxW（q）′（y）- ξ（y））W（q）（y- ξ（y））1- γγ-1x（y）dy+Φ（q）γ-1x（a）- x个}, （7.7）其中，在证明（7.5）中使用的相似参数一起表示等式WΦ（q）（x）=e-Φ（q）xW（q）（x）用于第二个等式，变量z=γ的变化-1x（y）用于上述显示的最后一步。结合（7.6）和（7.7），我们到达atExe-qτ+a{τ+a<τγξ}= e-Φ（q）（γ-1x（a）-x） PΦ（q）xτ+a<τγξ= 经验值{-ZaxW（q）′（y）- ξ（y））W（q）（y- ξ（y））1- γγ-1x（y）dy}，这是我们想要的结果（3.5）。7.2命题2证明。

使用（2.10）可以验证，Ex“Zτ+a∧τγξe-qtγ\'\'X（t）d\'\'X（t）- x个#= 前任Z∞{t<τ+a∧τγξ}e-qtγ\'\'X（t）d\'\'X（t）- x个= 前任Z∞{t<L-1（L（τ+a∧τγξ)-)}e-qtγ\'\'X（t）d\'\'X（t）- x个= 前任Z∞{L（t）<L（τ+a∧τγξ）}e-qtγ（L（t）+x）dL（t）= 前任Z∞{y<L（τ+a∧τγξ）}e-qL系列-1（y）γ（y+x）dy=Z∞前任e-qL系列-1（y）{y<L（τ+a∧τγξ)}γ（y+x）dy=Z∞前任e-qL系列-1（y）{y<L（τ+a）∧L（τγξ）}γ（y+x）dy=Z∞前任e-qL系列-1（y）{y<L（τ+a）=γ-1x（a）-x、 y<L（τγξ）}γ（y+x）dy=Zγ-1x（a）-xEx公司e-qL系列-1（y）{y<L（τγξ）}γ（y+x）dy.（7.8）此外，setny<Lτγξocan可重新表示如下，ny<Lτγξo={εt≤γx（x+t）- ξ（γx（x+t）），t型∈ [0，y]}，与（7.8）一起表示，Ex“Zτ+a∧τγξe-qtγ\'\'X（t）d\'\'X（t）- x个#=Zγ-1x（a）-xEx公司e-qL系列-1（y）{εt≤γx（x+t）-ξ（γx（x+t））， t型∈[0，y]}γ（y+x）dy=Zγ-1x（a）-xe公司-Φ（q）（X（L-1（y））-x） Ex公司eΦ（q）（X（L-1（y））-x）-qL系列-1（y）{εt≤γx（x+t）-ξ（γx（x+t））， t型∈[0，y]}γ（y+x）dy=Zγ-1x（a）-xe公司-Φ（q）yEΦ（q）x{εt≤γx（x+t）-ξ（γx（x+t））， t型∈[0，y]}γ（y+x）dy=Zγ-1x（a）-xe公司-Φ（q）yexp{-ZynΦ（q）（？ε>γx（x+t）- ξ（γx（x+t）））dt}γ（y+x）dy=Zγ-1x（a）-xe公司-Φ（q）yexp{-ZyW′Φ（q）（γx（x+t）- ξ（γx（x+t）））WΦ（q）（γx（x+t）- ξ（γx（x+t）））dt}γ（y+x）dy=Zγ-1x（a）-xe公司-Φ（q）yexp{-ZyW（q）′（γx（x+t）- ξ（γx（x+t）））W（q）（γx（x+t）- ξ（γx（x+t）））- Φ（q）！dt}γ（y+x）dy=Zγ-1x（a）-xexp{-ZyW（q）′（γx（x+t）- ξ（γx（x+t）））W（q）（γx（x+t）- ξ（γx（x+t）））dt}γ（y+x）dy，其中nΦ（q）是概率测度PΦ（q）x.7.3命题3Proof的证明。

对于任何>0和h>0的情况，根据supremum的定义，我们总能找到一个策略γ∈ Γ产生（7.9）中的第一个不等式，其中停止时间^τ+x+通过（2.1）定义，γ替换为γ。f（x）- =supγ∈ΓExZτγξe-qtγ\'\'X（t）直径X（t）- ≤ExZτγξe-qtγ\'\'X（t）d'X（t）=ExZτγξ∧^τ+x+he-qtγ\'\'X（t）d'X（t）+Zτγξτγξ∧^τ+x+he-qtγ\'\'X（t）d'X（t）！=ExZτγξ∧^τ+x+he-qtγ\'\'X（t）d'X（t）！