具有退保风险的基于L¨evy的混合模型中的可变年金

，0，r）∈ Rj+1，1<r<2，u∈ Rj和v∈ Cj+1。对于所有0≤ s≤ T，对于所有j∈ {1，…，K- 2} 而我∈ {1，…，N}使得tj<\'ti≤ tj+1，对于j=K- 我的一切都是这样-1<\'ti≤ T，we定义j，i（u，T）：=经验值ijXl=1低,Dj，i（v，T）：=Dj，i（v，…，vj，T）expivj+1w？ti,Ej，i（s，u，T）：=∑（s，\'ti）+i（β（s）- ∑（s，T））jXl=1ul{0≤s≤tl}，~Ej，i（s，v，T）：=Ej，i（s，v，…，vj，T）+i（β（s）- ∑（s，ti））vj+1，Fj（s，u）：=iσ（s）jXl=1ul{0≤s≤tl}，（34）~Fj（s，v）：=Fj（s，v，…，vj）+iσ（s）vj+1，Mj，i（u，T）：=Dj，i（u，T）expZ？tiθs（Ej，i（s，u，T））+θs（Fj（s，u））ds公司×j+1Yl=2rπβtle公司-联邦制药-1/(4βtl），Nj，i（v，T）：=~Dj，i（v- iR，T）膨胀Z？tiθs（~Ej，i（s，v- iR，T））+θs（～Fj（s，v- iR））ds公司×经验值p（(R)ti）（ivj+1+r）（ivj+1+r- 1） （ivj+1+r）j+1Yl=2rπβtle公司-vl-1/(4βtl），用于v∈ Rj+1。最后，我们定义了0≤ s≤ T，u∈ R和i∈ {1，…，N}E（s，u）：=∑（s，\'ti）+（r+iu）（β（s）- ∑（s，ti）），F（s，u）：=（r+iu）σ（s），Ni（u）：=exp（r+iu）w？ti经验值Z'tiθs（E（s，u））ds+Z'tiθs（F（s，u））ds×经验值p（(R)ti）（iu+r）（iu+r- 1） （iu+r）。DB值的以下结果成立。定理4.2。PDB=Xi给出的价格PDBis：(R)ti≤tQ（τm（x）∈ [(R)ti-1，\'ti））（G（\'ti）B（0，\'ti）+G（\'ti）B（0，\'ti）A0，i）+K-2Xj=1Xi：(R)ti∈（tj，tj+1）Qτm（x）∈ [(R)ti-1，(R)ti）G（\'ti）B（0，\'ti）Aj，i+Aj，i+Xi：(R)ti∈（塔卡-1，T]Qτm（x）∈ [(R)ti-1，(R)ti）G（\'ti）B（0，\'ti）AK公司-1，i+AK-1，我,其中，使用（34）中的符号表示j∈ {1，…，K- 1} A0，i=e-R'tiA（s，'ti）ds2πZRNi（u）du，Aj，i=e-C（tj+1-t） （2π）je-R'tiA（s，'ti）dsZRjMj，i（u，T）du，Aj，i=e-C（tj+1-t） （2π）j+1e-R'tiA（s，'ti）dsZRj+1Nj，i（u，T）du。定理4.2的证明类似于定理4.1的证明。因此，请参见附录C备注4.1。我们有EQe-R'tir（u）duDB（'ti）= Q（τm（x）∈ [(R)ti-1，’ti））等式e-R'tir（u）du{τs≥\'ti}最大值（IS（\'ti），G（\'ti））.如前一个定理所示，可以直接计算最后一个期望值。然而，这种表达也可以追溯到PGMAB。

