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# [量化金融] 计提和棘轮约束下的最优股利分配 [推广有奖]

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mingdashike22   发表于 2022-6-23 18:24:24 |显示全部楼层
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《Optimal Dividend Distribution Under Drawdown and Ratcheting Constraints
on Dividend Rates》
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Bahman Angoshtari, Erhan Bayraktar, Virginia R. Young
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2019
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We consider the optimal dividend problem under a habit formation constraint that prevents the dividend rate to fall below a certain proportion of its historical maximum, the so-called drawdown constraint. This is an extension of the optimal Duesenberry\'s ratcheting consumption problem, studied by Dybvig (1995) [Review of Economic Studies 62(2), 287-313], in which consumption is assumed to be nondecreasing. Our problem differs from Dybvig\'s also in that the time of ruin could be finite in our setting, whereas ruin was impossible in Dybvig\'s work. We formulate our problem as a stochastic control problem with the objective of maximizing the expected discounted utility of the dividend stream until bankruptcy, in which risk preferences are embodied by power utility. We semi-explicitly solve the corresponding Hamilton-Jacobi-Bellman variational inequality, which is a nonlinear free-boundary problem. The optimal (excess) dividend rate $c^*_t$ - as a function of the company\'s current surplus $X_t$ and its historical running maximum of the (excess) dividend rate $z_t$ - is as follows: There are constants $0 < w_{\\alpha} < w_0 < w^*$ such that (1) for $0 < X_t \\le w_{\\alpha} z_t$, it is optimal to pay dividends at the lowest rate $\\alpha z_t$, (2) for $w_{\\alpha} z_t < X_t < w_0 z_t$, it is optimal to distribute dividends at an intermediate rate $c^*_t \\in (\\alpha z_t, z_t)$, (3) for $w_0 z_t < X_t < w^* z_t$, it is optimal to distribute dividends at the historical peak rate $z_t$, (4) for $X_t > w^* z_t$, it is optimal to increase the dividend rate above $z_t$, and (5) it is optimal to increase $z_t$ via singular control as needed to keep $X_t \\le w^* z_t$. Because, the maximum (excess) dividend rate will eventually be proportional to the running maximum of the surplus, \"mountains will have to move\" before we increase the dividend rate beyond its historical maximum.
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mingdashike22   发表于 2022-6-23 18:24:29 |显示全部楼层
 股息率下降和棘轮约束下的最优股息分配*Erhan Bayraktar+Virginia R.Young此版本：2019年3月25日摘要我们考虑习惯形成约束下的最优股息问题，该约束可防止股息率降至历史最大值的某个比例以下，即所谓的提款约束。我们的问题是Dybvig（1995）研究的棘轮约束下Duesenberry最优消费问题的推广，其中消费被限制为非减量。我们的问题也与Dybvig的不同，因为在我们的环境中，破产的时间可能是有限的，而Dybvig的工作中，破产是不可能的。我们将问题描述为一个随机控制问题，目标是在破产前最大化股息流的预期贴现效用，其中风险偏好由电力效用体现。我们将相应的Hamilton-Jacobi-Bellman变分不等式写成一个非线性自由边界问题，并通过Legendre变换半显式求解。最优（超额）股息率c*t-作为公司当前盈余XT及其历史运行最大（超额）股息率zt的函数，如下所示：存在常数0w*zt，将股息率提高到zt以上是最优的，（5）根据需要通过奇异控制增加zt是最优的，以保持Xt≤ w*zt。

 因为，最大（超额）股息率最终将与盈余的运行最大值成比例，“大山将不得不移动”，然后我们将股息率提高到历史最大值以上。关键词：最优红利，下降约束，棘轮，随机控制，最优控制，变分不等式，自由边界问题。*华盛顿大学应用数学系。电子邮件：bahmang@uw.edu+密歇根大学数学系。电子邮件：erhan@umich.eduE.Bayraktar获得了国家科学基金会DMS-1613170拨款和Susan M.Smith教授职位的部分资助密歇根大学数学系。电子邮件：vryoung@umich.eduV.R.Young获得CecilJ.和EthelM.Nesbitt教授职位的部分支持。1简介风险经理的基本目标之一是提高在风险环境中运营的公司的稳定性。这一目标可以通过选择股息政策来实现，也就是说，公司盈余中有多少需要支付（或相当于保留）。这一决定包含了一个权衡因素。支付更多股息会增加公司股东的价值，同时也会减少未来准备金，而这些准备金对于公司在财务困境中的生存至关重要。自De Finetti（1957）的开创性工作以来，一直有一个活跃的研究领域致力于寻找低于各种标准的最优股息支付。当股息支付率下降时，股东和分析师会做出负面反应（可以说反应过度）。然而，关于最优股利政策的现有文献主要忽略了股东对减少股利支付的厌恶。
nandehutu2022   发表于 2022-6-23 18:24:35 |显示全部楼层
 我们在本文中的主要目标是通过考虑所谓的股息支付率下降限制来解决这一问题，即我们要求未来股息支付率不能低于迄今为止股息率历史最大值的固定比例。有趣的是，我们发现最优股息率的运行最大值（最终）与Surplus过程的运行最大值成正比。换言之，在提高股息率超过历史峰值之前，“山脉将不得不移动”。关于最优股息的许多现有结果表明，为了最大限度地提高破产前的预期贴现率，根据波段策略或其特殊的障碍策略支付股息是最优的；调查见Avanzi（2009）。例如，Asmussen和Taksar（1997）考虑了保险公司的最优股息策略，其盈余过程遵循带漂移的布朗运动。他们假设保险人支付股息是为了最大化从现在到破产期间支付的贴现股息的预期，他们考虑了两种情况。在第一种情况下，Asmussen和Taksar（1997）将股息率限制在一个区间内[0，C]。如果CI小于或等于临界值C*, 然后，以所有盈余水平的利率支付股息是最优的。如果C>C*, 如果盈余低于某个值X，则最好以0的利率支付股息*按到岸价盈余大于X的比率计算*. 在第二种情况下，Asmussen和Taksar（1997）没有限制股息支付率，最好通过障碍策略支付股息，在这种策略下，超过障碍b的所有盈余都作为股息支付。此外，参见Asmussen等人（2000年）对Asmussen和Taksar（1997年）的扩展，其中作者允许保险人通过再保险控制其盈余。

