具有退保风险的基于L¨evy的混合模型中的可变年金

结论在基于多变量evy过程的混合模型设置中，我们提出了一个评估可变年金产品中常见担保的一般框架，如担保最低累积收益、死亡收益和退保收益，退保风险由内生捕获。该框架被证明是易于处理的，并允许部署基于蒙特卡罗积分的有效数值方案。我们使用此设置来深入了解与模型参数相关的合同敏感性，特别关注卖方风险。特别强调退保的动机在于发行可变年费的保险公司经历的大量提前终止，以及由此产生的净现金流出（LIMRA Secure Retirement Institute和IRI也指出了这一点）。我们的分析结果证实了投降行为及其适当建模的重要性。我们设想本文提供的模型设置和拟议的数值方案也适用于VAs提供的其他福利，如退休后保障最低收入福利。这将是一条有希望的进一步研究路线。致谢作者衷心感谢弗莱堡高等研究院（FRIAS）在FRIAS研究项目“金融与保险联系：理论与应用（2017-2019）”中提供的财政支持。附录A.屈服强度的替代规范。屈服强度λ在（12）中定义为λs（t）=βD（ti）+C=W（D（ti）），ti≤ t<ti+1（43），其中W（x）：=βx+C。因此W（x）→ ∞ 同于| x |→ ∞. 人们可能会对退保强度的合同价格行为感兴趣，其价值不会变得太大。

因此，在下文中，我们研究了在保持退保强度有界的替代规范下可变年金组成部分的估值。我们从观察D（ti），i=1，…，的行为开始，K- 下面的引理表明，这些量以很高的概率保持在有界区间内。基于这一事实，命题A.2及其推论表明，备选退保强度下获得的合同价值接近原始消费下的价值。引理A.1。对于任何 > 0，存在L>0，使得qt（K-1[i=1{| D（ti）|>L}）≤ ,QS，j（j[i=1{| D（ti）|>L}）≤ , 对于任何j∈ {1，…，K- 1} ，（44）Q'ti（j[l=1{| D（tl）{l}）≤ ,其中最后一个结果适用于j∈ {1，…，K- 2} 以及任何i，使得tj<\'ti≤ tj+1，对于j=K- 1和任何i，以便tK-1<\'ti≤ T第（51）节定义了质量指标，第（37）节定义了质量指标，第（19）节定义了质量指标。证据让我记下一个正常数。应用马尔可夫不等式和不等式e | x|≤ ex+e-x、 我们得到qt（K-1[i=1{| D（ti）|>L}）≤K-1Xi=1QT（{| D（ti）|>L}）=K-1Xi=1QT（{e | D（ti）|>eL}）≤ e-斯里兰卡-1Xi=1ET（eD（ti））+ET（e-D（ti））. （45）现在我们使用（47）中给出的表示，即QTin（19）和（49）的定义，来推导（eD（ti））=e-p（ti）-δT+RTf（0，s）ds+RtiA（s，T）ds-ω（ti）ET（eRtiσ（s）dLs+Rti（β（s）-∑（s，T）dLs）=e-p（ti）-δT+RTf（0，s）ds+RtiA（s，T）ds-ω（ti）-RTA（s，T）ds×EQ（eRtiσ（s）dLs+Rti（β（s）-∑（s，T）dLs+RT∑（s，T）dLs）观察到，通过土地L的独立性，我们有eq（eRtiσ（s）dLs+Rti（β（s）-∑（s，T）dLs+RT∑（s，T）dLs）=EQ（eRtiσ（s）dLs+RT（（β（s））-∑（s，T））1{0≤s≤ti}+∑（s，T））dLs）=EQ（Eriσ（s）dLs）EQ（eRT（（β（s））-∑（s，T））1{0≤s≤ti}+∑（s，T））dLs），其中最后的数量是由于（4）和（7）而确定的。因此，Ci：=ET（eD（ti））是有限的，并且通过类似的参数Ci：=ET（e-D（ti））也是有限的。观察e-LPK公司-1i=1（Ci+Ci）≤  等于L≥ - 日志() + 日志（PK-1i=1（Ci+Ci））。