+ExZτγξ^τ+x+he-qtγ\'\'X（t）d'X（t）1{τ+X+h<τγξ}！=ExZτγξ∧^τ+x+he-qtγ\'\'X（t）d'X（t）！+ExExZτγξ^τ+x+he-qtγ\'\'X（t）直径X（t）F^τ+x+h！{τ+x+h<τγξ}！≤ExZτγξ∧^τ+x+he-qtγ\'\'X（t）d'X（t）！+前任e-q^τ+x+h{τ+x+h<τγξ}f（x+h）≤supγ∈ΓExZτγξ∧τ+x+he-qtγ\'\'X（t）d'X（t）+e-qτ+x+h{τ+x+h<τγξ}f（x+h）！。（7.9）另一方面，给定任何γ∈ Γ，确定新策略Γγ∈ Γ如下：在时间间隔[0，τ+x+]内，采用策略γ，然后将其切换到与初始储备x+h相关的-最优策略。因为任何给定的策略都必须是次优的，我们得到f（x）≥ExZτИγξe-qtγ\'\'X（t）d'X（t）=ExZτИγξ∧τ+x+he-qtγ\'\'X（t）d'X（t）+Zτγξτγξ∧τ+x+he-qtγ\'\'X（t）d'X（t）！=ExZτγξ∧τ+x+he-qtγ\'\'X（t）d'X（t）！+ExZτИγξτ+x+he-qtγ\'\'X（t）d'X（t）1{τ+X+h<τИγξ}！=ExZτγξ∧τ+x+he-qtγ\'\'X（t）d'X（t）！+ExExZτИγξτ+x+he-qtγ\'\'X（t）直径X（t）Fτ+x+h！{τ+x+h<τγξ}！≥ExZτγξ∧τ+x+he-qtγ\'\'X（t）d'X（t）！+前任e-qτ+x+h{τ+x+h<τγξ}（f（x+h）- )≥ExZτγξ∧τ+x+he-qtγ\'\'X（t）d'X（t）+e-qτ+x+h{τ+x+h<τγξ}f（x+h）！-，（7.10）其中，我们使用了τОγξ处的事实th∧ τ+x+h=τγξ∧ τ+x+hin上述显示的第二步是由于定义了策略γ。取上确界于γ∈ 在（7.10）中，我们有，f（x）≥ supγ∈ΓExZτγξ∧τ+x+he-qtγ\'\'X（t）d'X（t）+e-qτ+x+h{τ+x+h<τγξ}f（x+h）！- . （7.11）将（7.9）和（7.11）放在一起，通过>0的任意性，我们得到以下动态规划原理，f（x）=supγ∈ΓExZτγξ∧τ+x+he-qtγ\'\'X（t）d'X（t）+e-qτ+x+h{τ+x+h<τγξ}f（x+h）！。

（7.12）固定任意常数γ∈ [γ，γ]，然后选择γ∈ Γ使税款在时间间隔[0，τ+x+h]内以固定利率γ支付。在这种情况下，f（x）≥ExZτγξ∧τ+x+he-qtγd'X（t）+e-qτ+x+h{τ+x+h<τγξ}f（x+h）！≥ExZτ+x+he-qtγd'X（t）1{τ+X+h<τγξ}+e-qτ+x+h{τ+x+h<τγξ}f（x+h）！=Exγe-qτ+x+h\'\'Xτ+x+h- x个+ qγZτ+x+he-qt\'\'X（t）- x个dt！{τ+x+h<τγξ}+前任e-qτ+x+h{τ+x+h<τγξ}f（x+h）≥前任γe-qτ+x+h\'\'Xτ+x+h- x个{τ+x+h<τγξ}+ 前任e-qτ+x+h{τ+x+h<τγξ}f（x+h）。可以从（3.3）中验证x+h=Uγτ+x+h= x+Zτ+x+h1.- γ\'\'X（t）d'X（t）=X+Zτ+X+h（1- γ） d'X（t）=X+（1- γ)(R)X（τ+X+h）- x个, （7.13）这意味着τ+x+h= x+h1-γ. 利用这个结果，我们可以进一步推进我们的不等式，如下所示，f（x）≥γh1- γExe-qτ+x+h{τ+x+h<τγξ}+ 前任e-qτ+x+h{τ+x+h<τγξ}f（x+h）=exp{-Zx+hxW（q）′（y）- ξ（y））W（q）（y- ξ（y））1- γdy}f（x+h）+γh1- γ=1.-1.- γW（q）′（x）- ξ（x））W（q）（x- ξ（x））h+o（h）！