注意，根据定义，等式e-R'tir（u）du{τs≥\'ti}最大值（IS（\'ti），G（\'ti））=PGMAB（(R)ti）Q（τm（x）>(R)ti）。为了便于计算PGMAB（\'ti），我们建议以下近似值：首先，对于j，tj<\'ti≤ tj+1，我们得到Pgmab（\'ti）=Q（τm（x）>\'ti）等式e-R’tir（u）到期-Rtj+1λs（u）dumax（IS（\'ti），G（\'ti））.现在，我们定义D（\'ti）=Y（\'ti）- δ\'ti，thenmax（IS（\'ti），G（\'ti））=G（\'ti）h1+exp（^D（(R)ti））- 1.+i、 建议的近似值为^PGMAB（\'ti）=Q（τm（x）>\'ti）G（\'ti）EQhe-R’tir（u）到期-Rtj+1λs（u）du1 +exp（^D（(R)ti））- 1.+i、 可使用定理4.1中的结果进行评估，将T替换为“tian”，K替换为j+1，其中tj<ti≤ tj+1.4.3。退保福利。最后，我们计算退保福利的价值tPSB=K-1Xi=1EQhe-Rtir（u）duSB（ti）i.我们使用即期计量，即以股票价格作为计价单位的计量。这允许利用退保强度与股价之间的依赖关系。回想一下方程式（22）和（23）中WL的定义。此外，对于0≤ s≤ T，i∈ {2，…，K- 1} ，u∈ 国际扶轮社-1和v∈ Ri，we定义i（u，T）：=经验值二-1Xl=1LWL- ω（ti）,Di（v，T）：=Di（v，…，vi-1，T）膨胀i维维,Ei（s，u，T）：=i（β（s）- ∑（s，T））i-1Xl=1ul{0≤s≤tl}+β（s），~Ei（s，v，T）：=Ei（s，v，…，vi-1，T）+i（β（s）- ∑（s，T）vi，Fi（s，u）：=iσ（s）i-1Xl=1ul{0≤s≤tl}+σ（s），（35）~Fi（s，v）：=Fi（s，v，…，vi-1） +iσ（s）vi，Mi（u，T）：=Di（u，T）expZti公司θs（Ei（s，u，T））+θs（Fi（s，u））ds公司×iYl=2rπβtle公司-联邦制药-1/(4βtl），Ni（v，T）：=▄Di（v，T）expZti公司θs（~Ei（s，v，T））+θs（~Fi（s，v））ds公司×i+1Yl=2rπβtle公司-vl-1/(4βtl）。定理4.3。PSB=IK给出的价格PSBis-1Xi=1P（ti）Q（τm（x）>ti）（Bi- Bi），其中B=1，对于i∈ {2，…，K- 1} ，Bi=e-C（ti-t） （2π）i-1ZRi-1Mi（u，T）du，对于i∈ {1，…，K- 1} ，Bi=e-C（ti+1-t） （2π）iZRiNi（u，t）du。证据按结构PSB=PK-1i=1EQhe-Rtir（u）duSB（ti）i。

假设b（ti）=1{τs=ti}{τs<τm（x）}IStiP（ti），我们有兴趣计算表达式qe-RTIRSD{τs=ti}{τs<τm（x）}Sti）= 均衡器e-RTIRSD{τs=ti}{ti<τm（x）}Sti= Q（τm（x）>ti）等式e-RTIRSD{τs=ti}Sti. （36）根据（13），对于∈ FL、Lti FL，Lti+1，EQhA{τs=ti}i=EQhA（1{ti≤τs}- 1{ti+1≤τs}）i=EQhAe-Rtiλs（u）du- e-Rti+1λs（u）dui、 因此，方程式（36）可以写成asEQe-RTIRSD{τs=ti}{τs<τm（x）}Sti）= Q（τm（x）>ti）等式e-RtiruduStie-Rtiλs（u）du- Q（τm（x）>ti）等式e-RtiruduStie-Rti+1λs（u）du.Q（τm（x）>ti）如等式（32）所示。让我们为第一个期望写下BIF，为第二个期望写下BIF。为了计算这两个期望值，我们引入了点概率度量QS，i，i=1，K- 1由其氡Nikodym导数确定，idQ=e-RtiruduS（ti）。（37）上述定义了一个密度过程，即贴现股价e-RtruduS（t）这是一个Q-鞅。我们可以使用新的度量来简化bian和Bias followsBi=EQe-RtiruduStie-Rtiλs（u）du= EQS，ie-Rtiλs（u）du, （38）Bi=等式e-RtiruduStie-Rti+1λs（u）du= EQS，ie-Rti+1λs（u）du. （39）注意λs（u）表示ti≤ u<ti+1由D（ti）定义，因此它是FL，LTI可测量的。首先关注Bi，通过构造λs（u）=0表示u∈ [0，t），因此b=1。对于i∈ {2，…，K- 1} ，我们遵循与定理4.1证明中相同的策略来计算Aand considereC（ti-t） EQS，ie-Rtiλs（u）du= EQS，if（D（t），D（ti-1)), （40）式中f（x，…，xi-1） ：=Qil=2e-βtlxl型-1带tl=tl- tl公司-如（27）所示，我们得到最后一个期望是（2π）i-1ZRi-1英里-1（iu）^f(-u） du，（41）带^f（u。

