具有退保风险的基于L¨evy的混合模型中的可变年金

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英文标题：
《Variable annuities in a L\\\'evy-based hybrid model with surrender risk》
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作者：
Laura Ballotta, Ernst Eberlein, Thorsten Schmidt, and Raghid
  Zeineddine
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最新提交年份：
2019
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英文摘要：
  This paper proposes a market consistent valuation framework for variable annuities with guaranteed minimum accumulation benefit, death benefit and surrender benefit features. The setup is based on a hybrid model for the financial market and uses time-inhomogeneous L\\\'evy processes as risk drivers. Further, we allow for dependence between financial and surrender risks. Our model leads to explicit analytical formulas for the quantities of interest, and practical and efficient numerical procedures for the evaluation of these formulas. We illustrate the tractability of this approach by means of a detailed sensitivity analysis of the price of the variable annuity and its components with respect to the model parameters. The results highlight the role played by the surrender behaviour and the importance of its appropriate modelling.
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中文摘要：
本文提出了一个具有保证最低累积收益、死亡收益和退保收益特征的可变年金市场一致性估值框架。该设置基于金融市场的混合模型，并使用时间不均匀的列维过程作为风险驱动因素。此外，我们考虑了财务风险和退保风险之间的依赖性。我们的模型导出了感兴趣的量的显式分析公式，以及评估这些公式的实用有效的数值程序。我们通过对可变年金及其组成部分的价格与模型参数的详细敏感性分析，说明了这种方法的可操作性。结果强调了投降行为所起的作用及其适当建模的重要性。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Risk Management        风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
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PDF下载：
--> Variable_annuities_in_a_Lévy-based_hybrid_model_with_surrender_risk.pdf (1.01 MB)

2022-6-24 00:06:09 上传

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关键词：混合模型 Mathematical Quantitative accumulation Applications

基于L'EVY的具有放弃风险的杂交模型中的可变年金Laura BALLOTTA（A）、ERNST EBERLEIN（b）、（c）、（d）、THORSTEN SCHMIDT（b）、（c）、（d），*,RAGHID ZEINEDDINE（d）摘要。本文提出了一个具有保证最低累积收益、死亡收益和放弃收益特征的变量年鉴的市场一致性估值框架。该设置基于金融市场的混合模型，并使用非均匀L'evy过程作为风险驱动因素。此外，我们考虑了财务风险和退保风险之间的依赖关系。我们的模型为感兴趣的数量提供了明确的分析公式，并为这些公式的评估提供了实用有效的数值程序。我们通过对可变年金及其组成部分的价格与模型参数的详细敏感性分析，说明了这种方法的可操作性。结果强调了投降行为所起的作用及其适当建模的重要性。关键词：金融；可变年金；混合模型；L'evy流程；退保风险等级：G13、G12、G22、C631。简介变量年金（VAs）是一种与单位挂钩的投资政策，提供退休后收入，由适当管理的金融投资组合的回报产生。为了保护投保人的储蓄账户，实施了各种担保。VAs在美国、日本、英国都是受欢迎的保险产品，在其他欧洲市场也越来越多。

根据人寿保险和市场研究协会（LIMRA）安全退休研究所和保险退休研究所（IRI），2018年VAs在美国的销售额超过1000亿美元，与2017年相比增长了2%。可变年金合同提供的常见担保类型有所谓的最低保证累积福利（GMAB）、最低保证死亡福利（此后为DB）——适用于早逝情况——最低保证收入福利和最低保证提取福利。前两种是累积期内的有效保护，即直到合同到期，而后两者在到期后，即所谓的“年金化”期间提供支付。有关这些产品的广泛概述和分类，请参阅Bacinello等人（2011）及其参考文献。日期：2019年5月24日。（a） 英国伦敦大学城市卡斯商学院金融学院。（b） 德国弗莱堡高等研究所（FRIAS）。（c） 德国弗莱堡大学数学随机系。（d） 斯特拉斯堡大学高等研究所（USIAS），法国。*通讯作者：托尔斯滕·施密特；电子邮件：thorsten。schmidt@stochastik.uni-弗莱堡。de.由于这些合同的构建，承保保险公司面临财务和死亡风险，以及投保人行为引发的退保风险。

事实上，提前到期的选择权是保险合同的一个常见附加特征，这可能会给保险人带来巨大的现金流，并对VAs（LIMRA Secure RetirementInstitute）的市场增长产生负面影响。Brennan和Schwartz（1976）以及Boyle和Schwartz（1977）对存在金融风险的人寿保险合同定价进行了研究；从Albizzati和Geman（1994）、Bacinello和Ortu（1996）以及Grosen和Jorgensen（2002）的开创性贡献，到Bacinello et al.（2011）、Deelstra和Ray'ee（2013）、Giacinto et al.（2014）和Gudkovet al.（2018）的最新贡献，此后发展了广泛的文献。这些贡献在所考虑的特定产品方面与众不同，尽管它们都基于差异驱动市场模型。巴洛塔（2005年、2009年）考虑了由利维过程驱动的金融动态的扩展，尽管在这些论文中，重点主要放在股票市场上，因为利率假定为常数，并且没有考虑退保的可能性。有鉴于此，本文旨在为这些风险的建模和可变年金合同的市场一致性定价提供一个现实的框架。我们特别关注GMAB、DB的定价以及通过所谓的退保福利（SB）对货币风险的量化，以多种方式对文献的现状作出贡献。首先，与上述文献相反，我们提出了一个由时间非齐次L'evy过程驱动的金融和保险风险的通用联合模型。