作为（45）和最后一个参数的结果，我们推导出L≥ - 日志() + 日志（PK-1i=1（Ci+Ci）），QT（SK-1i=1{| D（ti）|>L}）≤ .通过类似的论证，我们可以证明对于任何j∈ {1，…，K- 1} ，存在^Lj>0，因此QS，j（Sji=1{| D（ti）|>^Lj}）≤ . 我们也可以证明对于j∈ {1，…，K- 2} 任何一个我都可以≤ tj+1，对于j=K- 1和任何i，以便tK-1<\'ti≤ T，存在Li，jsuch，Q'ti（Sjl=1{| D（tl）|>Li，j}）≤ . 因此，通过定义“L：=最大（i，j）Li，jand L：=最大（L，^L，…，^LK-我们推断（44）成立。备注A.1。引理A.1中的常数L取决于 并应表示为L但为了简单起见，我们省略了这个符号。基于以上，让我们用另一个与Won一致的正连续函数ww替换wb[-五十、 在引理A.1中，L]在这个紧集外的正半直线上是常数，并且当x时收敛到0→ -∞. 具体而言，我们定义了WasW（x）=W（L）代表x∈ （L，∞)W（x）代表x∈ [-五十、 L]（βL+C）eL+x∈ (-∞, -五十） ，常数β和C如（12）所示。新屈服强度λ定义为λs（t）=W（D（ti）），ti≤ t<ti+1，（46）对于i∈ {1，…K- 1} ，且对于t，(R)λs（t）=0∈ [0，t）∪ [tK，T]。然后，正如我们将在推论A中看到的那样。3、相应价格，用“PGMAB”、“PDBand”PSB、近似PGMAB、PDBand PSB表示。从GMAB的值开始，我们将方程（21）改写为“PGMABQ（τm（x）>T）B（0，T）G（T）=ETe-RtK？λs（u）du+ ET公司e-RtK？λs（u）duISTG（T）- 1.+=:\'A+\'A，其中\'A=ETKYi=2e-W（D（ti-1))ti公司,(R)A=ETKYi=2e-W（D（ti-1))ti公司eD（T）- 1.+.根据与定理4.2中相同的计算，我们推断‘PDB=Xi：’ti≤tQ（τm（x）∈ [(R)ti-1，\'ti））（G（\'ti）B（0，\'ti）+G（\'ti）B（0，\'ti）A0，i）+K-2Xj=1Xi：(R)ti∈（tj，tj+1）Qτm（x）∈ [(R)ti-1，(R)ti）G（\'ti）B（0，\'ti）\'Aj，i+\'Aj，i+Xi：(R)ti∈（塔卡-1，T]Qτm（x）∈ [(R)ti-1，(R)ti）G（\'ti）B（0，\'ti）(R)AK-1，i+(R)AK-1，我,式中，A0，iis与定理4.2中的相同，对于j∈ {1, . . .

K- 2} 以及任何一个≤ tj+1，对于j=K- 1和任何i，以便tK-1<\'ti≤ T'Aj，i：=E'tihe-Rtj+1'λs（u）dui=E'tihj+1Yi=2e-W（D（ti-1)tii，\'Aj，i：=E\'tihe-Rtj+1|Μs（u）duIS“tiG”（“ti”）- 1.+我= E'tihj+1Yi=2e-W（D（ti-1)ti公司eD'ti，'ti+p（'ti）- 1.+i、 最后，通过与定理4.3中相同的论证，我们推导出“PSB=IK”-1Xj=1P（tj）Q（τm（x）>tj）方程，je-Rtj'λs（u）du-IK-1Xj=1P（tj）Q（τm（x）>tj）方程，je-Rtj+1|Μs（u）du= IK-1Xj=1P（tj）Q（τm（x）>tj）（\'Bj-由于λs（u）=0，对于u∈ [0，t）按构造，且'Bj=等式，jjYl=2e-W（D（tl-1))tl公司, 对于j≥ 2，’Bj=等式，jj+1Yl=2e-W（D（tl-1))tl公司.鉴于上述情况，以下结果成立。提案A.2。我们有（1）个- A |≤ 2.,（2） |(R)A- A |≤ 2C1/2，带C：=ET（eD（T）- 1)1/2，（3）| Aj，i- Aj，i |≤ 2.,（4） |(R)Aj，i- Aj，i |≤ 2C2，i1/2，带C2，i：=E'ti（eD'ti，'ti+p（'ti）- 1)1/2，其中在（3）和（4）中，我们有j∈ {1，…，K-2} 我这样做，tj<\'ti≤ tj+1，或j=K- 1和i，这样tK-1<\'ti≤ T，（5）| Bj- 北京|≤ 2., 对于j∈ {2，…，K- 1} ，（6）|(R)Bj- 北京|≤ 2., 对于j∈ {1，…，K- 1}.A、 Aare在（21）中给出，Aj、i、Aj、iin（52）中给出，Bj、Bj在（38）和（39）中给出。