 最后，参见Gerber和Shiu（2006），了解与Asmussen和Taksar（1997）相关的显式计算。请注意，按Cif盈余利率支付股息大于X*如果盈余小于X，则为0*导致易失的全有或全无路径。养成习惯是降低股息支付率的一种方法；参见Constantinides（1990），了解习惯形成方面的开创性工作。我们通过对超额股息支付率的提取约束来模拟习惯形成；我们所说的“超额”是指如果盈余完全以无风险回报率投资，则超过支付的利息。我们要求超额股息支付率不得低于历史最高超额股息支付率的某一给定分数。这一要求与文献中的大多数缩编限制不符。具体而言，大多数提款限制适用于盈余或财富，而不是支付率或消费率；例如，见Grossmand Zhou（1993）、Cvitani'c和Karatzas（1995）以及Elie和Touzi（2008）。也就是说，有两份重要文件确实对消费施加了削减限制。第一位是Dybvig（1995），他对消费率施加了棘轮约束，并为寻求最大化消费贴现效用的Black-Scholes金融市场中的投资者找到了最佳投资和消费政策，正如我们在本文中假设的那样，在这种市场中，风险偏好抑制了恒定的相对风险厌恶。第二个是Arun（2012），他通过允许消费率下降，但不低于其最大消费率的分数，扩展了Dybvig（1995）。该约束与我们应用于超额股息率的提取约束相同。

 我们的工作与Dybvig（1995）和Arun（2012）的不同之处在于，我们没有附加财富保持非负的要求；相反，我们允许银行破产，这是以正概率发生的，并且更接近于文献中使用的dividendmodels（例如，见Gerber和Shiu（2004））。我们在备注2.2中进一步讨论了我们的工作与他们的工作之间的差异。Albrecher等人（2018年）研究了一个与Dybvig（1995年）所考虑的问题相关的问题，但他们只允许一次性提高股息率。他们预先规定了两个股息率，并确定了盈余的最佳水平，超过该水平，公司将以更高的利率支付。另一方面，我们允许无限制地提高股息率，但股息率可能不会低于其历史最大值的固定比例。因此，我们的工作比Albrecher et al.（2018）的工作更具普遍性。论文的其余部分组织如下。在第2节中，我们定义了最优分割问题。在第3节中，我们假设值函数是一个自由边界问题的解，该问题具有由光滑和超接触条件产生的自由边界条件以及两个状态变量。在第3.1节中，我们将自由边界问题的维数从两个状态变量降为一个，并使用凸Legendre变换来解决由此产生的自由边界问题的对偶；然后，在第3.2节中，我们反转勒让德变换以获得我们的值函数。在第4节中，我们进一步证明了最优投资和分割政策的性质，并考虑了问题的极限情况。在第3节和第4节中，我们还提供了一些数值例子来证明我们的结果。