，用户界面-1） =iYl=2rπβtle公司-联邦制药-1/(4βtl）和▄Mi-1（iu）定义为Mi-1（iu）=方程式，ieiuD（t）++iui公司-1D（ti-1).从（47）可以看出▄Mi-1（iu）=等式eiuD（t）++iui公司-1D（ti-1） +Rtiσ（s）dLs+Rtiβ（s）dLs-ω（ti）= 经验值二-1Xl=1ul(-p（tl）- δT+ZTf（0，s）ds+ZtlA（s，T）ds- ω（tl））×当量经验值二-1Xl=1Ztlulσ（s）dLs+Ztlul（β（s）- ∑（s，T））dLs+Ztiσ（s）dLs+Ztiβ（s）dLs- ω（ti）.通过等式（2），可以得出等式hexpZtiEi（s，u，T）dLs+ZtiFi（s，u）dLsi=经验值Zti公司θs（Ei（s，u，T））+θs（Fi（s，u））ds公司表1：。可变年金合同的参数。参考流程：NIG。金融市场模型参数-来源：Eberlein和Rudmann（2018）。死亡率模型参数-来源：Escobar等人（2016年）。可变年金金融市场模型退保模型死亡率模型LTLTT 3，4，10年α4 5.73β0.05 b 12.1104δ0.01 p.a.β-3.8-2.13 C 0.01 z 76.139P（tl）0.95+0.05tl/Tδ1.34 8.3κ0.4806tl1年a 0.0020898-λ0.0195'ti-“”ti-16个月σ-0.1818σ0.0254b-0.0065因此，考虑到（35）中Di（u，T）的定义，我们有Mi-1（iu）=Di（u，T）expZti公司θs（Ei（s，u，T））+θs（Fi（s，u））ds公司以及（41）中双follows的表示。最后，我们注意到bi=e-C（ti+1-t） EQS，ii+1Yl=2e-βtlD（tl-1). （42）在作必要的修改后，重复上述参数，即Bifollows的表达式。5、数值实施和测试本节根据第2节介绍的模型特征，讨论了理论4.1、4.2和4.3中定价方程的数值计算。为了进行数值分析，我们选择Barndor Off-Nielsen（1997）引入的正态逆高斯（NIG）过程作为相关的L'evy过程，累积量函数θ（u）=uu+δpα- β-pα- （β+u）, -α - β<u<α- β、 对于u∈ R、 δ>0，0≤ |β| < α.