证据必须证明（2）哪一项代表复杂程度。（1），（3），（4），（5）和（6）的顶部经过必要的修改。根据Wgivenin（43）的定义，我们得出“A=ETKYi=2e-W（D（ti-1))ti公司eD（T）- 1.+= ET公司KYi=2e-W（D（ti-1))ti公司eD（T）- 1.+{∩Ki=2{| D（ti-1)|≤五十} }+ ET公司KYi=2e-W（D（ti-1))ti公司eD（T）- 1.+{∪Ki=2{| D（ti-1） |>L}}= ET公司KYi=2e-W（D（ti-1))ti公司eD（T）- 1.+{∩Ki=2{| D（ti-1)|≤五十} }+ a、 最后一行是对ain的明显定义。第三个等式为Wand Wcoincide on[-五十、 L）]。观察thatETKYi=2e-W（D（ti-1))ti公司eD（T）- 1.+{∩Ki=2{| D（ti-1)|≤五十} }= ET公司KYi=2e-W（D（ti-1))ti公司eD（T）- 1.+- ET公司KYi=2e-W（D（ti-1))ti公司eD（T）- 1.+{∪Ki=2{| D（ti-1） |>L}}= A.- a、 最后一行有明显的符号。

我们推断- A |≤ （a+a）。作为一个积极的功能，以下内容适用于≤ ET公司eD（T）- 1.+{∪K-1i=1{| D（ti）{L}}≤ ET公司eD（T）- 1.{∪K-1i=1{| D（ti）{L}}≤ ET公司（eD（T）- 1)1/2夸脱（K-1[i=1{| D（ti）{L}）1/2≤ C1/2，其中第三条线是Cauchy-Schwarz不等式的结果。对于最后一个不等式，我们使用（44）和C：=ET这一事实（eD（T）- 1)1/2< ∞. 最后一个事实很容易从（47）中D（T）的定义得到验证。A也可以达到类似的界限，因此|(R)A- A |≤ 2C1/2，这证明了（2）。根据最后一个命题，感兴趣的读者可以证明以下推论。推论A.3。我们有（1）个PGMAB- PGMAB |≤ 2Q（τm（x）>T）B（0，T）G（T）[ + C1/2]，带C：=ET（eD（T）- 1)1/2.（2） |(R)PDB- PDB |≤ 2Pi：(R)ti>tQτm（x）∈ [(R)ti-1，(R)ti）B（0，\'ti）G（\'ti）[ + C2，i1/2]，带C2，i：=E'ti（eD'ti，'ti+p（'ti）- 1)1/2.（3） |(R)PSB- PSB |≤ 2IP（t）Q（τm（x）>t） + 4I主键-1j=2P（tj）Q（τm（x）>tj）。附录B.一些有用的结果和代表性让我们想起A（u，T）=RTuα（u，s）ds和∑（u，T）=RTuσ（u，s）ds。我们在这里导出了列维远期利率框架中的一个表示结果。引理B.1。对于任何0≤ t型≤ T，我们有-ZTtf（t，s）ds=Ztr（s）ds-ZTf（0，s）ds-ZtA（u，T）du+Zt∑（u，T）dLu，其中f（T，s）在（3）中定义。证据利用Fubini的随机积分定理，我们推导出-ZTtf（t，s）ds=Ztr（s）ds-Ztr（s）ds-ZTtf（0，s）ds-ZTtZtα（u，s）du ds+ZTtZtσ（u，s）dLuds=Ztr（s）ds-hZtf（0，s）ds+Zt（Zsα（u，s）du）ds-Zt（Zsσ（u，s）dLu）dsi-ZTtf（0，s）ds-ZtZTtα（u，s）ds du+ZtZTtσ（u，s）ds dLu=Ztr（s）ds-hZtf（0，s）ds+ZtZtuα（u，s）ds du-ZtZtuσ（u，s）ds dLui-ZTtf（0，s）ds-ZtZTtα（u，s）ds du+ZtZTtσ（u，s）ds dLu，权利要求如下。