γh1- γ+f（x）+f′（x）h+o（h）, （7.14）我们在命题1中使用了（3.5）和γ≡ γ.用f（x）减去（3.7）的两侧，并收集阶数h yield0的项≥γ1 - γ-1.- γW（q）′（x）- ξ（x））W（q）（x- ξ（x））f（x）+f′（x）。（7.15）γ的任意性导致0≥ supγ∈[γ,γ][γ1 - γ-1.- γW（q）′（x）- ξ（x））W（q）（x- ξ（x））f（x）+f′（x）]。（7.16）对于h>0，根据上确界的定义，应存在一个策略|γ，使得f（x）≤ExZτИγξ∧τ+x+he-qtγ\'\'X（t）d'X（t）+e-q▄τ+x+h{▄τ+x+h<τ▄γξ}f（x+h）！+h类≤ExZτ+x+he-qtγ\'\'X（t）d'X（t）1{τ+X+h<τγξ}+Zτγξe-qtγ\'\'X（t）d'X（t）1{τ+X+h>τγξ}+前任e-q▄τ+x+h{▄τ+x+h<τ▄γξ}f（x+h）+h.（7.17），此处，由（2.1）定义|τ+x+his，γ替换为|γ。（7.17）右侧的第一项可以重写为xzτ+x+he-qtγ\'\'X（t）d'X（t）1{τ+X+h<τγξ}！=Exe文件-q▄τ+x+hZ▄τ+x+h▄γ\'\'X（t）d'X（t）1{τ+X+h<τγξ}+ExqZτ+x+he-qtZtγ\'\'X（r）d'X（r）dt1{τ+x+h<τγξ}！。

（7.18）直到采矿时间▄τ+x+h（h>0）为止的累计（未贴现）税款可重新表示为z▄τ+x+h▄γ\'\'X（s）d？X（s）=？Xτ+x+h-x+Zτ+x+h1.- ~γ\'\'X（s）d'X（s）=(~γ)-1（x+h）- Uγτ+x+h= (~γ)-1（x+h）- x个- h=△γ（x）1- γ（x）h+o（h），（7.19），其中我们使用了以下事实，limh↓0(~γ)-1（x+h）- x个- hh小时=(~γ)-1（x）′- 1 =~γ(~γ)-1（x）1.- ~γ(~γ)-1（x）=γ（x）1- γ（x），因为γ（z）是z的严格递增和连续函数。通过（7.19），可以将（7.18）右侧的第一个数量重写为，Exe-q▄τ+x+hZ▄τ+x+h▄γ\'\'X（t）d'X（t）1{τ+X+h<τγξ}=γ（x）1- γ（x）h+o（h）经验值{-Zx+hxW（q）′（y）- ξ（y））W（q）（y- ξ（y））（1- ~γ((~γ)-1（y）））dy}=γ（x）1- γ（x）h+o（h）1.-W（q）′（x）- ξ（x））W（q）（x- ξ（x））（1- γ（x））h+o（h）=γ（x）1- γ（x）h+o（h）（7.20）和xqz▄τ+x+he-qtZtγ\'\'X（r）d'X（r）dt1{τ+x+h<τγξ}！≤(~γ)-1（x+h）- x个- h类前任(1 - e-q▄τ+x+h）1{▄τ+x+h<τ▄γξ}=γ（x）1- γ（x）h+o（h）经验值{-Zx+hxW（0）′（y）- ξ（y））W（0）（y- ξ（y））（1- ~γ((~γ)-1（y）））dy}- 经验值{-Zx+hxW（q）′（y）- ξ（y））W（q）（y- ξ（y））（1- ~γ((~γ)-1（y）））dy}！=o（h）。（7.21）（7.17）右侧的第二项可计算如下，ExZτИγξe-qtγ\'\'X（t）d'X（t）1{τ+X+h>τγξ}！≤ExZτ+x+he-qtγ\'\'X（t）d'X（t）1{τ+X+h>τγξ}！=Exe文件-q▄τ+x+hZ▄τ+x+h▄γ\'\'X（t）d'X（t）1{▄τ+X+h>τ▄γξ}+qZ▄τ+X+he-qtZtγ\'\'X（r）直径X（t）dt1{τ+x+h>τγξ}！≤(~γ)-1（x+h）- x个- h类Exe文件-q▄τ+x+h{▄τ+x+h>τ▄γξ}+qZ▄τ+x+he-qtdt1{τ+x+h>τγξ}=(~γ)-1（x+h）- x个- h类1.