 附录A提供了随机控制问题的验证论证，即第3节中获得的自由边界问题的解是值函数。2初步定义和问题设置考虑一家必须决定其投资和股息政策的公司。为简单起见，我们假设公司的股份数量是固定的。因此，其投资政策取决于其债务政策，即发行或回购多少债券。债券以最高利率发行≥ 0、我们通过时间t时公司总资产的价值来表示投资政策，用πt表示。我们假设公司可以通过发行债券和购买新资产立即增加其总资产。同样，它可以通过出售现有资产并用收益回购债券，立即减少总资产。公司还可以选择如何向股东支付股息。设Ct表示公司在时间t支付股息的比率；因此，在[t，t+ε]期间支付的股息总额为t+εtCudu。我们假设公司在制定股息政策时受到两个约束。首先，股东预计投资该公司会有风险溢价。因此，股息率必须至少与利率一样高，即Ct≥ r XT适用于所有t≥ 0，其中Xt是公司在时间t的盈余。我们用Ct=Ct–rXt表示超额股息率；t型≥ 第二，由于当股息支付率下降时，股东和分析师的反应消极（可以说是过度反应），我们假设超额股息率不能低于分数α∈ 过去最大值的（0，1），即对超额dividendrate的所谓提款限制。
kedemingshi   发表于 2022-6-23 18:24:47 |显示全部楼层
 具体而言，我们施加了提款限制≥ αzt，P-几乎肯定；t型≥ 0，（2.1），其中（zt）t≥0是股息过程的历史峰值，由zt=max给出z、 sup0≤s0表示严格在时间0之前超额股息率的历史最大值，并将其包括在内，以便该问题具有财务历史。特别是，DrawdownStraint yieldsct≥ αzt≥ αz>0==> Ct>rXt，P-几乎可以肯定，对于所有t≥ 换言之，我们假设股东不接受等于或低于其以无风险利率可以赚取的金额的股息。备注2.1。在任何时候t≥ 0，我们允许超额股息率增长超过其历史峰值。如果是这样的话，我们的ct>zt。让（It）t≥0表示公司总资产的内在价值。具体而言，是指公司在t时的总资产，假设其在t=0时的总资产为1美元，全部为股权，无债务，并假设其在[0，t]期间不支付股息。我们假设内在值遵循几何布朗运动；具体而言，对于某些常数u>0和σ>0，dItIt=（u+r）dt+σdWt。此处，（Wt）t≥0是过滤概率空间上的标准布朗运动(Ohm, F，（Ft）t≥0，P），其中（Ft）t≥0是由布朗运动产生的过滤，满足通常条件。给定投资政策（πt）t≥0和超额股息政策（ct=ct–rXt）t≥0，netsurplus进程（Xt）t≥0由dxt=πtdItIt给出+r（Xt–πt）–Ctdt公司=uπt–ctdt+σπtdWt，（2.3），X=X≥ 0

 一对投资和股息政策（πt，ct）t≥如果满足以下条件，则0是允许的，（i）（πt）t≥0is（Ft）-可逐步测量，πt≥ 0表示所有t≥ 0，andR∞πtdt<∞, P-几乎肯定，（ii）（ct）t≥0is（Ft）-自适应，非负，与左极限保持右连续；和，（iii）（ct）t≥0满足提款限制（2.1）。设C（α，z）表示所有可容许的投资和股利政策的集合。为了将来的参考，我们还引入了一组额外的策略。无约束政策集是指满足上述条件（i）和（ii）的所有投资和股息政策集（πt，ct），也就是说，我们不实施提取约束（iii）。注意C=limα→0+C（α，z）。我们假设，从现在起到净盈余达到破产时，公司希望最大化其支付的股息贴现效用的预期，超过无风险利息。特别地，让τ表示破产时间，即τ=inft型≥ 0:Xt≤ 0. （2.4）（2.4）中的破产时间τ取决于用于控制（2.3）中X的可接受投资和股息政策对，但为了简单起见，我们写τ而不是τX（πt，ct）。我们为公司考虑以下目标，sup（πt，ct）∈C（α，z）E“zτE–δtc1–pt1–pdt#”。（2.5）常数δ>0表示主观时间偏好参数，该参数表示尽早而不是延迟支付股息的可取性。常数p表示股东的恒定相对风险规避，我们假设1+κδ1+κδ，在文献中很常见，并追溯到默顿（1969）。此外，如果p>1，则C1–p1–pis为负值，c增加；因此，（2.5）有利于c的大值和τ的小值。

 因此，当p>1时，立即清算公司是最佳政策。还要注意，在目标（2.5）中，我们基本上假设，当净盈余在时间τ达到0时，则（过剩）消耗率ct=ct=0，所有t>τ的概率为1。目标函数的这种形式与R一致∞e–δtc1–pt1–pdt=Rτe–δtc1–pt1–pdt，p在（2.6）给出的范围内。然而，这意味着破产后违反了提款限制。备注2.2。我们无法将我们的最优策略与Dybvig（1995）或Arun（2012）的最优策略进行比较，因为我们的模型与他们的模型之间没有共同点。由于我们正在处理超额股息率，这种共同点将是零利率的情况，即r=0。然而，Dybvig（1995）和Arun（2012）明确排除了r=0的情况。原因是这两项研究都规定财富过程X必须始终为正（即τ=∞ 概率1）通过确保始终存在通过无风险投资为股息支付提供资金的可能性。为了加强这一假设，他们对可行的消费过程施加了一个上限，形式为suptCt=Zt≤rαXt，这样消费就可以始终由无风险投资来资助。对于r=0，该约束显然是不合理的，因为这意味着唯一可行的消耗量是C≡ 0、与Dybvig（1995）和Arun（2012）相比，我们没有对消费过程施加这样的上限。相反，当X达到0时，我们停止该问题。
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