上述引理可以表示（11）中定义的D（t）。D（t）=Ztr（s）ds+Ztσ（s）dLs+Ztβ（s）dLs- ω（t）- p（t）+ZTtf（t，s）ds- δT=-p（t）- δT+ZTf（0，s）ds+ZtA（s，T）ds-Zt∑（s，T）dLs（47）+Ztσ（s）dLs+Ztβ（s）dLs- ω（t）。此外，在上述引理中设置t=t，我们得到0=Ztr（s）ds-Ztf（0，s）ds-ZtA（s，t）ds+Zt∑（s，t）dLs（48），因此，该银行账户具有以下众所周知的表示，参见Eberlein和Raible（1999）或Eberlein和Rudmann（2018）中的（13），B（t）=B（0，t）expZtA（s，t）ds-Zt∑（s，t）dLs. （49）附录C.定理4.2的证明。根据定义，PDB=NXi=1EQe-R'tir（u）duDB（'ti）.从方程（10）中，我们得到e-R'tir（u）duDB（'ti）= Q（τm（x）∈ [(R)ti-1，’ti））等式e-R'tir（u）du{τs≥\'ti}最大值（IS（\'ti），G（\'ti））.我们区分了两种情况：当≤ t<ti时的tand。我们从第二个案例的详细描述开始，这是一个涉及面更广的案例。第一个病例在最后治疗。对于j∈ {1，…，K- 2} 我这样做，tj<\'ti≤ tj+1，以及j=K- 1和我-1<\'ti≤ 我们沿着定理4.1和e-R'tir（u）du{τs≥\'ti}最大值（IS（\'ti），G（\'ti））= 均衡器e-R'tir（u）du{τs≥tj+1}最大值（IS（\'ti），G（\'ti））= 均衡器e-R’tir（u）到期-Rtj+1λs（u）dumax（IS（\'ti），G（\'ti））= G（(R)ti）当量e-R’tir（u）到期-Rtj+1λs（u）du1 +IS“tiG”（“ti”）- 1.+. （50）我们介绍了由氡Nikodym密度dq'tidQ=B（0，'ti）B（'ti）定义的'ti正向测量Q'潮汐。（51）表示关于Q'tiby E'tit的期望方程式（50）中的数量isG（'ti）B（0，'ti）E'tihe公司-Rtj+1λs（u）dui+E'tihe-Rtj+1λs（u）duIS“tiG”（“ti”）- 1.+我= G（\'ti）B（0，\'ti）Aj，i+Aj，i, （52）最后一行有明显的符号。我们注意到EC（tj+1-t） Aj，i=E？tif（D（t），D（tj））, （53）f（x，…，xj）=Qj+1l=2e-βtlxl型-1，和tl=tl- tl公司-1、如（27）中所述，我们得出（53）中的预期可以表示为（2π）jZRjMji（iu）^f(-u） du，（54）带^f（u。

，uj）=j+1Yl=2rπβtle公司-联邦制药-1/(4βtl），以及定义为Mji（iu）=E'ti的Mji（iu）eiuD（t）++iujD（tj）.根据（49）中银行账户的表示，氡Nikodym密度（51）可以写为dq？tidQ=exp-Z'tiA（s，'ti）ds+Z'ti∑（s，'ti）dLs. （55）因此，从（47）中D（t）的表示来看，它遵循▄Mji（iu）=E▄tieiuD（t）++iujD（tj）= 均衡器eiuD（t）++iujD（tj）-R'tiA（s，'ti）ds+R'ti∑（s，'ti）dLs= 经验值ijXl=1升- p（tl）- δT+ZTf（0，s）ds+ZtlA（s，T）ds- ω（tl）-Z'tiA（s，'ti）ds×当量经验值ijXl=1Ztlulσ（s）dLs+Ztlul（β（s）- ∑（s，T））dLs+Z'ti∑（s，'ti）dLs.最后一个期望值根据（4）和returnsEQhexp确定Z'tiEj，i（s，u，T）dLs+Z'tiFj（s，u）dLsi=经验值Z？tiθs（Ej，i（s，u，T））+θs（Fj（s，u））ds公司,根据（34）和方程式（2）中的定义。因此，对于（34）中定义的Dj，i（u，T），我们有Mji（iu）=Dj，i（u，T）expZ？tiθs（Ej，i（s，u，T））+θs（Fj（s，u））ds公司.最后，结合（53）和（54）以及（34）中Mj，i（u，T）的定义，我们推断出thatAj，i=e-C（tj+1-t） （2π）jZRjMj，i（u，t）du。为了计算Aj，i，我们将（11）中定义的D（t）替换为以下数量dt，t=Yt- p（t）+Zttf（t，s）ds- δt，0≤ t型≤ t、 （56）以便IS“tiG”（“ti”）- 1.