我们的选择是基于这些随机过程在描绘观察到的市场趋势时所带来的分布灵活性的增加（例如，参见Eberlein和Keller，1995年对股票市场的广泛实证分析）。更详细地说，对于金融市场，我们采用了Eberleinand Rudmann（2018）的混合结构，其中明确考虑了利率市场和股票市场之间的随机依赖性。鉴于保险合同的典型长期到期，这一特征在这种情况下是一个重要方面。此外，我们将保险风险细分为退保风险和死亡风险。对于退保风险，我们遵循市场惯例，考虑了两个组成部分：一个是捕获非经济因素和个人意外事件导致的基准退保行为，另一个是对金融市场条件变化作出反应的退保行为（例如，见Kolkiewicz和Tan，2006年，Le Courtois和Nakagawa，2011年，Ducuroir等人，2016年）。这一部分尤其包括合同利率与市场上同等产品利率之间的利差函数，因此包含了金融市场模型的随机输入。选择的功能旨在适当适应基于货币性假设（例如，见Knoller et al.，2016）、利率假设和紧急基金假设（例如，见Nolte和Schneider，2017以及其中的参考文献）的退保触发论点。对于死亡率风险，我们采用了一个扩展的Gompertz-Makeham模型，该模型具有随机死亡率改善率，如Krayzler et al.（2016）和Escobar et al。

(2016); 然而，我们自然假设人口风险和金融风险之间存在随机独立性。其次，通过提出的一般框架，我们获得了担保价格和SB的闭合分析公式（高达多维积分）。这些积分的维数取决于允许投保人终止合同的频率。最后，我们还开发了一个实用有效的数值方案，通过蒙特卡罗积分和重要性抽样来评估这些公式，并通过对合同价值与模型参数进行敏感性分析来说明其适用性。该分析的结果强调了正确校准模型对观察到的退保率的重要性。本文的组织结构如下。在第2节中，我们介绍了金融市场的模型；第3节介绍了VAs的合同特征以及关于死亡率和退保风险的其他建模假设。第4节推导了闭合分析定价公式；第5节提供了相应的数值格式。我们在第6节中给出了敏感性分析的结果，而第7节得出了结论。附录中提供了其他材料，包括一些证据。利率和股票市场本节的目的是介绍利率和股票市场的联合模型，用于制定可变年金的定价框架。具体而言，wefollow Eberlein和Rudmann（2018）在时间非均匀过程上构建了该联合模型。因此，我们首先提供一些必要的初步结果，并考虑pricingapplication。2.1. 时间非齐次L'evy过程和定价。

给定有限的时间范围*> 0，考虑随机基础(Ohm, F，F，Q），过滤F=（Ft）t∈[0，T*]满足通常的条件。由于我们对定价的关注，概率测度Q表示arisk中立鞅测度。设Land-Lbe为两个独立的时间非齐次evy过程，即具有独立增量的连续时间过程，其特征函数为qheiuljti=expZt公司iubjs公司-cjsu+ZReiux公司- 1.- iux1{| x|≤1}Fjs（dx）ds公司（1） 对于j=1，2；地方特色（bjs、cjs、Fjs）∈[0，T*]满足可积条件zt*|bjs |+cjs+ZR（最小{| x |，1}）Fjs（dx）ds<∞.我们注意到，建立在（指数）L'evy过程上的金融市场一般是完整的，因此风险中性鞅测度不是唯一的。这种情况下的标准做法是通过校准确定定价措施，使用基于利息数量的交易衍生品合同的市场报价，即我们应用的特定情况下的债券和股票。由于模型校准不在本文范围内，werefer向Eberlein和Rudmann（2018）详细说明了所采用的联合模型的校准程序。然而，对于任何风险中性鞅测度，我们都要求存在一定阶数的指数矩。为此，以下假设贯穿本文的其余部分。假设2.1（指数矩）。对于j=1，2，存在正常数Mjandj对于每个u∈ [-(1 + j） Mj，（1+j） Mj]ZT*Z{| x |>1}euxFjs（dx）ds<∞.数学金融中使用的所有标准过程，如双曲线、正态逆高斯、方差Gamma和CGMY过程，都满足上述条件。