参数α控制密度的陡度（因此其尾部行为），β主要控制分布的偏度（符号），而δ是尺度参数；相反，位置参数u被设置为零，而不会失去通用性。此外，我们为函数σ（s，T）假设一个简化的Vasiˇcek结构，以便fora>0σ（s，T）=（ae-a（T-s） ，s≤ T0，s>Tand∑（s，T）=（1- e-a（T-s） ，s≤ T0，s>T。对于权益部分，我们假设σ（s）=σ>0，β（s）=b∈ R、 所有数值实验都参考了具有表1所示参数设置的合同；财务模型的参数取自Eberlein和Rudmann（2018）的校准工作。图1：。N（u，T），T=3年（K=2）。左面板：函数的实部n（u，T）。右面板：N（u，T）的虚部。参数：表1。短期到期合同用于基准测试，而10年到期合同代表了实际用途的现实规范。关于可能的终止日期，出于说明目的，我们使用1年的频率，即。tl=1，而死亡率时间网格（假设粒度更细）是以6个月的频率构建的。但我们注意到，定理4.1、4.2和4.3中得到的结果适用于任何相关时间步的选择。数值格式在Matlab R2018a中实现，并在配备Intel i5-6500、3.20千兆赫兹CPU和8千兆字节RAM的计算机上运行。5.1. 实施定理4.1、4.2和4.3中的多维积分是通过蒙特卡罗积分计算的（例如，参见Pharr和Humphreys，2010，以及其中的参考文献）。

因此，域上高维积分的蒙特卡罗估计OhmI=ZOhmf（x）dx是通过计算M个点x处的函数f（x）得到的，在Ohm 用一个更精确的概率密度p（x），使得imc=MMXi=1f（xi）p（xi）。通过（无偏）样本方差MI=1（Ii）测量误差- IMC）M- 1，与标准蒙特卡罗模拟一样；这一点表明，收敛速度与被积函数的维数无关，这是蒙特卡罗积分在计算高维积分时相对于标准数值求积技术的优势。经典蒙特卡罗积分使用均匀概率密度。然而，对定理4.1的被积函数M（u，T）和N（u，T）的可视化观察表明，M（u，T）在原点附近呈强峰值，而N（u，T）的特征是交替表2。蒙特卡罗积分与重要性抽样的基准测试——GMAB案例。参数：表1\'“求积”：Matlab内置函数integral、integral2和integral3。偏差/标准误差表示为实际值的百分比。蒙特卡罗迭代：100批大小为10的产品。CPUtime以秒为单位，表示一批10次迭代的平均时间。正交蒙特卡罗积分（Imp.Sampling）T K值偏差（%）标准误差（%）3年2 A0.9867 0.9867 0.0035 0.0050A0.1487 0.1482 0.3584 0.2683CPU 6.6323 31.2944（A:0.1280）（A:6.5043）4年3 A0.9703 0.9702 0.0139 0.0076A0.1669 0.0155 0.0647CPU 589.0926 51.6269（A:1.3042）（A:587.7884）如图1中T=3（K=2）所示，具有显著量级的波峰和波谷。由于相应Payoff函数之间的相似性，定理4.2和4.3中的被积函数也有类似的考虑。

通常，这些特征会导致相应积分的蒙特卡罗估计出现较大的方差。因此，为了减少方差并加快收敛速度，应实施重要性抽样；具体而言，假设被积函数在原点附近呈强峰值，则选择的重要性分布是具有零均值（即以峰值为中心）、独立分量和给定方差矩阵（作为参数处理）的多元高斯分布。在VEGAS和MISER Monte Carlo集成的背景下，pricingalgorithm的全面部署有待未来研究。5.2. 基准测试和测试。表2和表3给出了本文中考虑的定价函数的数值结果。为了为上述蒙特卡罗积分程序提供可靠的基准，我们首先考虑一些简单的例子，对于这些例子，可以使用标准正交软件包处理相关的多维积分。我们举例说明了在GMAB情况下得到的结果。DB和SB也获得了类似的性能，我们请感兴趣的读者参阅附录D以了解更多详细信息。详细信息。表2报告了使用确定性求积方法获得的值、蒙特卡罗积分得到的相应估计以及CPU时间。与蒙特卡罗估计（IMC）一起，我们还报告了其精度的度量，即估计量偏差的绝对值，表示为通过正交IQ获得的值的百分比，即100×| IMC- IQ | IQ。表3：。采用蒙特卡罗积分和重要性抽样的可变年金。参数：表1。以实际值的百分比表示的标准误差。蒙特卡罗迭代：100批大小为10的产品。