+=经验值D'ti，'ti+p（'ti）- 1.+.我们注意到EC（tj+1-t） Aj，i=E？tih类D（t），D（tj），D’ti，’ti, （57）对于h（x，…，xj+1）：=f（x，…，xj）（exj+1+p（(R)ti）-1） +，其中f在（53）中给出。为了确保可再整合性，让我们定义H（x，…，xj+1）：=H（x，…，xj+1）e-rxj+1，对于一些1<r<2，和Hj+1（xj+1）：=（exj+1+p（(R)ti）- 1） +e-rxj+1。然后，Hj+1∈ L（R）和H∈ L（Rj+1）。此外，初等积分表明∈ R^Hj+1（y）=经验- p（(R)ti）（iy）- r）（iy）- r+1）（iy- r） 。观察| Hj+1（y）| C=erp（(R)ti）（（（1- r） +y）（r+y））-1/2，因此，^Hj+1∈ L（R）。因此，将最后的结果与（26）相结合，我们推断出^H∈ L（Rj+1）和^H（y。

，yj+1）=exp- p（(R)ti）（iyj+1- r）（iyj+1- r+1）（iyj+1- r） j+1Yl=2rπβtle公司-yl公司-1/(4βtl）。（58）作为H，^H∈ L（Rj+1），根据Eberlein et al.（2010）中的定理3.2得出h类D（t），D（tj），D’ti，’ti=（2π）j+1ZRj+1Nj+1i（R+iu）^h（iR- u） du，（59）表示R=（0，…，0，R）∈ Rj+1、1<r<2和▄Nj+1i（r+iu）定义为▄Nj+1i（r+iu）：=E'tieiuD（t）++iujD（tj）+（iuj+1+r）D'ti，'ti. （60）使用（56）和（48），我们得到d'ti，'ti=-p（(R)ti）- δ？ti+Y？ti=-p（(R)ti）- δ′ti+Z′tir（s）ds+Z′tiσ（s）dLs+Z′tiβ（s）dLs- ω（(R)ti）=-p（(R)ti）- δ？ti+Z？tif（0，s）ds+Z？tiA（s，ti）ds-Z'ti∑（s，'ti）dLs+Z'tiσ（s）dLs+Z'tiβ（s）dLs- ω（(R)ti）=-p（(R)ti）- δ？ti- ω（'ti）+Z'tif（0，s）ds+Z'tiA（s，'ti）ds+Z'tiσ（s）dLs+Z'tiβ（s）- ∑（s，(R)ti）dLs。将最后一个量插入（60）中，根据（47）和（55），我们推断▄Nj+1i（R+iu）=等式eiuD（t）++iujD（tj）+（iuj+1+r）D'ti，'ti-R'tiA（s，'ti）ds+R'ti∑（s，'ti）dLs= 经验值ijXl=1升- p（tl）- δT+ZTf（0，s）ds+ZtlA（s，T）ds- ω（tl）-Z'tiA（s，'ti）ds×经验值（iuj+1+r）- p（(R)ti）- δ？ti- ω（'ti）+Z'tif（0，s）ds+Z'tiA（s，'ti）ds×当量经验值ijXl=1Ztlulσ（s）dLs+Ztlul（β（s）- ∑（s，T））dLs+ 我Z'tiuj+1σ（s）dLs+Z'tiuj+1（β（s）- ∑（s，(R)ti））dLs+Z’tirσ（s）dLs+Z’tir（β（s）- ∑（s，ti）dLs+Z，ti∑（s，ti）dLs.使用（34）中的定义，上述内容可以重写为▄Nj+1i（R+iu）=▄Dj，i（u- iR，T）等式经验值Z'ti'Ej，i（s，u- iR，T）dLs+Z'ti'Fj（s，u- iR）dLs.观察到，由于1<r<2，以及（4）和（7），rσ（s）≤ 曼德| rβ（s）+（1-r） ∑（s，T）|≤ （2r-1） M级≤ M、 因此，存在上述期望。利用Land-Land（2）的独立性，我们得到▄Nj+1i（R+iu）=▄Dj，i（u- iR，T）×expZ'tiθs（'Ej，i（s，u- iR，T））ds+Z'tiθs（'Fj（s，u- iR））ds. （61）另一方面，我们观察到∈ Rj+1，^H（u）=ZRj+1eihu，谢-hR，xih（x）dx=^h（u+iR）。因此，我们推断^h（iR- u） =^H(-u） =经验值p（(R)ti）（iuj+1+r）（iuj+1+r- 1） （iuj+1+r）j+1Yl=2rπβtle公司-联邦制药-1/(4βtl）。