- 经验值{-Zx+hxW（0）′（y）- ξ（y））W（0）（y- ξ（y））（1- ~γ((~γ)-1（y）））dy}！=o（h）。（7.22）因此，（7.17），（7.18），（7.20），（7.21）与（7.22）一起产生tof（x）≤γ（x）1- γ（x）h+f（x）+f′（x）h-W（q）′（x）- ξ（x））W（q）（x- ξ（x））（1- γ（x））f（x）h+o（h）。（7.23）用f（x）减去（7.23）的两边，然后收集h阶项，我们得到0≤γ（x）1- γ（x）+f′（x）-W（q）′（x）- ξ（x））W（q）（x- ξ（x））（1- γ（x））f（x）≤ supγ∈[γ,γ]γ1 - γ-1.- γW（q）′（x）- ξ（x））W（q）（x- ξ（x））f（x）+f′（x）！。

（7.24）最后，梳理（7.16）和（7.24）得出（4.1）。7.4 z的技术lemmaLemma 1证明∈ [x，∞), putξ（y）：=Zzxγ（w）dw+ξ（y）-Zzxγ（w）dw），y∈ [z，∞),那么我们有了e-qτ+γx（z）+a-τ+γx（z）{τ+γx（z）+a<τγξ}Fτ+γx（z）= 1{τ+γx（z）<τγξ}exp-Zz+azW（q）′（y）- ξ（y））W（q）（y- ξ（y））1- γγ-1z（y）dy！，z∈ [x，∞), 一∈ [0, ∞). （7.25）证明。发现uγ（t）=X（t）-\'\'X（t）+z+z\'\'X（t）z（1- γ（w））dw-Zzxγ（w）dw=X（t）-\'X（t）+γz\'\'X（t）-Zzxγ（w）dw，t∈ [τ+γx（z），∞), z∈ [x，∞),γx（z）=z-Rzxγ（w）dw，z∈ [x，∞). 因此，我们有τ+γx（z）+a=inf{t≥ τ+γx（z）；Uγ（t）>γx（z）+a}=inf{t≥ τ+γx（z）；X（t）-\'X（t）+γz\'\'X（t）> z+a}，（7.26）和{τ+γx（z）<τγξ}τγξ=inf{t≥ τ+γx（z）；X（t）-\'X（t）+γz\'\'X（t）<Zzxγ（w）dw+ξ（γz（(R)X（t））-Zzxγ（w）dw）}。（7.27）回顾τ+γx（z）=inf{t≥ 0; X（t）>z}和uγ（t）=X（t）-\'X（t）+γX\'\'X（t）,可以从（7.26）和（7.27）τ+γx（z）+a中找到- τ+γx（z）=τ+z+aoθτ+γx（z），Px- a、 s.，和τγξ- τ+γx（z）=τγξoθτ+γx（z），Px-a、 在{τ+γx（z）<τγξ}上，结合了强马尔可夫性质yieldExe-qτ+γx（z）+a-τ+γx（z）{τ+γx（z）+a<τγξ}Fτ+γx（z）= 1{τ+γx（z）<τγξ}Eze-qτ+z+a{τ+z+a<τγξ},与（3.5）一起得出（7.25）。7.5命题4证明。自γ（z）∈ [γ，γ]f或所有z∈ [x，∞) 和γ∈ Γ，可以从（4.1）中检查，对于任何γ∈ Γ和z≥ x、 γ（z）≤ -(1 - γ（z））f′（γx（z））-W（q）′（γx（z）- ξ（γx（z）））W（q）（γx（z）- ξ（γx（z）））f（γx（z））！，当γ≡ γ*. 将上述不等式中的z替换为X（t），对于所有s≥ 0,γ\'\'X（s）≤-1.- γ\'\'X（s）f′γx\'\'X（s）-W（q）\'γx\'\'X（s）- ξγx\'\'X（s）W（q）γx\'\'X（s）-ξγx\'\'X（s）fγx\'\'X（s）!, （7.28）当γ≡ γ*.定义{η（s）；s≥ 0}如下，η（s）=limh↓0十六进制e-qτ+γx（(R)x（s））+（1-γ（\'X（s）））h{τ+γX（\'X（s））+（1-γ（(R)X（s）））h<τγξ}fγx\'\'X（s）+1.- γ\'\'X（s）h类-e-qτ+γx（\'x（s））{τ+γx（\'x（s））<τγξ}fγx\'\'X（s）Fτ+γx（(R)x（s））.