已停止的低风险过程的最佳损失结转税

（7.29）然后，通过模仿Gerberand Shiu（2006）中过程（4.3）或Wang an d Hu（2012）中过程（3.5）的鞅性质证明中的参数，我们可以验证以下补偿过程Z（t）=e-qτ+γx（\'x（t））{τ+γx（\'x（t））<τγξ}fγx\'\'X（t）-Zτ+γx（(R)x（t））η（s）d'x（s），t≥ 0，（7.30）是关于过滤{Fτ+γx（\'x（t））；t的鞅≥ 0}. 此外，（7.29）的右侧可以重写为η（s）=limh↓0小时前任e-qτ+γx（(R)x（s））+（1-γ（\'X（s）））h{τ+γX（\'X（s））+（1-γ（(R)X（s）））h<τγξ}×fγx\'\'X（s）+1.- γ\'\'X（s）h类Fτ+γx（(R)x（s））-e-qτ+γx（\'x（s））{τ+γx（\'x（s））<τγξ}fγx\'\'X（s）= 林氏↓0小时前任e-qτ+γx（(R)x（s））+（1-γ（\'X（s）））h{τ+γX（\'X（s））+（1-γ（(R)X（s）））h<τγξ}Fτ+γx（(R)x（s））×fγx\'\'X（s）+ f′γx\'\'X（s）1.- γ\'\'X（s）h+o（h）-e-qτ+γx（\'x（s））{τ+γx（\'x（s））<τγξ}fγx\'\'X（s）= 林氏↓0h1-（W（q））\'γx\'\'X（s）- ξγx\'\'X（s）W（q）γx\'\'X（s）- ξγx\'\'X（s）h+o（h）！fγx\'\'X（s）+ f′γx\'\'X（s）1.- γ\'\'X（s）h+o（h）-fγx\'\'X（s）e-qτ+γx（\'x（s））{τ+γx（\'x（s））<τγξ}=1.- γ\'\'X（s）f′γx\'\'X（s）-（W（q））\'γx\'\'X（s）- ξγx\'\'X（s）W（q）γx\'\'X（s）- ξγx\'\'X（s）fγx\'\'X（s）!×e-qτ+γx（\'x（s））{τ+γx（\'x（s））<τγξ}，（7.31），其中在（7.31）的第三个等式中，我们使用了引理1和事实z- ξ（z）=γx（z）- ξ（γx（z））。结合（7.28）和（7.31）产量，γ\'\'X（s）e-qτ+γx（\'x（s））{τ+γx（\'x（s））<τγξ}≤ -η（s），（7.32），当γ=γ时，等式成立*. 从（7.32）也可以看出{-η（s）；s≥ 0}是非负值进程。注意到{Z（t）；t≥ 0}是关于{Fτ+γx（\'x（t））；t的鞅≥ 0}，我们有-qτ+γx（\'x（t））{τ+γx（\'x（t））<τγξ}fγx\'\'X（t）-Zτ+γx（(R)x（t））η（s）d'x（s）#=f（x）。（7.33）现在请注意lim supt→∞X（t）=∞ 几乎可以肯定（a.s.）意味着限制→∞\'\'X（t）=∞ a、 这意味着进一步限制→∞τ+γx（(R)x（t））=∞ a、 s。。

结合f（x）在[0]上有界的事实，∞) （见备注1）和LIMT→∞τ+γx（(R)x（t））=∞ a、 利用有界收敛定理，我们得到→∞前任e-qτ+γx（\'x（t））{τ+γx（\'x（t））<τγξ}fγx\'\'X（t）= 0.（7.34）让t→ ∞ 在（7.33）中，使用单调收敛定理，我们得到atEx-Z∞η（s）d？X（s）= f（x）。（7.35）因为当γ=γ时（7.32）变得相等*, 到（7.35）时，我们获得了Z∞e-qτ+’γ*（\'X（s））{τ+\'γ*（(R)X（s））<τγ*ξ}γ*\'\'X（s）d'X（s）= f（x）。（7.36）因为当且仅当“X（s）”真正增加时（直觉上，当“d”X（s）>0”或∈ {τ+γ*（(R)X（s））；s≥ 0}），我们有Z∞e-qs{s<τγ*ξ}γ*\'\'X（s）d'X（s）= 前任Z∞e-qτ+’γ*（\'X（s））{τ+\'γ*（(R)X（s））<τγ*ξ}γ*\'\'X（s）d'X（s）= f（x），即fγ*（x） =f（x）。而对于任意γ∈ Γ，通过（7.32）和类似的参数可以得到Z∞e-qs{s<τγξ}γ\'\'X（s）d'X（s）≤ f（x），即fγ（x）≤ f（x）表示所有γ∈ Γ.致谢作者感谢匿名推荐人的宝贵意见。参考文献[1]Albrecher，H.、Avram，F.、Constantinecu，C.和Ivanovs，J.，2014年。Markovadditive风险流程的税务标识。《应用概率的方法和计算》，16（1），245-258。[2] Albrecher，H.、Badescu，A.和Landriault，D.，2008a。关于税收双重风险模型。保险：数学与经济学，421086-1094。[3] Albrecher，H.、Borst，S.、Boxma，O.和Resing，J.，2009年。风险理论中的税收恒等式——一种证明和推广。保险：数学与经济学，44304-306。[4] Albrecher，H.、Borst，S.、Boxma，O.和Resing，J.，2011年。毁灭之旅/∞ 排队，以及续订风险模型中的纳税。应用概率杂志，48（A），3-14。[5] Albrecher，H.，Hipp，C.，2007年。伦德伯格的税务风险流程。Bl–atter der DGVFM，28（1），13-28。[6] Albrecher，H.和Ivanovs，J.，2014年。税收和资本注入下Lvy风险模型的幂恒等式。

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