（62）在（59）中插入（61）和（62），并使用（34）中Nj，i（u，T）的定义，得出aj，i=e-C（tj+1-t） （2π）j+1ZRj+1Nj，i（u，t）du。我们现在考虑的情况是≤ t对于i∈ {1，…，N}。使用与上述相同的参数，我们导出e-R'tir（u）du{τs≥\'ti}最大值（IS（\'ti），G（\'ti））= 均衡器e-R'tir（u）dumax（IS（'ti），G（'ti））= B（0，’ti）E’ti最大值（IS（\'ti），G（\'ti））= B（0，\'ti）G（\'ti）E\'ti(1 +IS“tiG”（“ti”）- 1.+= B（0，\'ti）G（\'ti）+B（0，\'ti）G（\'ti）E\'ti经验值D'ti，'ti+p（'ti）- 1.+= B（0，\'ti）G（\'ti）+B（0，\'ti）G（\'ti）E\'tih（D’ti，’ti）,式中，h（x）：=（ex+p（(R)ti）- 1)+. 对于一些1<r<2的情况，我们确定函数具有H（x）：=（ex+p（(R)ti）- 1） +e-接收。根据Eberlein等人（2010）的定理3.2，我们得到h类D’ti，’ti=2πZRNi（r+iu）^h（ir- u） du，（63）带▄Ni（r+iu）：=E'tie（r+iu）D'ti，'ti.使用与上述相同的参数，以及（34）中的定义，我们推断▄Ni（r+iu）=exp（r+iu）w？ti-Z'tiA（s，'ti）dsEQhexpZ'tiE（s，u）dLs+Z'tiF（s，u）dLsi=经验值（r+iu）w？ti-Z'tiA（s，'ti）ds经验值Z'tiθs（E（s，u））ds+Z'tiθs（F（s，u））ds.（64）另一方面，我们有^h（ir- u） =^H(-u） =经验值p（(R)ti）（iu+r）（iu+r- 1） （iu+r）。（65）在（63）中插入（64）和（65），我们得到h类D’ti，’ti=2πe-R'tiA（s，'ti）dsZRNi（u）du。因此，EQe-R'tir（u）du{τs≥\'ti}最大值（IS（\'ti），G（\'ti））= B（0，\'ti）G（\'ti）+B（0，\'ti）G（\'ti）A0，i。最后，我们提到，对于任何1≤ 我≤ N、 我们可以计算Q（τm（x）>(R)ti）（从而计算Q（τm（x））∈ [(R)ti-1，’ti）））根据（32）。附录D.进一步的数值结果：基准在本附录中，我们提供了蒙特卡罗积分定价程序基准测试的完整结果。从第5节中，我们回顾到，我们考虑的是期限较短且放弃频率较高的合同tl=1年。

此外，我们假设每半年进行一次死亡率监测。因此，通过考虑4年到期合同，即K=3，可以利用确定性正交法对DB和SBS的价值进行合理的基准测试。从DB的值开始，定理4.2中的A0项是i=1，…，的一维积分，N、 可通过直接求积获得，因此本基准测试工作不考虑。相反，蒙特卡罗积分用于计算OREM 4.2中出现的剩余项，即A1、i、A1、i、A2、i，它们是二维积分，A2，i是三维积分，对于所有i=1，N、 这些都是根据Matlab中确定性求积程序获得的值进行基准测试的。对于重要性抽样，我们选择与GMAB情况下相同的重要性抽样分布方差值，即0.25用于第一个K- 1尺寸和1最终KTH尺寸。表4中报告的可忽略偏差和标准误差证实了估计的质量。关于SB的值，我们注意到，求和PsbinThermory 4.3中的第一项由一个常数（B）和一个一维积分（B）组成，这是通过确定性求积获得的；与前一种情况类似，本分析中不考虑该术语。该和中的第二项由一个一维和二维积分（分别为带）构成，我们对其采用蒙特卡罗积分。基准测试是针对TMLAB中相应的正交例程执行的。对于重要性抽样，鉴于被积函数的形式相对简单，我们在所有K维中使用相同的方差，固定为0.16。表4所示的可忽略偏差和标准误差证实了估计值的优度。表4：。