CPU时间以秒表示，是指1批10次迭代的平均时间。T GMAB DB SB VA4年112.5121 4.9280 2.6997 120.1399（标准误差%）0.0001 0.0256 0.1142CPU 51.6269 264.3202 31.734110年93.0783 14.2344 15.4533 122.7661（标准误差%）0.0003 0.0098 0.0534CPU 179.0842 1971.3826 717.3945此外，我们还报告了蒙特卡罗估计的标准误差百分比100×IMCsPMi=1（Ii- IMC）M（M- 1).为了提高CPU时间估计的可靠性，我们对样本量为10的蒙特卡罗算法进行了100次重复的数值实验。我们考虑两个例子，分别是到期时间T=3年（即K=2）和T=4年（即K=3）的合同。对于每年间隔的终止日期ti，这些选择意味着Aa和Aar在第一种情况下分别是一维和二维积分，在第二种情况下是二维和三维积分，也可以使用确定性求积方法的软件包进行计算。对于重要性抽样，数值实验表明，对于第一个K，使用相同的方差固定在0.25，可以获得相对较小的偏差和标准误差- 1维，并在最后一个kth维中将该值增加到1，以满足被积函数N（u，T）的更高可变性。表2中的结果证实了估计的质量，因为所有偏差和标准误差均低于0.5%。表3中报告了VA及其组成部分的值。我们注意到，GMAB价值随着到期日的增加而减少，这是因为保单持有人死亡或退保可终止合同的日期越来越多。与这些发现一致，我们还观察到，对于期限较长的合同，DB和SB的价值都有所增加。

VAI的总价值随着到期日的延长而增加，表明DB和theSB组件的主要影响。最后，我们观察到全可变年金的DB和SB部分的计算成本较高；这是因为需要计算大量感兴趣的累积量函数积分（见定义（34）和（35））。这个数字取决于t网格和“t”网格的粒度：这些网格越细，合同中这些组件的计算量就越大。图2：。敏感性分析：屈服参数（β，C）。顶部面板：左侧-GMAB；右侧：SB。底部面板：左侧-DB；右侧-VA。到期日：T=10年。其他参数：表1.6。结果：敏感性分析在同等条件下，通过每次扰动相关参数进行敏感性分析。基准案例为10年合同，参数如表1所示。在图2中，我们显示了VA及其组成部分对参数β和C的敏感性，控制了屈服强度。与直觉一致，β的值越高，金融市场对投保人决策的影响就越大。这尤其体现在退保福利SB的价值上，SB随β增加。由于投降概率较高，GMAB和theDB的值减少，VA的结果值也减少。尽管参数β的影响在代表基线投降行为的常数C的高值对应关系中变得不太相关。

在这种情况下，导致退保决定的非经济因素主导了金融市场的影响，以至于VA及其组成部分几乎对β不敏感。这些结果突出表明，鉴于对VA及其组成部分的价值有重大影响，基线退保参数C的正确量化至关重要。在这方面，对于保险公司来说，至关重要的是根据他们可以收集的有关保单持有人对失效行为的信息，正确校准退保模型。图3：。敏感性分析：依赖参数b和β。顶部面板：左侧-GMAB；右侧：SB。底部面板：左侧-DB；右侧-VA。到期日：T=10年。其他参数：表1。图4：。敏感性分析：不同β值的保证δ。顶部面板：左侧-GMAB；右侧：SB。底部面板：左侧-DB；右侧-VA。到期日：T=10年。其他参数：表1。图3显示，参数β的影响还受到股票市场和固定收益市场之间的依赖性的影响，此处由参数b捕捉。事实上，在金融市场之间存在明显的依赖性（即b 6=0）的情况下，投保人的行为对市场条件的变化更为敏感。这反映在合同价值的变化率上。最后，在图4中，我们说明了合同相对于保证利率δ的行为。正如人们所期望的那样，这个比率的值越高，对应的VA值就越有价值；虽然SB对δ相对不敏感，但这也是由于本分析中使用的Latter值较低。7.