假设2.1意味着存在过程的第一个时刻；这允许我们重写（1）asEQheiuLjti=expZt公司iubjs公司-cjsu+ZReiux公司- 1.- iuxFjs（dx）ds公司.在此设置中，我们定义了Ljθjs（z）=bjsz+cjsz+ZR（ezx）的累积量函数- 1.- zx）Fjs（dx），适用于任何z∈ C使得Re（z）∈ [-(1 + j） Mj，（1+j） Mj]。然后，等式[exp（zLjt）]<∞ 安第克exp（zLjt）= 经验值Ztθjs（z）ds.进一步，设f:R+→ C是| Re（f）|的连续函数≤ Mj，thenEQ经验值Ztf（s）dLjs= 经验值Ztθjs（f（s））ds, （2） 其中，积分定义为实部和虚部的分量（详情见Eberleinand Raible，1999）。2.2. 固定收益市场。对于固定收益市场的建模，我们遵循Eberlein等人（2005）的方法（另见Eberlein和Raible，1999），因此起点是瞬时远期利率（f（t，t）0）动力学的定义≤t型≤T≤T*). 假设f（t，t）=f（0，t）+Ztα（s，t）ds-Ztσ（s，T）dLs，0≤ t型≤ T≤ T*, （3） 对于确定性有界函数f（0，T）。假设漂移函数α（·）和挥发函数σ（·）满足可测性和有界性的通常条件（见Eberlein et al.，2005，（2.5））。到期时间为t的零息票债券的价格≥ t isB（t，t）=exp-ZTtf（t，s）ds.让我们表示a（s，T）：=ZTsα（s，u）du，∑（s，T）：=ZTsσ（s，u）du。从Fubini定理和方程（3）可以看出，债券价格的动力学是B（t，t）=B（0，t）expZt（f（s，s）- A（s，T））ds+Zt∑（s，T）dLs,我们提醒，通过设置T=T，短期利率RTI由远期利率动力学不等式（3）隐式给出。

最后，我们假设∑（s，T）≤M、 （4）其中Mis为假设2.1中的常数；这保证了托氏积分的指数具有有限的期望值。为了使市场无套利，我们要求（B-1tB（t，t））0≤t型≤T、 Bt=exp时Rtr（s）ds, 是鞅；由（2）可知，Q是鞅测度ifA（s，T）=θs（∑（s，T）），0≤ s≤ T、 （5）在下文中，我们将始终假设漂移条件（5）成立。2.3. 股票市场。对于股票市场的建模，我们考虑单个资产的情况，无论是单个股票还是股票指数。可以直接获得更一般的设置。许多实证研究表明，股票市场和固定收益市场相互影响；这种互动在长期保险合同中尤为重要。因此，继Eberlein和Rudmann（2018）之后，我们选择了一种允许两个市场之间随机依赖的方法。因此，我们对资产asSt=Sexp的价格过程进行建模Ztr（s）ds+Ztσ（s）dLs+Ztβ（s）dLs- ω（t）. （6） 在这种混合方法中，利率动态的驱动因素通过termRtβ（s）dLs明确影响股票价格，原因是β（·）。进一步的依赖性源于（综合）短期利率，即经典的风险中性termRtr（s）ds。σ（·）是一个正函数，表示股票价格的波动性。σ（·）和β（·）都可以选择为随机过程，但考虑到数值方面，下面我们考虑确定性函数σ（·）和β（·）。为了确保指数矩的存在，我们需要σ（s）≤M、 |β（s）|≤M、 （7）对于M，M来自假设2.1的常数。（6）中的漂移项ω（t）的选择应确保贴现股票价格（B-1测试）t∈[0，T*]是一个Q-鞅。

方程（2）和两个驱动过程的独立性明确地表示为ω（t）=Zt[θs（σ（s））+θs（β（s））]ds。（8） 因此，根据（5）和（8），债券和证券的联合市场模型没有套利。可变年金合同可变年金（VA）是一种保险合同，根据名义I向持有人提供各种福利，以换取初始保费，我们将在下文中确定。该保险费在VA合同开始时支付一次。假设合同到期日T满足0<T≤ T*. 在此处考虑的规范中，VA包括三个特征：保证最低累计福利（GMAB）、退保福利（SB）和死亡福利（DB）。具体而言，在到期日T时，GMAB向保单持有人支付最高金额（IST，G（T）），其中G（T）=I exp（δT），δ>0。换言之，GMAB在资产S或保证利率δ的无风险账户中提供金额I的最佳投资。注意，为了简化符号，在下面我们假设资产的价格过程是标准化的，因此S=1。然而，只有在保单持有人在时间T仍然活着并且之前没有行使退保选择权的情况下，才能申请该付款。在提前退保的情况下，退保权仅限于被强制退保罚款扣除的基金当前价值。让惩罚P：[0，T]→ （0，1）是P（T）=1的递增函数，定义T：=（T，T，…，tK）>0=T<T<…<tK<T。我们假设在任何时间点ti都有可能提前投降∈ twith i=1，K- 1，在这种情况下，投保人将收到赔偿金（ti），即使在提前退保的情况下，早期罚款P的较小价值也将允许保险人收回与签订合同相关的任何费用。